湖南省岳陽市2022-2023學(xué)年高二下學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題（教師版）

2022-2023學(xué)年湖南省岳陽市高二下期末教學(xué)質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)試卷一、單選題（本大題共8小題，共40.0分.在每小題列出的選項(xiàng)中，選出符合題目的一項(xiàng)）1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】解不等式求出，從而求出交集.【詳解】，，則.故選：B2.已知為虛數(shù)單位，，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算、共軛復(fù)數(shù)、復(fù)數(shù)的模等知識(shí)求得正確答案.【詳解】由題意，得.故選：A3.已知向量，滿足，且，則向量在向量上的投影向量為（）A.1 B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由已知可求得，然后根據(jù)投影向量的公式，即可得出答案.【詳解】因?yàn)?，，所以，所以，向量在向量上的投影向量?故選：C．4.已知函數(shù)在處的切線與直線垂直，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由題意得，由此求解即可.【詳解】函數(shù)，求導(dǎo)得：，因?yàn)樵谔幍那芯€與直線垂直，所以在處的切線斜率為，解得.故選：D.5.的展開式中，常數(shù)項(xiàng)為（）A. B. C.180 D.300【答案】B【解析】【分析】本題考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，考查分類討論思想，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理等核心素養(yǎng)．【詳解】的展開式的通項(xiàng)為．當(dāng)為常數(shù)時(shí)，，解得，則；當(dāng)為常數(shù)時(shí)，，解得，則，所以的展開式中常數(shù)項(xiàng)為．故選：B．6.已知，則的值為()A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用正弦、余弦的二倍角公式先化已知角為，然后再由正切的二倍角公式求．【詳解】，∴．故選：A．7.蹴鞠（如圖所示），又名蹴球、蹴圓、筑球、踢圓等，蹴有用腳蹴、踢、蹋的含義，鞠最早系外包皮革、內(nèi)實(shí)米糠的球.因而蹴鞠就是指古人以腳蹴、蹋、踢皮球的活動(dòng)，類似今日的足球．2006年5月20日，蹴鞠已作為非物質(zhì)文化遺產(chǎn)經(jīng)國務(wù)院批準(zhǔn)列入第一批國家非物質(zhì)文化遺產(chǎn)名錄，已知某鞠的表面上有四個(gè)點(diǎn)A，B，C，D，四面體ABCD的體積為，BD經(jīng)過該鞠的中心，且，，則該鞠的表面積為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】取AC中點(diǎn)，連接、，易得AC為圓面ABC的直徑，平面ABC，進(jìn)而得到平面ABC，然后根據(jù)四面體ABCD的體積為，可求外接球半徑并求表面積.【詳解】如圖，取AC的中點(diǎn)M，連接BM與球O交于另一點(diǎn)N，連接OM，DN，易知AC為圓面ABC的直徑，平面ABC，因?yàn)镺，M分別為BD，BN的中點(diǎn)，所以，所以平面ABC，∵，∴，即，在中，，∴，∴，∴球O的表面積為．故選：D．8.已知，，，則a，b，c的大小關(guān)系為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】與可看作與，從而可構(gòu)造函數(shù)比大小，與可看作與，從而可構(gòu)造函數(shù)比大小.【詳解】構(gòu)造函數(shù)，則，令，則．令，得，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故，因此在上單調(diào)遞增，所以．令x＝0.4，則，所以，即a＜b．構(gòu)造函數(shù)，則，因此在上單調(diào)遞減，所以，令x＝0.4，則，所以，所以c＜a．故b＞a＞c．故選：C．【點(diǎn)睛】本題使用構(gòu)造函數(shù)并利用函數(shù)的單調(diào)性判斷函數(shù)值大小關(guān)系，在構(gòu)造函數(shù)時(shí)首先把要比較的值變形為含有一個(gè)共同的數(shù)值，將這個(gè)數(shù)值換成變量就有了函數(shù)的形式，如在本題中，，將化為的目的就是出現(xiàn)，以便與中的一致，從而只需比較與這兩個(gè)函數(shù)大小關(guān)系即可.在構(gòu)造函數(shù)后比較大小還可以借助于函數(shù)不等式、切線不等式放縮等手段比大小.二、多選題（本大題共4小題，共20.0分.在每小題有多項(xiàng)符合題目要求）9.在中，a，b，c分別為角A，B，C的對(duì)邊，已知，，且，則（）A. B. C. D.【答案】ABD【解析】【分析】利用正弦定理邊化角，再結(jié)合余弦定理即可求解.【詳解】解：.整理可得:可得為三角形內(nèi)角,∴，故AB正確∵,∴B=π3∵，解得,由余弦定理得，，解得,，故C錯(cuò)誤，D正確.故選:ABD.10.已知，且則下列結(jié)論一定正確的有（）A. B.C.ab有最大值4 D.有最小值9【答案】AC【解析】【分析】A、C選項(xiàng)，分別根據(jù)基本不等式計(jì)算即可得到；B選項(xiàng)找出反例即可；D選項(xiàng)由基本不等式“1”的代換計(jì)算，漏除了4.【詳解】A選項(xiàng)，，A正確；B選項(xiàng)，找反例，當(dāng)時(shí)，，，，B不正確；C選項(xiàng)，，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“=”，C正確；D選項(xiàng)，，D不正確.故選：AC.11.下列命題中，正確的是（）A.已知隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，若，則B.“”是“，”的充分不必要條件C.用表示次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中事件發(fā)生的次數(shù)，為每次試驗(yàn)中事件發(fā)生的概率，若，，則D.一組數(shù)據(jù)，，，的平均值為，則，，，的平均值為.【答案】ACD【解析】【分析】根據(jù)正態(tài)分布的對(duì)稱性、充分和必要條件、二項(xiàng)分布、平均數(shù)等知識(shí)確定正確答案.【詳解】A選項(xiàng)，隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，，，.所以，故A正確；B選項(xiàng)，，，，，是，的必要不充分條件，故B錯(cuò)誤；C選項(xiàng)，因?yàn)殡S機(jī)變量服從二項(xiàng)分布，，，所以，，解得，故C正確；D選項(xiàng)，若數(shù)據(jù)，，，的平均值為，則，故D正確.故選：ACD12.已知拋物線的焦點(diǎn)為，，為上兩個(gè)相異的動(dòng)點(diǎn)，分別在點(diǎn)，處作拋物線的切線，，與交于點(diǎn)，則（）A.若直線過焦點(diǎn)，則點(diǎn)一定在拋物線的準(zhǔn)線上B.若點(diǎn)在直線上，則直線過定點(diǎn)C.若直線過焦點(diǎn)，則面積的最小值為D.若，則面積的最大值為【答案】AB【解析】【分析】設(shè)，，，與拋物線相切的切線方程為，與拋物線方程聯(lián)立，求出直線的方程結(jié)合韋達(dá)定理可得，根據(jù)直線過焦點(diǎn)可判斷A；根據(jù)點(diǎn)在直線上，把，代入直線的方程可判斷B；根據(jù)直線過焦點(diǎn)，求出，求出點(diǎn)到直線的距離，求出面積由基本不等式可判斷C；由弦長公式求出，可得點(diǎn)到直線的距離，再由基本不等式可得面積最大值可判斷D.【詳解】設(shè)，，，與拋物線相切的切線方程為，則化簡得，由，可得，將點(diǎn)坐標(biāo)代入方程，可得，，所以過的切線方程為，同理，過的切線方程為，所以直線的方程為，又，①，②聯(lián)立①②可得，因?yàn)樵趻佄锞€上，所以，所以，對(duì)于，若直線過焦點(diǎn)，則，故，所以點(diǎn)一定在拋物線的準(zhǔn)線上，故A正確；對(duì)于B，若點(diǎn)在直線上，則，代入直線的方程得，解得，，所以直線過定點(diǎn)，故B正確；對(duì)于C，若直線過焦點(diǎn)，則，直線的方程為，即，，點(diǎn)到直線的距離為，所以面積為，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，，可得，點(diǎn)到直線的距離為，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以面積的最大值為，故D錯(cuò)誤.故選：AB.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：利用與拋物線相切的切線方程與拋物線方程聯(lián)立，由韋達(dá)定理得到，在直線與圓錐曲線的位置關(guān)系中，常常利用韋達(dá)定理解決相關(guān)問題.三、填空題（本大題共4小題，共20.0分）13.數(shù)據(jù)：，，，，，，，，中的第百分位數(shù)是__________.【答案】【解析】【分析】將數(shù)據(jù)按照從小到大順序排序，根據(jù)百分位數(shù)的計(jì)算方法直接求解即可.【詳解】將數(shù)據(jù)按照從小到大順序排列為：，，，，，，，，；共有個(gè)數(shù)據(jù)，，第百分位數(shù)即為從小到大的第個(gè)數(shù)，即第百分位數(shù)為.故答案為：.14.已知圓，過點(diǎn)的直線被該圓所截的弦長的最小值為______.【答案】【解析】【分析】設(shè)圓心為，直線過點(diǎn)，當(dāng)直線與所在的直線垂直時(shí)最大，弦長最小，求解即可.【詳解】將圓的一般方程化為設(shè)圓心為，直線過點(diǎn)，與圓交于，兩點(diǎn)，則，半徑，設(shè)圓心到直線的距離為，則弦長，當(dāng)直線與所在的直線垂直時(shí)最大，此時(shí)最小，這時(shí)，所以最小的弦長，故答案為：.15.設(shè)數(shù)列前項(xiàng)的和為，且，則______.【答案】【解析】【分析】由，求得，再利用裂項(xiàng)相消法求和即可.【詳解】因?yàn)椋援?dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，上式也成立，所以，所以，所以.故答案為:.16.已知橢圓的兩個(gè)頂點(diǎn)分別為，，離心率為點(diǎn)為軸上一點(diǎn)，過作軸的垂線交橢圓于不同的兩點(diǎn)，，過作的垂線交于點(diǎn)，則與的面積之比為____.【答案】##【解析】【分析】先根據(jù)已知條件求得橢圓的方程.設(shè)出的坐標(biāo)，根據(jù)直線、、的方程求得，進(jìn)而求得與的面積之比.【詳解】焦點(diǎn)在軸上，兩個(gè)頂點(diǎn)分別為點(diǎn)，，，，，橢圓的方程為；設(shè)，，可得，直線的方程為：，，，直線的方程：，直線的方程：，直線與直線的方程聯(lián)立可得，整理為：，即，，計(jì)算可得，代入直線的方程可得.，則，又.故答案為：四、解答題（本大題共6小題，共70.0分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）17.已知函數(shù)在區(qū)間上的最大值為.（1）求常數(shù)的值；（2）求使成立的的取值集合.【答案】（1）3（2）【解析】【分析】（1）先利用倍角公式和輔助角公式整理函數(shù)的解析式，根據(jù)函數(shù)在區(qū)間上的最大值為，可得的值；（2）先由得，進(jìn)而得，，可得的取值集合.【小問1詳解】由，得，所以，故當(dāng)時(shí)，的最大值為，故，解得.【小問2詳解】由（1）得，因?yàn)?，所以，所以，，得所以的取值集合?8.設(shè)為等差數(shù)列的前項(xiàng)和，且，.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若，令，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)已知條件求得，由此求得.（2）利用錯(cuò)位相減求和法求得.【小問1詳解】設(shè)等差數(shù)列的首項(xiàng)為，公差為，由題意，得，解得，.【小問2詳解】由已知，故，兩式相減，得，所以.19.如圖，在幾何體中，菱形所在的平面與矩形所在的平面互相垂直.（1）若為線段上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，證明：平面；（2）若，，直線與平面所成角的正弦值為，求的長.【答案】（1）證明見解析（2）或1【解析】【分析】（1）利用面面平行的性質(zhì)定理證明；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用線面角的向量公式求解.【小問1詳解】由題知，四邊形為矩形，所以，又因?yàn)槠矫妫矫?，所以平面，同理可證平面，又因，、平面，所以平面平面，又因?yàn)槠矫?，所以平?【小問2詳解】因?yàn)槠矫嫫矫?，且平面平面，，平面，所以平?又因?yàn)榈酌鏋榱庑?，且，，所以△為等邊三角形，且，設(shè)，取的中點(diǎn)為，連接，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以,,的方向?yàn)檩S、軸、軸正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，則，，，設(shè)平面的法向量為，，則，取，則，，即，設(shè)直線與平面所成角為，則化簡可得，解得或，故BF的長可為或.20.為豐富學(xué)生的課外活動(dòng)，學(xué)校羽毛球社團(tuán)舉行羽毛球團(tuán)體賽，賽制采取5局3勝制，每局都是單打模式，每隊(duì)有5名隊(duì)員，比賽中每個(gè)隊(duì)員至多上場一次且上場順序是隨機(jī)的，每局比賽結(jié)果互不影響，經(jīng)過小組賽后，最終甲乙兩隊(duì)進(jìn)入最后的決賽，根據(jù)前期比賽的數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)，甲隊(duì)明星隊(duì)員對(duì)乙隊(duì)的每名隊(duì)員的勝率均為，甲隊(duì)其余4名隊(duì)員對(duì)乙隊(duì)每名隊(duì)員的勝率均為.（注：比賽結(jié)果沒有平局）（1）求甲隊(duì)明星隊(duì)員在前四局比賽中不出場的前提下，甲乙兩隊(duì)比賽4局，甲隊(duì)最終獲勝的概率；（2）求甲乙兩隊(duì)比賽3局，甲隊(duì)獲得最終勝利的概率；（3）若已知甲乙兩隊(duì)比賽3局，甲隊(duì)獲得最終勝利，求甲隊(duì)明星隊(duì)員上場的概率.【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）事件“甲乙兩隊(duì)比賽4局甲隊(duì)最終獲勝”，事件“甲隊(duì)第局獲勝”，利用互斥事件的概率求法求概率即可；（2）討論上場或不上場兩種情況，應(yīng)用全概率公式求甲隊(duì)獲得最終勝利的概率；（3）利用貝葉斯公式求甲隊(duì)明星隊(duì)員上場的概率.【小問1詳解】事件“甲乙兩隊(duì)比賽4局甲隊(duì)最終獲勝”，事件“甲隊(duì)第局獲勝”，其中相互獨(dú)立又甲隊(duì)明星隊(duì)員前四局不出場，故，，所以.【小問2詳解】設(shè)為甲3局獲得最終勝利，為前3局甲隊(duì)明星隊(duì)員上場比賽，由全概率公式知，，因?yàn)槊棵?duì)員上場順序隨機(jī)，故，，所以.【小問3詳解】由（2），.21.已知雙曲線，四點(diǎn)，，，中恰有三點(diǎn)在雙曲線上.（1）求的方程；（2）設(shè)直線不經(jīng)過點(diǎn)且與相交于兩點(diǎn)，若直線與直線的斜率的和為證明：過定點(diǎn).【答案】（1）（2）證明見解析【解析】【分析】（1）根據(jù)題意代入相應(yīng)的點(diǎn)運(yùn)算求解即可；（2）設(shè)直線方程以及的坐標(biāo)，再根據(jù)題意結(jié)合韋達(dá)定理運(yùn)算求解.【小問1詳解】易知雙曲線關(guān)于軸對(duì)稱，，關(guān)于軸對(duì)稱，故，都在雙曲線上，若，，在雙曲線上，則，解得，不滿足；若，，在雙曲線上，則，解得，滿足；綜上所述：雙曲線的方程為.【小問2詳解】設(shè)直線與直線的斜率分別為，如果直線斜率不存在，則，不符合題設(shè)，設(shè)直線：，，，，聯(lián)立，整理得，，化簡得：.則，，則，整理得，即，化簡得：，解得或，當(dāng)時(shí)，直線的方程為，令時(shí)，，所以直線過定點(diǎn)，又因?yàn)橹本€不經(jīng)過點(diǎn)，不合題意；當(dāng)時(shí)，直線的方程為，當(dāng)時(shí)，，所以直線過定點(diǎn)；綜上所述：過定點(diǎn).【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：過定點(diǎn)問題的兩大類型及解法（1）動(dòng)直線l過定點(diǎn)問題．解法：設(shè)動(dòng)直線方程(斜率存在)為，由題設(shè)條件將t用k表示為，得，故動(dòng)直線過定點(diǎn)；（2）動(dòng)曲線C過定點(diǎn)問題．解法：引入?yún)⒆兞拷⑶€C的方程，再根據(jù)其對(duì)參變量恒成立，令其系數(shù)等于零，得出定點(diǎn)．22.已知函數(shù)．（1）若在區(qū)間上單調(diào)遞增，求a的取值范圍；（2）證明：，【答案】（1）（2）證明見解析【解析】【分析】（1）直接求導(dǎo)，討論和時(shí)函數(shù)的單調(diào)性即可求解；（2