湖南省長沙市寧鄉(xiāng)市2022-2023學(xué)年高二下學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題（教師版）

2023年上學(xué)期高二期末考試數(shù)學(xué)試題考試時(shí)量：120分鐘分值：150分一、單選題（本大題共8小題，共40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)是符合題目要求的．）1.記復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)為，則在復(fù)平面內(nèi)所對應(yīng)的點(diǎn)在（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】D【解析】【分析】首先根據(jù)復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘法化簡復(fù)數(shù)，即可得到其共軛復(fù)數(shù)，再根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義判斷即可；【詳解】解：因?yàn)椋?，則在復(fù)平面內(nèi)所對應(yīng)的點(diǎn)為，位于第四象限；故選：D2.在含有3個(gè)白球，2個(gè)黑球（它們除顏色外，其余均相同）的箱子里不放回地抽取2個(gè)球，恰好一個(gè)為黑球的概率為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)古典概型概率計(jì)算公式，可以利用組合數(shù)進(jìn)行運(yùn)算求解，也可以利用列舉法運(yùn)算求解．【詳解】根據(jù)題意：方法一：“恰好一個(gè)為黑球”的概率為方法二：設(shè)三個(gè)白球?yàn)?，兩個(gè)黑球?yàn)椋环呕氐爻槿?個(gè)球，則有：，共10個(gè)基本事件“恰好一個(gè)為黑球”包含：，共6個(gè)基本事件，其概率為故選：C．3.的展開式中的系數(shù)為（）A.240 B. C.120 D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式求解即可【詳解】展開式的通項(xiàng)，由，可得.∴含項(xiàng)的系數(shù)為.故選：A.4.隨機(jī)變量X的分布列如表，則的值為（）X123P0.2A0.4A.4.4 B.7.4 C.21.2 D.22.2【答案】B【解析】【分析】根據(jù)期望公式求，然后由期望性質(zhì)可得.【詳解】由得，所以，所以.故選：B5.已知正四棱錐的底面邊長和側(cè)棱長都為2，則該四棱錐的表面積為（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)給定條件，求出正四棱錐的底面及各側(cè)面面積計(jì)算作答.【詳解】依題意，正四棱錐的底面正方形面積為4，四個(gè)側(cè)面是全等的正三角形，每個(gè)正三角形面積為，所以四棱錐的表面積為.故選：C6.已知，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用弦化切可求得所求代數(shù)式的值.【詳解】因?yàn)?，則.故選：B.7.山東煙臺(tái)蘋果因“果形端正、色澤艷麗、果肉甜脆、香氣濃郁”享譽(yù)國內(nèi)外．據(jù)統(tǒng)計(jì)，煙臺(tái)蘋果（把蘋果近似看成球體）的直徑X（單位：mm）服從正態(tài)分布，則估計(jì)蘋果直徑在內(nèi)的概率為（）（附：若，則，．）A.0.6827 B.0.8413 C.0.9545 D.0.8186【答案】D【解析】【分析】根據(jù)正態(tài)分布的對稱性求解可得.【詳解】由知，，所以.故選：D8.已知的值域?yàn)?，則x的取值范圍可以為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】令，根據(jù)值域解不等式組可得t的范圍，然后解指數(shù)不等式可得.【詳解】令，則，由題知，，解得或，即或，解得或.故選：D二、多選題（本大題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對的得5分，部分選對得2分，有選錯(cuò)的得0分．）9.某種產(chǎn)品的價(jià)格（單位：元）與需求量（單位：）之間的對應(yīng)數(shù)據(jù)如下表所示：數(shù)據(jù)表中的數(shù)據(jù)可得回歸直線方程為，則以下結(jié)論正確的是（）A.變量與呈負(fù)相關(guān)B.回歸直線經(jīng)過點(diǎn)C.D.該產(chǎn)品價(jià)格為元時(shí)，日需求量大約為【答案】ABC【解析】【分析】根據(jù)線性回歸方程經(jīng)過樣本中心，可解得，可判斷A,B,C.由回歸方程做預(yù)測，即可判斷D.【詳解】，，∴回歸直線經(jīng)過點(diǎn)，B正確，將，代入得，∴變量與呈負(fù)相關(guān)，A、C正確，當(dāng)產(chǎn)品價(jià)格為元時(shí)，代入得，∴日需求量大約為，D錯(cuò)誤，故選:ABC．10.在中，下列命題正確的是（）A.若，則B.若，則定為等腰三角形C.若，則定為直角三角形D.若三角形的三邊的比是，則此三角形的最大角為鈍角【答案】ACD【解析】【分析】選項(xiàng)，由三角形邊角關(guān)系和正弦定理，可判斷為正確；選項(xiàng)，由三角函數(shù)確定角的關(guān)系，要結(jié)合角范圍，所以錯(cuò)誤；選項(xiàng)，用正弦定理邊化角，再將代入展開，整理可得，所以正確；選項(xiàng)，用余弦定理求出最大邊所對的角，判斷正確.【詳解】在中，若，則，因此，A正確；若，則或，即或，所以為等腰三角形或直角三角形，B錯(cuò)誤；若，則，所以，即，，所以定為直角三角形，C正確；三角形的三邊的比是，設(shè)最大邊所對的角為，則，因?yàn)椋?，D正確.故選:ACD【點(diǎn)睛】本題考查正弦定理和余弦定理解三角形，以及判斷三角形的形狀，注意角的范圍及三角形內(nèi)角和等于，屬于中檔題.11.二次函數(shù)的圖象如圖所示，則下列結(jié)論中正確的是（）A. B. C. D.【答案】ACD【解析】【分析】由二次函數(shù)性質(zhì)對選項(xiàng)逐一判斷【詳解】由題意得，對稱軸，則，故A正確，當(dāng)時(shí)，，則，故C正確，當(dāng)時(shí)，，則，故D正確，當(dāng)時(shí)，，故B錯(cuò)誤，故選：ACD12.已知函數(shù)的值域?yàn)榧螦，函數(shù)的定義域?yàn)锽，則下列說法正確的是（）A.或B.C.“是“的充分不必要條件D.函數(shù)的增區(qū)間是【答案】BD【解析】【分析】根據(jù)指數(shù)型函數(shù)值域即可得到即可，根據(jù)對數(shù)型函數(shù)定義即可得到，根據(jù)交并集含義即可判斷AB，根據(jù)充分不必要條件的判定即可判斷C，根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性即可判斷D.【詳解】，則，則，則，由題意得，解得或，則，則，故A錯(cuò)誤；，故B正確；，其中一個(gè)元素0在集合中找不到，故C錯(cuò)誤；設(shè)，則在上單調(diào)遞增，且，而在上單調(diào)遞增，則根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性得在上單調(diào)遞增，則其增區(qū)間為，故D正確，故選：BD.三、填空題（本大題共4個(gè)小題，每小題5分，共20分．）13.已知，，且，則的最小值為________．【答案】##【解析】【分析】妙用“1”，展開使用基本不等式可得.【詳解】因?yàn)?，所以?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立.所以的最小值為.故答案為：14.為了貫徹落實(shí)黨史學(xué)習(xí)教育成果，某校名師“學(xué)史力行”送教井岡山中學(xué)．現(xiàn)有理科語文?數(shù)學(xué)?英語?物理?化學(xué)?生物6名理科老師要安排在該中學(xué)理科1到6班上一節(jié)公開示范課，每個(gè)班級(jí)只安排一名老師上課且每個(gè)老師只在一個(gè)班上一節(jié)課，要求數(shù)學(xué)老師不能安排在1班，化學(xué)老師不能安排在6班，則不同的安排上課的方法數(shù)為__________．【答案】504【解析】分析】根據(jù)排列計(jì)算公式，結(jié)合特殊元素法求解排列數(shù)即可得出答案.【詳解】根據(jù)計(jì)數(shù)原理可以將事情分成兩類：化學(xué)老師安排在1班和化學(xué)老師不安排在1班.①化學(xué)老師排在1班，先排1班，有1種方法，其余5個(gè)班的老師做全排列共有種方法；②化學(xué)老師不在1班，先排1班，有4種方法，再排6班有4種方法，余下4個(gè)班有種方法，所以共有：種方法.所以不同的安排上課的方法數(shù)為.故答案為：504.15.已知函數(shù)為偶函數(shù)，則__________．【答案】【解析】【分析】令時(shí)，則，由偶函數(shù)的定義可得出，可得出、的值，進(jìn)而可得出的值.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)為偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，，所以，，，故.故答案為：.16.記，則__________．【答案】【解析】【分析】令，則，利用二項(xiàng)展開式通項(xiàng)可求出的值，然后令，可求得的值.【詳解】令，則，所以，的展開式通項(xiàng)為，所以，，在等式中，令，可得，因此，.故答案為：.四、解答題（本大題共6個(gè)小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步）17.化簡與計(jì)算：．【答案】【解析】【分析】利用指數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)、對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)化簡可得所求代數(shù)式的值.【詳解】解：原式.18.在中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且．（1）求角A；（2）若，，求a，c．【答案】（1）；（2），.【解析】【分析】（1）利用三角恒等變換化簡即得解；（2）求出再利用正弦定理得解.【小問1詳解】解：因?yàn)?，所以．由正弦定理得，所以，所以，即．因，所以，因?yàn)?，所以．【小?詳解】解：若，，則．則．由正弦定理，得，解得，．19.常言說“病從口入”，其實(shí)手才是罪魁禍?zhǔn)?，它?dān)任了病菌與口之間的運(yùn)輸工具.洗手是預(yù)防傳染病最簡便有效的措施之一，保持手的清潔衛(wèi)生可以有效降低感染新型冠狀病毒的風(fēng)險(xiǎn).正確的洗手應(yīng)遵循“七步洗手法”，精簡為一句話就是“內(nèi)外夾弓大立腕”，每一個(gè)字代表一個(gè)步驟.某學(xué)校在開學(xué)復(fù)課前為了解學(xué)生對“七步洗手法”的掌握程度，隨機(jī)抽取100名學(xué)生進(jìn)行網(wǎng)上測試，滿分10分，具體得分情況的頻數(shù)分布表如下：得分45678910女生2914131154男生357111042（1）現(xiàn)以7分為界限，將學(xué)生對“七步洗手法”的掌握程度分為兩類，得分低于7分的學(xué)生為“未能掌握”，得分不低于7分的學(xué)生為“基本掌握”.完成下面列聯(lián)表，并判斷可否認(rèn)為學(xué)生對“七步洗手法”的掌握程度與性別有關(guān)，且犯錯(cuò)誤的概率不大于0.05？未能掌握基本掌握合計(jì)女生男生合計(jì)（2）從參與網(wǎng)上測試且得分不低于9分的學(xué)生中，按照性別以分層抽樣的方法抽取10名同學(xué)，在10人中隨機(jī)抽取3人，記抽到女生的人數(shù)為X，求X的分布列與期望.附：，.臨界值表：0.150.100.050.0250.0100.0050.001k2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828【答案】（1）列聯(lián)表答案見解析，沒有足夠證據(jù)認(rèn)為學(xué)生對“七步洗手法”的掌握程度與性別有關(guān)（2）分布列答案見解析，數(shù)學(xué)期望【解析】【分析】（1）根據(jù)已知數(shù)據(jù)，結(jié)合題意，完成列聯(lián)表，再求，即可判斷；（2）根據(jù)分層抽樣的特點(diǎn)求得抽取10人中，女生和男生的分布情況，再結(jié)合X的取值，結(jié)合超幾何分布的概率求解求得分布列，再求數(shù)學(xué)期望即可.【小問1詳解】由得分情況的頻數(shù)分布表得列聯(lián)表如下：未能掌握基本掌握合計(jì)女生253358男生152742合計(jì)4060100故，因?yàn)椋詻]有足夠證據(jù)認(rèn)為學(xué)生對“七步洗手法”的掌握程度與性別有關(guān).【小問2詳解】由得分情況的頻數(shù)分布表可知，參與網(wǎng)上測試且得分不低于9分的學(xué)生中，女生9人，男生6人，從而分層抽樣抽取的10人中，女生6人，男生4人.在10人中隨機(jī)抽取3人，記抽到女生的人數(shù)為X，則X的可能取值為0，1，2，3，所以，，，，所以隨機(jī)變量X的分布列為X0123P所以.20.如圖，四棱錐中，底面是梯形，，，是等邊三角形，是棱的中點(diǎn)，，．（1）證明：平面；（2）求直線與平面所成角正弦值．【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）可證得四邊形為平行四邊形，由此可得，利用勾股定理證得；由等腰三角形三線合一性質(zhì)可得；根據(jù)線面垂直的判定定理可得結(jié)論；（2）以為坐標(biāo)原點(diǎn)可建立空間直角坐標(biāo)系，利用線面角的向量求法可求得結(jié)果.【小問1詳解】等邊三角形，，為中點(diǎn)，且；，，四邊形為平行四邊形，，又，，，又，平面，平面.【小問2詳解】，四邊形為平行四邊形，，則以為坐標(biāo)原點(diǎn)，正方向?yàn)檩S，可建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，，設(shè)平面的法向量，，令，解得：，，，，即直線與平面所成角的正弦值為.21.已知函數(shù).（1）求的對稱中心；（2）求的最小正周期和單調(diào)遞增區(qū)間；（3）若，求的最小值及取得最小值時(shí)對應(yīng)的x的取值.【答案】（1）（）（2）最小正周期為；（3），【解析】【分析】（1）利用三角恒等變換和輔助角公式化簡，再求對稱中心即可求解；（2）利用整體代換法可得周期和單調(diào)區(qū)間；（3）根據(jù)的范圍利用整體代換法求出最小值及取得最小值時(shí)對應(yīng)的x的取值即可.【小問1詳解】，由得，，所以對稱中心（）；【小問2詳解】，∵∴∴的最小正周期為，由，，得：，，∴單調(diào)遞增區(qū)間為；【小問3詳解】，∵，∴，∴，∴，即：，此時(shí).∴，.22.已知定義在上的函數(shù)滿足:①對任意的,都有;②當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),成立.（1）求;（2）用定義證明的單調(diào)性;（3）若對使得不等式恒成立,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.【