2024屆上海普陀區(qū)高三一模數(shù)學(xué)試卷和答案

高中PAGE1高中2024屆上海普陀區(qū)高三一模數(shù)學(xué)試卷一、填空題（本大題共有12題，滿分54分）1.若拋物線的頂點(diǎn)到它的準(zhǔn)線距離為，則正尖數(shù)______.2.設(shè)為虛數(shù)單位，若復(fù)數(shù)滿足.則______.3.若圓上的一段圓弧長與該圓的內(nèi)揬正六邊形的邊長相等，則這段圓弧所對的圓心角的大小為______.4.設(shè)是等差數(shù)列的前項(xiàng)和（，），若，則______.5.設(shè)，若.則______.6.若函數(shù)在區(qū)間上星嚴(yán)格增函數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為______.7.設(shè)集合，，若的真子集的個數(shù)是1，則正實(shí)數(shù)的取值范圍為______.8.設(shè)圓錐的底面中心為，，是它的兩條母線，且，若棱錐是正三棱錐，則該圓錐的側(cè)面積為______.9.若數(shù)列滿足，（，），則的最小值是______.10.設(shè)函數(shù)（）的圖像與直線相交的連續(xù)的三個公共點(diǎn)從左到右依次記為，，，若，則正實(shí)數(shù)的值為______.11.設(shè)函數(shù)，若對任意，皆有成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是______.12.體積為的正四面體內(nèi)有一個球，球與該正四面體的各面均有且只有一個公共點(diǎn)，，是球的表面上的兩動點(diǎn)，點(diǎn)在該正四面體的表面上運(yùn)動，當(dāng)最大時，的最大值是______.二、選擇題（本大題共有4小題，滿分18分）13.若橢圓的兩個頂點(diǎn)和焦點(diǎn)都在圓：上，如圖所示，則下列結(jié)論正確的是（）A.橢圓的方程是B.過橢圓上的點(diǎn)作圓的切線，一定有兩條C.圓上的點(diǎn)與橢圓上的點(diǎn)的距離的最大值是D.直線與橢圓有交點(diǎn)，與圓無交點(diǎn)14.在中，角，，所對的邊分別為，，，若，且，則該三角形外接圓的半徑為（）A.1 B. C.2 D.15.已知一組數(shù)據(jù)3、1、5、3、2，現(xiàn)加入，兩數(shù)對該組數(shù)據(jù)進(jìn)行處理，若經(jīng)過處理后的這組數(shù)據(jù)的極差為，則經(jīng)過處理后的這組數(shù)據(jù)與之前的那組數(shù)據(jù)相比，一定會變大的數(shù)字特征是（）A.平均數(shù) B.方差 C.眾數(shù) D.中位數(shù)16.已知函數(shù)，若函數(shù)在內(nèi)有且僅有兩個零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B.C. D.三、解答題（本大題共有5題，滿分78分）17、（本題滿分14分）本題共有2個小題，第1小題滿分6分，第2小題滿分8分.我國隨著人口老齡化程度的加劇，勞動力人口在不斷減少，“延遲退休”已成為公眾關(guān)注的熱點(diǎn)話題之一，為了了解公眾對“延遲退休”的態(tài)度，某研究機(jī)構(gòu)對屬地所在的一社區(qū)進(jìn)行了調(diào)查，并將隨機(jī)抽取的50名被調(diào)查者的年齡制成如圖所示的莖葉圖.（1）經(jīng)統(tǒng)計發(fā)現(xiàn)，投贊成票的人均年齡恰好是這50人年齡的第60百分位數(shù)，求此百分位數(shù)；（2）經(jīng)統(tǒng)計年齡在的被調(diào)查者中，投故成票的男性有3人，女性有2人，現(xiàn)從該組被調(diào)查者中隨機(jī)選取男女各2人進(jìn)行跟蹤調(diào)查，求被選中的4人中至少有3人投贊成票的概率（結(jié)果用最簡分?jǐn)?shù)表示）18、（本題滿分14分）本題共有2個小題，第1小題滿分6分，第2小題滿分8分.圖1所示的是等腰梯形，，，，于點(diǎn)，現(xiàn)將沿直線折起到的位置，形成一個四棱錐，如圖2所示.圖1圖2（1）若，求證：平面；（2）若直線與平面所成的角為，求二面角的大小.19、（本題滿分14分）本題共有2個小題，第1小題滿分6分，第2小題滿分8分.設(shè)函數(shù)的表達(dá)式為.（1）求證：“”是“函數(shù)為偶函數(shù)”的充要條件；（2）若，且，求實(shí)數(shù)的取值范圍.20、（本題滿分18分）本題共有3個小題，第1小題滿分4分，第2小題滿分6分，第3小題滿分8分.設(shè)雙曲線：（），點(diǎn)是的左焦點(diǎn)，點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn).（1）若的離心率為，求雙曲線的焦距；（2）過點(diǎn)且一個法向量為的直線與的一條漸近線相交于點(diǎn)，若，求雙曲線的方程；（3）若，直線：（，）與交于，兩點(diǎn)，，求直線的斜率的取值范圍.21、（本題滿分18分）本題共有2個小題，第1小題滿分4分，第2小題滿分6分，第3小題滿分8分.若存在常數(shù)，使得數(shù)列滿足（，），則稱數(shù)列為“數(shù)列”.（1）判斷數(shù)列：1，2，3，8，49是否為“數(shù)列”，并說明理由；（2）若數(shù)列是首項(xiàng)為2的“數(shù)列”，數(shù)列是等比數(shù)列，且與滿足，求的值和數(shù)列的通項(xiàng)公式；（3）若數(shù)列是“數(shù)列”，為數(shù)列的前項(xiàng)和，，，試比較與的大小，并證明.普陀區(qū)2023-2024學(xué)年第一學(xué)期高三數(shù)學(xué)質(zhì)量調(diào)研評分標(biāo)準(zhǔn)（參考）一、填空題123456789101112二、選擇題13141516三、解答題17.（1）由條件得，指數(shù)，則這人年齡的第百分位數(shù)是將他們的年齡按從小到大的順序排列后的第人與第人的年齡平均值，由莖葉圖可知，第人的年齡為，第人的年齡為，………………4分則所求的第百分位數(shù)是.………………6分（2）由莖葉圖可知，年齡在的被調(diào)查者共人，其中名男性，名女性，令為至少有三人投贊成票，依題意得，被選中的人中有兩名女性一名男性投贊成票的概率是,…………2分被選中的人中有一名女性兩名男性投贊成票的概率是，…………4分被選中的人中有兩名女性兩名男性投贊成票的概率是，……………6分則被選中的人中至少有人投贊成票的概率為.…………8分18.（1）證明：由圖1的等腰梯形可得，，，，在圖2中，即有，，，又，則，即，………2分又，，則平面，………4分即，又，,則平面.………6分（2）由條件得，，，,則平面，又平面,則平面平面，過點(diǎn)作交于點(diǎn)，又平面平面，則平面，則為直線與平面所成的角，即為，在中，，，………3分過點(diǎn)作交于點(diǎn)，連接,又平面，由三垂線定理得，，又平面平面，則是二面角的平面角，………5分在中，，在中，，則所求的二面角的大小為.（或，或）………………8分19.（1）先證充分性當(dāng)時，，定義域?yàn)殛P(guān)于原點(diǎn)對稱，則，即函數(shù)為偶函數(shù).…………2分再證必要性當(dāng)函數(shù)為偶函數(shù)時，即，則，即對恒成立，則，即.……………4分綜上所述，“”是“函數(shù)為偶函數(shù)”的充要條件.…………6分（2）解：若，即，則，當(dāng)時，，，則，即函數(shù)在上是嚴(yán)格增函數(shù)，當(dāng)時，，，則，即函數(shù)在上是嚴(yán)格減函數(shù).…………4分由（1）知，函數(shù)為上的偶函數(shù)，若，則，……6分即，即或，則實(shí)數(shù)的取值范圍是.……8分20.（1）由離心率為得，，又，即，……………3分則焦距為.……………4分（2）由條件得直線的方程為，它與漸近線交于點(diǎn)，……………1分聯(lián)立，解得，即點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，……3分則，即，則所求的雙曲線的方程為.……………4分另一種情況，與漸近線交于點(diǎn)，得出關(guān)于的方程，在時，方程有一解，近似值為……………6分.（3）設(shè)，，由得，，又，則.……………2分因?yàn)橛?，，則，整理得，，則.……………4分聯(lián)立得，，整理得，，即，則或，又，即或，則的取值范圍為.……………8分21.解：（1）不是“數(shù)列”.因?yàn)椋圆皇恰皵?shù)列”.……………4分（2）由得，，兩式相減得，，……………2分又?jǐn)?shù)列是“數(shù)列”，即，則，即對，皆成立，又?jǐn)?shù)列是等比數(shù)列，即是常數(shù)，則，即，，……………4分又，，則，即，則所求的值是，數(shù)列的通項(xiàng)公式為.……………6分（