備戰(zhàn)高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第五章 平面向量、復(fù)數(shù)

第五章eq\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(,,,,,,,,))平面向量、復(fù)數(shù)第一節(jié)平面向量的概念及線性運(yùn)算eq\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(1.了解向量的實(shí)際背景.理解平面向量的概念，兩個向量相等的含義及向量的幾何表示.,2.掌握向量加法、減法的運(yùn)算，并理解其幾何意義.,3.掌握向量數(shù)乘的運(yùn)算及其幾何意義，理解兩個向量共線的含義.,4.了解向量線性運(yùn)算的性質(zhì)及其幾何意義.))1．向量的有關(guān)概念名稱定義備注向量既有大小又有方向的量；向量的大小叫做向量的長度(或稱模)平面向量是自由向量零向量長度為0的向量；其方向是任意的記作0單位向量長度等于1個單位的向量非零向量a的單位向量為±eq\f(a,|a|)平行向量方向相同或相反的非零向量(又叫做共線向量)0與任一向量平行或共線相等向量長度相等且方向相同的向量兩向量只有相等或不等，不能比較大小相反向量長度相等且方向相反的向量0的相反向量為02.向量的線性運(yùn)算向量運(yùn)算定義法則(或幾何意義)運(yùn)算律加法求兩個向量和的運(yùn)算(1)交換律：a＋b＝b＋a；(2)結(jié)合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)減法求a與b的相反向量－b的和的運(yùn)算a－b＝a＋(－b)數(shù)乘求實(shí)數(shù)λ與向量a的積的運(yùn)算(1)|λa|＝|λ||a|；(2)當(dāng)λ＞0時，λa的方向與a的方向相同；當(dāng)λ＜0時，λa的方向與a的方向相反；當(dāng)λ＝0時，λa＝0λ(μa)＝(λμ)a；(λ＋μ)a＝λa＋μa；λ(a＋b)＝λa＋λb3．共線向量定理向量a(a≠0)與b共線的充要條件是存在唯一一個實(shí)數(shù)λ，使得b＝λa.(1)設(shè)P為線段AB的中點(diǎn)，O為平面內(nèi)任一點(diǎn)，則eq\o(OP,\s\up6(―→))＝eq\f(1,2)(eq\o(OA,\s\up6(―→))＋eq\o(OB,\s\up6(―→)))．(2)O為△ABC重心的充要條件為eq\o(OA,\s\up6(―→))＋eq\o(OB,\s\up6(―→))＋eq\o(OC,\s\up6(―→))＝0.(3)在四邊形ABCD中，若E為AD的中點(diǎn)，F(xiàn)為BC的中點(diǎn)，則eq\o(AB,\s\up6(―→))＋eq\o(DC,\s\up6(―→))＝2eq\o(EF,\s\up6(―→)).(4)eq\o(OA,\s\up6(―→))＝λeq\o(OB,\s\up6(―→))＋μeq\o(OC,\s\up6(―→))(λ，μ為實(shí)數(shù))，若點(diǎn)A，B，C三點(diǎn)共線，則λ＋μ＝1.(5)解決向量的概念問題要注意兩點(diǎn)：一是不僅要考慮向量的大小，更重要的是要考慮向量的方向；二是考慮零向量是否也滿足條件．要特別注意零向量的特殊性．1.如圖，點(diǎn)O是正六邊形ABCDEF的中心，圖中與eq\o(CA,\s\up6(―→))共線的向量有()A．1個 B．2個C．3個 D．4個答案：C2．下列各式不能化簡為eq\o(PQ,\s\up6(―→))的是()A.eq\o(AB,\s\up6(―→))＋(eq\o(PA,\s\up6(―→))＋eq\o(BQ,\s\up6(―→))) B．(eq\o(AB,\s\up6(―→))＋eq\o(PC,\s\up6(―→)))＋(eq\o(BA,\s\up6(―→))－eq\o(QC,\s\up6(―→)))C.eq\o(QC,\s\up6(―→))－eq\o(QP,\s\up6(―→))＋eq\o(CQ,\s\up6(―→)) D．eq\o(PA,\s\up6(―→))＋eq\o(AB,\s\up6(―→))－eq\o(BQ,\s\up6(―→))答案：D3．在△ABC中，D是AB邊上的中點(diǎn)，則eq\o(CB,\s\up6(―→))＝()A．2eq\o(CD,\s\up6(―→))＋eq\o(CA,\s\up6(―→)) B．eq\o(CD,\s\up6(―→))－2eq\o(CA,\s\up6(―→))C．2eq\o(CD,\s\up6(―→))－eq\o(CA,\s\up6(―→)) D．eq\o(CD,\s\up6(―→))＋2eq\o(CA,\s\up6(―→))答案：C4．若菱形ABCD的邊長為2，則|eq\o(AB,\s\up6(―→))－eq\o(CB,\s\up6(―→))＋eq\o(CD,\s\up6(―→))|＝________.解析：|eq\o(AB,\s\up6(―→))－eq\o(CB,\s\up6(―→))＋eq\o(CD,\s\up6(―→))|＝|eq\o(AB,\s\up6(―→))＋eq\o(BC,\s\up6(―→))＋eq\o(CD,\s\up6(―→))|＝|eq\o(AD,\s\up6(―→))|＝2.答案：25．已知a與b是兩個不共線向量，且向量a＋λb與－(b－3a)共線，則λ＝________.解析：由題意知存在k∈R，使得a＋λb＝k[－(b－3a)]，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(λ＝－k，,1＝3k，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(k＝\f(1,3)，,λ＝－\f(1,3).))答案：－eq\f(1,3)層級一/基礎(chǔ)點(diǎn)——自練通關(guān)(省時間)基礎(chǔ)點(diǎn)平面向量的概念[題點(diǎn)全訓(xùn)]1．給出下列說法：①兩個有共同起點(diǎn)的相等向量，其終點(diǎn)必相同；②兩個有共同終點(diǎn)的向量，一定是共線向量；③非零向量eq\o(AB,\s\up6(―→))與非零向量eq\o(CD,\s\up6(―→))是共線向量，則點(diǎn)A，B，C，D必在同一條直線上；④有向線段就是向量，向量就是有向線段．其中錯誤說法的個數(shù)是()A．1 B．2C．3 D．4解析：選C對于①，相等向量是大小相等，方向相同的向量，故兩個有共同起點(diǎn)的相等向量，其終點(diǎn)必相同，故①正確；對于②，共線向量是指方向相同或相反的向量，兩個有共同終點(diǎn)的向量，其方向可能既不相同也不相反，故②錯誤；對于③，共線向量是指方向相同或相反的向量，向量eq\o(AB,\s\up6(―→))與向量eq\o(CD,\s\up6(―→))是共線向量，則線段AB和CD平行或共線，故③錯誤；對于④，有向線段是向量的表示形式，不能等同于向量，故④錯誤.4個說法中有3個錯誤，故選C.2．給出下列四個命題：①eq\o(AB,\s\up6(―→))∥eq\o(CD,\s\up6(―→))，就是eq\o(AB,\s\up6(―→))所在的直線與eq\o(CD,\s\up6(―→))所在的直線平行；②若A，B，C，D是不共線的四點(diǎn)，則“eq\o(AB,\s\up6(―→))＝eq\o(DC,\s\up6(―→))”是“四邊形ABCD為平行四邊形”的充要條件；③若a＝b，b＝c，則a＝c；④a＝b的充要條件是|a|＝|b|且a∥b.其中正確命題的序號是()A．②③ B．①②C．③④ D．②④解析：選A①不正確.eq\o(AB,\s\up6(―→))所在的直線與eq\o(CD,\s\up6(―→))所在的直線可能重合；②正確．∵eq\o(AB,\s\up6(―→))＝eq\o(DC,\s\up6(―→))，∴|eq\o(AB,\s\up6(―→))|＝|eq\o(DC,\s\up6(―→))|且eq\o(AB,\s\up6(―→))∥eq\o(DC,\s\up6(―→))，又A，B，C，D是不共線的四點(diǎn)，∴四邊形ABCD為平行四邊形；反之，若四邊形ABCD為平行四邊形，則|eq\o(AB,\s\up6(―→))|＝|eq\o(DC,\s\up6(―→))|，eq\o(AB,\s\up6(―→))∥eq\o(DC,\s\up6(―→))且eq\o(AB,\s\up6(―→))，eq\o(DC,\s\up6(―→))方向相同，因此eq\o(AB,\s\up6(―→))＝eq\o(DC,\s\up6(―→))；③正確．∵a＝b，∴a，b的長度相等且方向相同，又b＝c，∴b，c的長度相等且方向相同，∴a，c的長度相等且方向相同，故a＝c；④不正確．當(dāng)a∥b且方向相反時，即使|a|＝|b|，也不能得到a＝b，故|a|＝|b|且a∥b不是a＝b的充要條件，而是必要不充分條件．綜上所述，正確命題的序號是②③，故選A.3.如圖，等腰梯形ABCD中，對角線AC與BD交于點(diǎn)P，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在兩腰AD，BC上，EF過點(diǎn)P，且EF∥AB，則下列等式中成立的是()A.eq\o(AD,\s\up6(―→))＝eq\o(BC,\s\up6(―→)) B．eq\o(AC,\s\up6(―→))＝eq\o(BD,\s\up6(―→))C.eq\o(PE,\s\up6(―→))＝eq\o(PF,\s\up6(―→)) D．eq\o(EP,\s\up6(―→))＝eq\o(PF,\s\up6(―→))解析：選D根據(jù)相等向量的定義，分析可得eq\o(AD,\s\up6(―→))與eq\o(BC,\s\up6(―→))不平行，eq\o(AC,\s\up6(―→))與eq\o(BD,\s\up6(―→))不平行，所以選項A、B均錯誤，eq\o(PE,\s\up6(―→))與eq\o(PF,\s\up6(―→))平行，但方向相反，故不相等，只有eq\o(EP,\s\up6(―→))與eq\o(PF,\s\up6(―→))方向相同，且長度都等于線段EF長度的一半，所以eq\o(EP,\s\up6(―→))＝eq\o(PF,\s\up6(―→)).[一“點(diǎn)”就過](1)相等向量具有傳遞性，非零向量的平行也具有傳遞性．(2)共線向量即平行向量，它們均與起點(diǎn)無關(guān)．(3)向量可以平移，平移后的向量與原向量是相等向量．解題時，不要把它與函數(shù)圖象移動混為一談．(4)非零向量a與eq\f(a,|a|)的關(guān)系：eq\f(a,|a|)是a方向上的單位向量．層級二/重難點(diǎn)——逐一精研(補(bǔ)欠缺)重難點(diǎn)(一)平面向量的線性運(yùn)算[典例](1)如圖，在△ABC中，點(diǎn)M為AC的中點(diǎn)，點(diǎn)N在AB上，eq\o(AN,\s\up6(―→))＝3eq\o(NB,\s\up6(―→))，點(diǎn)P在MN上，eq\o(MP,\s\up6(―→))＝2eq\o(PN,\s\up6(―→))，那么eq\o(AP,\s\up6(―→))＝()A.eq\f(2,3)eq\o(AB,\s\up6(―→))－eq\f(1,6)eq\o(AC,\s\up6(―→)) B．eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(―→))－eq\f(1,2)eq\o(AC,\s\up6(―→))C.eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(―→))－eq\f(1,6)eq\o(AC,\s\up6(―→)) D．eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(―→))＋eq\f(1,6)eq\o(AC,\s\up6(―→))(2)在△ABC中，AD為BC邊上的中線，E為AD的中點(diǎn)，若eq\o(EB,\s\up6(―→))＝meq\o(AB,\s\up6(―→))＋neq\o(AC,\s\up6(―→))，則eq\f(m,n)＝________.[解析](1)eq\o(AP,\s\up6(―→))＝eq\o(AM,\s\up6(―→))＋eq\o(MP,\s\up6(―→))＝eq\o(AM,\s\up6(―→))＋eq\f(2,3)eq\o(MN,\s\up6(―→))＝eq\o(AM,\s\up6(―→))＋eq\f(2,3)(eq\o(AN,\s\up6(―→))－eq\o(AM,\s\up6(―→)))＝eq\f(1,3)eq\o(AM,\s\up6(―→))＋eq\f(2,3)eq\o(AN,\s\up6(―→))＝eq\f(1,6)eq\o(AC,\s\up6(―→))＋eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(―→)).(2)由AD為BC邊上的中線，E為AD的中點(diǎn)，得eq\o(EB,\s\up6(―→))＝eq\o(EA,\s\up6(―→))＋eq\o(AB,\s\up6(―→))＝－eq\f(1,4)(eq\o(AB,\s\up6(―→))＋eq\o(AC,\s\up6(―→)))＋eq\o(AB,\s\up6(―→))＝eq\f(3,4)eq\o(AB,\s\up6(―→))－eq\f(1,4)eq\o(AC,\s\up6(―→))，所以m＝eq\f(3,4)，n＝－eq\f(1,4)，所以eq\f(m,n)＝－3.[答案](1)D(2)－3[方法技巧]向量線性運(yùn)算的解題策略(1)常用的法則是平行四邊形法則和三角形法則，一般共起點(diǎn)的向量求和用平行四邊形法則，求差用三角形法則，求首尾相連的向量的和用三角形法則．(2)找出圖形中的相等向量、共線向量，將所求向量與已知向量轉(zhuǎn)化到同一個平行四邊形或三角形中求解．(3)用幾個基本向量表示某個向量問題的基本技巧：①觀察各向量的位置；②尋找相應(yīng)的三角形或多邊形；③運(yùn)用法則找關(guān)系；④化簡結(jié)果．[針對訓(xùn)練]1．在△ABC中，滿足eq\o(CD,\s\up6(―→))＝eq\f(2,3)eq\o(CA,\s\up6(―→))＋eq\f(1,3)eq\o(CB,\s\up6(―→))，eq\o(CE,\s\up6(―→))＝eq\f(1,4)eq\o(CA,\s\up6(―→))－eq\f(3,4)eq\o(BC,\s\up6(―→))，則()A.eq\o(DE,\s\up6(―→))＝2eq\o(EB,\s\up6(―→)) B．eq\o(DE,\s\up6(―→))＝eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(―→))C.eq\o(AD,\s\up6(―→))＝eq\f(4,3)eq\o(EB,\s\up6(―→)) D．eq\o(AE,\s\up6(―→))＝eq\f(8,9)eq\o(DB,\s\up6(―→))解析：選C在△ABC中，滿足eq\o(CD,\s\up6(―→))＝eq\f(2,3)eq\o(CA,\s\up6(―→))＋eq\f(1,3)eq\o(CB,\s\up6(―→))，eq\o(CE,\s\up6(―→))＝eq\f(1,4)eq\o(CA,\s\up6(―→))－eq\f(3,4)eq\o(BC,\s\up6(―→))＝eq\f(1,4)eq\o(CA,\s\up6(―→))＋eq\f(3,4)eq\o(CB,\s\up6(―→))，eq\o(DE,\s\up6(―→))＝eq\o(CE,\s\up6(―→))－eq\o(CD,\s\up6(―→))＝eq\f(1,4)eq\o(CA,\s\up6(―→))＋eq\f(3,4)eq\o(CB,\s\up6(―→))－eq\f(2,3)eq\o(CA,\s\up6(―→))－eq\f(1,3)eq\o(CB,\s\up6(―→))＝－eq\f(5,12)eq\o(CA,\s\up6(―→))＋eq\f(5,12)eq\o(CB,\s\up6(―→))＝eq\f(5,12)eq\o(AB,\s\up6(―→))，B不正確；eq\o(EB,\s\up6(―→))＝eq\o(CB,\s\up6(―→))－eq\o(CE,\s\up6(―→))＝eq\o(CB,\s\up6(―→))－eq\f(1,4)eq\o(CA,\s\up6(―→))－eq\f(3,4)eq\o(CB,\s\up6(―→))＝eq\f(1,4)eq\o(AB,\s\up6(―→))，eq\o(DE,\s\up6(―→))＝eq\f(5,3)eq\o(EB,\s\up6(―→))，A不正確；eq\o(AD,\s\up6(―→))＝eq\o(CD,\s\up6(―→))－eq\o(CA,\s\up6(―→))＝eq\f(2,3)eq\o(CA,\s\up6(―→))＋eq\f(1,3)eq\o(CB,\s\up6(―→))－eq\o(CA,\s\up6(―→))＝eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(―→))＝eq\f(4,3)eq\o(EB,\s\up6(―→))，C正確；eq\o(AE,\s\up6(―→))＝eq\o(AB,\s\up6(―→))－eq\o(EB,\s\up6(―→))＝eq\f(3,4)eq\o(AB,\s\up6(―→))，eq\o(DB,\s\up6(―→))＝eq\o(AB,\s\up6(―→))－eq\o(AD,\s\up6(―→))＝eq\f(2,3)eq\o(AB,\s\up6(―→))，eq\o(AE,\s\up6(―→))＝eq\f(9,8)eq\o(DB,\s\up6(―→))，D不正確．2．已知平行四邊形ABCD中，AB＝CD＝3，BC＝DA＝2，邊AB，BC，CD，DA上的點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H分別使得eq\f(AE,EB)＝eq\f(BF,FC)＝eq\f(CG,GD)＝eq\f(DH,HA)＝2，則eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\o(AF,\s\up6(―→))＋\o(BG,\s\up6(―→))＋\o(CH,\s\up6(―→))＋\o(DE,\s\up6(―→))))＝()A．3 B．eq\r(5)C．2 D．0解析：選D由題意，得AB＝3EB，BC＝3FC，CD＝3GD，DA＝3HA.設(shè)eq\o(AB,\s\up6(―→))＝a，eq\o(AD,\s\up6(―→))＝b，則eq\o(AF,\s\up6(―→))＝eq\o(AB,\s\up6(―→))＋eq\o(BF,\s\up6(―→))＝a＋eq\f(2,3)b，eq\o(BG,\s\up6(―→))＝eq\o(BC,\s\up6(―→))＋eq\o(CG,\s\up6(―→))＝－eq\f(2,3)a＋b，eq\o(CH,\s\up6(―→))＝eq\o(CD,\s\up6(―→))＋eq\o(DH,\s\up6(―→))＝－a－eq\f(2,3)b，eq\o(DE,\s\up6(―→))＝eq\o(DA,\s\up6(―→))＋eq\o(AE,\s\up6(―→))＝eq\f(2,3)a－b，所以eq\o(AF,\s\up6(―→))＋eq\o(BG,\s\up6(―→))＋eq\o(CH,\s\up6(―→))＋eq\o(DE,\s\up6(―→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a＋\f(2,3)b))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,3)a＋b))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－a－\f(2,3)b))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)a－b))＝0，所以eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\o(AF,\s\up6(―→))＋\o(BG,\s\up6(―→))＋\o(CH,\s\up6(―→))＋\o(DE,\s\up6(―→))))＝0.重難點(diǎn)(二)共線向量定理及其應(yīng)用[典例]設(shè)兩個非零向量a與b不共線，(1)若eq\o(AB,\s\up6(―→))＝a＋b，eq\o(BC,\s\up6(―→))＝2a＋8b，eq\o(CD,\s\up6(―→))＝3a－3b，求證：A，B，D三點(diǎn)共線；(2)試確定實(shí)數(shù)k，使ka＋b和a＋kb同向．[解](1)證明：∵eq\o(AB,\s\up6(―→))＝a＋b，eq\o(BC,\s\up6(―→))＝2a＋8b，eq\o(CD,\s\up6(―→))＝3a－3b，∴eq\o(BD,\s\up6(―→))＝eq\o(BC,\s\up6(―→))＋eq\o(CD,\s\up6(―→))＝2a＋8b＋3a－3b＝5(a＋b)＝5eq\o(AB,\s\up6(―→))，∴eq\o(AB,\s\up6(―→))，eq\o(BD,\s\up6(―→))共線．又∵它們有公共點(diǎn)B，∴A，B，D三點(diǎn)共線．(2)∵ka＋b與a＋kb同向，∴存在實(shí)數(shù)λ(λ>0)，使ka＋b＝λ(a＋kb)，即ka＋b＝λa＋λkb.∴(k－λ)a＝(λk－1)b.∵a，b是不共線的非零向量，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(k－λ＝0，,λk－1＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(k＝1，,λ＝1))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(k＝－1，,λ＝－1，))又∵λ>0，∴k＝1.[方法技巧]利用共線向量定理解題的策略證明三點(diǎn)共線當(dāng)兩向量共線且有公共點(diǎn)時，才能得出三點(diǎn)共線．即A，B，C三點(diǎn)共線?eq\o(AB,\s\up6(―→))，eq\o(AC,\s\up6(―→))共線含參共線問題利用a∥b?a＝λb(b≠0)?x1y2－x2y1＝0構(gòu)造含有參數(shù)的方程(組)，解方程(組)得到參數(shù)的值．若a與b不共線且λa＝μb，則λ＝μ＝0三點(diǎn)共線的應(yīng)用eq\o(OA,\s\up6(―→))＝λeq\o(OB,\s\up6(―→))＋μeq\o(OC,\s\up6(―→))(λ，μ為實(shí)數(shù))，若A，B，C三點(diǎn)共線，則λ＋μ＝1[針對訓(xùn)練]1．已知a，b是不共線的非零向量，若(2a－kb)∥(a＋2b)，則實(shí)數(shù)k＝()A．－4 B．1C．－1 D．2解析：選A由(2a－kb)∥(a＋2b)可知存在實(shí)數(shù)λ，使得2a－kb＝λ(a＋2b)＝λa＋2λb，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2＝λ，,－k＝2λ，))解得k＝－4.2．(2023·臨沂模擬)已知向量a，b且eq\o(AB,\s\up6(―→))＝a＋2b，eq\o(BC,\s\up6(―→))＝－5a＋6b，eq\o(CD,\s\up6(―→))＝7a－2b，則一定共線的三點(diǎn)是()A．A，B，D B．A，B，CC．B，C，D D．A，C，D解析：選A由eq\o(AB,\s\up6(―→))＝a＋2b，eq\o(BC,\s\up6(―→))＝－5a＋6b，eq\o(CD,\s\up6(―→))＝7a－2b，可得eq\o(BD,\s\up6(―→))＝eq\o(BC,\s\up6(―→))＋eq\o(CD,\s\up6(―→))＝2a＋4b＝2(a＋2b)＝2eq\o(AB,\s\up6(―→))，所以A，B，D三點(diǎn)共線，所以A正確．3．在△ABC中，D在線段BC上，且eq\o(BD,\s\up6(―→))＝2eq\o(DC,\s\up6(―→))，eq\o(AM,\s\up6(―→))＝λeq\o(AC,\s\up6(―→))，eq\o(AN,\s\up6(―→))＝μeq\o(AB,\s\up6(―→))，λ，μ均為非零常數(shù)，若N，D，M三點(diǎn)共線，則eq\f(2,λ)＋eq\f(1,μ)＝________.解析：∵eq\o(BD,\s\up6(―→))＝2eq\o(DC,\s\up6(―→))，∴eq\o(BD,\s\up6(―→))＝eq\f(2,3)eq\o(BC,\s\up6(―→))，∴eq\o(AD,\s\up6(―→))＝eq\o(AB,\s\up6(―→))＋eq\o(BD,\s\up6(―→))＝eq\o(AB,\s\up6(―→))＋eq\f(2,3)eq\o(BC,\s\up6(―→))＝eq\o(AB,\s\up6(―→))＋eq\f(2,3)(eq\o(AC,\s\up6(―→))－eq\o(AB,\s\up6(―→)))＝eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(―→))＋eq\f(2,3)eq\o(AC,\s\up6(―→))，∵eq\o(AM,\s\up6(―→))＝λeq\o(AC,\s\up6(―→))，eq\o(AN,\s\up6(―→))＝μeq\o(AB,\s\up6(―→))，∴eq\o(AC,\s\up6(―→))＝eq\f(1,λ)eq\o(AM,\s\up6(―→))，eq\o(AB,\s\up6(―→))＝eq\f(1,μ)eq\o(AN,\s\up6(―→))，∴eq\o(AD,\s\up6(―→))＝eq\f(1,3μ)eq\o(AN,\s\up6(―→))＋eq\f(2,3λ)eq\o(AM,\s\up6(―→))，若N，D，M三點(diǎn)共線，則eq\f(1,3μ)＋eq\f(2,3λ)＝1，∴eq\f(2,λ)＋eq\f(1,μ)＝3.答案：3層級三/細(xì)微點(diǎn)——優(yōu)化完善(掃盲點(diǎn))1．(忽視零向量及參數(shù)為0致誤)已知m，n是實(shí)數(shù)，a，b是向量，有下列命題：①m(a－b)＝ma－mb；②(m－n)a＝ma－na；③若ma＝mb，則a＝b；④若ma＝na，則m＝n.其中正確命題的個數(shù)為()A．1 B．2C．3 D．4解析：選B③錯誤，例如m＝0；④錯誤，例如a＝0；①②是數(shù)乘運(yùn)算的分配律，正確．2．(不能靈活應(yīng)用常用結(jié)論致誤)在△ABC所在平面中，點(diǎn)O滿足eq\o(OA,\s\up6(―→))＋eq\o(OB,\s\up6(―→))＋eq\o(OC,\s\up6(―→))＝0，則eq\o(BO,\s\up6(―→))＝()A.eq\f(2,3)eq\o(BA,\s\up6(―→))＋eq\f(1,3)eq\o(AC,\s\up6(―→)) B．eq\f(2,3)eq\o(BA,\s\up6(―→))－eq\f(1,3)eq\o(AC,\s\up6(―→))C.eq\f(1,3)eq\o(BA,\s\up6(―→))＋eq\f(2,3)eq\o(AC,\s\up6(―→)) D．eq\f(4,3)eq\o(BA,\s\up6(―→))＋eq\f(2,3)eq\o(AC,\s\up6(―→))解析：選A如圖，由eq\o(OA,\s\up6(―→))＋eq\o(OB,\s\up6(―→))＋eq\o(OC,\s\up6(―→))＝0，易知O為△ABC的重心，∴eq\o(BO,\s\up6(―→))＝eq\f(2,3)eq\o(BD,\s\up6(―→))＝eq\f(2,3)(eq\o(BA,\s\up6(―→))＋eq\o(AD,\s\up6(―→)))＝eq\f(2,3)(eq\o(BA,\s\up6(―→))＋eq\f(1,2)eq\o(AC,\s\up6(―→)))＝eq\f(2,3)eq\o(BA,\s\up6(―→))＋eq\f(1,3)eq\o(AC,\s\up6(―→)).3．(忽視向量共線的方向性)已知向量a，b不共線，且c＝λa＋b，d＝a＋(2λ－1)b，若c與d反向共線，則實(shí)數(shù)λ＝()A．1 B．－eq\f(1,2)C．1或－eq\f(1,2) D．－1或－eq\f(1,2)解析：選B由于c與d反向共線，則存在實(shí)數(shù)k使得c＝kd(k<0)，則有λa＋b＝ka＋(2λ－1)kb，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(λ＝k，,2λ－1k＝1，))整理得2λ2－λ－1＝0，因?yàn)閗<0，所以λ<0，故λ＝－eq\f(1,2).4.(借助數(shù)學(xué)文化)我國東漢末數(shù)學(xué)家趙爽在《周髀算經(jīng)》中利用一副“弦圖”給出了勾股定理的證明，后人稱其為“趙爽弦圖”，它是由四個全等的直角三角形與一個小正方形拼成的一個大正方形，如圖所示．在“趙爽弦圖”中，若eq\o(BC,\s\up6(―→))＝a，eq\o(BA,\s\up6(―→))＝b，eq\o(BE,\s\up6(―→))＝3eq\o(EF,\s\up6(―→))，則eq\o(BF,\s\up6(―→))＝()A.eq\f(3,5)a＋eq\f(4,5)b B．eq\f(4,5)a＋eq\f(3,5)bC.eq\f(16,25)a＋eq\f(12,25)b D．eq\f(12,25)a＋eq\f(9,25)b解析：選C由題得eq\o(BF,\s\up6(―→))＝eq\o(BC,\s\up6(―→))＋eq\o(CF,\s\up6(―→))＝eq\o(BC,\s\up6(―→))＋eq\f(3,4)eq\o(EA,\s\up6(―→))＝eq\o(BC,\s\up6(―→))＋eq\f(3,4)(eq\o(EB,\s\up6(―→))＋eq\o(BA,\s\up6(―→)))＝eq\o(BC,\s\up6(―→))＋eq\f(3,4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,4)\o(BF,\s\up6(―→))＋\o(BA,\s\up6(―→))))，解得eq\o(BF,\s\up6(―→))＝eq\f(16,25)eq\o(BC,\s\up6(―→))＋eq\f(12,25)eq\o(BA,\s\up6(―→))，即eq\o(BF,\s\up6(―→))＝eq\f(16,25)a＋eq\f(12,25)b，故選C.5．(創(chuàng)新命題形式)已知向量eq\o(OA,\s\up6(―→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(―→))＝b，P1，P2，…，Pn－1(n∈N，n＞1)是線段AB上依次從A到B排列的n等分點(diǎn)，若eq\o(OP,\s\up6(―→))5＝xa＋yb，則x＋y＝______，eq\o(OP,\s\up6(―→))1＋eq\o(OP,\s\up6(―→))2＋…＋eq\o(OP,\s\up6(―→))n－1＝________(a＋b)．解析：由三點(diǎn)共線的結(jié)論知x＋y＝1；由題知eq\o(OP,\s\up6(―→))1＋eq\o(OP,\s\up6(―→))2＋…＋eq\o(OP,\s\up6(―→))n－1＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(a＋eq\f(1,n)(b－a)))＋eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(a＋eq\f(2,n)(b－a)))＋…＋eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(a＋eq\f(n－1,n)(b－a)))＝(n－1)a＋eq\f(n－1,2)(b－a)＝eq\f(n－1,2)(a＋b)．答案：1eq\f(n－1,2)eq\a\vs4\al([課時驗(yàn)收評價])一、點(diǎn)全面廣強(qiáng)基訓(xùn)練1．設(shè)a是非零向量，λ是非零實(shí)數(shù)，下列結(jié)論正確的是()A．a(chǎn)與λa的方向相反 B．a(chǎn)與λ2a的方向相同C．|－λa|≥|a| D．|－λa|≥|λ|a解析：選B對于A，當(dāng)λ＞0時，a與λa的方向相同，當(dāng)λ＜0時，a與λa的方向相反，A錯誤；對于B，由λ2＞0可知B正確；對于C，|－λa|＝|－λ||a|，由于|－λ|的大小不確定，故|－λa|與|a|的大小關(guān)系不確定，C錯誤；對于D，|λ|a是向量，而|－λa|表示長度，兩者不能比較大小，D錯誤．2．設(shè)D，E，F(xiàn)分別為△ABC的三邊BC，CA，AB的中點(diǎn)，則eq\o(EB,\s\up6(―→))＋eq\o(FC,\s\up6(―→))＝()A．eq\o(AD,\s\up6(―→)) B．eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up6(―→))C.eq\f(1,2)eq\o(BC,\s\up6(―→)) D．eq\o(BC,\s\up6(―→))解析：選A由題意得eq\o(EB,\s\up6(―→))＋eq\o(FC,\s\up6(―→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up6(―→))＋eq\o(CB,\s\up6(―→)))＋eq\f(1,2)(eq\o(AC,\s\up6(―→))＋eq\o(BC,\s\up6(―→)))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up6(―→))＋eq\o(AC,\s\up6(―→)))＝eq\o(AD,\s\up6(―→)).3．設(shè)平面向量a，b不共線，若eq\o(AB,\s\up6(―→))＝a＋5b，eq\o(BC,\s\up6(―→))＝－2a＋8b，eq\o(CD,\s\up6(―→))＝3(a－b)，則()A．A，B，D三點(diǎn)共線 B．A，B，C三點(diǎn)共線C．B，C，D三點(diǎn)共線 D．A，C，D三點(diǎn)共線解析：選A∵eq\o(AB,\s\up6(―→))＝a＋5b，eq\o(BC,\s\up6(―→))＝－2a＋8b，eq\o(CD,\s\up6(―→))＝3(a－b)，∴eq\o(AD,\s\up6(―→))＝eq\o(AB,\s\up6(―→))＋eq\o(BC,\s\up6(―→))＋eq\o(CD,\s\up6(―→))＝(a＋5b)＋(－2a＋8b)＋3(a－b)＝2(a＋5b)＝2eq\o(AB,\s\up6(―→))，∴eq\o(AD,\s\up6(―→))與eq\o(AB,\s\up6(―→))共線，即A，B，D三點(diǎn)共線．4．設(shè)向量a，b不共線，eq\o(AB,\s\up6(―→))＝2a＋pb，eq\o(BC,\s\up6(―→))＝a＋b，eq\o(CD,\s\up6(―→))＝a－2b，若A，B，D三點(diǎn)共線，則實(shí)數(shù)p的值為()A．－2 B．－1C．1 D．2解析：選B因?yàn)閑q\o(BC,\s\up6(―→))＝a＋b，eq\o(CD,\s\up6(―→))＝a－2b，所以eq\o(BD,\s\up6(―→))＝eq\o(BC,\s\up6(―→))＋eq\o(CD,\s\up6(―→))＝2a－b.又因?yàn)锳，B，D三點(diǎn)共線，所以eq\o(AB,\s\up6(―→))，eq\o(BD,\s\up6(―→))共線．設(shè)eq\o(AB,\s\up6(―→))＝λeq\o(BD,\s\up6(―→))，所以2a＋pb＝λ(2a－b)，所以2＝2λ，p＝－λ，即λ＝1，p＝－1.5.(2023·成都一模)如圖，在△ABC中，D為線段BC上異于B，C的任意一點(diǎn)，E為AD的中點(diǎn)，若eq\o(AE,\s\up6(―→))＝λeq\o(AB,\s\up6(―→))＋μeq\o(AC,\s\up6(―→))，則λ＋μ＝()A.eq\f(2,3) B．eq\f(1,2)C.eq\f(1,3) D．eq\f(1,6)解析：選B在△ABC中，eq\o(AB,\s\up6(―→))，eq\o(AC,\s\up6(―→))不共線，點(diǎn)D在BC上，則eq\o(BD,\s\up6(―→))∥eq\o(BC,\s\up6(―→))，所以存在唯一實(shí)數(shù)t使eq\o(BD,\s\up6(―→))＝teq\o(BC,\s\up6(―→))?eq\o(AD,\s\up6(―→))－eq\o(AB,\s\up6(―→))＝t(eq\o(AC,\s\up6(―→))－eq\o(AB,\s\up6(―→)))?eq\o(AD,\s\up6(―→))＝teq\o(AC,\s\up6(―→))＋(1－t)eq\o(AB,\s\up6(―→))，因?yàn)镋為AD的中點(diǎn)，所以eq\o(AE,\s\up6(―→))＝eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up6(―→))＝eq\f(1－t,2)eq\o(AB,\s\up6(―→))＋eq\f(t,2)eq\o(AC,\s\up6(―→))，而eq\o(AE,\s\up6(―→))＝λeq\o(AB,\s\up6(―→))＋μeq\o(AC,\s\up6(―→))，所以λ＝eq\f(1－t,2)，μ＝eq\f(t,2)，所以λ＋μ＝eq\f(1,2).6．若向量a，b滿足|a|＝3，|b|＝8，則|a＋b|的最小值為________．解析：當(dāng)a與b共線且反向時|a＋b|的最小值為5.答案：57．設(shè)M是△ABC所在平面上的一點(diǎn)，eq\o(MB,\s\up6(―→))＋eq\f(3,2)eq\o(MA,\s\up6(―→))＋eq\f(3,2)eq\o(MC,\s\up6(―→))＝0，D是AC的中點(diǎn)，teq\o(MB,\s\up6(―→))＝eq\o(DM,\s\up6(―→))，則實(shí)數(shù)t的值為________．解析：因?yàn)镈是AC的中點(diǎn)，所以eq\o(MA,\s\up6(―→))＋eq\o(MC,\s\up6(―→))＝2eq\o(MD,\s\up6(―→))，又因?yàn)閑q\o(MB,\s\up6(―→))＋eq\f(3,2)eq\o(MA,\s\up6(―→))＋eq\f(3,2)eq\o(MC,\s\up6(―→))＝0，所以eq\f(1,3)eq\o(MB,\s\up6(―→))＋eq\f(1,2)(eq\o(MA,\s\up6(―→))＋eq\o(MC,\s\up6(―→)))＝eq\f(1,3)eq\o(MB,\s\up6(―→))＋eq\o(MD,\s\up6(―→))＝0，即eq\f(1,3)eq\o(MB,\s\up6(―→))＝eq\o(DM,\s\up6(―→))，又因?yàn)閠eq\o(MB,\s\up6(―→))＝eq\o(DM,\s\up6(―→))，所以t＝eq\f(1,3).答案：eq\f(1,3)8．在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，A，B，C三點(diǎn)滿足eq\o(OC,\s\up6(―→))＝eq\f(3,4)eq\o(OA,\s\up6(―→))＋eq\f(1,4)eq\o(OB,\s\up6(―→))，則eq\f(|\o(BC,\s\up6(―→))|,|\o(AC,\s\up6(―→))|)＝________.解析：因?yàn)閑q\o(BC,\s\up6(―→))＝eq\o(OC,\s\up6(―→))－eq\o(OB,\s\up6(―→))＝eq\f(3,4)eq\o(OA,\s\up6(―→))＋eq\f(1,4)eq\o(OB,\s\up6(―→))－eq\o(OB,\s\up6(―→))＝eq\f(3,4)eq\o(BA,\s\up6(―→))，eq\o(AC,\s\up6(―→))＝eq\o(OC,\s\up6(―→))－eq\o(OA,\s\up6(―→))＝eq\f(3,4)eq\o(OA,\s\up6(―→))＋eq\f(1,4)eq\o(OB,\s\up6(―→))－eq\o(OA,\s\up6(―→))＝eq\f(1,4)eq\o(AB,\s\up6(―→))，所以eq\f(|\o(BC,\s\up6(―→))|,|\o(AC,\s\up6(―→))|)＝3.答案：39．已知兩個非零向量a和b不共線，eq\o(OA,\s\up6(―→))＝2a－3b，eq\o(OB,\s\up6(―→))＝a＋2b，eq\o(OC,\s\up6(―→))＝ka＋12b.(1)若2eq\o(OA,\s\up6(―→))－3eq\o(OB,\s\up6(―→))＋eq\o(OC,\s\up6(―→))＝0，求k的值；(2)若A，B，C三點(diǎn)共線，求k的值．解：(1)∵2eq\o(OA,\s\up6(―→))－3eq\o(OB,\s\up6(―→))＋eq\o(OC,\s\up6(―→))＝0，∴2(2a－3b)－3(a＋2b)＋ka＋12b＝(1＋k)a＝0，又a≠0，∴k＋1＝0，∴k＝－1.(2)∵A，B，C三點(diǎn)共線，∴設(shè)eq\o(BC,\s\up6(―→))＝λeq\o(AB,\s\up6(―→))，即eq\o(OC,\s\up6(―→))－eq\o(OB,\s\up6(―→))＝λ(eq\o(OB,\s\up6(―→))－eq\o(OA,\s\up6(―→)))，∴(k－1)a＋10b＝－λa＋5λb，又a，b不共線，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(k－1＝－λ，,10＝5λ，))消去λ，得k＝－1.10．已知點(diǎn)G是△ABO的重心，M是AB邊的中點(diǎn)．(1)求eq\o(GA,\s\up6(―→))＋eq\o(GB,\s\up6(―→))＋eq\o(GO,\s\up6(―→))；(2)若PQ過△ABO的重心G，且eq\o(OA,\s\up6(―→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(―→))＝b，eq\o(OP,\s\up6(―→))＝ma，eq\o(OQ,\s\up6(―→))＝nb，求證：eq\f(1,m)＋eq\f(1,n)＝3.解：(1)連接GM(圖略)，因?yàn)閑q\o(GA,\s\up6(―→))＋eq\o(GB,\s\up6(―→))＝2eq\o(GM,\s\up6(―→))，2eq\o(GM,\s\up6(―→))＝－eq\o(GO,\s\up6(―→))，所以eq\o(GA,\s\up6(―→))＋eq\o(GB,\s\up6(―→))＋eq\o(GO,\s\up6(―→))＝－eq\o(GO,\s\up6(―→))＋eq\o(GO,\s\up6(―→))＝0.(2)證明：易知eq\o(OM,\s\up6(―→))＝eq\f(1,2)(a＋b)，因?yàn)镚是△ABO的重心，所以eq\o(OG,\s\up6(―→))＝eq\f(2,3)eq\o(OM,\s\up6(―→))＝eq\f(1,3)(a＋b)．由P，G，Q三點(diǎn)共線，設(shè)eq\o(QG,\s\up6(―→))＝teq\o(QP,\s\up6(―→))，所以eq\o(OG,\s\up6(―→))－eq\o(OQ,\s\up6(―→))＝t(eq\o(OP,\s\up6(―→))－eq\o(OQ,\s\up6(―→)))，即eq\o(OG,\s\up6(―→))＝teq\o(OP,\s\up6(―→))＋(1－t)eq\o(OQ,\s\up6(―→))，即eq\f(1,3)a＋eq\f(1,3)b＝mta＋(1－t)nb.由a，b不共線，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(mt＝\f(1,3)，,1－tn＝\f(1,3).))所以eq\f(1,m)＋eq\f(1,n)＝3.二、重點(diǎn)難點(diǎn)培優(yōu)訓(xùn)練1.如圖，在平行四邊形ABCD中，M，N分別為AB，AD上的點(diǎn)，且eq\o(AM,\s\up6(―→))＝eq\f(3,4)eq\o(AB,\s\up6(―→))，eq\o(AN,\s\up6(―→))＝eq\f(2,3)eq\o(AD,\s\up6(―→))，AC，MN交于點(diǎn)P.若eq\o(AP,\s\up6(―→))＝λeq\o(AC,\s\up6(―→))，則λ的值為()A.eq\f(3,5) B．eq\f(3,7)C.eq\f(3,16) D．eq\f(6,17)解析：選D∵eq\o(AM,\s\up6(―→))＝eq\f(3,4)eq\o(AB,\s\up6(―→))，eq\o(AN,\s\up6(―→))＝eq\f(2,3)eq\o(AD,\s\up6(―→))，∴eq\o(AP,\s\up6(―→))＝λeq\o(AC,\s\up6(―→))＝λ(eq\o(AB,\s\up6(―→))＋eq\o(AD,\s\up6(―→)))＝λeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3)\o(AM,\s\up6(―→))＋\f(3,2)\o(AN,\s\up6(―→))))＝eq\f(4,3)λeq\o(AM,\s\up6(―→))＋eq\f(3,2)λeq\o(AN,\s\up6(―→)).∵點(diǎn)M，P，N三點(diǎn)共線，∴eq\f(4,3)λ＋eq\f(3,2)λ＝1，則λ＝eq\f(6,17).故選D.2．點(diǎn)P是△ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，且滿足|eq\o(PB,\s\up6(―→))－eq\o(PC,\s\up6(―→))|－|eq\o(PB,\s\up6(―→))＋eq\o(PC,\s\up6(―→))－2eq\o(PA,\s\up6(―→))|＝0，則△ABC是________三角形．解析：因?yàn)辄c(diǎn)P是△ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，且|eq\o(PB,\s\up6(―→))－eq\o(PC,\s\up6(―→))|－|eq\o(PB,\s\up6(―→))＋eq\o(PC,\s\up6(―→))－2eq\o(PA,\s\up6(―→))|＝0，所以|eq\o(CB,\s\up6(―→))|－|(eq\o(PB,\s\up6(―→))－eq\o(PA,\s\up6(―→)))＋(eq\o(PC,\s\up6(―→))－eq\o(PA,\s\up6(―→)))|＝0，即|eq\o(CB,\s\up6(―→))|＝|eq\o(AB,\s\up6(―→))＋eq\o(AC,\s\up6(―→))|，所以|eq\o(AB,\s\up6(―→))－eq\o(AC,\s\up6(―→))|＝|eq\o(AC,\s\up6(―→))＋eq\o(AB,\s\up6(―→))|，等式兩邊平方并化簡得eq\o(AC,\s\up6(―→))·eq\o(AB,\s\up6(―→))＝0，所以eq\o(AC,\s\up6(―→))⊥eq\o(AB,\s\up6(―→))，∠BAC＝90°，則△ABC為直角三角形．答案：直角3．在△ABC中，∠A＝60°，∠A的平分線交BC于點(diǎn)D，若AB＝4，且eq\o(AD,\s\up6(―→))＝eq\f(1,4)eq\o(AC,\s\up6(―→))＋λeq\o(AB,\s\up6(―→))(λ∈R)，則λ＝________，AD＝________.解析：∵B，D，C三點(diǎn)共線，∴eq\f(1,4)＋λ＝1，解得λ＝eq\f(3,4).如圖，過D分別作AC，AB的平行線分別交AB，AC于點(diǎn)M，N，則eq\o(AN,\s\up6(―→))＝eq\f(1,4)eq\o(AC,\s\up6(―→))，eq\o(AM,\s\up6(―→))＝eq\f(3,4)eq\o(AB,\s\up6(―→))，∵在△ABC中，∠A＝60°，∠A的平分線交BC于D，∴四邊形AMDN是菱形，∵AB＝4，∴AN＝AM＝3，∴AD＝3eq\r(3).答案：eq\f(3,4)3eq\r(3)4．在直角梯形ABCD中，∠A＝90°，∠B＝30°，AB＝2eq\r(3)，BC＝2，點(diǎn)E在線段CD上，若eq\o(AE,\s\up6(―→))＝eq\o(AD,\s\up6(―→))＋μeq\o(AB,\s\up6(―→))，則μ的取值范圍是________．解析：由題意，得AD＝1，CD＝eq\r(3)，∴eq\o(AB,\s\up6(―→))＝2eq\o(DC,\s\up6(―→)).∵點(diǎn)E在線段CD上，∴eq\o(DE,\s\up6(―→))＝λeq\o(DC,\s\up6(―→))(0≤λ≤1)．∵eq\o(AE,\s\up6(―→))＝eq\o(AD,\s\up6(―→))＋eq\o(DE,\s\up6(―→))，又eq\o(AE,\s\up6(―→))＝eq\o(AD,\s\up6(―→))＋μeq\o(AB,\s\up6(―→))＝eq\o(AD,\s\up6(―→))＋2μeq\o(DC,\s\up6(―→))＝eq\o(AD,\s\up6(―→))＋eq\f(2μ,λ)eq\o(DE,\s\up6(―→))，∴eq\f(2μ,λ)＝1，即μ＝eq\f(λ,2).∵0≤λ≤1，∴0≤μ≤eq\f(1,2)，即μ的取值范圍是eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2))).答案：eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))第二節(jié)平面向量基本定理及坐標(biāo)表示eq\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(1.了解平面向量的基本定理及其意義.,2.掌握平面向量的正交分解及其坐標(biāo)表示.,3.會用坐標(biāo)表示平面向量的加法、減法與數(shù)乘運(yùn)算.,4.理解用坐標(biāo)表示的平面向量共線的條件.))1．平面向量基本定理如果e1，e2是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量，那么對于這一平面內(nèi)的任意向量a，有且只有一對實(shí)數(shù)λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.其中，不共線的向量e1，e2叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底．2．平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算(1)平面向量運(yùn)算的坐標(biāo)表示坐標(biāo)表示和(差)、數(shù)乘已知a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)，λa＝(λx1，λy1)(λ為實(shí)數(shù))任一向量的坐標(biāo)已知A(x1，y1)，B(x2，y2)，則eq\o(AB,\s\up6(―→))＝(x2－x1，y2－y1)，|eq\o(AB,\s\up6(―→))|＝eq\r(x1－x22＋y1－y22)(2)平面向量共線的坐標(biāo)表示設(shè)a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0，則向量a，b共線的充要條件為x1y2－x2y1＝0.(1)若a與b不共線，且λa＋μb＝0，則λ＝μ＝0.(2)已知P為線段AB的中點(diǎn)，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，則P點(diǎn)坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x1＋x2,2)，\f(y1＋y2,2))).(3)已知△ABC的頂點(diǎn)A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，則△ABC的重心G的坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(eq\f(x1＋x2＋x3,3)，eq\f(y1＋y2＋y3,3))).(4)a∥b的充要條件不能表示為eq\f(x1,x2)＝eq\f(y1,y2)，因?yàn)閤2，y2有可能為0.(5)向量的坐標(biāo)與表示向量的有向線段的起點(diǎn)、終點(diǎn)的相對位置有關(guān)系．兩個相等的向量，無論起點(diǎn)在什么位置，它們的坐標(biāo)都是相同的．1．已知a＝(3,6)，b＝(x，y)，若a＋3b＝0，則b＝()A．(1,2) B．(－1，－2)C．(－1,2) D．(1，－2)答案：B2.如圖，eq\o(AB,\s\up6(―→))＝2eq\o(CA,\s\up6(―→))，eq\o(OA,\s\up6(―→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(―→))＝b，eq\o(OC,\s\up6(―→))＝c，下列等式中成立的是()A．c＝eq\f(3,2)b－eq\f(1,2)a B．c＝eq\f(3,2)a－eq\f(1,2)bC．c＝2a－b D．c＝2b－a答案：B3．已知平行四邊形ABCD中，eq\o(AD,\s\up6(―→))＝(3,7)，eq\o(AB,\s\up6(―→))＝(－2，3)，對角線AC與BD交于點(diǎn)O，則eq\o(CO,\s\up6(―→))的坐標(biāo)為()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，5)) B．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，5))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，－5)) D．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，－5))解析：選D∵eq\o(AC,\s\up6(―→))＝eq\o(AB,\s\up6(―→))＋eq\o(AD,\s\up6(―→))＝(－2,3)＋(3,7)＝(1,10)，∴eq\o(OC,\s\up6(―→))＝eq\f(1,2)eq\o(AC,\s\up6(―→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，5))，∴eq\o(CO,\s\up6(―→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，－5)).4．(2021·全國乙卷)已知向量a＝(2,5)，b＝(λ，4)，若a∥b，則λ＝________.答案：eq\f(8,5)5．在平行四邊形ABCD中，eq\o(AB,\s\up6(―→))＝a，eq\o(AD,\s\up6(―→))＝b，eq\o(AN,\s\up6(―→))＝3eq\o(NC,\s\up6(―→))，M為BC的中點(diǎn)，則eq\o(MN,\s\up6(―→))＝________(用a，b表示)．解析：因?yàn)閑q\o(AN,\s\up6(―→))＝3eq\o(NC,\s\up6(―→))，所以eq\o(AN,\s\up6(―→))＝eq\f(3,4)eq\o(AC,\s\up6(―→))＝eq\f(3,4)(a＋b)，又因?yàn)閑q\o(AM,\s\up6(―→))＝a＋eq\f(1,2)b，所以eq\o(MN,\s\up6(―→))＝eq\o(AN,\s\up6(―→))－eq\o(AM,\s\up6(―→))＝eq\f(3,4)(a＋b)－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a＋\f(1,2)b))＝－eq\f(1,4)a＋eq\f(1,4)b.答案：－eq\f(1,4)a＋eq\f(1,4)b層級一/基礎(chǔ)點(diǎn)——自練通關(guān)(省時間)基礎(chǔ)點(diǎn)平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算[題點(diǎn)全訓(xùn)]1．在平行四邊形ABCD中，AC為一條對角線．若eq\o(AB,\s\up6(―→))＝(2,4)，eq\o(AC,\s\up6(―→))＝(1,3)，則eq\o(BD,\s\up6(―→))＝()A．(－2,4) B．(－3，－5)C．(3,5) D．(－3，－7)解析：選B在平行四邊形ABCD中，eq\o(AB,\s\up6(―→))＝(2,4)，eq\o(AC,\s\up6(―→))＝(1,3)，所以eq\o(BC,\s\up6(―→))＝eq\o(AC,\s\up6(―→))－eq\o(AB,\s\up6(―→))＝(－1，－1)，所以eq\o(BD,\s\up6(―→))＝eq\o(BA,\s\up6(―→))＋eq\o(BC,\s\up6(―→))＝(－3，－5)．2．已知點(diǎn)A(0,1)，B(3,2)，向量eq\o(AC,\s\up6(―→))＝(－4，－3)，則向量eq\o(BC,\s\up6(―→))＝()A．(－7，－4) B．(7,4)C．(－1,4) D．(1,4)解析：選A設(shè)C(x，y)，則eq\o(AC,\s\up6(―→))＝(x，y－1)＝(－4，－3)，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－4，,y＝－2.))從而C(－4，－2)，∴eq\o(BC,\s\up6(―→))＝(－4－3，－2－2)＝(－7，－4)．3.向量a，b，c在正方形網(wǎng)格中的位置如圖所示，若c＝λa＋μb(λ，μ∈R)，則eq\f(λ,μ)＝()A．1 B．2C．3 D．4解析：選D以向量a和b的交點(diǎn)為原點(diǎn)建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系(設(shè)每個小正方形邊長為1)，則A(1，－1)，B(6,2)，C(5，－1)，∴a＝eq\o(AO,\s\up6(―→))＝(－1,1)，b＝eq\o(OB,\s\up6(―→))＝(6,2)，c＝eq\o(BC,\s\up6(―→))＝(－1，－3)，∵c＝λa＋μb，∴(－1，－3)＝λ(－1，1)＋μ(6,2)，即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－λ＋6μ＝－1，,λ＋2μ＝－3，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(λ＝－2，,μ＝－\f(1,2)，))∴eq\f(λ,μ)＝4.4．已知向量a＝(m,2)，b＝(1,1)，若|a＋b|＝|a|＋|b|，則實(shí)數(shù)m＝________.解析：∵向量a＝(m,2)，b＝(1,1)，∴a＋b＝(m＋1,3)．∵|a＋b|＝|a|＋|b|，∴eq\r(m＋12＋32)＝eq\r(m2＋4)＋eq\r(2)，解得m＝2.答案：2[一“點(diǎn)”就過]利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算解題時，首先利用加、減、數(shù)乘運(yùn)算法則進(jìn)行運(yùn)算，然后根據(jù)“兩個向量相等當(dāng)且僅當(dāng)它們的坐標(biāo)對應(yīng)相等”這一原則，轉(zhuǎn)化為方程(組)進(jìn)行求解．層級二/重難點(diǎn)——逐一精研(補(bǔ)欠缺)重難點(diǎn)(一)平面向量基本定理及其應(yīng)用[典例](1)(2022·新高考Ⅰ卷)在△ABC中，點(diǎn)D在邊AB上，BD＝2DA.記eq\o(CA,\s\up6(―→))＝m，eq\o(CD,\s\up6(―→))＝n，則eq\o(CB,\s\up6(―→))＝()A．3m－2n B．－2m＋3nC．3m＋2n D．2m＋3n(2)如圖，在△ABC中，點(diǎn)D是邊BC上任意一點(diǎn)，M是線段AD的中點(diǎn)，若存在實(shí)數(shù)λ和μ，使得eq\o(BM,\s\up6(―→))＝λeq\o(AB,\s\up6(―→))＋μeq\o(AC,\s\up6(―→))，則λ＋μ＝()A.eq\f(1,2) B．－eq\f(1,2)C．2 D．－2[解析](1)因?yàn)锽D＝2DA，所以eq\o(AB,\s\up6(―→))＝3eq\o(AD,\s\up6(―→))，所以eq\o(CB,\s\up6(―→))＝eq\o(CA,\s\up6(―→))＋eq\o(AB,\s\up6(―→))＝eq\o(CA,\s\up6(―→))＋3eq\o(AD,\s\up6(―→))＝eq\o(CA,\s\up6(―→))＋3(eq\o(CD,\s\up6(―→))－eq\o(CA,\s\up6(―→)))＝－2eq\o(CA,\s\up6(―→))＋3eq\o(CD,\s\up6(―→))＝－2m＋3n.故選B.(2)因?yàn)辄c(diǎn)D在邊BC上，所以存在t∈R，使得eq\o(BD,\s\up6(―→))＝teq\o(BC,\s\up6(―→))＝t(eq\o(AC,\s\up6(―→))－eq\o(AB,\s\up6(―→)))(0≤t≤1)．因?yàn)镸是線段AD的中點(diǎn)，所以eq\o(BM,\s\up6(―→))＝eq\f(1,2)(eq\o(BA,\s\up6(―→))＋eq\o(BD,\s\up6(―→)))＝eq\f(1,2)(－eq\o(AB,\s\up6(―→))＋teq\o(AC,\s\up6(―→))－teq\o(AB,\s\up6(―→)))＝－eq\f(1,2)(t＋1)eq\o(AB,\s\up6(―→))＋eq\f(1,2)teq\o(AC,\s\up6(―→)).又eq\o(BM,\s\up6(―→))＝λeq\o(AB,\s\up6(―→))＋μeq\o(AC,\s\up6(―→))，所以λ＝－eq\f(1,2)(t＋1)，μ＝eq\f(1,2)t，所以λ＋μ＝－eq\f(1,2).[答案](1)B(2)B[方法技巧](1)應(yīng)用平面向量基本定理表示向量的實(shí)質(zhì)是利用平行四邊形法則或三角形法則進(jìn)行向量的加、減或數(shù)乘運(yùn)算．一般將向量“放入”相關(guān)的三角形中，利用三角形法則列出向量間的關(guān)系．(2)用平面向量基本定理解決問題的一般思路是：先選擇一個基底，并運(yùn)用該基底將條件和結(jié)論表示成向量的形式，再通過向量的運(yùn)算來解決．注意同一個向量在不同基底下的分解是不同的，但在每個基底下的分解都是唯一的．[針對訓(xùn)練]1.如圖，在△ABC中，eq\o(AN,\s\up6(―→))＝eq\f(1,3)eq\o(NC,\s\up6(―→))，P是BN上的一點(diǎn)，若eq\o(AP,\s\up6(―→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(m＋\f(2,9)))eq\o(AB,\s\up6(―→))＋eq\f(2,9)eq\o(BC,\s\up6(―→))，則實(shí)數(shù)m的值為()A.eq\f(1,9) B．eq\f(1,3)C．1 D．3解析：選A因?yàn)閑q\o(AP,\s\up6(―→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(m＋\f(2,9)))eq\o(AB,\s\up6(―→))＋eq\f(2,9)eq\o(BC,\s\up6(―→))＝meq\o(AB,\s\up6(―→))＋eq\f(2,9)eq\o(AC,\s\up6(―→))，設(shè)eq\o(BP,\s\up6(―→))＝teq\o(BN,\s\up6(―→))，而eq\o(AP,\s\up6(―→))＝eq\o(AB,\s\up6(―→))＋eq\o(BP,\s\up6(―→))＝eq\o(AB,\s\up6(―→))＋t(eq\o(BC,\s\up6(―→))＋eq\o(CN,\s\up6(―→)))＝eq\o(AB,\s\up6(―→))＋teq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(eq\o(BC,\s\up6(―→))－eq\f(3,4)eq\o(AC,\s\up6(―→))))＝(1－t)eq\o(AB,\s\up6(―→))＋eq\f(1,4)teq\o(AC,\s\up6(―→))，所以m＝1－t且eq\f(t,4)＝eq\f(2,9)，故m＝1－t＝1－eq\f(8,9)＝eq\f(1,9).2．在平行四邊形ABCD中，AC與BD交于點(diǎn)O，F(xiàn)是線段DC上的點(diǎn)．若DC＝3DF，設(shè)eq\o(AC,\s\up6(―→))＝a，eq\o(BD,\s\up6(―→))＝b，則eq\o(AF,\s\up6(―→))＝()A.eq\f(1,4)a＋eq\f(1,2)b B．eq\f(2,3)a＋eq\f(1,3)bC.eq\f(1,2)a＋eq\f(1,4)b D．eq\f(1,3)a＋eq\f(2,3)b解析：選B如圖所示，平行四邊形ABCD中，AC與BD交于點(diǎn)O，F(xiàn)是線段DC上的點(diǎn)，且DC＝3DF，∴eq\o(DF,\s\up6(―→))＝eq\f(1,3)eq\o(DC,\s\up6(―→))＝eq\f(1,3)(eq\o(OC,\s\up6(―→))－eq\o(OD,\s\up6(―→)))＝eq\f(1,6)(eq\o(AC,\s\up6(―→))－eq\o(BD,\s\up6(―→)))，eq\o(AD,\s\up6(―→))＝eq\o(OD,\s\up6(―→))－eq\o(OA,\s\up6(―→))＝eq\f(1,2)eq\o(BD,\s\up6(―→))＋eq\f(1,2)eq\o(AC,\s\up6(―→)).則eq\o(AF,\s\up6(―→))＝eq\o(AD,\s\up6(―→))＋eq\o(DF,\s\up6(―→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)\o(BD,\s\up6(―→))＋\f(1,2)\o(AC,\s\up6(―→))))＋eq\f(1,6)(eq\o(AC,\s\up6(―→))－eq\o(BD,\s\up6(―→)))＝eq\f(1,3)eq\o(BD,\s\up6(―→))＋eq\f(2,3)eq\o(AC,\s\up6(―→))＝eq\f(2,3)a＋eq\f(1,3)b.故選B.重難點(diǎn)(二)平面向量共線的坐標(biāo)表示[典例](1)已知向量a＝(1,2)，b＝(2，－2)，c＝(m，－1)，若c∥(2a＋b)，則m＝()A．－2 B．－1C．－eq\f(1