安徽省淮北市同仁中學(xué)2025屆高一數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末學(xué)業(yè)水平測(cè)試模擬試題含解析

安徽省淮北市同仁中學(xué)2025屆高一數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末學(xué)業(yè)水平測(cè)試模擬試題注意事項(xiàng)1．考生要認(rèn)真填寫考場(chǎng)號(hào)和座位序號(hào)。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1．已知,則的值為()A． B． C． D．2．給出下面四個(gè)命題：①；②；③；④.其中正確的個(gè)數(shù)為()A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)3．若數(shù)列{an}是等比數(shù)列，且an＞0，則數(shù)列也是等比數(shù)列.若數(shù)列是等差數(shù)列，可類比得到關(guān)于等差數(shù)列的一個(gè)性質(zhì)為().A．是等差數(shù)列B．是等差數(shù)列C．是等差數(shù)列D．是等差數(shù)列4．已知，若、、三點(diǎn)共線，則為（）A． B． C． D．25．已知是銳角，那么2是()A．第一象限 B．第二象限C．小于的正角 D．第一象限或第二象限6．法國學(xué)者貝特朗發(fā)現(xiàn)，在研究事件A“在半徑為1的圓內(nèi)隨機(jī)地取一條弦，其長度超過圓內(nèi)接等邊三角形的邊長3”的概率的過程中，基于對(duì)“隨機(jī)地取一條弦”的含義的的不同理解，事件A的概率PA存在不同的容案該問題被稱為貝特朗悖論現(xiàn)給出種解釋：若固定弦的一個(gè)端點(diǎn),另個(gè)端點(diǎn)在圓周上隨機(jī)選取，則PA．12 B．13 C．17．某公司計(jì)劃在甲、乙兩個(gè)電視臺(tái)做總時(shí)間不超過300分鐘的廣告，廣告費(fèi)用不超過9萬元，甲、乙電視臺(tái)的廣告費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)分別是500元/分鐘和200元/分鐘，假設(shè)甲、乙兩個(gè)電視臺(tái)為該公司做的廣告能給公司帶來的收益分別為0.4萬元/分鐘和0.2萬元/分鐘，那么該公司合理分配在甲、乙兩個(gè)電視臺(tái)的廣告時(shí)間，能使公司獲得最大的收益是（）萬元A．72 B．80 C．84 D．908．已知，且，則（）A． B．7 C． D．9．三棱錐中，平面且是邊長為的等邊三角形，則該三棱錐外接球的表面積為()A． B． C． D．10．如圖，在正方體，點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)，則下列判斷正確的是（）①平面平面②平面③異面直線與所成角的取值范圍是④三棱錐的體積不變A．①② B．①②④ C．③④ D．①④二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．的值為________.12．函數(shù)，的值域是_____．13．已知，則與的夾角等于____.14．在中，角的對(duì)邊分別為，若，則角________.15．若角的終邊經(jīng)過點(diǎn)，則的值為________16．已知、的取值如表所示：01342.24.34.86.7從散點(diǎn)圖分析，與線性相關(guān)，且，則______．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．某企業(yè)用180萬元購買一套新設(shè)備，該套設(shè)備預(yù)計(jì)平均每年能給企業(yè)帶來100萬元的收入，為了維護(hù)設(shè)備的正常運(yùn)行，第一年需要各種維護(hù)費(fèi)用10萬元，且從第二年開始，每年比上一年所需的維護(hù)費(fèi)用要增加10萬元（1）求該設(shè)備給企業(yè)帶來的總利潤（萬元）與使用年數(shù)的函數(shù)關(guān)系；（2）試計(jì)算這套設(shè)備使用多少年，可使年平均利潤最大？年平均利潤最大為多少萬元？18．已知是夾角為的單位向量，且，．（1）求；（2）求與的夾角．19．如圖，四邊形是邊長為2的正方形，為的中點(diǎn)，以為折痕把折起，使點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)的位置，且.（1）求證：平面平面；（2）求二面角的余弦值.20．已知集合，集合.（1）求；（2）若不等式的解集為，求不等式的解集.21．中，角的對(duì)邊分別為，且.（I）求的值；（II）求的值.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1、C【解析】

根據(jù)輔助角公式即可．【詳解】由輔助角公式得所以，選C.【點(diǎn)睛】本題主要考查了輔助角公式的應(yīng)用：，屬于基礎(chǔ)題．2、B【解析】①；②；③；④,所以正確的為①②，選B.3、B【解析】試題分析：本題是由等比數(shù)列與等差數(shù)列的相似性質(zhì)，推出有關(guān)結(jié)論：由“等比”類比到“等差”，由“幾何平均數(shù)”類比到“算數(shù)平均數(shù)”；所以，所得結(jié)論為是等差數(shù)列.考點(diǎn)：類比推理.4、C【解析】

由平面向量中的三點(diǎn)共線問題可得：，由基本定理及線性運(yùn)算可得：即得解.【詳解】因?yàn)?，若，，三點(diǎn)共線則，解得，即即即即故選：【點(diǎn)睛】本題考查平面向量基本定理和共線定理，屬于基礎(chǔ)題.5、C【解析】是銳角,∴，∴是小于的正角6、B【解析】

由幾何概型中的角度型得：P(A)=2π【詳解】設(shè)固定弦的一個(gè)端點(diǎn)為A，則另一個(gè)端點(diǎn)在圓周上BC劣弧上隨機(jī)選取即可滿足題意，則P（A）=2π故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了幾何概型中的角度型，屬于基礎(chǔ)題．7、B【解析】

設(shè)公司在甲、乙兩個(gè)電視臺(tái)的廣告時(shí)間分別為分鐘，總收益為元，根據(jù)題意得到約束條件，目標(biāo)函數(shù)，平行目標(biāo)函數(shù)圖象找到在縱軸上截距最大時(shí)所經(jīng)過的點(diǎn),把點(diǎn)的坐標(biāo)代入目標(biāo)函數(shù)中即可.【詳解】設(shè)公司在甲、乙兩個(gè)電視臺(tái)的廣告時(shí)間分別為分鐘，總收益為元，則由題意可得可行解域：，目標(biāo)函數(shù)為可行解域化簡得，，在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，畫出可行解域，如下圖所示：作直線，即，平行移動(dòng)直線，當(dāng)直線過點(diǎn)時(shí)，目標(biāo)函數(shù)取得最大值，聯(lián)立，解得，所以點(diǎn)坐標(biāo)為，因此目標(biāo)函數(shù)最大值為，故本題選B.【點(diǎn)睛】本題考查了應(yīng)用線性規(guī)劃知識(shí)解決實(shí)際問題的能力，正確列出約束條件，畫出可行解域是解題的關(guān)鍵.8、D【解析】

由平方關(guān)系求得，再由商數(shù)關(guān)系求得，最后由兩角和的正切公式可計(jì)算．【詳解】，，，，.故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查兩角和的正切公式，考查同角間的三角函數(shù)關(guān)系．屬于基礎(chǔ)題．9、C【解析】根據(jù)已知中底面是邊長為的正三角形，，平面，可得此三棱錐外接球，即為以為底面以為高的正三棱柱的外接球

∵是邊長為的正三角形，∴的外接圓半徑球心到的外接圓圓心的距離故球的半徑故三棱錐外接球的表面積故選C．10、B【解析】

①連接DB1，容易證明DB1⊥面ACD1，從而可以證明面面垂直；②連接A1B，A1C1容易證明平面BA1C1∥面ACD1，從而由線面平行的定義可得；③分析出A1P與AD1所成角的范圍，從而可以判斷真假；④=，C到面AD1P的距離不變，且三角形AD1P的面積不變；【詳解】對(duì)于①，連接DB1，根據(jù)正方體的性質(zhì)，有DB1⊥面ACD1，DB1?平面PB1D，從而可以證明平面PB1D⊥平面ACD1，正確．②連接A1B，A1C1容易證明平面BA1C1∥面ACD1，從而由線面平行的定義可得A1P∥平面ACD1，正確．③當(dāng)P與線段BC1的兩端點(diǎn)重合時(shí)，A1P與AD1所成角取最小值，當(dāng)P與線段BC1的中點(diǎn)重合時(shí)，A1P與AD1所成角取最大值，故A1P與AD1所成角的范圍是，錯(cuò)誤；④=，C到面AD1P的距離不變，且三角形AD1P的面積不變．∴三棱錐A﹣D1PC的體積不變，正確；正確的命題為①②④．故選B．【點(diǎn)睛】本題考查空間點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系，空間想象能力，中檔題．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解析】

利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式、二倍角公式，結(jié)合根式運(yùn)算，化簡求得表達(dá)式的值.【詳解】依題意，由于，所以故答案為：【點(diǎn)睛】本小題主要考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式、二倍角公式，考查根式運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.12、【解析】

首先根據(jù)的范圍求出的范圍，從而求出值域。【詳解】當(dāng)時(shí)，，由于反余弦函數(shù)是定義域上的減函數(shù)，且所以值域?yàn)楣蚀鸢笧椋海军c(diǎn)睛】本題主要考查了復(fù)合函數(shù)值域的求法：首先求出內(nèi)函數(shù)的值域再求外函數(shù)的值域。屬于基礎(chǔ)題。13、【解析】

根據(jù)向量的坐標(biāo)即可求出，根據(jù)向量夾角的公式即可求出．【詳解】∵，，，，∴，又，∴．故答案為：．【點(diǎn)睛】考查向量坐標(biāo)的數(shù)量積運(yùn)算，向量坐標(biāo)求向量長度的方法，以及向量夾角的余弦公式，屬于基礎(chǔ)題．14、【解析】

根據(jù)得，利用余弦定理即可得解.【詳解】由題：，，，由余弦定理可得：，.故答案為：【點(diǎn)睛】此題考查根據(jù)余弦定理求解三角形的內(nèi)角，關(guān)鍵在于熟練掌握余弦定理公式，準(zhǔn)確計(jì)算求解.15、.【解析】

根據(jù)三角函數(shù)的定義求出的值，然后利用反三角函數(shù)的定義得出的值.【詳解】由三角函數(shù)的定義可得，，故答案為.【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)的定義以及反三角函數(shù)的定義，解本題的關(guān)鍵就是利用三角函數(shù)的定義求出的值，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.16、【解析】

根據(jù)數(shù)據(jù)表求解出，代入回歸直線，求得的值.【詳解】根據(jù)表中數(shù)據(jù)得：，又由回歸方程知回歸方程的斜率為截距本題正確結(jié)果：【點(diǎn)睛】本題考查利用回歸直線求實(shí)際數(shù)據(jù)，關(guān)鍵在于明確回歸直線恒過，從而可構(gòu)造出關(guān)于的方程.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1），（2）這套設(shè)備使用6年，可使年平均利潤最大，最大利潤為35萬元【解析】

（1）運(yùn)用等差數(shù)列前項(xiàng)和公式可以求出年的維護(hù)費(fèi)，這樣可以由題意可以求出該設(shè)備給企業(yè)帶來的總利潤（萬元）與使用年數(shù)的函數(shù)關(guān)系；（2）利用基本不等式可以求出年平均利潤最大值.【詳解】解：（1）由題意知，年總收入為萬元年維護(hù)總費(fèi)用為萬元.∴總利潤，即，（2）年平均利潤為∵，∴當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取“”∴答：這套設(shè)備使用6年，可使年平均利潤最大，最大利潤為35萬元.【點(diǎn)睛】本題考查了應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決生活實(shí)際問題的能力，考查了基本不等式的應(yīng)用，考查了數(shù)學(xué)建模能力，考查了數(shù)學(xué)運(yùn)算能力.18、（1）（2）【解析】試題分析：（1）根據(jù)題知，由向量的數(shù)量積公式進(jìn)行運(yùn)算即可，注意，在去括號(hào)的向量運(yùn)算過程中可采用多項(xiàng)式的運(yùn)算方法；（2）根據(jù)向量數(shù)量積公式，可先求出的值，又，從而可求出的值.試題解析：（1）==（2）19、（1）見解析；（2）【解析】

（1）先由線面垂直的判定定理得到平面，進(jìn)而可得平面平面；（2）先取中點(diǎn)，連結(jié)，，證明平面平面，在平面內(nèi)作于點(diǎn)，則平面.以點(diǎn)為原點(diǎn)，為軸，為軸，如圖建立空間直角坐標(biāo)系.分別求出兩平面的法向量，求向量夾角余弦值，即可求出結(jié)果.【詳解】（1）因?yàn)樗倪呅问钦叫危哉燮鸷?，且，因?yàn)?，所以是正三角形，所?又因?yàn)檎叫沃?，為的中點(diǎn)，所以，所以，所以，所以，又因?yàn)椋云矫?又平面，所以平面平面.（2）取中點(diǎn)，連結(jié)，，則，，又，則平面.又平面，所以平面平面.在平面內(nèi)作于點(diǎn)，則平面.以點(diǎn)為原點(diǎn)，為軸，為軸，如圖建立空間直角坐標(biāo)系.在中，，，.∴，，故，，，∴，.設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則由，得，令，得，，∴.因?yàn)槠矫娴姆ㄏ蛄繛?，則，又二面角為銳二面角，∴二面角的余弦值為.【點(diǎn)睛】本題主要考查面面垂直的判定，以及二面角的余弦值，熟記面面垂直的判定定理、以及二面角的向量求法即可，屬于常考題型.20、（1）（2）【解析】

（1）由一元二次不等式的解法分別求出集合，再求交集即可；（2）由待定系數(shù)法求得，再代入不等式，解不等式即可得解.【詳解】解：（1）因?yàn)榧?，集合，即；?）由不等式的解集為，則不等