新教材人教A版高中數(shù)學(xué)必修第二冊(cè)第六章平面向量及其應(yīng)用2022新高考一輪復(fù)習(xí)練習(xí)題

第六章平面向量及其應(yīng)用

1平面向量的概念與線性運(yùn)算.............................................-1-

2平面向量基本定理及坐標(biāo)表示...........................................-7-

3平面向量的數(shù)量積及綜合應(yīng)用..........................................-15-

1平面向量的概念與線性運(yùn)算

A組全考點(diǎn)鞏固練

1.設(shè)Q是非零向量，2是非零實(shí)數(shù)，下列結(jié)論中正確的是（）

A.。與相的方向相反

B.a與下。的方向相同

C.|-za|^|a|

D.|—Aa|^|A|o

B解析：當(dāng)2>0時(shí)，a與腦的方向相同；當(dāng)％<0時(shí)，a與癡的方向相反.A

錯(cuò)誤，B正確.|一癡|=|一由于■用的大小不確定，故|一訓(xùn)與⑷的大小關(guān)系

不確定.C錯(cuò)誤.囚。是向量，而|一切表示長度，兩者不能比較大小.D錯(cuò)誤.

2.如圖，。是△ABC的邊AB的中點(diǎn)，則向量⑦等于（）

一1一

A.-BC+^BAB.-BC-^BA

C.BC—^BAD.BC+^BA

A解析：因?yàn)?。是△ABC的邊4?的中點(diǎn),

所以eb=g（E+詼）.

因?yàn)辂?麗一反：，

所以廊一反'一反'）=一比+痂.

3.（2020?大同模擬）已知O,A,8三點(diǎn)不共線，P為該平面內(nèi)一點(diǎn)，且舁=為

,AB

+=，則nl()

\AB\

A.點(diǎn)尸在線段AB上

B.點(diǎn)尸在線段AB的延長線上

C.點(diǎn)P在線段43的反向延長線上

D.點(diǎn)P在射線上

]

D解析：由由=為十——，得罰一宓=——，所以分=——-AB,所以點(diǎn)尸

\AB\\AB\\AB\

在射線A3上.

4.(2020?青州模擬)已知向量a,b不共線，且c=2a+),d=a+(2/l-1)從若c

與d反向共線，則實(shí)數(shù)2的值為()

A.1B.12C.2D.12

B解析：由于c與d反向共線，則存在實(shí)數(shù)左使c=&f(A<0),于是以+6=

攵[a+(2A-l)封，整理得九i+Z>=3+(2M-Z)瓦因?yàn)閍,〃不共線，所以《'

2Xk—k=1,

整理得2/i2—2—1=0,解得2=1或2=—g.又Z<0,所以2<0,所以2=一；.

5.(2020?合肥模擬)設(shè)。，E,尸分別為△A8C三邊BC,CA,A3的中點(diǎn)，則應(yīng)

+2EB+3FC=()

A.^ADB.|/4￡)C.^ACD.|AC

D解析：因?yàn)镺,E,尸分別為△ABC三邊BC,CA,AB的中點(diǎn)，所以總+

2EB+3FC=^BA+CA)+2X^AB+CB)+3X^X(AC+BC)=^BA+AB+CB+l

乙乙乙乙乙

BC+^C+^CA

=^A6+^BC+AC=^AC4-AC=|AC.

6.若麗|=|A酉=|油一危1=2,則|油+危尸.

2s解析：因?yàn)閨荏|=河石=|曲一/1=2,

所以△ABC是邊長為2的正三角形，

所以|荏+花為△ABC的邊8C上的高的2倍，

所以|福+屐1=2#.

7.如圖，設(shè)。是△ABC內(nèi)部一點(diǎn)，且0X+次7=—2而，則AABC與△A。。

的面積之比為.

貝質(zhì)十比=2歷，

所以麗=一而，

所以。是AC邊上的中線BD的中點(diǎn)，

所以SZV4BC=2SAOAC,

所以△ABC與△AOC面積之比為2：1.

8.給出下面四個(gè)結(jié)論：

①若線段AC=AB+8C,則向量/=箱+反:；

②若向量公=油十沈，則線段AC=AB+BC；

③若向量油與於共線，則線段AC=AB+BC；

④若向量協(xié)與就反向共線，則|卷一比|=A8+BC.其中正確的結(jié)論有

________（填序號(hào)）.

①④解析：①由AC=AB+B。得點(diǎn)B在線段AC上，則證=屈+反?，正

確；

②三角形內(nèi)，AC=AB+BC,但ACWA8+BC,錯(cuò)誤;

③加，流反向共線時(shí)，\AC\=\AB+BC\^\AB\+\BC\,錯(cuò)誤；

@AB,反:反向共線時(shí)，|成一反1=|油+（一南尸AB+BC,正確.

9.如圖，在AABC中，。為的四等分點(diǎn)，且靠近8點(diǎn)，E,f分別為AC,

AO的三等分點(diǎn)，且分別靠近A,。兩點(diǎn)，^AB=a,AC=b.

（1）試用a,b表示比，AD,BE；

（2）證明：B,E,尸三點(diǎn)共線.

(1)解：在△ABC中，因?yàn)殛?a,AC=b,

trrrrrr?t]31

所以肚=病一麴=》一a,Ab=AJB+Bb=AB+-^C=a+-^b—d)--^a+^b,

BE=BA+AE=—AB+^AC=—a+^b.

2

（2）證明：因?yàn)辂?—BF=BA+AF=~AB+^AD=~a+翁4+%)=

11

十6

-呼6-所以標(biāo)=；族，濟(jì)與旗共線，且有公共點(diǎn)B,所以B,E,

產(chǎn)三點(diǎn)共線.

B組新高考培優(yōu)練

10.（多選題）A,B,C是圓。上不同的三點(diǎn)，線段C。與線段交于點(diǎn)。（點(diǎn)

。與點(diǎn)。不重合）.若反=2蘇+〃時(shí)（九蚱R）,則4+〃的取值可能是（）

A.1B.2C.6D.3

BCD解析：設(shè)次7=相而，則m>\.

因?yàn)榉?=2宓+〃為，

所以加沆）=2/+〃為，

即歷=立方+任礪

mm

又知A,B,。三點(diǎn)共線,

所以“+豈=1,即X+u=m

99

mm產(chǎn)，

所以2+〃>1.

11.（多選題X2020.山東四校聯(lián)考）如圖，在△ABC中，點(diǎn)D在邊BC上，且

CD=2DB,點(diǎn)E在邊AO上，且AD=3AE,則（）

BZ^\C

BDc

A.CE=^AB+^AC

—?2—?8—?

B.CE=T:AB—7：AC

c.CE=|AD+AC

D.CE=^AD-AC

BD解析：因?yàn)閳?chǎng)=34+&，AE=|AD,AD=AB+BD,BD=^BC,BC=

BA+AC,

所以防=g廊+危）.

所以屐）=油+由）=油+；麗+穎?，

所以施=^+34,，

所以走=鼻+；勘麗+上慶苦油一得證.

12.如圖，A,B,C是圓。上的三點(diǎn)，線段CO的延長線與8A的延長線交

于圓。外的一點(diǎn)。.若加=〃2討1+〃加，則根+〃的取值范圍是.

（-1,0）解析：由點(diǎn)D是圓O外的一點(diǎn)，可設(shè)前>=2防（2>1）,則歷=為+應(yīng)）

=08+254=z<9A+(l-z)(9B.

因?yàn)镃,0,。三點(diǎn)共線，令歷=一〃(無8>1).

所以定=一彳為一^-麗(2>1,//>1).

因?yàn)殂?〃2醇+〃彷，

所以m=-,n=-----,

21—21

所以m+〃=___-----=__￡(—1,0).

林林〃

13.如圖，經(jīng)過4048的重心G的直線與。A,08分別交于點(diǎn)P,Q,設(shè)罰

=mOA,0Q=n0B,m,〃GR,求:+'的值.

解：設(shè)萬1=%0B=b,

—2I—?—]

由題意知0G=3X](0A+0B)=W(a+5),

PQ=OQ—OP=nb-ma,

PG=OG-OP=

由P,G,。三點(diǎn)共線得，存在實(shí)數(shù)九

使得區(qū)=2瓦;，即nb-ma=)\

消去/得品=3?

14.直線/上有不同的三點(diǎn)A,B,C,。是直線/外一點(diǎn)，對(duì)于向量醇=(1

—cosa)OB+sinaOC(a是銳角)總成立，求a.

解：因?yàn)橹本€/上有不同的三點(diǎn)A,B,C,所以存在實(shí)數(shù)九使得放=2比,

所以次一勵(lì)="灰—份)，

^OA=(1-X)OB+AOC9

[1—^=1—cosa,

所以J.所以sina=cosa.

A=sina,

因?yàn)閍是銳角，所以a=45°.

2平面向量基本定理及坐標(biāo)表示

A組全考點(diǎn)鞏固練

1.(2020?巴中模擬)若向量箱=(2,3),危=(4,7),則求等于()

A.(-2,-4)B.(2,4)

C.(6,10)D.(-6,-10)

B解析：BC=AC-AB=(2,4).

2.已知平面向量a=(32),6=(1,1),kGR,則％=2是a與同向的()

A.充分不必要條件

B.必要不充分條件

C.充要條件

D.既不充分也不必要條件

C解析：若a與方同向，貝Ua—mb(m>0'),

即(左,2)=機(jī)(1,1),

k=m,

則彳得〃?=2,k=2,

L2=m,

即k=2是a與力同向的充要條件.

3.線段A3的端點(diǎn)為A(x,5),B(—2,y),直線AB上的點(diǎn)使|危|=2|比

I，則x+y=()

A.12B.2

C.—2或6D.2或6

C解析：由已知得病=(1—X,-4),2反7=2(3,1-y).由|危|=2|病可

得慶=±2反

1—x=6,

則當(dāng)危=2反?時(shí)有

-4=2-2y,

解得匕|x=,-5

此時(shí)x+y=-2;

-?f[1—x=-6,

當(dāng)AC=-2BC時(shí)，有J,cic

l-4=-2+2y,

x=7,

解得<'此時(shí)x+y=6.

g-l,

綜上可知，x+y=-2或6.

4.(2020?南昌調(diào)研)已知向量a=(l,-2),8=(x,3y—5),且?！?。.若x,y均

為正數(shù)，則孫的最大值是()

r-252525

A.2^/6B.3C.五D.不

C解析：因?yàn)閍〃b,所以(3y—5)Xl+2x=0,即2x+3y=5.因?yàn)閤>0,y>

0,所以5=2x+3y?2mH，所以孫W五，當(dāng)且僅當(dāng)3y=2x時(shí)取等號(hào).

5.(多選題)已知向量“『-2,0),4—萬=(-3,—1),則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是()

A.6=(-1,1)B.a//b

C.\a\=\b\D.\a+b\=\b\

ABC解析：因?yàn)閍=(-2,0),a-b=(-3,-1),所以》=(1,1),所以a。

=-2,\a\=2,\b\=\f2,所以選項(xiàng)A,B,C都不正確.而“+。=(一1,1),則|a

+b\=y[2=\b\,所以D正確.故選ABC.

6.(2020?開封月考)已知向量為=(4+1,1),〃=q+2,2).若(24+〃)〃(加一2"),

則4=.

0解析：因?yàn)?機(jī)+〃=(3/1+4,4),zn—2n=(—2—3,—3),且(2m+〃)〃(機(jī)

-2n),所以(一3>(32+4)—4(一丸一3)=0,解得2=0.

7.已知在△ABC中，點(diǎn)O滿足次1+彷+沃?=0,點(diǎn)P是OC上異于端點(diǎn)的

任意一點(diǎn)，且用》=優(yōu)宓+〃萬則〃?十"的取值范圍是.

(-2,0)解析：設(shè)(5>=女無(0<%<1),由為+為+而=0,知次:=一(/+

OB),所以舁=一2/一丸刃.由平面向量基本定理知，機(jī)+〃=一2九所以m+n&(~

2,0).

8.(2020.中原名校聯(lián)考)如圖，在△ABC中，點(diǎn)M是3c的中點(diǎn)，N在邊AC

Ap

上，且AN=2NC,AM與3N相交于點(diǎn)P,則麗

4解析：(方法一)如圖，過M作MO〃AC交BN于點(diǎn)。，易知APMDSAPAN.

依題設(shè)知DM=3NC=%N,

?APAN

即麗=麗=4,

(方法二)設(shè)筋=a,AC=b,因?yàn)锳,P,M三點(diǎn)共線，所以存在唯一實(shí)數(shù)九

使得AP=Z4M.

又知M為8C的中點(diǎn)，所以分=%(a+b).

因?yàn)?,P,N三點(diǎn)共線，所以存在唯一實(shí)數(shù)〃，4更得BP=/iBN,

又AP=AB+5P=AB+〃8N=AB+〃(AN-AB)=AB+〃=(L〃)a+

12

所以手(a+6)=(1—〃)a+?必,

1-〃=手

所以2」

孕一小

A43

解得2=予〃=亍

所以國＞=，篇f,PM=^AM.

rrAD

所以|AP|：|PM]=4：1,即麗=4.

9.已知a=(l,O),b=(2,l),

(1)當(dāng)〃為何值時(shí)，妨一Z＞與。+2方共線；

⑵若屈=2a+3A,比=°+，抽且A,B,C三點(diǎn)共線，求機(jī)的值.

解：(1)3一8=41,0)—(2,1)=伏一2,-1),

a+26=(l,0)+2(2,l)=(5,2).

因?yàn)閗a-b與a+2b共線，

所以2(女一2)一(一1)義5=0,

即2A—4+5=0,得人=一/

(2)(方法一)因?yàn)锳,B,。三點(diǎn)共線，所以牯=2反?，

即2a+3b=X(a+mb)9

2=九3

所以彳解得加=不

、3=加九2

(方法二)翁=2a+36=2(1,0)+3(2,1)=(8,3),

BC=a+mb=(1,0)+z??(2,1)=(2m+1,m).

因?yàn)锳,B,C三點(diǎn)共線，所以防〃反?，

3

所以8〃?一3(2m+1)=0,即2機(jī)一3=0,所以"?=之.

10.已知點(diǎn)。是△A3C內(nèi)的一點(diǎn)，NAO8=150。，NBOC=90。.設(shè)0X=a,OB

=b,次7=c，且|a|=2,\b\=\,|c|=3,試用a和力表示c.

解：以。為原點(diǎn)，OC,08所在直線分別為x軸和y軸建立如圖所示的平面

直角坐標(biāo)系.

由題意知，0A=2,ZAOC=120°,

所以A(2cos120。，2sin120°),

即4(一1,一),易知3(0,-1),C(3,0).

設(shè)次=為訪+勿花，

即(一1,#)=九(0,-1)+22(3,0),

[-1=3^2,「尸一小,

所以彳解得彳1

N3=Ti,h=-y

所以a=一小萬一gc,即c=-3。一3小小

B組新高考培優(yōu)練

11.(多選題)已知向量機(jī)=(1,0),〃=弓，；)，貝ij()

A.\m\=y[2\n\

B.(m~~ii)//n

C.(機(jī)一")J_〃

3兀

D?機(jī)與一〃的夾角為彳

ACD解析：因?yàn)椤?(1,0),&3),所以制|=1,|〃尸乎,

所以|加|=陋|川，故A正確；

因?yàn)榇我弧?[3，—；)，所以機(jī)一〃與〃不平行，故B錯(cuò)誤；

,人一，z、機(jī)?(一〃)\12“

又(機(jī)一〃)?〃=(),故C正確；因?yàn)閏os一〃〉=-------=—。,所以m

\m\\一n\2

3兀

與一〃的夾角為4，故D正確.故選ACD.

12.已知。是平面上的一定點(diǎn)，A,B,C是平面上不共線的三個(gè)點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P

滿足麗=。8°——,Ae[0,+8),則動(dòng)點(diǎn)p的軌跡一定

一JAB|cosB|AC|cosC>

通過AABC的()

A.重心B.垂心C.外心D.內(nèi)心

rjr''

C解析：設(shè)BC的中點(diǎn)為。，則一2一=①.

rf]

Ir,,GfAB,AC

由已知得DP=a------+—-----,

JAB|cosB|AC|cosC?

所以存?比=3?歐+乎明

JAB|cosB|AC|cosC)

"一一一、

,|AB|-|Bqcos(7t-B),|AC||BqcosC

=A---------------------+——-----------

<|AB|cosB|AC|cosC)

=A(-|BC|+|BC|)=0.

所以DP工BC,點(diǎn)P在BC的垂直平分線上，故動(dòng)點(diǎn)P的軌跡通過△ABC的

外心.

13.(2020?丹東五校聯(lián)考)向量tana),〃=(cosa,1),且a〃)，則cos

26x=.

解析：因?yàn)閍〃〃，tana),6=(cosa,1),所以tana?cosa=sina

2

=；,所以cos2a=1—2sin2a=1—2X(；)=*

14.在直角梯形ABC。中，AB±AD,AD//BC,AB=BC=2AD=2,E,尸分

別為3C,CD的中點(diǎn)，以A為圓心，AO為半徑的半圓分別交BA及其延長線于點(diǎn)

M,N,點(diǎn)P在半圓弧MN上運(yùn)動(dòng)(如圖).若力=施+〃而，其中九〃GR,則22

一5〃的最小值為,最大值為.

NAR

一2/2解析：由于故以A為原點(diǎn)，以AB,A。所在直線分別

為九軸、y軸建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系.

因?yàn)辄c(diǎn)P在半圓弧MN上運(yùn)動(dòng)，圓的半徑為1,

所以設(shè)P(cosa,sina)(0WaW7C),

所以A^=(COSQ,sina),AE=(2,1),濟(jì)=(—1,

因?yàn)?/p>

所以(cosa,sina)

=A(2,l)+^-l,I)

=12A—2

22—〃=cosa,

所以，2+1/z=sina,

;1.,3

z=^sina+gcosa,

解得?

1.1

〃=尹11a—4cosa,

所以22—5//=2cosa_2sina=2啦sin(a+^^.

小“八一一.3兀??3兀兀

因?yàn)镺WIWTI,所以彳?1+彳★彳,

所以—2啦W2啦Sin(a+,)W2.

即22—5〃的最小值為一2啦，最大值為2.

15.如圖，G是△OAB的重心，P,。分別是邊。A,08上的動(dòng)點(diǎn)，且P,G,

。三點(diǎn)共線.

(1)設(shè)歷=2區(qū)，將濟(jì)用九0P,兩表示；

(2)設(shè)^^二兀為，OQ=yOB,證明：是定值.

(1)解：OG=OP+PG=OP+XPQ=OP+X(dQ-OP)=(}~X)OP+XOQ.

(2)證明：由⑴,得

OG=(l-A)OP+AOQ=(l-A)xdA+AyOB.?

又因?yàn)镚是△04?的重心，

r2—?1rr1—1—

所以x+為)②

而。X漏不共線，

(1—A)x=|,

所以由①②，得J]

[4=彳，

卜-3人

解得jJ

_

ly=32,

所以1+'=3(定值).

xy

16.給定兩個(gè)長度為1的平面向量萬1和彷，它們的夾角為90。，如圖所示，

點(diǎn)C在以。為圓心的圓弧藍(lán)上運(yùn)動(dòng).若加=x8l+y彷，其中x,y￡R,求x+y

的最大值.

€

OA

兀

解：(方法一)設(shè)/AOC=a,則ae0,].過點(diǎn)C作COLOA于點(diǎn)D,CELOB

于點(diǎn)E(圖略)，則四邊形OOCE是平行四邊形，所以說=歷+無.又灰:=xdX+

yOB,所以x=cosa,y=sina,所以x+y=cosa+sina=4^sin(a+j).又因?yàn)?/p>

a@0,%則竽，所以lWx+)W啦，即x+y的最大值是啦.

(方法二)因?yàn)辄c(diǎn)。在以O(shè)為圓心的圓弧0上，所以|灰]2=僅次+)，0坪=/+

y2+2xyOAOB=x2+y2,所以^+/=1,則2孫忘_?+丁=1.又(％+?=%2+尸+

2盯W2,所以x+y的最大值為止.

3平面向量的數(shù)量積及綜合應(yīng)用

A組全考點(diǎn)鞏固練

1.(多選題)已知向量a=(0,5),)=(4,-3),c=(—2,-1),那么下列結(jié)論

正確的是()

A.a+b與c為共線向量

B.a-b與c垂直

C.與a的夾角為鈍角

D.a—b與8的夾角為銳角

AB解析：根據(jù)題意，向量a=(0,5),b=(4,—3),則a+b=(4,2).

又由c=(-2,-1),有4X(—l)=2X(—2),則a+〃與c是共線向量.

因?yàn)?。一?(一4,8),(a-6)-c=(-4)X(-2)+(-l)X8=0,所以“一力與c垂

直.

2.(2020.中衛(wèi)二模)加強(qiáng)體育鍛煉是青少年生活學(xué)習(xí)中非常重要的組成部分.某

學(xué)生做引體向上運(yùn)動(dòng)，處于如圖所示的平衡狀態(tài)時(shí).若兩只胳膊的夾角為60。，每

只胳膊的拉力大小均為400N,則該學(xué)生的體重(單位：kg)約為()

(參考數(shù)據(jù)：取重力加速度大小為g=10m/s2,小心1.732)

A.63B.69

C.75D.81

B解析：設(shè)該學(xué)生左右兩只胳膊的拉力分別為bl,F2,身體的重力為G,

FI=F2=400N,兩胳膊夾角。=60。，

所以G+FI+F2=0,即G=-(FI+F2).

22222

所以G=(Fi+F2)=400+2X400X400Xcos60°+400=3X400,|G|=

40M(N),40^^40X1.732^69,

則該學(xué)生的體重約為69kg.

TT

3.(202?！背?jí)全能生”全國聯(lián)考)在△ABC中，AB=4,BC=6,ZABC=^

。是AC的中點(diǎn)，E在上，且AELBO,則成?流等于()

A.16B.12C.8D.-4

A解析：以8為原點(diǎn)，BA,3c所在直線分別為x,y軸建立平面直角坐標(biāo)

系(圖略)，則A(4,0),8(0,0),C(0,6),0(2,3).設(shè)及0,t),因?yàn)锳EL8。，所以加?施

=(2,3)-(—4,r)=—8+3z=0,

所以/=*即40,1).

恁拓=(一4,h.(0,6)=16.

4.(2020?興慶區(qū)校級(jí)三模)在邊長為2的等邊三角形ABC中.若。是邊上

的中點(diǎn)，點(diǎn)P是線段A。上的一動(dòng)點(diǎn)，則協(xié)?行的取值范圍是()

A.[-1.0]B.[-1,1]

-3、r3

C.[一不+°°JD.[―彳，0

D解析：以。為原點(diǎn)，0c和D4分別為x軸和y軸建立如圖所示的平面直

角坐標(biāo)系,

則A(0,小)，C(1,O).

設(shè)P(0,y),閆0,憫，

所以酢?麗=(0,y—小)-(-1,y)=y(y—S)w[一不0.

5.(2020.唐山二模)已知向量a,b滿足⑷=1,(a—5)_1(3“一))，則”與〃的

夾角的最大值為（）

A.30°B.60°

C.120°D.150°

A解析：因?yàn)棰?1,（a—b）.L（3a—b）,

所以（a—》〉（3。一））=3/+戶-4a-b=3+》2—4a力=0,

亞族F+3

所以ab=~-,

網(wǎng)+生

所以cos〈a功〉=前》==—了回，半，當(dāng)且僅當(dāng)協(xié)|=小時(shí)，等號(hào)成立，

且0°W〈a必〉W180°,

所以cos〈。彷〉-時(shí)，a,8的夾角最大為30。.

6.（2020.重慶模擬）已知向量。=（一1,2）,辦=（3,4）.若向量。與。共線，且c

在方方向上的投影為小，則|c|=.

5解析：向量4=（—1,2）,向量c與a共線，

設(shè)c=（一九22）.由8=（3,4）,

所以c在方方向上的投影為

cb—32+82r-

klcos。=而=5=75,

解得2=小，

所以c=（一小，2小），

所以|c[=[(-#>+(2小)2=5.

7.已知向量箱=(2,3),尿：=(3,。，且法與比夾角為銳角，則實(shí)數(shù)二的取值

范圍為?

《，+°°)解析：向量牯=(2,3),AC=(3,t),所以比=慶一屈=

(1,，一3).

—-ABBC>Q,

又AB與夾角為銳角，則,_

.協(xié)與反:不共線,

2+3(r-3)>0,

所以“

2(L3)—3W0,

79

解得/>1且7工,

所以實(shí)數(shù)r的取值范圍是(J,1)ug,+8)

8.在平面直角坐標(biāo)系九Oy中，已知A(0,-1),B(—3,一4)兩點(diǎn).若點(diǎn)C在

NAOB的平分線上，且|比|=①，則點(diǎn)。的坐標(biāo)是.

(-1,-3)解析：由題意，OA=(0,-1)是一個(gè)單位向量.由于為=(一3,

—4),故加方向上的單位向量e=(一|,一"

因?yàn)辄c(diǎn)C在NAOB的平分線上，所以存在實(shí)數(shù)犯>0)使得反;=晨次+e)=

因?yàn)閨比|=①，

所以22義舄+|1)=10,解得2=?.

代入得5b=(-1,-3).

9.已知同=4,\b\=3,(2a-3Z>)-(2a+6)=61.

(1)求a與分的夾角仇

(2)求M+"；

(3)若筋=a,BC=b,求△ABC的面積.

解：⑴因?yàn)?2a—35>(2a+方)=61,

所以41al2-4Q山一3|那=61.

又|a|=4,\b\=3,

所以64—4。力-27=61,

所以ab=~6,

..、，八a-b-61

=

所以cos^=j^i=4x3~2'

2兀

又OWOWTT,所以。=與■.

(2)|a+加2=(。+。)2=|aF+2。協(xié)+例2

=42+2X(-6)+32=13,

所以|a+加=^/15.

rr2兀

(3)因?yàn)橛》脚c反?的夾角e=w，

“，2兀兀

所以ZABC=Tt—~Y=y

又|荏|=同=4,|BC|=|Z>|=3,

所以SA/IBC=，崩||的sinNABC

1理r-

=]X4X3X看=3小

10.在△A3C中，角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,向量m=(cos(A—8),

3

sin(A—B)),?i=(cosB,—sinB),且機(jī)?〃=一§.

(1)求sinA的值；

(2)若a=4啦，b=5,求角8的大小及向量或在肥方向上的投影.

3

解：(1)由m?〃=一；,

3

得cos(A—B)cosB—sin(A—B)sinB=一彳

“3

所以cosA=一亍

因?yàn)镺VAV兀，

所以所nA=.l—cos2A='/1—(一[=*

（1b

⑵由正弦定理，得后=砧，

4

n,.n匕sinA5*5A/2

則sinB-~F*+

兀

因?yàn)椤＃?，所以A＞8,且8是△ABC一內(nèi)角，則8=7

解得c=l或c=-7（舍去）,

故向量麗在心方向上的投影為|放卜cosB=ccosB=1X=2'

B組新高考培優(yōu)練

11.（多選題）已知兩個(gè)單位向量為，&的夾角為仇則下列結(jié)論正確的是（）

A.不存在仇使019=近

B.e?=e2

C.（幻―C2）-L（ei+e2）

D.約在攵方向上的投影為sin。

ABC解析：對(duì)于A,因?yàn)閮蓚€(gè)單位向量ei,C2,有eie=1X1Xcos9=cos

所以A正確；對(duì)于B,因?yàn)閮蓚€(gè)單位向量ei,62,有質(zhì)=后=1,所以B正

確；對(duì)于C,因?yàn)閮蓚€(gè)單位向量ei,C2,（3—02）?（01+。2）=＞一a=0,所以?一

e2）_L（ei+e2）,所以C正確；對(duì)于D,因?yàn)閮蓚€(gè)單位向量ei,ei,e\在改方向上的

投影為|ei|cos9=cos3,所以D錯(cuò)誤.

12.（2020.樂山模擬）如圖,已知函數(shù)/（冗）=竽曲詞Ai,4,4是圖象的頂

點(diǎn)，。，B,C,。為了（X）與工軸的交點(diǎn)，線段4。上有五個(gè)不同的點(diǎn)。1,Q,…，

Q,記修=Q42,OQM=1,2,…，5）,則〃1+改+…+〃5的值為（