人教A版高中數(shù)學(xué)第一冊(必修1)學(xué)案5：5. 2 . 1 三角函數(shù)的概念

5.2.1三角函數(shù)的概念

『課程標(biāo)準(zhǔn)』

(1)借助單位圓理解任意角的三角函數(shù)定義.

(2)掌握三角函數(shù)在各象限的符號.

(3)掌握誘導(dǎo)公式一并會應(yīng)用.

(4)會用三角函數(shù)線表示角的正弦、余弦和正切.

『新知初探』

知識點(diǎn)一任意角的三角函數(shù)的定義

如圖，設(shè)a是一個任意角，它的終邊與單位圓交于

前提

點(diǎn)P(x,y)yA(i,o)

正弦叫做a的正弦，記作sina,即sina=

余弦叫做a的余弦，記作cosa,即cosa=

定義正切;叫做a的正切，記作tana,即tana=3xW0)

三角正弦、余弦、正切都是以角為自變量，以單位圓上的點(diǎn)的坐標(biāo)

函數(shù)或坐標(biāo)的比值為函數(shù)值的函數(shù)，將它們統(tǒng)稱為三角函數(shù).

狀元隨筆三角函數(shù)的定義

(1)三角函數(shù)是一個函數(shù)，符合函數(shù)的定義，是由角的集合(弧度數(shù))到一個比值的集合的函數(shù).

(2)三角函數(shù)值實(shí)質(zhì)是一個比值，因此分母不能為零，所以正切函數(shù)的定義域就是使分母不

為零的角的集合.

知識點(diǎn)二正弦、余弦、正切函數(shù)在弧度制下的定義域

三角函數(shù)定義域

sinaR

cosaR

71

tana

知識點(diǎn)三三角函數(shù)線

狀元隨筆(1)三角函數(shù)線的方向.

正弦線由垂足指向角a的終邊與單位圓的交點(diǎn)，余弦線由原點(diǎn)指向垂足，正切線由切點(diǎn)指向

切線與角a的終邊或其反向延長線的交點(diǎn).

(2)三角函數(shù)線的正負(fù):三條有向線段凡與x軸或y軸同向的，為正值，與x軸或y軸反向的，

為負(fù)值.

知識點(diǎn)四三角函數(shù)值在各象限的符號

sinacosatana

狀元隨筆對三角函數(shù)值符號的理解

三角函數(shù)值的符號是根據(jù)三角函數(shù)定義和各象限內(nèi)坐標(biāo)符號導(dǎo)出的.從原點(diǎn)到角的終邊上任

意一點(diǎn)的距離r總是正值.根據(jù)三角函數(shù)定義知：

(1)正弦值符號取決于縱坐標(biāo)y的符號；

(2)余弦值的符號取決于橫坐標(biāo)x的符號；

(3)正切值的符號是由x,＞符號共同決定的，即x,y同號為正，異號為負(fù).

知識點(diǎn)五誘導(dǎo)公式一

⑴語言表示：終邊相同的角的三角函數(shù)的值相等.

sin(a+k2;i)=,

(2)式子表示《cos(a+k27i)=,其中左GZ.

、tan(a+k-27i)=,

狀元隨筆誘導(dǎo)公式一

(1)實(shí)質(zhì)：是說終邊相同的角的三角函數(shù)值相等.即角a的終邊每繞原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一周，函數(shù)值將

重復(fù)出現(xiàn)一次.

(2)結(jié)構(gòu)特征：左、右為同一三角函數(shù)；公式左邊的角為a+k-2%,右邊的角為a.

(3)作用：把求任意角的三角函數(shù)值轉(zhuǎn)化為求0?2加或0。?360。)角的三角函數(shù)值.體現(xiàn)了

“大化小”“負(fù)化正”的數(shù)學(xué)思想.

『教材解難』

正確認(rèn)識三角函數(shù)線

(1)正弦線、余弦線、正切線分別是正弦、余弦、正切函數(shù)的幾何表示，三角函數(shù)線的長度

等于三角函數(shù)值的絕對值，方向表示三角函數(shù)值的正負(fù)，凡與x軸或y軸同向的為正值，反

向的為負(fù)值.

(2)三角函數(shù)線的畫法

定義中不僅定義了什么是正弦線、余弦線、正切線，同時也給出了角a的三角函數(shù)線的畫法，

即先找到P,M,T點(diǎn),再畫出MP,OM,AT.

(3)三角函數(shù)線的作用

三角函數(shù)線的主要作用是解三角不等式及比較同角異名三角函數(shù)值的大小，同時它也是以后

學(xué)習(xí)三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)的基礎(chǔ).

『基礎(chǔ)自測』

1.如圖所示，在單位圓中角a的正弦線、正切線完全正確的是()

A.正弦線PM,正切線A'V

B.正弦線正切線A'T'

C.正弦線MP,正切線AT

D.正弦線PM,正切線AT

2.sin780。的值為()

A.一坐B.坐

C.—D.；

3.已知角a的終邊與單位圓交于點(diǎn)(一坐，一；)，則sina的值為()

A.—坐B.

C.坐D.1

4.若a是第三象限角，則點(diǎn)P(sina,cosa)在第象限.

『課堂探究』

題型一三角函數(shù)的定義及應(yīng)用

5兀

例1求學(xué)的正弦、余弦和正切值.

1.在直角坐標(biāo)系中作角.

2.畫出單位圓求交點(diǎn).

3.利用三角函數(shù)的定義求值.

方法歸納

已知a終邊上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)求三角函數(shù)值的方法

(1)先利用直線與單位圓相交，求出交點(diǎn)坐標(biāo)，然后再利用正、余弦函數(shù)的定義求出相應(yīng)三

角函數(shù)值.

(2)在a的終邊上任選一點(diǎn)尸(x,y),P到原點(diǎn)的距離為r(r>0).貝Usina=：,cosa=%已知a

的終邊求a的三角函數(shù)值時，用這幾個公式更方便.

(3)當(dāng)角a的終邊上點(diǎn)的坐標(biāo)以參數(shù)形式給出時，要根據(jù)問題的實(shí)際情況對參數(shù)進(jìn)行分類討

論.

跟蹤訓(xùn)練1(1)若角a的終邊經(jīng)過點(diǎn)P(5,—12),則sina=,cosa=

tanck~~.

(2)已知角a的終邊落在直線/彳十了=0上，求sina,cosa,tana的值.

狀元隨筆|⑴若已知角a終邊上一點(diǎn)P(x,y)(xW0)不是單位圓上的點(diǎn)，則先求一五行

(r表示點(diǎn)P到原點(diǎn)的距離)，sina=：,cosot=1,tana=^.

(2)在a的終邊上任取一點(diǎn)，再利用三角函數(shù)的定義求解.

題型二三角函數(shù)線『經(jīng)典例題』

例2做出3于7r的正弦線、余弦線和正切線.

先作單位圓再作角，最后作出三角函數(shù)線.

方法歸納

三角函數(shù)線的畫法

(1)作正弦線、余弦線時，首先找到角的終邊與單位圓的交點(diǎn)，然后過此交點(diǎn)作x軸的垂線，

得到垂足，從而得正弦線和余弦線.

⑵作正切線時，應(yīng)從41,0)點(diǎn)引單位圓的切線，交角的終邊或終邊的反向延長線于一點(diǎn)T,

即可得到正切線AT.

跟蹤訓(xùn)練2作出一苓的正弦線、余弦線和正切線.

O

作單位圓、作角、畫出三角函數(shù)線.

題型三三角函數(shù)在各象限的符號『經(jīng)典例題』

COSQ

例3若sinatana<0,且；^<0,則角a是()

A.第一象限角

B.第二象限角

C.第三象限角

D.第四象限角

分別由sinatana<0和警〈確定角a是第幾象限角一二者的公共部分即所求

IdllcX

方法歸納

判斷三角函數(shù)值正負(fù)的兩個步驟

(1)定象限：確定角a所在的象限.

(2)定符號：利用三角函數(shù)值的符號規(guī)律，即“一全正，二正弦，三正切，四余弦”來判斷.

注意：若sina>0,則a的終邊不一定落在第一象限或第二象限內(nèi)，有可能終邊落在〉軸的

非負(fù)半軸上.

跟蹤訓(xùn)練3判斷下列各式的符號：

(l)sin145°cos(-210°)；

(2)sin3-cos4-tan5.

確定角的終邊所在的象限一分別判斷三角函數(shù)值符號一得出式子的符號

題型四誘導(dǎo)公式一的應(yīng)用『經(jīng)典例題』

例4計(jì)算下列各式的值：

(l)sin(-l395°)cos1110°+cos(-l020°)sin750°；

(117i\12K

(2)sinl-1+COS--tan4兀.

狀元隨筆(1)含有三角函數(shù)值的代數(shù)式的化簡，要先利用誘導(dǎo)公式一把角的范圍轉(zhuǎn)化到

0?2兀范圍內(nèi)，求出相應(yīng)的三角函數(shù)值.

(2)準(zhǔn)確記憶特殊角的三角函數(shù)值是三角函數(shù)化簡求值的基礎(chǔ)，此類問題易出現(xiàn)的錯誤就是

對特殊角的三角函數(shù)值記憶不準(zhǔn)確導(dǎo)致計(jì)算錯誤.

方法歸納

利用誘導(dǎo)公式一求值應(yīng)注意：利用誘導(dǎo)公式一可把負(fù)角的三角函數(shù)轉(zhuǎn)化為0?27t內(nèi)的角的三

角函數(shù)，也可把大于2兀的角的三角函數(shù)轉(zhuǎn)化為0?2兀內(nèi)的角的三角函數(shù)，即實(shí)現(xiàn)了“負(fù)化

正，大化小”，要注意記憶特殊角的三角函數(shù)值.

跟蹤訓(xùn)練4求下列各式的值：

2571,(15^

(l)sin-^-+tanl-J；

(2)sin810°+cos3600-tan1125°.

『學(xué)業(yè)達(dá)標(biāo)』

一、選擇題

1.已知角。的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，終邊過點(diǎn)（一|，D，則tana的值

為（）

43

B.

34

43

D.

55

2.sin(—14(F)cos740。的值()

A.大于0B.小于0

C.等于0D.不確定

3.若sin6cose<0,則角。是（）

A.第一或第二象限角B.第二或第三象限角

C.第三或第四象限角D.第二或第四象限角

4.使sinxWcosx成立的x的一個區(qū)間是（）

3兀71~7171

甲4_BL2.

D.[0,n]

二、填空題

5.sin（-l380O）=.

6.當(dāng)a為第二象限角時，需一溫的值是-------

7.用三角函數(shù)線比較sin1與cos1的大小，結(jié)果是.

三、解答題

3

8.已知角a的終邊為射線>=—卞（%20）,求角a的正弦、余弦和正切值.

9.判斷下列各式的符號:

(l)sin1050-cos230°；

(2)cos3-tan

10.利用三角函數(shù)線，求滿足下列條件的角。的集合:

(l)tana=~l；

力(2)sin.V亞?

★參*考*答*案★

『新知初探』

知識點(diǎn)一任意角的三角函數(shù)的定義

Yyxx

知識點(diǎn)五誘導(dǎo)公式一

(1)同名

(2)sinacosottana

『基礎(chǔ)自測』

L『『解析」』a為第三象限角，故正弦線為正切線為AT,所以C正確.

M答案」』c

2.『『解析」』sin780°=sin(2X360°+60°)=sin60°=號，故選B.

H答案」』B

3.『『解析」』根據(jù)任意角的正弦定義，可得sina=y=一g

M答案J』B

4.『『解析J』為第三象限角，.,.sinavO,cosa<0,

...尸(sina,cosa)位于第三象限.

M答案』』三

『課堂探究』

題型一三角函數(shù)的定義及應(yīng)用

例1

『『解析』』在直線坐標(biāo)系中，作乙4。2=學(xué)57r如圖).

易知NAOB的終邊與單位圓的交點(diǎn)坐標(biāo)為\，一堂.

所以sin,=—坐，cos津=3，tan,=一小.

跟蹤訓(xùn)練1

『『解析』』（1）＜％=5,y=-12,???-=[52+（—12）2=13,

mi.￥12x5y12

叫Usina==—77,cos。=一=\,tana==

r13r13x5

（2）直線小x+y=0,即y=一小x,

經(jīng)過第二、四象限，在第二象限取直線上的點(diǎn)（一1,5），

則廠=、（-1）2+（仍）2=2,所以sina=^-,cosa——^tana=一小;

在第四象限取直線上的點(diǎn)（1,一?。?則r=產(chǎn)彳二后=2，

-/2]

所以sinot=-2,cos?=2'tana=一仍.

『『答案』』⑴-若12」5-y12⑵見『解析』

題型二三角函數(shù)線『經(jīng)典例題』

例2

冗

『『解析』』角3學(xué)的終邊（如圖）與單位圓的交點(diǎn)為P.作PM垂直于x軸,垂足為M,過A（l,0）

作單位圓的切線AT,與3于7r的終邊的反向延長線交于點(diǎn)T,則3于7r的正弦線為MP,余弦線為

跟蹤訓(xùn)練2

『『解析JJ如圖：sin（一金=苗尸，cos（一金=0M,tan（一3=AT.

題型三三角函數(shù)在各象限的符號『經(jīng)典例題』

例3

『『解析』』由sinatana<0可知sina,tana異號，從而a是第二或第三象限角.

ccqa

由署40可知cosa，tana異號，從而a是第三或第四象限角.綜上可知，a是第三象限角.

idna

『『答案』』C

跟蹤訓(xùn)練3

『『解析』』⑴：145。角是第二象限角，...sinl45。〉。.

-210°=-360°+150°,—210。角是第二象限角,

cos(—210°)<0,sin145°cos(—210°)<0.

兀3兀

(2)*.*2<3<^<4<_^~<5<271,/.sin3>0,cos4<0,tan5<0,sin3-cos4-tan5>0.

題型四誘導(dǎo)公式一的應(yīng)用『經(jīng)典例題」

例4

『『解析』』⑴原式

=sin(—4X360°+45°)cos(3X360°+30°)+cos(-3X360°+60°)sin(2X360°+30°)

=sin45°cos300+cos60°sin30°

乎呼+起邛小苧.

原式=兀

(2)sin[-2+cos?tan(4n+0)

=sin^+cos^X0=g.

跟蹤訓(xùn)練4

『『解析』』⑴sin弩+tan(一里|

=sin(87i+即+tan(—47i+g

=sig+tan：

(2)sin8100+cos3600-tan1125°

=sin(2X360°+90°)+cos(360°+0°)-tan(3X3600+45°)

=sin90°+cos0°—tan45°

=1+1-1=1.

『學(xué)業(yè)達(dá)標(biāo)』

一、選擇題

4

54

1.『『解析」』由正切函數(shù)的定義可得，tana=「=一

-5

rr答案』』A

2.『『解析」』因?yàn)橐?40。為第三象限角，故sin(—140。)<0.

因?yàn)?40。=2義360。+20。，所以740。為第一象限角，

故cos740°>0,所以sin(一140°)cos740°<0.故選B.

M答案J』B

3.『『解析』」設(shè)角。終邊上一點(diǎn)的坐標(biāo)為(x,y),該點(diǎn)到原點(diǎn)的距離為r(?0),貝。sin6cos8

即孫<0,所以角。終邊上點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)異號，故角0是第二或第四象限角?

M答案」』D

4.『『解析」』如圖所示，畫出三角函數(shù)線sinx=MP,cosx=OM,

由于sin(-?=cosH}sin；=cos?為使sinxWcosx成立，

由圖可得在『一兀，兀)范圍內(nèi)，一3學(xué)7r士哥J.T

rr答案」』A

二、填空題

5.I1「解析」」sin(—1380°)=sin『60°+(—4)X360°』=sin60°=^-.

M答案』』坐

6.『『解析」」,.?(/為第二象限角，.入巾。,。，cos(x<0.

.四口a|cosasinacosa

??sina|cosa\sina—cosa'

『『答案」」2

7.『『解析」」如圖，sini—MP,cos