數(shù)學(xué)中考總復(fù)習(xí)之旋轉(zhuǎn)習(xí)題解析

新版數(shù)學(xué)中考總復(fù)習(xí)之旋轉(zhuǎn)習(xí)題解析

單元知識點(diǎn)呈現(xiàn)

1.旋轉(zhuǎn)：在平面內(nèi)，將一個圖形繞一個圖形按某個方向轉(zhuǎn)動一個角度，這樣的運(yùn)動叫做圖形的旋轉(zhuǎn)。這個定

點(diǎn)叫做旋轉(zhuǎn)中心，轉(zhuǎn)動的角度叫做旋轉(zhuǎn)角。(圖形的旋轉(zhuǎn)是圖形上的每一點(diǎn)在平面上繞著某個固定點(diǎn)旋轉(zhuǎn)固

定角度的位置移動，其中對應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等，對應(yīng)線段的長度、對應(yīng)角的大小相等，旋轉(zhuǎn)前后圖

形的大小和形狀沒有改變。)如下圖所示：

2.旋轉(zhuǎn)對稱中心：把一個圖形繞著一個定點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一個角度后，與初始圖形重合，這種圖形叫做旋轉(zhuǎn)對稱圖

形，這個定點(diǎn)叫做旋轉(zhuǎn)對稱中心，旋轉(zhuǎn)的角度叫做旋轉(zhuǎn)角(旋轉(zhuǎn)角大于0°,小于360°)。

3.旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)

(1)對應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等。

(2)對應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角。

4.中心對稱圖形與中心對稱

中心對稱圖形：如果把一個圖形繞著某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180度后能與自身重合，那么我們就說，這個圖形成中心對

稱圖形。

中心對稱：如果把一個圖形繞著某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180度后能與另一個圖形重合，那么我們就說，這兩個圖形成中

心對稱。

5.中心對稱圖形的判定

如果兩個圖形的對應(yīng)點(diǎn)連線都經(jīng)過某一點(diǎn)，并且被這一點(diǎn)平分，那么這兩個圖形關(guān)于這一點(diǎn)對稱。

6.中心對稱的性質(zhì)：

(1)關(guān)于中心對稱的兩個圖形是全等形。

(2)關(guān)于中心對稱的兩個圖形，對稱點(diǎn)連線都經(jīng)過對稱中心，并且被對稱中心平分。

(3)關(guān)于中心對稱的兩個圖形，對應(yīng)線段平行(或者在同一直線上)且相等。

重難點(diǎn)及方法解讀

本章內(nèi)容通過讓學(xué)生經(jīng)歷觀察、操作等過程了解旋轉(zhuǎn)的概念，探索旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，發(fā)展空間觀察，培養(yǎng)幾

何思維和審美意識，在實(shí)際問題中體驗(yàn)數(shù)學(xué)的快樂，激發(fā)對學(xué)習(xí)的興趣。

1.中心對稱和中心對稱圖形的區(qū)別

區(qū)別：中心對稱是指兩個全等圖形之間的相互位置關(guān)系，這兩個圖形關(guān)于一點(diǎn)對稱，這個點(diǎn)是對稱

中心，兩個圖形關(guān)于點(diǎn)的對稱也叫做中心對稱.成中心對稱的兩個圖形中，其中一個上所有點(diǎn)關(guān)于

對稱中心的對稱點(diǎn)都在另一個圖形上，反之，另一個圖形上所有點(diǎn)的對稱點(diǎn)，又都在這個圖形上；

而中心對稱圖形是指一個圖形本身成中心對稱.中心對稱圖形上所有點(diǎn)關(guān)于對稱中心的對稱點(diǎn)都在

這個圖形本身上。

如果將中心對稱的兩個圖形看成一個整體(一個圖形)，那么這個圖形就是中心對稱圖形；一個中心

對稱圖形，如果把對稱的部分看成是兩個圖形，那么它們又是關(guān)于中心對稱。

2.坐標(biāo)系中對稱點(diǎn)的特征

(1)關(guān)于原點(diǎn)對稱的點(diǎn)的特征

兩個點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對稱時(shí)，它們的坐標(biāo)的符號相反，即點(diǎn)P(x,y)關(guān)于原點(diǎn)的對稱點(diǎn)為P'(-X,-y)

(2)關(guān)于x軸對稱的點(diǎn)的特征

兩個點(diǎn)關(guān)于x軸對稱時(shí)，它們的坐標(biāo)中，x相等，y的符號相反，即點(diǎn)P(x,y)關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)為P'

(x,-y)

(3)關(guān)于y軸對稱的點(diǎn)的特征

兩個點(diǎn)關(guān)于y軸對稱時(shí)，它們的坐標(biāo)中，y相等，x的符號相反，即點(diǎn)P(x,y)關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)為P'

(-x,y)

3.旋轉(zhuǎn)變換的應(yīng)用總結(jié)

(1)求角度；

(2)求弧度；

(3)求面積；

(4)證明線段相等：

(5)證明角相等;

(6)證明位置關(guān)系；

(7)綜合應(yīng)用。

解題關(guān)鍵就是，要抓住圖形變換過程中的幾何不變性即旋轉(zhuǎn)不變性、數(shù)值不變性等。

對點(diǎn)例題解析

【例題1】(2020?棗莊)如圖，平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)6在第一象限，點(diǎn)4在x軸的正半軸上，4AOB=N

8=30°,以=2.將△/如繞點(diǎn)。逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°,點(diǎn)6的對應(yīng)點(diǎn)0的坐標(biāo)是()

A.(-V3,3)B.(-3,V3)C.(-V3,2+V3)D.(-1,2+g)

【答案】A

【解析】如圖，過點(diǎn)8'作6,憶y軸于〃解直角三角形求出'H,B'〃即可.

如圖，過點(diǎn)夕作8'/ALy軸于//.

在RtZ\4‘B'〃中，"：A'B'=2,ZB'A'〃=60°,

：.A'H=A'B'cos60°=1,B'H=A'B'sin60°=g,

.?.0/=2+l=3,

：.B'(-V3,3)o

【例題2】(2020?黑龍江龍東)如圖①，在就△＜比'中，N〃》=90°,AC=BC,點(diǎn)、D、￡分別在BC邊

上，DC=EC,連接〃氏AE.切，點(diǎn)M、N、。分別是力￡、BD、四的中點(diǎn)，連接掰、PN.MN.

(1)BE與助V的數(shù)量關(guān)系是.

(2)將△&笫繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到圖②和圖③的位置，判斷應(yīng)與JW有怎樣的數(shù)量關(guān)系？寫出你的猜想，

并利用圖②或圖③進(jìn)行證明.

【答案】見解析。

【分析】（1）如圖①中，只要證明△制邠的等腰直角三角形，再利用三角形的中位線定理即可解決問題.

（2）如圖②中，結(jié)論仍然成立.連接/〃，延長應(yīng)交4。于點(diǎn)"由AECB2ADCA,推出跖=/〃，ADAC=

NEBC,即可推出BHLAD,由M、N、尸分別為AE,BD、49的中點(diǎn)，推出PM//BE,P3^BE,PN//AD,PN=^AD,

推出PQPN,4MPN=90°,可得BE=2/￥=2x號MN=V2W.

解：（1）如圖①中，

,:AM=ME,AP=PB,

J.PM//BE,PM=/E,

'：BN=DN,AP=PB,

：.PN//AD,PN=aAD,

‘：AC=BC,CD=CE,

：.AD=BE,

:?PM=PN,

■:NACB=90°,

：.ACLBC,

：.'：PM//BaPN//AC,

:?PMLPN,

???△切邠的等腰直角三角形，

：.MN=42PM,

：.MN=

：.BE=V2M

故答案為BE=品MN.

(2)如圖②中，結(jié)論仍然成立.

圖②

理由：連接力〃，延長正交相于點(diǎn)〃

???△力回和△儂是等腰直角三角形，

:?CD=CE,CA=CB,/ACB=/DCE=9G°,

VAACB-4ACE=/DCE-/ACE、

:./ACD=/ECB,

：.t\ECB^/\DCA(44S),

:.BE=AD,4DAC=/EBC,

VZ/li?=180o-(NHA儕NABH)

=180°-(45°+/HAC+ZABID

=/180°-(45°+/HBONABH)

=180°-90°

=90。,

：.BHLAD,

,:M、N、〃分別為您BD、小的中點(diǎn)，

J.PM//BE,PM=^BE,PN//AD,PN=\AD,

:.P4PN,NMPN=90°,

：.BE=2PM=2x導(dǎo)止近MN.

《旋轉(zhuǎn)》單元精品檢測試卷

本套試卷滿分120分，答題時(shí)間90分鐘

一、選擇題（每小題3分，共30分）

1.（2019黑龍江綏化）下列圖形中，屬于中心對稱圖形的是（）

BCD

【答案】C

【解析】繞某點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180。能和原圖形重合,則這個圖形稱為中心對稱圖形,其中,A是軸對稱圖形,B旋轉(zhuǎn)120。

的整數(shù)倍可以重合,D選項(xiàng)旋轉(zhuǎn)72°的整數(shù)倍可以重合,故選C.

2.（2019遼寧本溪）下列圖形中，既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是（）

000^

ABCD

【答案】B.

【解析】A選項(xiàng)，是軸對稱圖形，但不是中心對稱圖形，故錯誤；

B選項(xiàng)，既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形，故正確；

C選項(xiàng)，是中心對稱圖形，但不是軸對稱圖形，故錯誤：

D選項(xiàng)，是軸對稱圖形，但不是中心對稱圖形，故錯誤，

故選B.

3.（2019山東棗莊）如圖，點(diǎn)￡是正方形4式《的邊比■上一點(diǎn)，把△/應(yīng)■繞點(diǎn)/順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°到跖的

位置.若四邊形4的的面積為20,DE=2,則451的長為（）

A.4B.2娓C.6D.2娓

【答案】1).

【解析】利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出四邊形/戌尸的面積等于正方形/靦的面積，進(jìn)而可求出正方形的邊長，再

利用勾股定理得出答案.

,/繞點(diǎn)｛順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°到△力跖的位置.

，四邊形4瓦尸的面積等于正方形/比力的面積等于20,

:.AADC=2娓,

,:DE=2,

；?Rt△ADE,AE—4虹）2+DE2=2^5

4.（2020?蘇州）如圖，在△/8C■中，ZBAC=108°,將△/仇7繞點(diǎn)/（按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)得到.若點(diǎn)

9恰好落在6C邊上，且月8=您，則/C的度數(shù)為（）

A.18°B.20°C.24°D.28°

【答案】C

【解析】由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得NC=Nf,%6=加，由等腰三角形的性質(zhì)可得,ZB=NABB,由

三角形的外角性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理可求解.

,:AB=CB,

:.NC=4CAB,

:.NAEB=NONCAB=2NC,

?.?將△1用繞點(diǎn)A按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)得到△/SC,

:.NC=2C,A4AB,

：.NB=N.ABB=2NC,

'：ZS+ZaZCAS^180°,

，3NC=180°-108°，

：.ZC=2A0,

.,./C=/G=24°1,

5.（2020年浙江紹興）如圖，點(diǎn)0為矩形的對稱中心，點(diǎn)￡從點(diǎn)/出發(fā)沿向點(diǎn)8運(yùn)動，移動到點(diǎn)

8停止，延長口交必于點(diǎn)八則四邊形力的形狀的變化依次為（）

A.平行四邊形一正方形一平行四邊形一矩形

B.平行四邊形一菱形一平行四邊形一矩形

C.平行四邊形一正方形一菱形一矩形

D.平行四邊形一菱形一正方形一矩形

【答案】B

【解析】根據(jù)對稱中心的定義，根據(jù)矩形的性質(zhì)，可得四邊形力尸形狀的變化情況.

觀察圖形可知，四邊形4灰尸形狀的變化依次為平行四邊形一菱形一平行四邊形f矩形.

6.（2019?南京）如圖，S3是由△/勿經(jīng)過平移得到的，△/'8C還可以看作是△/勿經(jīng)過怎樣的圖形

變化得到？下列結(jié)論：①1次旋轉(zhuǎn)：②1次旋轉(zhuǎn)和1次軸對稱：③2次旋轉(zhuǎn)；④2次軸對稱.其中所有正確結(jié)

論的序號是（）

A.①④B.②③C.②④D.③④

【答案】D.

【解析】本題主要考查了幾何變換的類型，在軸對稱變換下，對應(yīng)線段相等，對應(yīng)直線(段)或者平行，或

者交于對稱軸，且這兩條直線的夾角被對稱軸平分.在旋轉(zhuǎn)變換下，對應(yīng)線段相等，對應(yīng)直線的夾角等于旋

轉(zhuǎn)角.

依據(jù)旋轉(zhuǎn)變換以及軸對稱變換，即可使a'與RC重合.

先將△兒笫繞著的中點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180。，再將所得的三角形繞著*。的中點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180。，即可得到△力'月0；

先將△46。沿著B，的垂直平分線翻折，再將所得的三角形沿著EC的垂直平分線翻折，即可得到BC。

7.(2019?湖北孝感)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，將點(diǎn)一(2,3)繞原點(diǎn)。順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到點(diǎn)P,則

P的坐標(biāo)為()

A.(3,2)B.(3,-1)C.(2,-3)D.(3,-2)

【答案】D.

【解析】本題考查了坐標(biāo)與圖形變化-旋轉(zhuǎn)：圖形或點(diǎn)旋轉(zhuǎn)之后要結(jié)合旋轉(zhuǎn)的角度和圖形的特殊性質(zhì)來求出

旋轉(zhuǎn)后的點(diǎn)的坐標(biāo).常見的是旋轉(zhuǎn)特殊角度如：30°,45°,60°,90°,180°.

作圖_Ly軸于0,如圖，把點(diǎn)P(2,3)繞原點(diǎn)。順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到點(diǎn)戶看作把△。圖繞原點(diǎn)。順時(shí)針旋

轉(zhuǎn)90°得到△W0',利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到/〃Q'g90°,ZW=90°,P'Q'=PQ=2,OQ'=OQ

=3,從而可確定P'點(diǎn)的坐標(biāo).

作軸于0,如圖，

,:P(2,3),

：.PQ=2,OQ=3,

?.?點(diǎn)P(2,3)繞原點(diǎn)。順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到點(diǎn)尸相當(dāng)于把繞原點(diǎn)。順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到Q',

：.ZP'Q'<9=90°,ZQOQ'=90°,P'Q'=H0=2,OQ'=。。=3,

.?.點(diǎn)P的坐標(biāo)為(3,-2).

8.(2019?山東省聊城市)如圖，在RtaA?。中，/煙=90°,A(4,4),點(diǎn)。在邊力8上，且22=工，點(diǎn)

CB3

〃為切的中點(diǎn)，點(diǎn)一為邊以上的動點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)尸在以上移動時(shí)，使四邊形做％周長最小的點(diǎn)〃的坐標(biāo)為

()

A.(2,2)B.(―,—)C.(―,國■)D.(3,3)

2233

【答案】C.

【解析】根據(jù)已知條件得到四=加=4,N4必=45°,求得比'=3,OD=Bg2,得到。(0,2),C(4,3),

作〃關(guān)于直線辦的對稱點(diǎn)區(qū)連接比交切于只則此時(shí)，四邊形花!紀(jì)周長最小，Z?(0,2),求得直線比

的解析式為y=工底2,解方程組可得到結(jié)論.

4

?.?在口△/8。中，/煙=90°,A(4,4),

:.AB=OB=4,N408=45°,

:空.=工，點(diǎn)。為煙的中點(diǎn)，

CB3

:.BC=3,0D=BD^2,

：.D(0,2),C(4,3),

作〃關(guān)于直線OA的對稱點(diǎn)E,連接EC交OA于P,

則此時(shí)，四邊形如比'周長最小，￡,(0,2),

???直線總的解析式為y=x,

設(shè)直線比的解析式為尸k/b,

.fb=2

??「k+b=3，

解得：，k=T,

b=2

直線比■的解析式為y=1^2,

4

((8

E產(chǎn)Xx-y

.?/(紇1)

33

故選：C.

9.(2019?河南)如圖，在△的8中，頂點(diǎn)0(0,0),J(-3,4),B(3,4),將△物8與正方形/以力組成

的圖形繞點(diǎn)。順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，每次旋轉(zhuǎn)90°,則第70次旋轉(zhuǎn)結(jié)束時(shí)，點(diǎn)〃的坐標(biāo)為()

T.

D

———7s

-------0-\f-------->-x

A.(10,3)B.(-3,10)C.(10,-3)D.(3,-10)

【答案】D.

【解析】先求出力?=6,再利用正方形的性質(zhì)確定〃(-3,10),由于70=4X17+2,所以第70次旋轉(zhuǎn)結(jié)束

時(shí)，相當(dāng)于△力6與正方形4版組成的圖形繞點(diǎn)。順時(shí)針旋轉(zhuǎn)2次，每次旋轉(zhuǎn)90°,此時(shí)旋轉(zhuǎn)前后的點(diǎn)。

關(guān)于原點(diǎn)對稱，于是利用關(guān)于原點(diǎn)對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)特征可出旋轉(zhuǎn)后的點(diǎn)。的坐標(biāo).

,：A(-3,4),B(3,4),

...四=3+3=6,

???四邊形ABCD為正方形,

，止》6=6,

：.D(-3,10),

70=4X17+2,

.?.每4次一個循環(huán)，第70次旋轉(zhuǎn)結(jié)束時(shí)，相當(dāng)于△的6與正方形4靦組成的圖形繞點(diǎn)。順時(shí)針旋轉(zhuǎn)2次，

每次旋轉(zhuǎn)90°,

...點(diǎn)〃的坐標(biāo)為(3,-10).

10.(2020年浙江嘉興)如圖，正三角形的邊長為3,將△48C繞它的外心。逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到△

ABC,則它們重疊部分的面積是()

o

B\/C

B'

A.2yB.-|v§c--jVsD-M

【答案】c

【分析】根據(jù)重合部分是正六邊形，連接。和正六邊形的各個頂點(diǎn)，所得的三角形都是全等的等邊三角形,

據(jù)此即可求解.

解：作4批L8C于機(jī)如圖：

重合部分是正六邊形，連接。和正六邊形的各個頂點(diǎn)，所得的三角形都是全等的等邊三角形.

叢ABC是等邊三角形，AMI.BC,

12

:.AB=BC=3,B.^=CM=—BC=—,NRW=30°,

22

."材=仃網(wǎng)=邛^,

二/\ABC的面積=工8cxAM=—X3X,

2224

.?.重疊部分的面積=2?△胸的面積=堤義之旦=色反

9942

二、填空題（每空3分，共30分）

11.（2019?海南?。┤鐖D，將應(yīng)△力固的斜邊力8繞點(diǎn)力順時(shí)針旋轉(zhuǎn)d（0°<o<90°）得到4?,直角邊47

繞點(diǎn)4逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)白（0°<a<90°）得到/尸，連結(jié)AE若18=3,AC=2,且由^二/昆則用=.

【答案】V13

【解析】由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得AF=16=3,AC=AF=2,由勾股定理可求哥'的長.

由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得熊=月43,然=",=2,

VZB+ZBAC=W°,且加看=/反

???N胡什"€=90°

???Z￡4^=90°

?*,EF=VAE2+AF2=任

12.（2019?湖南邵陽）如圖，將等邊△?!如放在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)4的坐標(biāo)為（4,0）,點(diǎn)6在第一象

限，將等邊△4如繞點(diǎn)。順時(shí)針旋轉(zhuǎn)180°得到OB',則點(diǎn)B'的坐標(biāo)是.

【答案】故答案為（-2,-2?）.

【解析】作做Ly軸于"如圖，

?.?△的8為等邊三角形，

：.0II=Ali=2,ZB0A=6Q°,

:劃=如011=2如,

.?.6點(diǎn)坐標(biāo)為（2,2?）,

?.,等邊△4如繞點(diǎn)。順時(shí)針旋轉(zhuǎn)180°得到△/OB',

二點(diǎn)4的坐標(biāo)是（-2,-2伺.

故答案為（-2,-2丑）.

13.（2019山西）如圖，在ZkABC中，ZBAC=90",AB=AC=10cm,點(diǎn)D為Z\ABC內(nèi)一點(diǎn),ZBAD=15",AD=6cm,

連接BD,將aABD繞點(diǎn)A逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，使AB與AC重合，點(diǎn)D的對應(yīng)點(diǎn)E,連接DE,DE交AC于點(diǎn)F,

則CF的長為______cm.

F

D

BC

【答案】10-276

【解析】過點(diǎn)A作AG_LDE于點(diǎn)G,由旋轉(zhuǎn)可知：AD=AE,ZDAE=90°,NCAE=NBAD=15°

.,.ZAED=45°；在4AEF中：ZAFD=ZAED+ZCAE=60°

AD

在RtZXADG中：AG=DG==372

AG

在Rt^AFG中：GF=R,AF=2FG=276

CF=AC-AF=10-246

故答案為：10-276

14.（2019山東淄博）如圖，在正方形網(wǎng)格中，格點(diǎn)△/（比■繞某點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)角G（0Vd<180°）得到格點(diǎn)

，點(diǎn)4與點(diǎn)4，點(diǎn)6與點(diǎn)旦，點(diǎn)。與點(diǎn)G是對應(yīng)點(diǎn)，貝必=度.

Mi：

【答案】90

【解析】作⑶，制的垂直平分線交于點(diǎn)發(fā)可得點(diǎn)“是旋轉(zhuǎn)中心，即/4E4尸d=90°.

如圖，連接CG，AA},作S，44的垂直平分線交于點(diǎn)色連接AE

???第，加?的垂直平分線交于點(diǎn)￡,

...點(diǎn)￡是旋轉(zhuǎn)中心，

?2倒=90°；.旋轉(zhuǎn)角d=90。

15.(2019?廣西池河)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，4(2,0),B(0,1),4C由4?繞點(diǎn){順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°

而得，則力。所在直線的解析式是.

【答案】y=2x-4.

【解析】過點(diǎn)c作aax軸于點(diǎn)〃，易知△/年△為。(加S),已知4(2,0),6(。，1),從而求得點(diǎn)c坐

標(biāo)，設(shè)直線4C的解析式為將點(diǎn)4點(diǎn)C坐標(biāo)代入求得力和4從而得解.

,：A(2,0),B(0,1)

：.OA=2,OB=\

過點(diǎn)C作軸于點(diǎn)D,

則易知△/g△胡。UAS)

：.AD=OB=\,CD=0A=2

."(3,2)

設(shè)直線4C的解析式為尸4戶8,將點(diǎn)4點(diǎn)C坐標(biāo)代入得

(0=2k+b

12=3k+b

.*=2

lb=-4

直線4C的解析式為尸2x-4.

16.(2019?黑龍江哈爾濱)如圖，將△/a'繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到△/B'C,其中點(diǎn)/與4是對應(yīng)點(diǎn)，點(diǎn)

B'與8是對應(yīng)點(diǎn)，點(diǎn)"落在邊47上，連接4'B,若//應(yīng)=45°,/C=3,BC=2,則A16的長為.

【答案】V13

【解析】由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得然=/'C=3,N43//Of=45°,可得//龍=90°,由勾股定理可求解.

?.?將△46。繞點(diǎn)。逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到△/B'C,

：.AC^A'O：3,ZACB^ZACA'=45°

二Z/綏=90°

**?A，^VBC2+A/C2^^

17.(2020年浙江麗水)圖1是一個閉合時(shí)的夾子，圖2是該夾子的主視示意圖，夾子兩邊為4G放(點(diǎn)力

與點(diǎn)4重合)，點(diǎn)。是夾子轉(zhuǎn)軸位置，如“于點(diǎn)及力」外于點(diǎn)用OE=OF=\cm,AC=BD=&cm,CE=DF,

CE-.AE=2：3.按圖示方式用手指按夾子，夾子兩邊繞點(diǎn)。轉(zhuǎn)動.

(1)當(dāng)E,尸兩點(diǎn)的距離最大時(shí)，以點(diǎn)4B,C,。為頂點(diǎn)的四邊形的周長是cm.

(2)當(dāng)夾子的開口最大(即點(diǎn)C與點(diǎn)〃重合)時(shí)，A,5兩點(diǎn)的距離為cm.

【答案】見解析。

【分析】(1)當(dāng)瓦廠兩點(diǎn)的距離最大時(shí)，E,0,尸共線，此時(shí)四邊形48徵是矩形，求出矩形的長和寬即

可解決問題.

(2)如圖3中，連接跖交％于"想辦法求出跖利用平行線分線段成比例定理即可解決問題.

【解答】解：(1)當(dāng)反月兩點(diǎn)的距離最大時(shí)，E,0,尸共線，此時(shí)四邊形48(力是矩形，

'：OE=OF=Xcm,

'.EF—2cm,

AB—CD—2c/Hf

此時(shí)四邊形力及力的周長為2+2+6+6=16(cm),

故答案為16.

(2)如圖3中，連接旗交0c于"

,B

C(D)

圖3

由題意g仔、=2乂6=衛(wèi)(。加,

55

'：OE=OF=\cm,

.?.CO垂直平分線段EF,

7C，C22=2+12=至(cm),

^VCE-H3E15

■:LOE?EC=L*CO>EH,

22

IX普

0

：.EH=———12(cm'),

XO13

~5~

：.EF=2EH=^-(cm)

13

'：EF//AB,

.空=絲=2

'ABCB虧'

?3/等瑞區(qū)

故答案為殷.

13

18.如圖，在直角△()在中,ZA0B=30°,將△OAB繞點(diǎn)0逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)100°得到△0AM則N

A)OB=

【答案】70.

【解析】：將△OAB繞點(diǎn)。逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)100°得到△OAB,ZA0B=30°,

...△0AB絲△0AM

AZAI0B=ZA0B=30°.

/.ZA,0B=ZA,0A-ZA0B=70°.

19.如圖，在等邊aABC中，AB=6,D是BC的中點(diǎn)，將AABD繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)后得到aACE,那么線段DE的長度

為.

【答案】3b.

【解析】考點(diǎn)有旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)；等邊三角形的判定與性質(zhì).

首先，利用等邊三角形的性質(zhì)求得AD=3J5；然后根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)推知4ADE為等邊三

角形，則DE=AD.

如圖,?..在等邊△ABC中，ZB=60°,AB=6,D是BC的中點(diǎn)，

AAD1BD,ZBAD=ZCAD=30°,

，AD=ABcos30°=6X運(yùn)3M.

根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)知，ZEAC=ZDAB=30°,AD=AE,

，/DAE=NEAC+NBAD=60°，

.?.△ADE的等邊三角形，

.*.DE=AD=3V3＞即線段DE的長度為3炳.

20.如圖，平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)0是正方形ABCD的中心，頂點(diǎn)A,B的坐標(biāo)分別為(1,1),(-1,1),

把正方形ABCD繞原點(diǎn)0逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°得正方形A'B'C'D',則正方形ABCD與正方形A'B'CD'

重疊部分所形成的正八邊形的邊長為.

【答案】25/2-2

【解析】該題主要考查了旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)、正方形的性質(zhì)、勾股定理等幾何知識點(diǎn)及其應(yīng)用問題；應(yīng)牢固

掌握旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)、正方形的性質(zhì)等幾何知識點(diǎn)，這是靈活運(yùn)用、解題的基礎(chǔ)和關(guān)鍵.如圖，首先求出

正方形的邊長、對角線長；進(jìn)而求出0A'的長；證明aA'MN為等腰直.角三角形，求出A'N的長度：同

理求出D'M'的長度，即可解決問題.

如圖，由題意得：正方形ABCD的邊長為2,

.?.該正方形的對角線長為2后,

AOA,=圾；而OM=1,

AA,M=V2-1;

由題意得：ZMA1N=45°,NA'MN=90°,

.\ZMNA,=45°,

.\MN=A,M=^2-1;

由勾股定理得：A'N=2-V2：

同理可求D'M'=2-我，

.*.MN=2-（4-272）=272-2,

正八邊形的邊長為2M-2.

三、解答題（6個小題，共60分）

21.（8分）（2020?達(dá)州）如圖，△/a'中,BC=2AB,D、?分別是邊8C、〃'的中點(diǎn).將△口應(yīng)繞點(diǎn)￡旋轉(zhuǎn)

180度，得△4陽

（1）判斷四邊形/颯■的形狀，并證明；

（2）已知力6=3,A加BF=8,求四邊形/購'的面積S.

【答案】見解析。

【分析】（1）結(jié)論：四邊形4應(yīng)尸是菱形.根據(jù)鄰邊相等的平行四邊形是菱形證明即可.

（2）設(shè)》=x,OB=y,構(gòu)建方程組求出20即可解決問題.

解：（1）結(jié)論：四邊形4網(wǎng),是菱形.

■:CQDB,CE=EA,

：.DE//AB,AB=2DE,

由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，DE=EF,

:.AB=DF,AB//DF,

四邊形/砌;■是平行四邊形,

■:BC=2AB,BD^DC,

:.BA=BD,

...四邊形/切尸是菱形.

(2)連接跖，4。交于點(diǎn)0.

?.?四邊形力位於是菱形，

C.AD1,BF,0B=OF,AgOD,設(shè)勿=x,OB=y,

2x+2y=8

則有

,x2+y2=32)

，x+y=4,

.\x+2xy^y=16,

/.2盯=7,

*,?S菱形ABD卜=2x"XAD=2盯=7.

B

22.(8分)(2020?福建)如圖，△月應(yīng),由△46C繞點(diǎn)力按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°得到，且點(diǎn)6的對應(yīng)點(diǎn)。恰

好落在8C的延長線上，AD,相交于點(diǎn)2

(1)求/隧■的度數(shù)；

(2)尸是比延長線上的點(diǎn)，且/CDF=4DAC.

①判斷以和"的數(shù)量關(guān)系，并證明；

EPPC

②求證：而=

CF

【解析】見解析。

【分析】(1)由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出49=4〃NBAD=90：/\ABC^/\ADE,得出N4瓦'=26=45°,可求出N

即E的度數(shù);

(2)①由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出/?！?90°,證舄乙FPD=4FDP,由等腰三角形的判定得出結(jié)論；

EPDH

②過點(diǎn)一作掰〃切交所于點(diǎn)〃，得出NHPF=NDEP,—=——，證明△用蜂△"*(/8!),由全等三角形

PFHF

的性質(zhì)得出法=5則可得出結(jié)論.

【解析】(1)???△/〃夕由△力比繞點(diǎn)4按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°得到，

：.AB=AD,NBAD=90°,△ABgXADE、

在中，/B=/ADB=45°,

：?/ADE=NB=45°,

:./BDE=NAD及/ADE=9G.

(2)①DF=PF.

證明：由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，AC=AE,ZCAE=90°,

在Rt△力酸中，ZACE=ZAEC=45°,

■:4CDF=/CAD,ZACE=ZADB=45°,

???ZADB+ZCDF=AACE-^ZCAD,

映4FPD=/FDP,

：.DF=PF.

②證明：過點(diǎn)刀作勿〃切交加'于點(diǎn)〃，

/DPF=/ADEQDEP=43°+/DEP,

Z.DPF=ZACE+ZDAC=45°"DAC,

:.NDEP=/DAC,

又?：/CDF=/DAC,

:"DEP=/CDF,

:./HPF=4CDF,

又“：FD=FP,N/=NE

:?△HPFaXCDF(AS4,

:.HF=CF,

：.DH=PC,

EPDH

PFHF

EPPC

PF-CF'

23.(9分)(2019北京市)已知NAO8=30。，H為射線0A上一定點(diǎn)，OH=6+1，P為射線0B上一點(diǎn)，

M為線段0H上一動點(diǎn)，連接PM,滿足NOWP為鈍角，以點(diǎn)P為中心，將線段PM順時(shí)針旋轉(zhuǎn)150。，得到

線段PN,連接0N.

(1)依題意補(bǔ)全圖1;

(2)求證：20Mp=4OPN；

(3)點(diǎn)M關(guān)于點(diǎn)H的對稱點(diǎn)為Q,連接QP.寫出一個0P的值，使得對于任意的點(diǎn)M總有ON=QP,并證明.

備用圖

【答案】見解析。

【解析】本題考查的知識點(diǎn)有尺規(guī)作圖、旋轉(zhuǎn)、三角形的內(nèi)角和、方程思想、30。銳角的性質(zhì)、中心對稱的

性質(zhì).

(1)見下圖。

NB

(2)證明：???ZAOB=30°

A14A0PM中，ZOMP=\80°-ZPOM-ZOPM=150°-Z.OPM

又「ZMPN=\50。,

：.4OPN=NMPN-ZOPM=150°-NOPM

???40Mp=/OPN.

(3)如下圖，過點(diǎn)P作PKJ_OA于K,過點(diǎn)N作NFJ_OB于F

NOMP=NOPN

???ZPMK=ZNPF

ZNPF=NPMK

在△NPF和ZXPMK中，/NFO=/PKM=90°

PN=PM

AANPF^APMK(AAS)

APF=MK,ZPNF=ZMPK,NF=PK

又YON=PQ

[ON=PQ

在RtANOF和RtAPKQ中，八〃

[NF=PK

ARtANOF^RtAPKQ(HL)

???KQ二OF

設(shè)MK=y,PK=x

VZPOA=3O°,PK±OQ

:.OP=2x

：.OK=y/3x,OM=V3x-y

OF=OP+PF=2x+y,

MH=OH-OM=^+\-{4?>x-y^,

KH=OH-OK=K+"瓜.

VM與Q關(guān)于H對稱

，MH=HQ

/.KQ=KH+HQ

=y/3+1-y/3x+x/3+1-y/3x+y

=2石+2-2瓜+y

又：KQ=OF

.*?2x/3+2—2Gx+y=2x+y

：.2g+2=x(2+2G)

：.x=i,即PK=1

又；ZPOA=30°

：.0P=2.

24.(9分)如圖，將小旗ACDB放于平面直角坐標(biāo)系中，得到各頂點(diǎn)的坐標(biāo)為A(-6,12),B(-6,

0),C(0,6),D(-6,6).以點(diǎn)B為旋轉(zhuǎn)中心，在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)將小旗順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°.

(1)畫出旋轉(zhuǎn)后的小旗A'CD'B'；

(2)寫出點(diǎn)A，,C',D，的坐標(biāo)；

(3)求出線段BA旋轉(zhuǎn)到B'A'時(shí)所掃過的扇形的面積.

【答案】見解析。

【解析】本題考查了利用旋轉(zhuǎn)變換作圖，扇形的面積計(jì)算，熟練掌握旋轉(zhuǎn)變換只改變圖形的位置不改變圖

形的形狀與大小是解題的關(guān)鍵.

(1)根據(jù)平面直角坐標(biāo)系找出A'、C'、D'、B'的位置，然后順次連接即可；小旗A'C'D'B'如圖

所示。

(2)根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)分別寫出點(diǎn)A',C',D'的坐標(biāo)即可;

點(diǎn)A'(6,0),C(0,-6),D'(0,0)

(3)先求出AB的長，再利用扇形面積公式列式計(jì)算即可得解.

VA(-6,12),B(-6,0),

/.AB=12,

2

，線段BA旋轉(zhuǎn)到B'A'時(shí)所掃過的扇形的面積=2°')」12_=36n.

360

25.(12分)(2019?廣西貴港)已知：△/力是等腰直角三角形，ZBAC=90°,將比■繞點(diǎn)，順時(shí)針方向

旋轉(zhuǎn)得到B'C,記旋轉(zhuǎn)角為d當(dāng)90°<a<180°H'j',作"DLAC,垂足為〃，A'D馬C交于點(diǎn)

E.

(1)如圖1,當(dāng)/。'。=15°時(shí)，作的平分線所交況■于點(diǎn)尸.

①寫出旋轉(zhuǎn)角a的度數(shù)；

②求證：EA'+EC=EF；

(2)如圖2,在(1)的條件下，設(shè)戶是直線不。上的一個動點(diǎn)，連接用，PF,若A4近,求線段序+分、

的最小值.(結(jié)果保留根號)

【答案】見解析。

【解析】(1)①解直角三角形求出5即可解決問題.

②連接/F,設(shè)跖交勿'于點(diǎn)2在斯時(shí)截取而仇7,連接以7.首先證明△?才是等邊三角形，再證

明△用儂CE(SAS),即可解決問題.

(2)如圖2中，連接4F,PB',AB',作6',以力C交〃1的延長線于機(jī)證明△"￡儂△"EB',推

出EF=EB',推出B',尸關(guān)于A'?對稱，推出PF=PB',推出PA+PF^PA+PB'夕，求出AB'即可解

決問題.

【解答】(1)①解：旋轉(zhuǎn)角為105°.

理由：如圖1中，

圖1

"：A'DLAC,二/H%=90°,

"：ACA'79=15",

/.AA'g75°,：.ZACA'=105°,

...旋轉(zhuǎn)角為105°.

②證明：連接"F,設(shè)哥"交。'于點(diǎn)0.在用時(shí)截取比,連接◎/.

'：ZCED=2A'CE+Z.CA'6=45°+15°=60°,

：.ZCEA'=120°,

平分/煙，，:.NCEF=NFEA'=60°,

'：AFCO=\?,Q°-45°-75°=60°,

:.NFCO=NA'EO,；4FOC=NA'OE,

：./\FOC^/\A'OE,

.OF_0C

,?A'00E，

.OFA'0

OCOE

?：NCOE=ZFOA',：./\COE^/\FOA',

AAFA'0=40EC=60°,

.?.△H/是等邊三角形，...67，=。'=A'F,

'：EM=EC,NCEM=60°,△CSV是等邊三角形，

ZEClf=60°,CM=CE,

,：ZFCA1=N<F=60°,.'.ZFaf^ZA'CE,

△尸《儂△/'CE(S/1S),：.Hf=A'E,

：.CE+A'E=EiMF4EF.

(2)解：如圖2中，連接4F,PB',AB',作夕,姓L4C交〃'的延長線于也

由②可知，NEA'F='EA'B'=75°,A'E=A'E,A'F=A'B',

EF^/\A'EB',

：.EF=EB',

：.B',尸關(guān)于H￡對稱，:.PF=PB',

：.PA+PF=PA+PB'3AB',

在"中，CB'=BC=?AB=2,NMCB'=30°,

：.B'=1,CM=g

2=22=6+2

：-AB'=VAM2+BZM7（V2+V3）+1^^-

...PA+PF的最小值為J6+

26.（14分）（2020年浙江紹興）如圖1,矩形〃g%1中，DG=2,DE=3,Rt△力比1中，N4cB=90°,CA=CB

=2,FG,a1的延長線相交于點(diǎn)0,且FG1BC,a7=2,OC=\.將△/8C