專題1-2 二次根式（運(yùn)用整體思想解題的技巧）解析版-2023-2024學(xué)年8下數(shù)學(xué)期末考點(diǎn)大串講（人教版）

專題1-2二次根式（拓展提升，運(yùn)用整體思想解題的技巧）1.（23-24八年級(jí)下·云南昭通·階段練習(xí)）若，則代數(shù)式的值為（

）A．7 B． C． D．5【答案】D【分析】本題考查代數(shù)式求值，二次根式的混合運(yùn)算，完全正確平方公式．能夠靈活運(yùn)用完全平方公式是解答本題的關(guān)鍵．將代數(shù)式化簡(jiǎn)為，然后再代入求解即可．【詳解】解：∵∴．故選：D2.（22-23八年級(jí)下·江蘇·期末）已知，則的值為（

）A． B．4 C． D．【答案】B【分析】將化為，將，代入值進(jìn)行計(jì)算即可得到答案．【詳解】解：，，，故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查求代數(shù)式的值，將式子進(jìn)行配方以及采用整體代入法是解題的關(guān)鍵3.（21-22八年級(jí)下·四川成都·期末）已知，，則的值為．【答案】【分析】根據(jù)題目的特點(diǎn)，先通過(guò)因式分解將式子變形，然后再進(jìn)行整體代入．【詳解】解：∵，，∴原式====故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了因式分解，用因式分解的方法將式子變形時(shí)，根據(jù)已知條件，變形的可以是整個(gè)代數(shù)式，也可以是其中的一部分4.（23-24八年級(jí)下·河南商丘·階段練習(xí)）已知，則．【答案】【分析】本題考查了完全平方公式的合理運(yùn)用，將，完全平方展開(kāi)后有共同的式子是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．【詳解】解：，，，．故答案為：5.（22-23八年級(jí)下·廣東湛江·期中）已知：，求，的值．【答案】，【分析】先利用完全平方公式得到，由此求出，再根據(jù)完全平方公式求出的值即可．【詳解】解：∵，∴，∴，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次根式的混合計(jì)算，完全平方公式的變形求值，熟知完全平方公式是解題的關(guān)鍵6.（20-21八年級(jí)下·河南商丘·期末）（1）先化簡(jiǎn)，再求值：，其中；（2），，求的值．【答案】（1），；（2）15【分析】（1）先將小括號(hào)內(nèi)的式子進(jìn)行通分計(jì)算，然后算括號(hào)外面的除法，最后代入求值．（2）由a﹣b＝2+，b﹣c＝2﹣，得到a﹣c＝4，再都變成完全平方公式的形式，然后三式相加即可求出．【詳解】解：＝[]?＝?＝?＝，當(dāng)時(shí)，原式＝（2）∵a﹣b＝2+，b﹣c＝2﹣，∴a﹣b+b﹣c＝4，即a﹣c＝4，∴（a﹣b）2＝7+4，（b﹣c）2＝7﹣4，（a﹣c）2＝16，即a2﹣2ab+b2＝7+4，①b2﹣2bc+c2＝7﹣4，②a2﹣2ac+c2＝16．③①+②+③得，a2﹣2ab+b2+b2﹣2bc+c2+a2﹣2ac+c2＝30，即2（a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac）＝30，∴a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac＝15．【點(diǎn)睛】本題考查分式的化簡(jiǎn)求值，理解二次根式的性質(zhì)，掌握分式混合運(yùn)算的運(yùn)算順序（先算乘方，然后算乘除，最后算加減，有小括號(hào)先算小括號(hào)里面的）和計(jì)算法則是解題關(guān)鍵．7.（23-24八年級(jí)下·河南信陽(yáng)·階段練習(xí)）已知，，求下列各式的值：(1)；(2)．【答案】(1)(2)【分析】本題主要考查了二次根式的化簡(jiǎn)求值，分母有理化：（1）先利用分母有理化法則求出，進(jìn)而得到，，再根據(jù)完全平方公式的變形求解即可；（2）根據(jù)進(jìn)行求解即可．【詳解】（1）解：∵，，∴，，，，∴；（2）解：．8.（2022春?廬陽(yáng)區(qū)校級(jí)期中）已知：，，求（1）的值；（2）的值．【分析】先分母有理化得到，，再計(jì)算出，，的值，接著把變形為，把變形為，然后利用整體代入的方法計(jì)算．【解答】解：，，，，，（1）；（2）．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次根式的化簡(jiǎn)求值：二次根式的化簡(jiǎn)求值，一定要先化簡(jiǎn)再代入求值．利用整體代入的方法可簡(jiǎn)化計(jì)算．9.（2022春?東營(yíng)區(qū)校級(jí)月考）已知，，求：（1）求的值；（2）求的值．【分析】（1）先利用完全平方公式得到，然后把的值代入計(jì)算即可；（2）先計(jì)算出與的值，再利用完全平方公式得到，然后利用整體代入的方法計(jì)算．【解答】解：（1），；（2），，，，．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次根式的化簡(jiǎn)求值：二次根式的化簡(jiǎn)求值，一定要先化簡(jiǎn)再代入求值．利用整體代入的方法可簡(jiǎn)化計(jì)算．10.（2021春?孝義市期中）已知，．求的值．【分析】先計(jì)算出與的值，再通分和利用完全平方公式得到原式，然后利用整體代入的方法計(jì)算．【解答】解：，，，，．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次根式的化簡(jiǎn)求值：二次根式的化簡(jiǎn)求值，一定要先化簡(jiǎn)再代入求值．利用整體代入的方法可簡(jiǎn)化計(jì)算．11．（2021春?西豐縣期中）已知，，求代數(shù)式的值．【分析】先計(jì)算出的值，再利用完全平方公式得到，然后利用整體代入的方法計(jì)算．【解答】解：，，，．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次根式的化簡(jiǎn)求值：二次根式的化簡(jiǎn)求值，一定要先化簡(jiǎn)再代入求值．利用整體代入的方法可簡(jiǎn)化計(jì)算．12．（2021春?建陽(yáng)區(qū)期中）已知，，求下列代數(shù)式的值：（1）；（2）．【分析】先計(jì)算出與的值，（1）利用平方公式得到；（2）利用完全平方公式得到，然后分別利用整體代入的方法計(jì)算．【解答】解：，，，，（1）；（2）．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次根式的化簡(jiǎn)求值：二次根式的化簡(jiǎn)求值，一定要先化簡(jiǎn)再代入求值．利用整體代入的方法可簡(jiǎn)化計(jì)算．13．（2021春?鐘祥市期中）已知，，求下列各式的值：（1）．（2）．【分析】（1）先計(jì)算出與的值，再通分得到，然后利用整體代入的方法計(jì)算；（2）把變形為，然后利用整體代入的方法計(jì)算．【解答】解：（1），，，，；（2）．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次根式的化簡(jiǎn)求值：二次根式的化簡(jiǎn)求值，一定要先化簡(jiǎn)再代入求值．利用整體代入的方法可簡(jiǎn)化計(jì)算．14．（2020春?田東縣期中）已知，，求代數(shù)式的值．【分析】先計(jì)算出與的值，再利用完全平方公式得到，然后利用整體代入的方法計(jì)算．【解答】解：，，，，．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次根式的化簡(jiǎn)求值：二次根式的化簡(jiǎn)求值，一定要先化簡(jiǎn)再代入求值．利用整體代入的方法可簡(jiǎn)化計(jì)算．15．（2023秋?長(zhǎng)沙期末）已知，，求下列各式的值；（1）；（2）．【分析】（1）先計(jì)算出和的值，再把分解因式，然后利用整體代入的方法計(jì)算；（2）先計(jì)算出，再通分，則根據(jù)完全平方公式得到原式，然后利用整體代入的方法計(jì)算．【解答】解：（1），，，，；（2），，，原式．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次根式的化簡(jiǎn)求值：二次根式的化簡(jiǎn)求值，一定要先化簡(jiǎn)再代入求值．利用整體代入的方法可簡(jiǎn)化計(jì)算．16．（23-24八年級(jí)上·山西呂梁·階段練習(xí)）閱讀下列材料，完成下列任務(wù)．小麗在數(shù)學(xué)資料上看到這樣一道題：已知，求代數(shù)式的值．解：∵，∴，∴，∴，∴，∴．任務(wù)：(1)在材料解答過(guò)程中，主要用了我們學(xué)過(guò)的數(shù)學(xué)知識(shí)是（

）A．平方差公式

B．完全平方公式C．因式分解

D．單項(xiàng)式與多項(xiàng)式的乘法(2)在材料解答的過(guò)程中，主要用的思想方法是（

）A．整體與化歸思想

B．方程思想C．分類討論思想

D．?dāng)?shù)形結(jié)合思想(3)已知，求的值．【答案】(1)B(2)A(3)【分析】本題考查了完全平方公式的應(yīng)用，整體代入法求代數(shù)式的值，熟練掌握完全平方公式是解答本題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)變形時(shí)用到了可知用到的數(shù)學(xué)知識(shí)是完全平方公式；（2）由可知用了整體代入法；（3）由得，兩邊平方后用整體代入法求解即可．【詳解】（1）在材料解答過(guò)程中，主要用了我們學(xué)過(guò)的數(shù)學(xué)知識(shí)是完全平方公式．故選B；（2）在材料解答的過(guò)程中，主要用的思想方法是整體與化歸思想．故選A；（3）∵，∴．∴，∴，∴，∴，∴的值為．17．（23-24八年級(jí)下·廣東惠州·階段練習(xí)）在課外學(xué)習(xí)活動(dòng)中，小明遇到一道題：已知，求的值．他是這樣解答的：，所以．所以，即．所以所以．小明的解題過(guò)程運(yùn)用了二次根式化簡(jiǎn)的方法和整體思想，請(qǐng)你參考他的解題過(guò)程，解決如下問(wèn)題：(1)______；(2)化簡(jiǎn)：；(3)若，求的值．【答案】(1)(2)(3)【分析】本題考查二次根式的混合運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是讀懂閱讀材料，仿照材料方法解決問(wèn)題．（1）根據(jù)已知材料的方法分母有理化即可；（2）將每個(gè)加數(shù)分母有理化，再合并即可；（3）仿照材料的方法解答即可．【詳解】（1）解：，故答案為：；（2）解：；（3）解：，，，即，．18．（23-24八年級(jí)上·湖南長(zhǎng)沙·階段練習(xí)）閱讀材料一：利用整體思想解題，運(yùn)用代數(shù)式的恒等變形，使不少依照常規(guī)思路難以解決的問(wèn)題找到簡(jiǎn)便解決方法，例如，，求證：．證明：左邊右邊．閱讀材料二：基本不等式，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，它是解決最值問(wèn)題的有力工具．例如：在的條件下，，∴，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，有最小值，最小值為2．請(qǐng)根據(jù)閱讀材料解答下列問(wèn)題(1)若正數(shù)x，則的最小值為_(kāi)_____．(2)若正數(shù)a，b滿足，，n為的最小值，求；(3)若正數(shù)a，b滿足，若不等式恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）根據(jù)材料2即可求解；（2）先根據(jù)分式的性質(zhì)以及恒等式變形求得的值，再根據(jù)負(fù)指數(shù)冪即可求解；（3）根據(jù)題意可得，進(jìn)而解不等式組，即可求解．【詳解】（1）解：∵∴的最小值為故答案為：．（2）解：∵，∴，∴，∵，∴，∴（3）∵正數(shù)a，b滿足，∴∵不等式恒成立，∴∴①或②∴解不等式組①無(wú)解，解不等式組②得【點(diǎn)睛】本題主要考查了不等式恒成立與最值關(guān)系的轉(zhuǎn)化，二次根式的性質(zhì)化簡(jiǎn)，分式的加減運(yùn)算，負(fù)整數(shù)指數(shù)冪，理解題意，利用好不等式的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵19．（20-21八年級(jí)上·江蘇南通·階段練習(xí)）《見(jiàn)微知著》讀到：從一個(gè)簡(jiǎn)單的經(jīng)典問(wèn)題出發(fā)，從特殊到一般，由簡(jiǎn)單到復(fù)雜：從部分到整體，由低維到高維，知識(shí)與方法上的類比是探索發(fā)展重要途徑，是思想閥門發(fā)現(xiàn)新問(wèn)題、結(jié)論的重要方法．閱讀材料一：利用整體思想解題，運(yùn)用代數(shù)式的恒等變形，使不少依照常規(guī)思路難以解決的問(wèn)題找到簡(jiǎn)便解決方法，常用的途徑有：（1）整體觀察；（2）整體設(shè)元；（3）整體代入；（4）整體求和等．例如：，求證：證明：左邊：波利亞在《怎樣解題》中指出：“當(dāng)你找到第一個(gè)藤菇或作出第一個(gè)發(fā)現(xiàn)后，再四處看看，他們總是成群生長(zhǎng)”類似問(wèn)題，我們有更多的式子滿足以上特征：閱讀材料二基本不等式（，），當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立時(shí)等號(hào)成立，它是解決最值問(wèn)題的有力工具．例如：在的條件下的，當(dāng)x為何值時(shí)，有最小值，最小值是多少？解：∵，，∴，即，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，有，最小值為2，請(qǐng)根據(jù)閱讀材料解答下列問(wèn)題：（1）已知，求下列各式的值：①____________②____________（2）若，求的值；（3）已知長(zhǎng)方形的面積為9，求此長(zhǎng)方形周長(zhǎng)的最小值；（4）若正數(shù)a、b滿足，求的最小值．【答案】（1）①1；②1；（2）5；（3）12；（4）【分析】（1）