某中學(xué)高二（上）期末數(shù)學(xué)試卷（16班）

一中高二(上)期末數(shù)學(xué)試卷(16班)

姓名:年級:學(xué)號:

題型選擇題填空題解答題判斷題計(jì)算題附加題總分

得分

評卷人得分

一、選擇題(共8題，共40分)

n3n

1、定義在R上的可導(dǎo)函數(shù)f(x)滿足f(1)=1,且2產(chǎn)(x)>1,當(dāng)X￡[-5,2]時，不等式f(2cosx)

3x

>N-2sin2,的解集為()

n

A.(3,T)

B.)

C.(0,)

D.(-,)

【考點(diǎn)】

【答案】D

111

【解析】解：令g(x)=f(x)-2X-2,則g，(x)=fz(x)-2>o,

???g(x)在定義域R上是增函數(shù)，

11

且g⑴=f⑴-2-2=0,

-*.g(2cosx)=f(2cosx)-cosx=f(2cosx)-cosx,

令2cosx>1,

1

則g(2cosx)>0,即f(2cosx)>2+cosx,

n3n

又...X￡[-2,2],且2cosx>1

n

x￡(-3,),

故選：D【考點(diǎn)精析】通過靈活運(yùn)用基本求導(dǎo)法則和利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，掌握若兩個函數(shù)可

導(dǎo)，則它們和、差、積、商必可導(dǎo)；若兩個函數(shù)均不可導(dǎo)，則它們的和、差、積、商不一定不可導(dǎo)；一般

的，函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負(fù)有如下關(guān)系：在某個區(qū)間&種內(nèi)，(1)如果，'(力>0,那么函數(shù)/.人?在

這個區(qū)間單調(diào)遞增；(2)如果/那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞減即可以解答此題.

r2y2

2、已知F為雙曲線八b==1(a>0,b>0)的右焦點(diǎn)，定點(diǎn)A為雙曲線虛軸的一個頂點(diǎn)，過F,A的直線與

雙曲線的一條漸近線在y軸左側(cè)的交點(diǎn)為B,若凡4=(也7)AB,則此雙曲線的離心率是()

A.

B.點(diǎn)

C.2

D.4

【考點(diǎn)】

【答案】A

bxy

【解析】解：設(shè)F(c,0),A(0,-b),漸近線方程為尸心，則直線AF的方程為廠5=1,與尸x聯(lián)立

acbe

可得B,

...易二(西7)AB^

*,?(-c,-b)=(-1)(,+b),

*'?-c-(-1),

c

/.e=o=,

故選：A.

3、平行四邊形ABCD中，AB.BD=Qf沿BD將四邊形折起成直二面角A-BD-C,且2||2+||2=4,則三棱

錐A-BCD的外接球的表面積為()

n

A.2

n

B.4

C.4n

D.2n

【考點(diǎn)】

【答案】c

【解析】解：平行四邊形ABCD中，，AB_LBD,

沿BD折成直二面角A-BD-C,

???將四邊形折起成直二面角A-BD-C,

二平面ABDJ?平面BDC，三棱錐A-BCD的外接球的直徑為AC,

，AC2=AB2+BD2+CD2=2AB2+BD2,

,.-2||2+||2=4,

.,.AC2=4

???外接球的半徑為1,

故表面積是4n.

故選：C.

4、已知直線丫=1?<(kGR)與函數(shù)f(x)=+2(V>°)的圖象恰有三個不同的公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)k的取

值范圍是()

3

A.(2,+oo)

B.(一，-2)U(2,+8)??

C.(…，-2)

D.(2,+8)

【考點(diǎn)】

【答案】D

【解析】解：當(dāng)x>0時，如圖：設(shè)切點(diǎn)為(a,f(a)).(x)=x,

|a2+2

解得a=2,

.,.k=f,(2)=2,

1

當(dāng)k>2時，且x>0,y=kx與y=2x2+2有兩個交點(diǎn),

1

當(dāng)xVO時，y=kx,與y=3-(4)總有一個交點(diǎn)，

+〃2

5、已知人=J?x2dx,數(shù)列｛an｝是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，則門的最小值為()

A.

B.2

C.6

D.6

【考點(diǎn)】

【答案】D

【解析】解：..?X=Wx2dx=（/%l0x9,數(shù)列｛an｝是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列,

+痛2+9a2。19'+9。楣q2+9g

.,.q>0,且。3=。3==~q-=q+a彳=6.

當(dāng)且僅當(dāng)q=,即q=3時，取最小值為6.

故選:D.

【考點(diǎn)精析】認(rèn)真審題，首先需要了解等比數(shù)列的通項(xiàng)公式（及其變式）（通項(xiàng)公式：

）.

6、如圖，網(wǎng)格紙上正方形小格的邊長為1,圖中粗線畫出的是某幾何體的三視圖，則幾何體的體積為（）

A.6

1

B.3

C.1

4

D.3

【考點(diǎn)】

【答案】D

【解析】解：由題意，原幾何體為三棱錐，如圖所示.P

點(diǎn)P在底面ABC上的射影與ACB組成正方形.

114

V=JXJX2X2X2=J

故選：D.

【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解由三視圖求面積、體積的相關(guān)知識，掌握求體積的關(guān)鍵是求出

底面積和高；求全面積的關(guān)鍵是求出各個側(cè)面的面積.

10i

7、復(fù)數(shù)z=#7(i為虛數(shù)單位)的虛部為()

A.1

B.3

C.-3

15

D.T

【考點(diǎn)】

【答案】B

3W(3T)

【解析】解：???Z—3+i=(3+t)(3T)—'十復(fù)數(shù)(i為虛數(shù)單位)的虛部為3.

故選：B.

【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解復(fù)數(shù)的乘法與除法的相關(guān)知識,掌握設(shè)

.則

8、下列選項(xiàng)中，說法正確的是()

logia>logib

A.若a>b>0,貝2

B.向量。=(Lm)，b=(ni,2?n-l)(meR)共線的充要條件是m=o

C.命題“？nWN*,3n>(n+2)?2n-1"的否定是"？nWN*,3n2(n+2)?2n-1"

D.已知函數(shù)f(x)在區(qū)間［a,b］上的圖象是連續(xù)不斷的，則命題“若f(a)?f(b)<0,則f(x)在

區(qū)間(a,b)內(nèi)至少有一個零點(diǎn)”的逆命題為假命題

【考點(diǎn)】

【答案】D

【解析】解:對于A,因?yàn)楹瘮?shù)在(0,+8)是減函數(shù),故錯；對于B,向量a=(l，m)力=(m,2?n-l)

(mGR)共線=1X(2m-1)=mXm=m=1,故錯；

對于C,命題“VnEN*,3n>(n+2)?2n-1"的否定是"VnCN*,3nW(n+2)-2n-1",故錯；

對于D,命題“若f(a)葉(b)<0,則f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)至少有一個零點(diǎn)”的逆命題為："f

(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)有一個零點(diǎn)“，則f(a)-f(b)<0：因?yàn)閒(a)-f(b)》0時，f(x)在區(qū)間

(a,b)內(nèi)也可能有零點(diǎn)，故正確；

故選：D【考點(diǎn)精析】根據(jù)題目的已知條件，利用命題的真假判斷與應(yīng)用的相關(guān)知識可以得到問題的

答案，需要掌握兩個命題互為逆否命題，它們有相同的真假性；兩個命題為互逆命題或互否命題，它們的

真假性沒有關(guān)系.

二、填空題(共4題，共20分)

9、已知向量。，》的夾角為3且。.（a-b）=1,1。1=2,則|川=.

【考點(diǎn)】

【答案】3

【解析】解：根據(jù)條件：；4-2向十”

:0=3.

所以答案是：3.

n37r

10、將函數(shù)f（x）=sin3x（其中3>0）的圖象向右平移彳個單位長度，所得圖象經(jīng)過點(diǎn)（不，0）,則

3的最小值是.

【考點(diǎn)】

【答案】2

n

【解析】解：將函數(shù)y=sinu）x（其中3>0）的圖象向右平移工個單位長度，所得圖象對應(yīng)的函數(shù)為y=sin3

（x-）.

3nn

再由所得圖象經(jīng)過點(diǎn)（4，0）,可得sin3（-）=sin2w=0,

/.3二kn,k￡z.

故3的最小值是2.

所以答案是：2.

【考點(diǎn)精析】關(guān)于本題考查的函數(shù)y=Asin（3x+。）的圖象變換，需要了解圖象上所有點(diǎn)向左（右）

平移闞個單位長度，得到函數(shù)了=皿°?+*的圖象；再將函數(shù)的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長（縮短）到

原來的田倍（縱坐標(biāo)不變），得到函數(shù)了=￡皿（血+程）的圖象；再將函數(shù)的圖象上所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)伸長

（縮短）到原來的A倍（橫坐標(biāo)不變），得到函數(shù)了=4皿11（弧+程）的圖象才能得出正確答案.

11、已知數(shù)列｛I若f（a4）=9,/.f（-1）=9..1.f（1）=-9

則f（a1）+f（a2017）=2f（a1）=-18.

所以答案是：-18.

【考點(diǎn)精析】關(guān)于本題考查的數(shù)列的通項(xiàng)公式，需要了解如果數(shù)列an的第n項(xiàng)與n之間的關(guān)系可以用

一個公式表示，那么這個公式就叫這個數(shù)列的通項(xiàng)公式才能得出正確答案.

12、若方程|X2-2X-1|-t=0有四個不同的實(shí)數(shù)根x1,x2,x3,x4,且x1<x2Vx3<x4,則2

（x4-x1）+（x3-x2）的取值范圍是.

【考點(diǎn)】

【答案】（W,8+2）

【解析】解：如圖，由|x2-2x-1|-t=0得到：t=|（x-1）2-2|,則0<t<2..,.2<2+t<4.0<2-t

<2.

.?.4<4#+t<8,0V242T<2,

/.4<4+2<8+2.

二.方程|x2-2x-1|-t二0有四個不同的實(shí)數(shù)根x1,x2,x3,x4,x1<x2<x3<x4,

.'.x1+x4=x2+x3=2,x1?x4=-1-t,x2*x3=-1+t,

.'.2(x4-x1)+(x3-x2)

二2伍了產(chǎn)

=4+2,

/.4<2(x4-x1)+(x3-x2)<8+2.

故答案是：(4,8+2).

【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解函數(shù)的零點(diǎn)與方程根的關(guān)系的相關(guān)知識，掌握二次函數(shù)的零點(diǎn)：

(1)A>0,方程有兩不等實(shí)根，二次函數(shù)的圖象與軸有兩個交點(diǎn)，二次函數(shù)有兩個零點(diǎn)；(2)A=0,

方程有兩相等實(shí)根(二重根)，二次函數(shù)的圖象與軸有一個交點(diǎn)，二次函數(shù)有一個二重零點(diǎn)或二階零點(diǎn)；

(3)A<0,方程無實(shí)根，二次函數(shù)的圖象與軸無交點(diǎn)，二次函數(shù)無零點(diǎn).

三、解答題(共6題，共30分)

r2y2

E:—+-J=l(a>b>0)

13、如圖，橢圓Mb2，的左焦點(diǎn)為F1,右焦點(diǎn)為F2,過F1的直線交橢圓于A,B

兩點(diǎn)，4ABF2的周長為8,且AAFIF2面積最大時，Z\AF1F2為正三角

(1)求橢圓E的方程；

(2)設(shè)動直線I：y=kx+m與橢圓E有且只有一個公共點(diǎn)P,且與直線x=4相交于點(diǎn)Q.試探究：①以

P0為直徑的圓與x軸的位置關(guān)系？②在坐標(biāo)平面內(nèi)是否存在定點(diǎn)M,使得以PQ為直徑的圓恒過點(diǎn)M?若存

在，求出M的坐標(biāo)；若不存在，說明理由.

【考點(diǎn)】

【答案】

⑴解：?「△ABF2的周長為8,「.4a=8,.\a=2.

又當(dāng)AAFIF2面積最大時為正三角形，，A(0,b),a=2c,，c=1,b2=3,

x2y2

---1---=1

橢圓E的方程為4r3

y=kx+m

｛《+J1

(2)解：①由43,得方程(4k2+3)x2+8kmx+4m2-12=0

由直線與橢圓相切得mWO,△=0,=4k2-m2+3=0.

4k3

求得「(一方百)，Q(4,4k+m),PQ中點(diǎn)到x軸距離

9m32122k2

d~=(2k+y+而)G|PQ|)-=(-j^—1)>0(4k2—m2+3=0=>zn=2k)

所以圓與x軸相交.

②假設(shè)平面內(nèi)存在定點(diǎn)M滿足條件，由對稱性知點(diǎn)M在x軸上，設(shè)點(diǎn)M坐標(biāo)為M(x1,0),

t4k3一

MP=(一方一巧,R，MQ=(4-Xp4fc+m)

由MP,MQ=0,得(4X1—4)記+*/—44+3=0

2

,4x1-4=x1-4x1+3=0(即Xu

所以定點(diǎn)為M(1,0).

【解析】(1)利用橢圓的定義、等邊三角形的性質(zhì)即可得出；(2)①判斷圓心到x軸的距離與半徑的大

小關(guān)系即可得出；②假設(shè)平面內(nèi)存在定點(diǎn)M滿足條件，則由對稱性知點(diǎn)M在x軸上，再利用直徑所對的圓

周角是直角即可求出.

【考點(diǎn)精析】關(guān)于本題考查的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，需要了解橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程焦點(diǎn)在x軸：

—z-+^-z-=l(a>b>0)

ab,焦點(diǎn)在y軸:才能得出正確答案.

14、如圖，在三棱柱ABC-A1B1C1中，B1B=B1A=AB=BC,NB1BC=90°,D為AC的中點(diǎn),

AB±B1D.

(1)求證：平面ABB1A1_L平面ABC；

(2)在線段CC1(不含端點(diǎn))上，是否存在點(diǎn)E,使得二面角E-B1D-B的余弦值為14?若存在,

CE

求出西的值，若不存在，說明理由.

【考點(diǎn)】

【答案】

(1)證明：取AB中點(diǎn)為0,連接0D,0B1.

因?yàn)锽1B=B1A,所以0B1-LAB.

又AB_LB1D,0B1nB1D=B1,所以AB_L平面B10D,

因?yàn)镺Du平面B10D,所以AB_LOD.

由已知，BC±BB1,又OD〃BC,

所以0D_LBB1,因?yàn)锳BDBBkB,

所以O(shè)D_L平面ABB1A1.

又ODu平面ABC,所以平面ABCJ■平面ABB1A1

(2)解：由(1)知，OB,OD,0B1兩兩垂直.

以0為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向?yàn)閤軸的方向，||為單位長度1,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系0-xyz.

由題設(shè)知B1(0,0,^),B(1,0,0),D(0,1,0),A(-1,0,0),C(1,2,0),C1(0,

2,).

；.BlD=(0,1,-),8凡a,。，-),

BEBCCE

設(shè)”=入。的，(0〈入<1),^ll=l+=(1-入，2,同"1)),

設(shè)平面BB1D的法向量血=(x,y,z),

{Tn■B[D=y—^z=0

則=@=O,取z=i,得二(國國1),

設(shè)平面B1DE的法向量八=(x,y,z),

In-B^D=y—^z=0

聞+1)

則n?BiE=(1—A)x+2y+0(2-1)=0

取z=1,得=(J,,1),

_￡

???二面角E-B1D-B的余弦值為14,

嘗+3+11

|n?m|

O小(詈)2二=_/,

cos<n，"l>|=-|n|7m|=-

1

解得X=3,

CE

???在線段CC1（不含端點(diǎn)）上，存在點(diǎn)E,使得二面角E-B1D-B的余弦值為，且西=.

4人

【解析】（1）取AB中點(diǎn)為0,連接0D,0B1.推導(dǎo)出0B1_LAB,ABLB1D,從而ABL平面B10D,進(jìn)而AB10D.再

求出BC_LBB1,0D±BB1,從而0D_L平面ABB1A1.由此能證明平面ABC_L平面ABB1A1.（2）以0為

坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向?yàn)閤軸的方向，||為單位長度1,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系0-xyz.利用向量法

求出在線段CC1（不含端點(diǎn)）上，存在點(diǎn)E,使得二面角E-B1D-B的余弦值為，且=.

【考點(diǎn)精析】認(rèn)真審題，首先需要了解平面與平面垂直的判定（一個平面過另一個平面的垂線，則這兩

個平面垂直）.

sinB+sinC2—cosB-cosC

15、已知a,b,c為AABC的內(nèi)角A,B,C的對邊，滿足一麗~=益數(shù)，函數(shù)f（x）:sin3x

(3>0)在區(qū)間［0,引上單調(diào)遞增，在區(qū)間［,n］上單調(diào)遞減.

(1)證明：b+c=2a；

n

(2)若f(9)=cosA,試判斷aABC的形狀.

【考點(diǎn)】

【答案】

sinB+sinC2-cosB-cosC

(1)證明：-sinA-cosA,

/.sinBcosA+sinCcosA=2sinA-cosBsinA-cosCsinA化簡得sin(B+A)+sin(C+A)=2sinA,

由A+B+C=n,則sinC+sinB=2sinA,

由正弦定理得，b+c=2a

n

(2)解：(x)=sina)x(u)>0)在［0,句上遞增，在［,n］上遞減，

1n27r47r3

.二473,貝I］T=3=3,解得co=2,

3

則f(x)=sin2‘，

1

—n—3*—n—n—

(9)=sin(29)=sjn6=cosA,則cosA=2,

又b+c=2a,由余弦定理得a2=b2+c2-2bccosA,

.,.a2=(b+c)2-3bc,則a2=bc,

聯(lián)立b+c=2a得，b=c-a,

??.△ABC是等邊三角形

【解析】(1)根據(jù)兩角和的正弦公式、誘導(dǎo)公式化簡已知的式子，由正弦定理可得b+c=2a；(2)根據(jù)題

意和正弦函數(shù)的單調(diào)性求出周期，由周期公式求出3的值，化簡f。=cosA,求出cosA的值，利用條

件和余弦定理列出方程，化簡后聯(lián)立方程求出a、b、c的關(guān)系，可判斷出aABC的形狀.

【考點(diǎn)精析】掌握余弦定理的定義是解答本題的根本，需要知道余弦定

理：簫=吩+cJ—TbccmA；產(chǎn)=，+—TcacosB；c?=a3-2abcosC.

(x+a)lnx

16、設(shè)f(x)=x+1(a￡R)在點(diǎn)(1,f(1))處的切線與直線2x+y+1=0垂直.

(1)若對于任意的xG[1,+8),f(x)Wm(x-1)恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；

(2)設(shè)函數(shù)g(x)=(x+1)f(x)-b(x-1)在[1,e]上有且只有一個零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)b取值范圍.

【考點(diǎn)】

【答案】

(三1/nx)(x+l)-(x+a)lnx

(1)解:f，(x)=(x+1)2,

?.,y=f(x)在點(diǎn)(1,f(1))處的切線與直線2x+y+1=0垂直，

1

*(1)=2,

2(1+a)

4=,r.l+a=1,解得a=0.

xlnx

f(x)=X+1,

若對于任意的x￡[1,+°°),f(x)Wm(x-1)恒成立，

1

即InxWm(x-x,

設(shè)g(x)=lnx-m(x-),

即對于任意的x￡[1,+°°),g(x)WO,

1-mx+x-m

g'(x)=-m(1+L)=,

①若mWO,g'(x)>0,則g(x)2g(1)=0,這與題設(shè)g(x)WO矛盾.

②若m>0,方程-mx2+x-m=O的判別式△=1-4m2,

當(dāng)△?()，即m2時，g，(x)W0.

.,.g(x)在(1,+8)上單減，

???g(x)Wg(1)=0,不等式成立.

當(dāng)OVmV時，方程-mx2+x-m=0,設(shè)兩根為x1,x2,(x1Vx2),

1-^/1-4m21+Jl-4m2

x1=-2m-e(0,1),x2=2nie",+oo),

當(dāng)xG(1,x1),g，(x)>0,g(x)單調(diào)遞增，g(x)>g(1)=0,與題設(shè)矛盾，

綜上所述，m》

(2)解：因?yàn)間(x)=xlnx-b(x-1),注意到g(1)=0

所以，所求問題等價于函數(shù)g(x)=xlnx-b(x-1)在(1,e］上沒有零點(diǎn).

因?yàn)間'(x)=lnx+1-b,

所以由g'(x)<0?lnx+1-b<0?=>0<x<eb-1,

g'(x)>0<=>x>eb-1

所以g(x)在(0,eb-1)上單調(diào)遞減，在(eb-1,+oo)上單調(diào)遞增.

①當(dāng)eb-1W1,即bW1時，g(x)在(1,e］上單調(diào)遞增，所以g(x)>g(1)=0

此時函數(shù)g(x)在(1,e］上沒有零點(diǎn)，

②當(dāng)1<eb-1<e,即1<b<2時，g(x)在［1,eb-1)上單調(diào)遞減，在(eb-1,e］上單調(diào)遞增.

又因?yàn)間(1)=0,g(e)=e-be+b,g(x)在(1,e］上的最小值為g(eb-1)=b-eb-1

e

所以，(i)當(dāng)1VbW=時，g(x)在［1,e］上的最大值g(e)

即此時函數(shù)g(x)在(1,e］上有零點(diǎn).

(ii)當(dāng)<bV2時，g(e)<0,即此時函數(shù)g(x)在(1,e］上沒有零點(diǎn).

③當(dāng)eWeb-1即bN2時，g(x)在［1,e］上單調(diào)遞減，

所以g(x)在［1,e］上滿足g(x)<g(1)=0,

此時函數(shù)g(x)在(1,e］上沒有零點(diǎn)

綜上，所求的a的取值范圍是b《1或Vb

【解析】(1)求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可得到結(jié)論.求a的值；將不等式恒成立轉(zhuǎn)化為求函

數(shù)的最值，求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)進(jìn)行求解即可；(2)將條件轉(zhuǎn)化為函數(shù)g(x)=xlnx-a(x-1)在(1,

e］上沒有零點(diǎn)，即可得到結(jié)論.

【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性的相關(guān)知識，掌握一般的，函數(shù)的單

調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負(fù)有如下關(guān)系：在某個區(qū)間日與內(nèi)，(1)如果「(力>。，那么函數(shù)/在這個區(qū)間單調(diào)

遞增；(2)如果那么函數(shù)7在這個區(qū)間單調(diào)遞減，以及對函數(shù)的最大(小)值與導(dǎo)數(shù)的理解，

了解求函數(shù)在以同上的最大值與最小值的步驟：(1)求函數(shù)在內(nèi)的極值；(2)將函數(shù)的各極值與端點(diǎn)處的

函數(shù)值/Ta),蟲&)比較，其中最大的是一個最大值，最小的是最小值.

%=1+cosa

。1：｛v=sin^a--

17、在直角坐標(biāo)標(biāo)系xoy中，已知曲線y4(a為參數(shù)，aER),在以原點(diǎn)。為極點(diǎn)，x

軸非負(fù)半軸為極軸的極坐標(biāo)系中(取相同的長度單位)，曲線C2：psm(e+彳)=一"7,曲線C3：

P=2cose.(I)求曲線C1與C2的交點(diǎn)M的直角坐標(biāo)；

(ID設(shè)A,B分別為曲線C2,C3上的動點(diǎn)，求|AB|的最小值.

【考點(diǎn)】

x=1+cosa

G：,…Ja-2工

【答案】解：(I)曲線