《機(jī)械工程測(cè)試與控制技術(shù)》課件 第11課 第五章 5.5 系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析

機(jī)械工程測(cè)試與控制技術(shù)第五章系統(tǒng)的頻率特性及穩(wěn)定性分析5.1頻率特性的基本概念5.2頻率響應(yīng)的極坐標(biāo)圖5.3頻率響應(yīng)的對(duì)數(shù)坐標(biāo)圖5.4由頻率特性曲線求傳遞函數(shù)5.5系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析5.5系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析一、系統(tǒng)穩(wěn)定性的基本概念控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性定義:若控制系統(tǒng)在任何足夠小的初始偏差的作用下,其過(guò)渡過(guò)程隨著時(shí)間的推移,逐漸衰減并趨于零,具有恢復(fù)原平衡狀態(tài)的性能,則稱該系統(tǒng)為穩(wěn)定;否則,稱該系統(tǒng)為不穩(wěn)定的.4二

系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件5.5系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析565.5系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析75.5系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析85.5系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析95.5系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析105.5系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析若所有特征根具有負(fù)實(shí)部系統(tǒng)自由響應(yīng)收斂系統(tǒng)穩(wěn)定自由響應(yīng)稱為

瞬態(tài)響應(yīng)強(qiáng)迫響應(yīng)稱為

穩(wěn)態(tài)響應(yīng)若存在特征根的實(shí)部大于零系統(tǒng)自由響應(yīng)發(fā)散系統(tǒng)不穩(wěn)定若有一對(duì)特征根的實(shí)部為零其余特征根均小于零系統(tǒng)自由響應(yīng)最終為等幅振蕩系統(tǒng)臨界穩(wěn)定5.5系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析11線性定常系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件:系統(tǒng)特征方程式的根都具有負(fù)實(shí)部.系統(tǒng)特征根即閉環(huán)極點(diǎn),故也可以說(shuō)充要條件為:系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)極點(diǎn)全部在[s]平面的左半面.5.5系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析12(1)如果特征方程中有一正實(shí)根,它所對(duì)應(yīng)的指數(shù)項(xiàng)隨時(shí)間單調(diào)增長(zhǎng);(2)如果特征方程中有一對(duì)實(shí)部為正的共軛復(fù)根,它的對(duì)應(yīng)項(xiàng)是發(fā)散的周期振蕩;穩(wěn)定區(qū)不穩(wěn)定區(qū)臨界穩(wěn)定S平面從控制工程的角度認(rèn)為臨界穩(wěn)定狀態(tài)屬于不穩(wěn)定.如果特征方程中有一對(duì)共軛虛根,它對(duì)應(yīng)于等幅的周期振蕩,稱為臨界平衡狀態(tài)(或臨界穩(wěn)定狀態(tài)).上述兩種情況下系統(tǒng)是不穩(wěn)定的.5.5系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析三

乃奎斯特穩(wěn)定性判據(jù)Nyquist及Bode穩(wěn)定性判據(jù)根據(jù)開(kāi)環(huán)頻率特性判斷閉環(huán)穩(wěn)定性令開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)則閉環(huán)傳遞函數(shù)5.5系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析三

乃奎斯特穩(wěn)定性判據(jù)Nyquist及Bode穩(wěn)定性判據(jù)根據(jù)開(kāi)環(huán)頻率特性判斷閉環(huán)穩(wěn)定性令開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)則閉環(huán)傳遞函數(shù)5.5系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析分子是閉環(huán)傳遞函數(shù)的特征多項(xiàng)式分母是開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)的特征多項(xiàng)式開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)則閉環(huán)傳遞函數(shù)5.5系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析線性系統(tǒng)傳遞函數(shù)的一般形式:映射定理表達(dá)的是s平面上一條封閉曲線,經(jīng)過(guò)F(s)的映射,在F平面上所具有的特性.即s→F(s).5.5系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析輻角定理:對(duì)于一個(gè)復(fù)變函數(shù)式中zi(i=1,2,…,m)為F(s)的零點(diǎn),pj(j=1,2,…,n)為F(s)的極點(diǎn).[柯西輻角原理]:S平面上不通過(guò)F(s)任何奇異點(diǎn)的封閉曲線CS包圍S平面上F(s)的Z個(gè)零點(diǎn)和P個(gè)極點(diǎn).當(dāng)s以順時(shí)針?lè)较蜓胤忾]曲線CS移動(dòng)一周時(shí),在F(s)平面上映射的封閉曲線CF將以順時(shí)針?lè)较蚶@原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)N圈.N,Z,P的關(guān)系為:N=Z－P.示意圖5.5系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析若N為正,表示CF順時(shí)針運(yùn)動(dòng),包圍原點(diǎn);若N為0,表示CF順時(shí)針運(yùn)動(dòng),不包圍原點(diǎn);若N為負(fù),表示CF逆時(shí)針運(yùn)動(dòng),包圍原點(diǎn).函數(shù)F(s)是復(fù)變量s的單值函數(shù),s可在整個(gè)S平面上變化,對(duì)于其上每一點(diǎn),除有限(n)個(gè)極點(diǎn)外,函數(shù)F(s)都有唯一的一個(gè)值與之對(duì)應(yīng).對(duì)于一個(gè)復(fù)變函數(shù)5.5系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析

在這種映射關(guān)系中,有一點(diǎn)是十分重要的,即:不需知道圍線CS的確切形狀和位置,只要知道它的內(nèi)域所包含的零點(diǎn)和極點(diǎn)的數(shù)目,就可以預(yù)知圍線CF是否包圍坐標(biāo)原點(diǎn)和包圍原點(diǎn)多少次;反過(guò)來(lái),根據(jù)已給的圍線CF是否包圍原點(diǎn)和包圍原點(diǎn)的次數(shù),也可以推測(cè)出圍線CS的內(nèi)域中有關(guān)零、極點(diǎn)數(shù)的信息.5.5系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析如果C順時(shí)針包圍z個(gè)零點(diǎn),那么C’順時(shí)針繞原點(diǎn)轉(zhuǎn)z圈5.5系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析如果C順時(shí)針包圍p個(gè)極點(diǎn),那么C’逆時(shí)針繞原點(diǎn)轉(zhuǎn)p圈5.5系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析假設(shè)C曲線順時(shí)針包圍整個(gè)[s]平面的右半平面,其中包圍F(s)的z個(gè)零點(diǎn)和p個(gè)極點(diǎn),則映射到F(s)平面的C’曲線順時(shí)針包圍原點(diǎn)N=z-p圈.閉環(huán)穩(wěn)定閉環(huán)傳遞函數(shù)右極點(diǎn)個(gè)數(shù)為0分子是閉環(huán)傳遞函數(shù)的特征多項(xiàng)式分母是開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)的特征多項(xiàng)式F(s)右零點(diǎn)個(gè)數(shù)為0C’曲線逆時(shí)針包圍原點(diǎn)的圈數(shù)為開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)的右極點(diǎn)個(gè)數(shù)pC曲線包圍F(s)的右零點(diǎn)個(gè)數(shù)z=05.5系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析如何構(gòu)造一個(gè)能夠包圍整個(gè)s右半平面的封閉曲線,并且它是滿足柯西輻角條件的?①正虛軸：先假設(shè)F(s)在虛軸上沒(méi)有零、極點(diǎn).按順時(shí)針?lè)较蜃鲆粭l曲線包圍整個(gè)s右半平面,這條曲線又叫D曲線.它可分為三部分:ⅠⅡⅢ②右半平面上半徑為無(wú)窮大的半圓:③負(fù)虛軸：5.5系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析5.5系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析5.5系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析Nyquist穩(wěn)定判據(jù)

在[s]平面作包圍右半平面的D形曲線,如果開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)的Nyquist圖逆時(shí)針包圍(－1,j0)點(diǎn)的圈數(shù)等于開(kāi)環(huán)右極點(diǎn)的個(gè)數(shù),意味著F(s)沒(méi)有零點(diǎn),則閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定.——充要條件5.5系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析例:

一個(gè)閉環(huán)控制系統(tǒng),開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為判斷閉環(huán)穩(wěn)定性.5.5系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析例:

一個(gè)閉環(huán)控制系統(tǒng),開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為判斷閉環(huán)穩(wěn)定性.解:作出系統(tǒng)開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)乃氏圖,如圖5-10所示,沒(méi)有包圍(-1,j0).顯然開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)沒(méi)有右極點(diǎn),根據(jù)乃奎斯特穩(wěn)定性判據(jù),系統(tǒng)閉環(huán)穩(wěn)定.5.5系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析例:

一個(gè)閉環(huán)控制系統(tǒng),開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為判斷閉環(huán)穩(wěn)定性.5.5系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析例:

一個(gè)閉環(huán)控制系統(tǒng),開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為判斷閉環(huán)穩(wěn)定性.解:開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)有1個(gè)右極點(diǎn).作出開(kāi)環(huán)乃氏圖,如圖5-11所示,順時(shí)針包圍(-1,j0)點(diǎn)1圈.根據(jù)乃奎斯特穩(wěn)定性判據(jù),系統(tǒng)閉環(huán)穩(wěn)定的條件是逆時(shí)針包圍(-1,j0)點(diǎn)1圈.因此系統(tǒng)閉環(huán)不穩(wěn)定.5.5系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析例:

一個(gè)閉環(huán)控制系統(tǒng),如圖所示,判斷放大倍數(shù)K在什么范圍內(nèi)系統(tǒng)閉環(huán)穩(wěn)定.5.5系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析例:

一個(gè)閉環(huán)控制系統(tǒng),如圖所示,判斷放大倍數(shù)K在什么范圍內(nèi)系統(tǒng)閉環(huán)穩(wěn)定.解:開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為K/(Ts-1),有1個(gè)右極點(diǎn).作出開(kāi)環(huán)乃氏圖如圖5-12(b)所示,它與實(shí)軸的交點(diǎn)為(-K,j0).只有當(dāng)(-K,j0)在(-1,j0)的左邊時(shí),乃氏圖才逆時(shí)針包圍(-1,j0)1圈.因此系統(tǒng)閉環(huán)穩(wěn)定的條件是K>1.開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為一階或二階環(huán)節(jié)的系統(tǒng),只要其增益為正,它的乃氏圖就不可能包圍(-1,j0)點(diǎn),因而閉環(huán)一定穩(wěn)定.5.5系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析四

伯德穩(wěn)定性判據(jù)開(kāi)環(huán)Bode圖與Nyquist圖對(duì)應(yīng)關(guān)系①Nyquist圖上的單位圓對(duì)應(yīng)Bode圖上對(duì)數(shù)幅頻特性的橫軸(0dB線).

∵20lg|

G(jω)H(jω)

|=20lg1=0dB②Nyquist圖上的負(fù)實(shí)軸對(duì)應(yīng)Bode圖上對(duì)數(shù)相頻特性的-180°線.

∵Nyquist圖中負(fù)實(shí)軸上的點(diǎn)的相位均為-180°.Nyquist圖:ReIm(-1,j0)[GH]1ω=0＋ω=+∞ωgωcBode圖:0ωcω20lg

???G(jω)

???ωgω∠G(jω)-90°-180°-270°5.5系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析Nyquist圖:ReIm(-1,j0)[GH]1ω=0＋ω=+∞ωgωcBode圖:0ωcω20lg

???G(jω)

???ωgω∠G(jω)-90°-180°-270°①幅值穿越頻率ωc－－Nyquist軌跡與單位圓交點(diǎn)的頻率;②相位穿越頻率ωg－－Nyquist軌跡與負(fù)實(shí)軸交點(diǎn)的頻率;5.5系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析由伯德圖判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性設(shè)0型或I型系統(tǒng)開(kāi)環(huán)特征方程有p個(gè)右根,且開(kāi)環(huán)靜態(tài)放大倍數(shù)大于零,如果在所有L(ω)≥0頻率范圍內(nèi),相頻特性曲線φ(ω)在(-π)線上正負(fù)穿越之差為p/2次,則閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定.5.5系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析L(ω)ωp=0Ф(ω)ω5.5系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析L(ω)ωp=0Ф(ω)+-ω已知p＝0,即開(kāi)環(huán)無(wú)右特征根,在L(ω)＞0范圍內(nèi),正負(fù)穿越之差為0,系統(tǒng)閉環(huán)穩(wěn)定.已知p=1,即開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)有一個(gè)右極點(diǎn),在L(ω)＞0的頻率范圍內(nèi),半次正穿越,系統(tǒng)閉環(huán)穩(wěn)定.5.5系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析5.5系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析已知p＝2,即開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)有兩個(gè)右極點(diǎn),在L(ω)＞0的范圍內(nèi),正負(fù)穿越之差為1-2=-1≠2／2,系統(tǒng)閉環(huán)不穩(wěn)定.已知p＝2,即開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)有兩個(gè)右極點(diǎn),在L(ω)＞0的范圍內(nèi),正負(fù)穿越之差為2-1＝1=2／2,系統(tǒng)閉環(huán)穩(wěn)定.5.5系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析cwdBw()gdBKπ-23π-2π-·()cwrgw若一個(gè)自動(dòng)控制系統(tǒng),其開(kāi)環(huán)特征方程均為左根(p=0),閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件是其乃氏圖不包圍(-1,j0)點(diǎn).5.5系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析例:

某反饋控制系統(tǒng)開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為試判斷使系統(tǒng)穩(wěn)定的K值范圍.5.5系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析五

控制系統(tǒng)的相對(duì)穩(wěn)定性定性→定量如果系統(tǒng)閉環(huán)特征根均在s左半平面,且和虛軸有一段距離,則系統(tǒng)有一定的穩(wěn)定裕量.5.5系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析采用乃氏判據(jù)判別系統(tǒng)的相對(duì)穩(wěn)定性主要針對(duì)系統(tǒng)開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)沒(méi)有右極點(diǎn).如果系統(tǒng)穩(wěn)定,Nyquist圖離(-1,j0)越近,穩(wěn)定程度越低.Nyquist圖離(-1,j0)越遠(yuǎn),穩(wěn)定程度越高.這就是相對(duì)穩(wěn)定性.定量表示用相位裕量和幅值裕量.5.5系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析1、相位裕度:※

對(duì)于開(kāi)環(huán)穩(wěn)定系統(tǒng):

在工程上一般取相角裕度為30-60度,幅值裕度大于6dB.,相角裕量為正值,系統(tǒng)穩(wěn)定;,相角裕量為負(fù)值,系統(tǒng)不穩(wěn)定.

為剪切頻率.5.5系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析※

對(duì)于開(kāi)環(huán)穩(wěn)定系統(tǒng):

為相角穿越頻率.開(kāi)環(huán)幅相頻率特性(奈氏圖)與負(fù)實(shí)軸相交時(shí)的幅