3.1 導(dǎo)數(shù)的概念 課件 《高等數(shù)學(xué)》

3.1導(dǎo)數(shù)的概念一、引例3.1導(dǎo)數(shù)的概念

1(瞬時(shí)速度問(wèn)題)

設(shè)物體做變速直線運(yùn)動(dòng)，其路程函數(shù)為，其中表示時(shí)間，表示路程，是連續(xù)函數(shù).試求質(zhì)點(diǎn)在時(shí)刻的瞬時(shí)速度.

當(dāng)時(shí)間由改變到時(shí)，物體在這段時(shí)間內(nèi)所經(jīng)過(guò)的距離為

如果極限存在，就稱此極限為物體在時(shí)刻時(shí)的瞬時(shí)速度，即

2(平面曲線上某點(diǎn)處的切線斜率)

設(shè)點(diǎn)M是曲線L上一點(diǎn)，在L上除點(diǎn)M外另取一點(diǎn)N，做割線MN．當(dāng)點(diǎn)N沿曲線L趨近于點(diǎn)M時(shí)，割線MN繞點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)而無(wú)限接近于它的極限位置MT，則稱直線MT為曲線L在點(diǎn)M處的切線．

即割線MN的斜率的極限就是切線MT的斜率，即二、導(dǎo)數(shù)的概念3.1導(dǎo)數(shù)的概念

定義設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的某個(gè)鄰域內(nèi)有定義，當(dāng)自變量在點(diǎn)處有增量時(shí)，相應(yīng)地函數(shù)有增量，若極限存在，則稱函數(shù)在點(diǎn)處可導(dǎo)，并稱此極限值為函數(shù)在點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)，記作即

函數(shù)在點(diǎn)處可導(dǎo)有時(shí)也說(shuō)成在點(diǎn)處有導(dǎo)數(shù)或?qū)?shù)存在.如果上述極限不存在，則稱函數(shù)在點(diǎn)處不可導(dǎo)．

注：導(dǎo)數(shù)的實(shí)質(zhì)是點(diǎn)變化率.例如：物體運(yùn)動(dòng)的平均速度是時(shí)間間隔上的平均變化率，而瞬時(shí)速度則是點(diǎn)變化率.

例1用導(dǎo)數(shù)定義求函數(shù)在點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù).

解：由導(dǎo)數(shù)定義

例2設(shè)，并判斷是否存在．

解：

由此可知不存在，即不存在.三、導(dǎo)函數(shù)3.1導(dǎo)數(shù)的概念

如果函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的每一點(diǎn)處都可導(dǎo)，則稱函數(shù)在區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)．這時(shí)對(duì)于區(qū)間內(nèi)的每一個(gè)值，都有唯一確定的導(dǎo)數(shù)值與之對(duì)應(yīng)，這樣就確定了一個(gè)新的函數(shù)，我們稱這個(gè)新函數(shù)為函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的導(dǎo)函數(shù)，記作或，即函數(shù)在點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)就是導(dǎo)函數(shù)在點(diǎn)處的函數(shù)值，即

注：若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有一點(diǎn)處不可導(dǎo)，則稱函數(shù)在區(qū)間上不可導(dǎo).

由導(dǎo)數(shù)的定義可知，求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)可分為以下三個(gè)步驟：(1)求增量；(2)算比值；(3)取極限．

例1求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)．

解：

常量函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為

例6求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)．解：

例7求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)．解：

例8求指數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)．解：特別地，當(dāng)時(shí)，有．隨堂練習(xí)1、利用導(dǎo)數(shù)定義求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)及.2、求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù).四、導(dǎo)數(shù)的幾何意義3.1導(dǎo)數(shù)的概念

函數(shù)在點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)等于曲線在點(diǎn)處的切線斜率，即，其中為切線的傾角．

如果函數(shù)在點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)存在，則曲線在點(diǎn)處的切線方程為

過(guò)點(diǎn)且與該點(diǎn)切線垂直的直線叫作曲線在該點(diǎn)處的法線．若，則過(guò)點(diǎn)的法線方程為而當(dāng)時(shí)，過(guò)點(diǎn)的法線為垂直于軸的直線

若，則曲線在點(diǎn)處具有垂直于軸的切線；若不存在且不為無(wú)窮大，則曲線在點(diǎn)處沒(méi)有切線．

若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，則對(duì)應(yīng)于區(qū)間的函數(shù)曲線上每一點(diǎn)處都有不垂直于軸的切線，從而這段曲線為光滑曲線（無(wú)“尖點(diǎn)”）.

例1求拋物線在點(diǎn)處的切線方程和法線方程．

解：由導(dǎo)數(shù)的幾何意義知，拋物線在點(diǎn)處的切線斜率為

所求的切線方程為，即:

法線方程為，即．隨堂練習(xí)

求曲線在點(diǎn)處的切線方程和法線方程．(已知)四、可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系3.1導(dǎo)數(shù)的概念

定義1（單側(cè)導(dǎo)數(shù)）(1)若極限存在，則稱其為函數(shù)在點(diǎn)處的左導(dǎo)數(shù)，記作,即：

(2)若極限存在，則稱其為函數(shù)在點(diǎn)處的右導(dǎo)數(shù)，記作,即：

定理1函數(shù)在點(diǎn)處可導(dǎo)的充分必要條件是在點(diǎn)處的左導(dǎo)數(shù)和右導(dǎo)數(shù)都存在且相等，即．

例1討論函數(shù)在處的連續(xù)性和可導(dǎo)性．

解:因?yàn)橛?，所以函?shù)在處的連續(xù).由于，所以函數(shù)在處不可導(dǎo)．

例2討論函數(shù)在處的連續(xù)性和可導(dǎo)性．

解:因?yàn)?所以函數(shù)在處的連續(xù).

又因?yàn)?，所以函?shù)在處不可導(dǎo)．

從圖形上看，曲線在原點(diǎn)O處具有垂直于軸的切線．這也說(shuō)明函數(shù)在其定義域不可導(dǎo)，但除原點(diǎn)外，處處可導(dǎo).因在是初等函數(shù)，所以處處連續(xù).

上述例題表明，一個(gè)函數(shù)在一點(diǎn)連續(xù)，但在該點(diǎn)未必可導(dǎo)．但可以證明，可導(dǎo)則必然連續(xù).

定理2如果函數(shù)在點(diǎn)處可導(dǎo)，則函數(shù)在點(diǎn)處一定連續(xù)．

分析:設(shè)函數(shù)在點(diǎn)處可導(dǎo)，則

故函數(shù)在點(diǎn)處一定連續(xù)．隨堂練習(xí)

1、設(shè)，判斷在點(diǎn)

處的連續(xù)性與可導(dǎo)性.

2、若函數(shù)處處可導(dǎo)，求的值.

解:函數(shù)在