2024八年級數(shù)學(xué)下冊專題4.1多邊形的內(nèi)角與外角重點題專項講練含解析新版浙教版

Page1專題4.1多邊形的內(nèi)角與外角【典例1】（1）已知：如圖，n邊形A1A2A3A4A5…An．求證：n邊形A1A2A3A4A5…An的內(nèi)角和等于（n﹣2）?180°；（2）在一個各內(nèi)角都相等的多邊形中，每一個內(nèi)角都比相鄰的外角的3倍還大20°，求這個多邊形的內(nèi)角和；（3）馬虎的小明在計算一個多邊形的內(nèi)角和時，誤把一個外角也加進去了，得其和為1180°．請干脆寫出這個多加的外角度數(shù)及多邊形的邊數(shù)．【思路點撥】（1）依據(jù)從n邊形的一個頂點可以作（n﹣3）條對角線，這（n﹣3）條對角線要和多邊形的兩邊組成三角形，得出把三角形分割成的三角形個數(shù)．欲證明多邊形的內(nèi)角和定理，可以把多邊形的內(nèi)角轉(zhuǎn)移到三角形中，利用三角形內(nèi)角和等于180°解答；（2）設(shè)多邊形的一個外角為α°，則與其相鄰的內(nèi)角為（3α+20）°，依據(jù)題意列出方程可得答案；（3）依據(jù)多邊形的內(nèi)角和公式（n﹣2）?180°可知，多邊形的內(nèi)角和是180°的倍數(shù)，然后求出多邊形的邊數(shù)以及多加的外角的度數(shù)即可得解．【解題過程】解：（1）∵從n邊形的一個頂點可以作（n﹣3）條對角線，∴得出把三角形分割成的三角形個數(shù)為：n﹣3+1＝n﹣2，∵這（n﹣2）個三角形的內(nèi)角和都等于180°，∴n邊形的內(nèi)角和是（n﹣2）×180°；（2）設(shè)多邊形的一個外角為α°，則與其相鄰的內(nèi)角為（3α+20）°，由題意，得（3α+20）+α＝180，解得α＝40，即多邊形的每個外角為40°，∵多邊形的外角和為360°，∴多邊形的邊數(shù)為360°÷40°＝9，內(nèi)角和為（9﹣2）×180°＝1260°，答：這個多邊形的內(nèi)角和為1260°；（3）設(shè)多邊形的邊數(shù)為n，多加的外角度數(shù)為α，則（n﹣2）?180°＝1180°﹣α，∵1180°＝6×180°+100°，內(nèi)角和應(yīng)是180°的倍數(shù)，∴小明多加的一個外角為100°，∴這是6+2＝8邊形的內(nèi)角和．答：這個外角的度數(shù)是100°，該多邊形的邊數(shù)是8．1．（九龍坡區(qū)校級開學(xué)）已知一個多邊形的每一個內(nèi)角都比它相鄰的外角的4倍多30°，這個多邊形是（）A．十邊形 B．十一邊形 C．十二邊形 D．十三邊形【思路點撥】設(shè)這個多邊形為n邊形，依據(jù)多邊形的內(nèi)角和公式及外角和定理即可求解．【解題過程】解：設(shè)這個多邊形為n邊形，它的外角分別為x1，x2，?，xn，則對應(yīng)的內(nèi)角分別為4x1+30°，4x2+30°，?，4xn+30°，依據(jù)題意得，x1+x2+?+xn＝360°，（4x1+30°）+（4x2+30°）+?+（4xn+30°）＝（n﹣2）×180°，∴4×（x1+x2+?+xn）+30°n＝（n﹣2）×180°，∴4×360°+30°n＝（n﹣2）×180°，∴1440°+30°n＝180°n﹣360°，∴150°n＝1800°，∴n＝12，故選：C．2．（龍山縣期末）從九邊形的一個頂點動身，可以作①條對角線，它們將九邊形分成②個三角形．對于符號①、②表示的數(shù)字正確的是（）A．①6、②7 B．①7、②8 C．①8、②8 D．①9、②7【思路點撥】依據(jù)多邊形的對角線的定義：連接多邊形不相鄰的兩個頂點的線段，叫做多邊形的對角線，得出n邊形從一個頂點動身可引出（n﹣3）條對角線，進而得出這（n﹣3）條對角線把多邊形分成的三角形的個數(shù)．【解題過程】解：從九邊形的一個頂點動身，可以向與這個頂點不相鄰的6個頂點引對角線，即能引出6條對角線，它們將九邊形分成7個三角形．故選：A．3．（東坡區(qū)期末）某校新建的科技館準備用正多邊形地磚鋪設(shè)地面，下列組合中能鋪滿地面的是（）A．正方形和正六邊形 B．正三角形和正六邊形 C．正五邊形和正八邊形 D．正方形和正十邊形【思路點撥】正多邊形的組合能否鋪滿地面，關(guān)鍵是看位于同一頂點處的幾個角之和能否為360°．若能，則說明能鋪滿；反之，則說明不能鋪滿．【解題過程】解：A、正方形和正六邊形內(nèi)角分別為90°、120°，明顯不能構(gòu)成360°的周角，故不能鋪滿；B、正三角形和正六邊形內(nèi)角分別為60°、120°，明顯能構(gòu)成360°的周角，故能鋪滿；C、正五邊形和正八邊形內(nèi)角分別為108°、035°，明顯不能構(gòu)成360°的周角，故不能鋪滿．D、正方形和正十邊形內(nèi)角分別為90°、144°，明顯不能構(gòu)成360°的周角，故不能鋪滿；故選：B．4．（桓臺縣期末）如圖，桐桐從A點動身，前進3m到點B處后向右轉(zhuǎn)20°，再前進3m到點C處后又向右轉(zhuǎn)20°，…，這樣始終走下去，她第一次回到動身點A時，一共走了（）A．100m B．90m C．54m D．60m【思路點撥】依據(jù)多邊形的外角和及每一個外角的度數(shù)，可求出多邊形的邊數(shù)，再依據(jù)題意求出正多邊形的周長即可．【解題過程】解：由題意可知，當她第一次回到動身點A時，所走過的圖形是一個正多邊形，由于正多邊形的外角和是360°，且每一個外角為20°，360°÷20°＝18，所以它是一個正18邊形，因此所走的路程為18×3＝54（m），故選：C．5．（尋烏縣期末）將一個四邊形ABCD的紙片剪去一個三角形，則剩下圖形的內(nèi)角和為（）A．180° B．180°或360° C．360°或540° D．180°或360°或540°【思路點撥】分為三種狀況，畫出圖形，依據(jù)多邊形的內(nèi)角和公式求出內(nèi)角和即可．【解題過程】解：如圖①，剩余的部分是三角形，其內(nèi)角和為180°，如圖②，剩余的部分是四邊形，其內(nèi)角和為360°，如圖③，剩余的部分是五邊形，其內(nèi)角和為540°．綜上所述，剩下圖形的內(nèi)角和為180°或360°或540°．故選：D．6．（銅官區(qū)期末）如圖，在五邊形ABCDE中，AB∥ED，∠1，∠2，∠3分別是∠ABC，∠BCD，∠CDE的外角，則∠1+∠2+∠3的度數(shù)為（）A．180° B．210° C．240° D．270°【思路點撥】依據(jù)兩直線平行，同旁內(nèi)角互補得到以點A、點E為頂點的五邊形的兩個外角的度數(shù)之和等于180°，再依據(jù)多邊形的外角和定理列式計算即可得解．【解題過程】解：反向延長AB，DC，∵AB∥ED，∴∠4+∠5＝180°，依據(jù)多邊形的外角和定理可得∠1+∠2+∠3+∠4+∠5＝360°，∴∠1+∠2+∠3＝360°﹣180°＝180°．故選：A．7．（微山縣期末）如圖，正六邊形IMNPGH的頂點分別在正六邊形ABCDEF的邊上．若∠FHG＝28°，則∠BIM等于（）A．28° B．32° C．48° D．52°【思路點撥】依據(jù)正多邊形的內(nèi)角性質(zhì)及平角的定義求解即可．【解題過程】解：∵六邊形IMNPGH和六邊形ABCDEF都是正六邊形，∴∠B＝∠A＝∠F＝∠MIH＝∠IHG=(6-2)×180°∵∠FHG＝28°，∠AHI+∠FHG+∠IHG＝180°，∴∠AHI＝32°，∵∠A+∠AHI+∠AIH＝180°，∴∠AIH＝28°，∵∠AIH+∠BIM+∠MIH＝180°，∴∠BIM＝32°，故選：B．8．（長寧區(qū)期末）小明測量了某凸多邊形的內(nèi)角和，登記時不慎被油墨玷污，僅能看清其記錄的是一個三位數(shù)，其百位數(shù)是7，則這個凸多邊形的邊數(shù)為．【思路點撥】依據(jù)多邊形的內(nèi)角和是180的整數(shù)倍數(shù)求解即可．【解題過程】解：依據(jù)多邊形的內(nèi)角和公式可知，多邊形的內(nèi)角和是180°的整數(shù)倍數(shù)，是一個三位數(shù)，百位數(shù)是7的，又是180的整數(shù)倍數(shù)的只有720，故多邊形的內(nèi)角和為720°，這個凸多邊形的邊數(shù)為：720°180°故答案為：6．9．（市北區(qū)期末）用三塊正多邊形的木板鋪地，拼在一起的三塊正多邊形木板頂點重合，且各邊完全吻合，其中兩塊木板的邊數(shù)分別是4和6，則第三塊木板的邊數(shù)是．【思路點撥】先求出正四邊形和正六邊形每個內(nèi)角的度數(shù)，然后依據(jù)平面鑲嵌的條件求解第三塊正多邊形的每個內(nèi)角度數(shù)，然后再結(jié)合外角和公式進行計算求解．【解題過程】解：正四邊形每個內(nèi)角度數(shù)為360°÷4＝90°，正六邊形每個內(nèi)角度數(shù)為180﹣360°÷6＝120°，∴第三塊正多邊形的每個內(nèi)角度數(shù)為360°﹣90°﹣120°＝150°，∴第三塊正多邊形的邊數(shù)為360°÷（180°﹣150°）＝12，故答案為：12．10．（青島期末）如圖，試求∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+∠7的度數(shù)為．【思路點撥】依據(jù)四邊形的內(nèi)角和可得∠1+∠2+∠3+∠8＝360°、四邊形BCHG中∠4+∠5+∠9+∠10＝360°，依據(jù)∠9＝∠6+∠7、∠8+∠10＝180°可得．【解題過程】解：如圖，依據(jù)四邊形的內(nèi)角和可得，∠1+∠2+∠3+∠8＝360°，∠4+∠5+∠9+∠10＝360°，∵∠9＝∠6+∠7，∠8+∠10＝180°，∴∠1+∠2+∠3+∠8+∠4+∠5+∠10+∠6+∠7＝720°，∴∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+∠7＝540°．故答案為：540°．11．（江都區(qū)期末）如圖，A、B、C均為一個正十邊形的頂點，則∠ACB＝°．【思路點撥】依據(jù)正多邊形內(nèi)角和外角和的性質(zhì)，得∠DAE，∠BAE＝∠E＝∠F＝144°，依據(jù)四邊形內(nèi)角和的性質(zhì)，計算得∠EAC；依據(jù)五邊形內(nèi)角和的性質(zhì)算出∠ABC，再依據(jù)三角形外角的性質(zhì)即可得出答案．【解題過程】解：延長BA∵正十邊形，∴∠DAE=360°10=36°，正十邊形內(nèi)角=(10-2)×180°10=144°，即∠依據(jù)題意，得四邊形ACEF內(nèi)角和為：360°，且∠EAC＝∠FCA，∴∠EAC＝∠FCA=360?-∠E-∠F∴∠DAC＝∠DAE+∠EAC＝72°，依據(jù)題意，得五邊形ABCFE內(nèi)角和為：540°，且∠ABC＝∠FCB，∴∠ABC＝∠FCB=540-∠BAE-∠E-∠F∴∠ACB＝∠DAC﹣∠ABC＝72°﹣54°＝18°，故答案為：18．12．（海淀區(qū)校級期中）如圖①，猜想：∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝，我們把圖①稱為二環(huán)三角形，它的內(nèi)角和為∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F；圖②稱為二環(huán)四邊形，它的內(nèi)角和為∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H．則二環(huán)四邊形的內(nèi)角和為，二環(huán)五邊形的內(nèi)角和為，二環(huán)n邊形的內(nèi)角和為．【思路點撥】連接AE，可得∠D+∠C＝∠CAE+∠DEA，再依據(jù)四邊形的內(nèi)角和公式即可求解；D、E之間添加兩條邊，可得∠M+∠MEF+∠MDH＝∠G+∠F+∠H，再依據(jù)六邊形的內(nèi)角和公式即可求解；依據(jù)二環(huán)三角形、二環(huán)四邊形和二環(huán)五邊形的內(nèi)角和可得二環(huán)n邊形的內(nèi)角和．【解題過程】解：如圖，連接AE，則∠D+∠C＝∠CAE+∠DEA，∴∠BAC+∠B+∠C+∠D+∠DEF+∠F＝∠BAE+∠B+∠F+∠FEA＝360°；如圖，D、E之間添加兩條邊，可得∠M+∠MEF+∠MDH＝∠G+∠F+∠H，則∠A+∠B+∠C+∠CDH+∠F+∠G+∠H+∠AEF＝∠A+∠B+∠C+∠CDM+∠MEA+∠M＝720°；∵二環(huán)三角形的內(nèi)角和是360°＝360°×（3﹣2），二環(huán)四邊形的內(nèi)角和是720°＝360°×（4﹣2），∴二環(huán)五邊形的內(nèi)角和是360°×（5﹣2）＝1080°，二環(huán)n邊形的內(nèi)角和是360°×（n﹣2）．故答案為：360°；720°；1080°；360°×（n﹣2）．13．（西峰區(qū)期末）已知一個多邊形的內(nèi)角和比它的外角和的3倍少180°，求這個多邊形的邊數(shù)和對角線的條數(shù)．【思路點撥】一個多邊形的內(nèi)角和等于外角和的3倍少180°，而任何多邊形的外角和是360°，因而多邊形的內(nèi)角和等于900°．n邊形的內(nèi)角和可以表示成（n﹣2）?180°，設(shè)這個正多邊形的邊數(shù)是n，就得到方程，從而求出邊數(shù)，即可求出答案．【解題過程】解：設(shè)這個多邊形的邊數(shù)為n，則內(nèi)角和為180°（n﹣2），依題意得：180（n﹣2）＝360×3﹣180，解得n＝7，對角線條數(shù)：(7-3)×72答：這個多邊形的邊數(shù)是7，對角線有14條．14．（海淀區(qū)校級期中）看對話答題：小梅說：這個多邊形的內(nèi)角和等于1125°．小紅說：不對，你少加了一個角．問題：（1）他們在求幾邊形的內(nèi)角和？（2）少加的那個內(nèi)角是多少度？【思路點撥】設(shè)少加這個內(nèi)角為x度，這個多邊形的邊數(shù)為n，依據(jù)多邊形的內(nèi)角和公式列出算式，依據(jù)多邊形的一個內(nèi)角的度數(shù)大于0度，且小于180度可求得n的值．【解題過程】解：（1）設(shè)少加這個內(nèi)角為x°，這個多邊形的邊數(shù)為n則1125+x＝（n﹣2）180，x＝（n﹣2）180﹣1125，∵0＜x＜180，∴0＜（n﹣2）180﹣1125＜180，∵n為整數(shù)，∴n＝9．（2）x＝（9﹣2）×180﹣1125＝135，∴少加這個內(nèi)角為135度．15．（孝昌縣校級月考）以下供應(yīng)了將凸多邊形分割成若干個三角形的一種方法：（1）試依據(jù)所給的方法，將圖④中的七邊形分割成個三角形；（2）按這種方法，凸n邊形可以分割成個三角形；（3）請依據(jù)上述方法，以三角形的內(nèi)角和定理為依據(jù)，推導(dǎo)凸n邊形的內(nèi)角和公式：凸n邊形的內(nèi)角和＝（n﹣2）×180°；（4）利用（3）中的公式解答下面的問題：凸n邊形的內(nèi)角和再加上某個外角等于1350°，求這個多邊形的邊數(shù)以及這個外角的度數(shù)．【思路點撥】（1）依據(jù)圖①②③進行推導(dǎo)．（2）依據(jù)特殊到一般的數(shù)學(xué)思想解決本題．（3）由（n﹣1）個三角形的內(nèi)角的和為180°（n﹣1），得凸n邊形的內(nèi)角和為180°（n﹣1）﹣180°＝（n﹣2）×180°．（4）設(shè)加上的某個外角的度數(shù)為x（0＜x＜180°），由題意得（n﹣2）×180°+x＝1350°，從而解決此題．【解題過程】解：（1）圖①是四邊形，分割成3個三角形；圖②是五邊形，分割成4個三角形；圖③是六邊形，分割成5個三角形；圖④是七邊形，分割成6個三角形；…以此類推，凸n邊形可以分割成（n﹣1）個三角形．故答案為：6．（2）由（1）可得：凸n邊形可以分割成（n﹣1）個三角形．故答案為：（n﹣1）．（3）由（2）得：凸n邊形可以分割成（n﹣1）個三角形．∴（n﹣1）個三角形的內(nèi)角的和為180°（n﹣1）．∴凸n邊形的內(nèi)角和為180°（n﹣1）﹣180°＝（n﹣2）×180°．（4）設(shè)加上的某個外角的度數(shù)為x（0＜x＜180°）．由題意得：（n﹣2）×180°+x＝1350°．∴x＝1350°﹣（n﹣2）×180°．∵0＜x＜180°，∴6.5＜n﹣2＜7.5．∴n＝9．∴x＝90°．∴這個多邊形的邊數(shù)為9，這個外角的度數(shù)為90°．16．（余干縣月考）如圖，將六邊形紙片ABCDEF沿虛線剪去一個角（∠BCD）后，得到∠1+∠2+∠3+∠4+∠5＝460°．（1）求六邊形ABCDEF的內(nèi)角和；（2）求∠BGD的度數(shù)．【思路點撥】（1）由多邊形的內(nèi)角和公式，即可求得六邊形ABCDEF的內(nèi)角和；（2）由∠1+∠2+∠3+∠4+∠5＝460°，即可求得∠GBC+∠C+∠CDG的度數(shù)，繼而求得答案．【解題過程】解：（1）六邊形ABCDEF的內(nèi)角和為：180°×（6﹣2）＝720°；（2）∵六邊形ABCDEF的內(nèi)角和為720°，∠1+∠2+∠3+∠4+∠5＝460°，∴∠GBC+∠C+∠CDG＝720°﹣460°＝260°，∴∠BGD＝360°﹣（∠GBC+∠C+∠CDG）＝100°．即∠BGD的度數(shù)是100°．17．（臥龍區(qū)期末）（1）問題發(fā)覺：由“三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和”聯(lián)想到四邊形的外角．如圖①，∠1，∠2是四邊形ABCD的兩個外角．∵四邊形ABCD的內(nèi)角和是360°，∴∠A+∠D+（∠3+∠4）＝360°，又∵∠1+∠3+∠2+∠4＝360°，由此可得∠1，∠2與∠A，∠D的數(shù)量關(guān)系是；（2）學(xué)問應(yīng)用：如圖②，已知四邊形ABCD，AE，DE分別是其外角∠NAD和∠MDA的平分線，若∠B+∠C＝230°，求∠E的度數(shù)；（3）拓展提升：如圖③，四邊形ABCD中，∠A＝∠C＝90°，∠CDN和∠CBM是它的兩個外角，且∠CDP=14∠CDN，∠CBP=14∠【思路點撥】（1）依據(jù)兩個等式，可以得出∠1，∠2與∠A，∠D的數(shù)量關(guān)系．（2）依據(jù)第（1）問結(jié)論，先確定∠MDA與∠DAN的和，再依據(jù)角平分線的性質(zhì)，可以確定∠EDA與∠DAE的和．這樣就可以確定∠E的度數(shù)．（3）先確定∠CDN與∠CBM之和，再確定∠CDP與∠CBP之和，進而確定∠ADC與∠ABP之和，再根根四邊形內(nèi)角和，就可以確定∠P的度數(shù)．【解題過程】解：（1）∵四邊形ABCD的內(nèi)角和是360°，∴∠A+∠D+（∠3+∠4）＝360°，又∵∠1+∠3+∠2+∠4＝360°，∴∠1+∠2＝∠A+∠D．故答案為：∠1+∠2＝∠A+∠D．（2）依據(jù)第（1）問的結(jié)論，可知：∠MDA+∠DAN＝∠B+∠C＝230°∵AE，DE分別是∠NAD和∠MDA的平分線，∴2∠EDA+2∠DAE＝230°，∴∠EDA+∠DAE＝115°．∴∠E＝180﹣（∠EDA+∠DAE）＝65°．（3）依據(jù)第（1）問的結(jié)論，可得：∠CDN+∠CBM＝∠ABC+∠ADC，∵∠A＝∠C＝90°，∴∠CDN+∠CBM＝360°﹣（∠A﹣∠C）＝180°．∵∠CDP=14∠CDN，∠CBP=1∴∠CDP+∠CBP=14（∠CDN+∠∵∠A＝∠C＝90°，∴∠ADC+∠ABC＝180°，∴∠CDN+∠CBM+∠CDN+∠CBM＝180°+45°＝225°，即∠ADP+∠ABP＝225°，∵∠A＝90°，∴∠P＝360°﹣（∠ADP+∠ABP）﹣∠A＝45°．18．（新吳區(qū)月考）（1）如圖①，把三角形紙片ABC沿DE折疊，當點A落在四邊形BCDE的內(nèi)部時，∠A與∠1+∠2之間有一種數(shù)量關(guān)系始終保持不變，請試著找一找這個規(guī)律；（2）假如把△ABC紙片沿DE折疊，使點A落在四邊形BCED的外部點A′的位置，如圖②，此時∠A與∠1、∠2之間存在什么樣的關(guān)系？（3）假如把四邊形ABCD沿EF折疊，使點A、D落在四邊形BCFE的內(nèi)部A′、D′的位置，如圖③，你能求出∠A、∠D、∠1與∠2之間的關(guān)系嗎？（干脆寫出關(guān)系式即可）【思路點撥】（1）依據(jù)折疊的性質(zhì)表示出∠ADE、∠AED，再依據(jù)三角形的內(nèi)角和定理列式整理即可得解；（2）先依據(jù)折疊的性質(zhì)及平角的定義表示出∠ADE、∠AED，再依據(jù)三角形的內(nèi)角和定理列式整理即可得解；（3）先依據(jù)折疊的性質(zhì)表示出∠ADE、∠AED，再依據(jù)四邊形的內(nèi)角和定理列式整理即可得解；【解題過程】解：（1）依據(jù)折疊的性質(zhì)可知：∠ADE＝∠A′DE，∠AED＝∠A′ED，∴∠1＝180°﹣2∠ADE①，∠2＝180°﹣2∠AED②，①+②，得∠1+∠2＝360°﹣2（∠ADE+∠AED），∵∠ADE+∠AED+∠A＝180°，∴∠ADE+∠AED＝180°﹣∠A，∴∠1+∠2＝360°﹣2（180°﹣∠A）＝360°﹣360°+2∠A＝2∠A，∴∠A=1故答案為：∠A=1（2）依據(jù)折疊的性質(zhì)可知，∴∠1＝180°﹣2∠ADE①，∠2＝2∠AED﹣180°②，①﹣②，得∠1﹣∠2＝180°﹣2∠ADE﹣2∠AED+180°＝360°﹣2（∠ADE+∠AED），∴2（∠ADE+∠AED）＝360°﹣（∠1﹣∠2），∵∠A+∠ADE+∠AED＝180°，∴∠ADE+∠AED＝180°﹣∠A，∴2（180°﹣∠A）＝360°﹣（∠1﹣∠2），360°﹣2∠A＝360°﹣∠1+∠2，∴∠1﹣∠2＝2∠A，∴∠A=1（3）依據(jù)折疊的性質(zhì)可知，∠AEF=1∠DFE=1∵∠A+∠D+∠AEF+∠DFE＝360°，∴∠A+∠D+12（180°﹣∠1）∴2（∠A+∠D）＝∠1+∠2+360°，∴∠A+∠D=119．（永吉縣期中）（1）四邊形ABCD中，∠A＝140°，∠D＝80°．①如圖1，若∠B＝∠C，則∠C＝°；②如圖2，若∠ABC的平分線BE交DC于點E，且BE∥AD，則∠C＝；③如圖3，若∠ABC和∠BCD的平分線相交于點E，則∠BEC＝°；（2）如圖3，當∠A＝α，∠D＝β時，若∠ABC和∠BCD的平分線交于點E，∠BEC與α，β之間的數(shù)量關(guān)系為；（3）如圖4，在五邊形ABCDE中，∠A+∠B+∠E＝300°，CP，DP分別平分∠BCD和∠EDC，求∠P的度數(shù)．【思路點撥】（1）①依據(jù)四邊形內(nèi)角和等于360°求出∠B+∠C的度數(shù)，再除以2即可求解；②先依據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠ABE的度數(shù)，再依據(jù)角平分線定義和四邊形內(nèi)角和即可求解；③依據(jù)四邊形內(nèi)角和求出∠ABC+∠BCD的度數(shù)，再依據(jù)角平分線定義得到∠EBC+∠ECB的度數(shù)，最終依據(jù)三角形內(nèi)角和即可求解；（2）先依據(jù)四邊形的內(nèi)角和等于360°求出∠ABC+∠BCD的度數(shù)，再依據(jù)角平分線的定義求出12（∠ABC+∠BCD）的度數(shù)，然后利用三角形的內(nèi)角和定理列式即可求出∠BEC（3）先依據(jù)五邊形的內(nèi)角和等于540°求出∠CDE+∠BCD的度數(shù)，再依據(jù)角平分線的定義求出12（∠CDE+∠BCD）的度數(shù)，然后利用三角形的內(nèi)角和定理列式即可求出∠P【解題過程】解：（1）①∵四邊形ABCD中，∠A＝140°，∠D＝80°，∴∠B+∠C＝360°﹣（140°+80°）＝140°，∵∠B＝∠C，∴∠C＝70°．故答案為：70；②∵BE∥AD，∴∠ABE+∠A＝180°，∴∠ABE＝180°﹣∠A＝180°﹣140°＝40°，∵∠ABC的角平分線BE交DC于點E，∴∠ABC＝80°，∴∠C＝360°﹣（140°+80°+80°）＝60°．故答案為：60；③∵四邊形ABCD中，∠A＝140°，∠D＝80°，∴∠B+∠C＝360°﹣（140°+80°）＝140°，∵∠ABC和∠BCD的角平分線交于點E，∴∠EBC+∠ECB＝70°，∴∠BEC＝180°﹣70°＝110°．故答案為：110；（2）∵四邊形ABCD中，∠A＝α，∠D＝β，∴∠B+∠C＝360°﹣（α+β），∵∠ABC和∠BCD的角平分線交于點E，∴∠EBC+∠ECB＝180°-1∴∠BEC＝180°﹣[180°-12（α+β）]故答案為：∠BEC=1（3）∵∠BCD+∠CDE＝540°﹣（∠A+∠B+∠E）＝540°﹣300°＝240°，又∵CP，DP分別平分∠BCD和∠EDC，∴∠PCD=12∠BCD，∠PDC=1∴∠PCD+∠PDC=12（∠BCD+∠CDE）＝240°∴∠P＝180°﹣（∠PCD+∠PDC）＝180°﹣120°＝60°．20．（臨江市期末）我們探究過三角形內(nèi)角和等于18