八年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)專題01勾股定理中的最短路徑模型(原卷版+解析)

專題01勾股定理中的最短路徑模型勾股定理中的最短路線問(wèn)題通常是以“兩點(diǎn)之間，線段最短”為基本原理推出的。人們?cè)谏a(chǎn)、生活實(shí)踐中，常常遇到帶有某種限制條件的最近路線即最短路線問(wèn)題。對(duì)于數(shù)學(xué)中的最短路線問(wèn)題可以分為兩大類：第一類為在同一平面內(nèi)；第二類為空間幾何體中的最短路線問(wèn)題，對(duì)于平面內(nèi)的最短路線問(wèn)題可先畫(huà)出方案圖，然后確定最短距離及路徑圖。對(duì)于幾何題內(nèi)問(wèn)題的關(guān)鍵是將立體圖形轉(zhuǎn)化為平面問(wèn)題求解，然后構(gòu)造直角三角形，利用勾股定理求解。模型1.圓柱中的最短路徑模型【模型解讀】圓柱體中最短路徑基本模型如下：計(jì)算跟圓柱有關(guān)的最短路徑問(wèn)題時(shí)，要注意圓柱的側(cè)面展開(kāi)圖為矩形，利用兩點(diǎn)之間線段最短結(jié)合勾股定理進(jìn)行求解，注意展開(kāi)后兩個(gè)端點(diǎn)的位置，有時(shí)候需要用底面圓的周長(zhǎng)進(jìn)行計(jì)算，有時(shí)候需要用底面圓周長(zhǎng)的一半進(jìn)行計(jì)算。注意：1）運(yùn)用勾股定理計(jì)算最短路徑時(shí)，按照展開(kāi)—定點(diǎn)—連線—勾股定理的步驟進(jìn)行計(jì)算；2）纏繞類題型可以求出一圈的最短長(zhǎng)度后乘以圈數(shù)?！咀钪翟怼?jī)牲c(diǎn)之間線段最短。例1．（2023春·山東臨沂·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，已知圓柱底面的周長(zhǎng)為，圓柱高為，在圓柱的側(cè)面上，過(guò)點(diǎn)和點(diǎn)嵌有一圈金屬絲，則這圈金屬絲的周長(zhǎng)最小為（

）

A． B． C． D．例2．（2023·湖北十堰·統(tǒng)考一模）如圖，這是一個(gè)供滑板愛(ài)好者使用的形池，該形池可以看作是一個(gè)長(zhǎng)方體去掉一個(gè)“半圓柱”而成，中間可供滑行部分的截面是弧長(zhǎng)為的半圓，其邊緣（邊緣的寬度忽略不計(jì)），點(diǎn)在上，一滑板愛(ài)好者從點(diǎn)滑到點(diǎn)，則他滑行的最短距離為（

）

A． B． C． D．例3．（2023春·四川德陽(yáng)·八年級(jí)?？计谥校┤鐖D，圓柱底面半徑為，高為，點(diǎn)A，B分別是圓柱兩底面圓周上的點(diǎn)，且A，B在同一條豎直直線上，用一根棉線從A點(diǎn)順著圓柱側(cè)面繞3圈到B點(diǎn)，則這根棉線的長(zhǎng)度最短為_(kāi)__________cm．模型2.長(zhǎng)方體中的最短路徑模型【模型解讀】長(zhǎng)方體中最短路徑基本模型如下：計(jì)算跟長(zhǎng)方體有關(guān)的最短路徑問(wèn)題時(shí)，要熟悉長(zhǎng)方體的側(cè)面展開(kāi)圖，利用兩點(diǎn)之間線段最短結(jié)合勾股定理進(jìn)行求解，注意長(zhǎng)方體展開(kāi)圖的多種情況和分類討論。注意：1）長(zhǎng)方體展開(kāi)圖分類討論時(shí)可按照“前+右”、“前+上”和“左+上”三種情況進(jìn)行討論；2）兩個(gè)端點(diǎn)中有一個(gè)不在定點(diǎn)時(shí)討論方法跟第一類相同?！咀钪翟怼?jī)牲c(diǎn)之間線段最短。例1．（2022·貴州貴陽(yáng)·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖所示，在正三棱柱中，已知，，一只螞蟻從A點(diǎn)出發(fā)繞三棱柱側(cè)面兩圈到達(dá)點(diǎn)，則螞蟻爬行的最短距離為（

）A． B． C． D．例2．（2023·廣東·八年級(jí)?？计谥校┤鐖D，長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高分別為．如果一只小蟲(chóng)從點(diǎn)開(kāi)始爬行，經(jīng)過(guò)兩個(gè)側(cè)面爬行到另一條側(cè)棱的中點(diǎn)處，那么這只小蟲(chóng)所爬行的最短路程為（）

A．5 B．4 C．6 D．7例3．（2023秋·綿陽(yáng)市·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖，一個(gè)長(zhǎng)方體盒子，其中，，為上靠近的三等分點(diǎn)，在大長(zhǎng)方體盒子上有一個(gè)小長(zhǎng)方體盒子，，，，一只螞蟻要沿著長(zhǎng)方體盒子的表面從點(diǎn)爬行到點(diǎn)，它爬行的最短路程為．

例4．（2023·湖北十堰·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，一大樓的外墻面與地面垂直，點(diǎn)在墻面上，若米，點(diǎn)到的距離是6米，有一只螞蟻要從點(diǎn)爬到點(diǎn)，它的最短行程是（

）米A．16 B． C．15 D．14模型3.階梯中的最短路徑模型【模型解讀】階梯中最短路徑基本模型如下：注意：展開(kāi)—定點(diǎn)—連線—勾股定理【最值原理】?jī)牲c(diǎn)之間線段最短。例1．（2023秋·四川宜賓·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖是一個(gè)三級(jí)臺(tái)階，它的每一級(jí)的長(zhǎng)、寬、高分別是4米、0.7米、0.3米，A、B是這個(gè)臺(tái)階上兩個(gè)相對(duì)的頂點(diǎn)，A點(diǎn)處有一只螞蟻，它想到B點(diǎn)去吃可口的食物，則螞蟻沿臺(tái)階面爬行到B點(diǎn)最短路程是________米．例2．（2023春·四川成都·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖所示，是長(zhǎng)方形地面，長(zhǎng)，寬．中間豎有一堵磚墻高．一只螞蚱從點(diǎn)爬到點(diǎn)，它必須翻過(guò)中間那堵墻，則它要走的路程s取值范圍是________．例3．（2023春·重慶八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）在一個(gè)長(zhǎng)為米,寬為米的長(zhǎng)方形草地上,如圖堆放著一根正三棱柱的木塊，它的側(cè)棱長(zhǎng)平行且大于場(chǎng)地寬，木塊的主視圖是邊長(zhǎng)為1米的正三角形，一只螞蟻從點(diǎn)處到處需要走的最短路程是______米．模型4.將軍飲馬與最短路徑模型【模型解讀】將軍飲馬與最短路徑基本模型如下：解決線段之和最小值問(wèn)題：對(duì)稱+連線，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短解決。注意：立體圖形中從外側(cè)到內(nèi)側(cè)最短路徑問(wèn)題需要先作對(duì)稱，再運(yùn)用兩點(diǎn)之間線段最短的原理結(jié)合勾股定理求解?！咀钪翟怼?jī)牲c(diǎn)之間線段最短。例1．（2023春·湖北武漢·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，圓柱形玻璃杯高為，底面周長(zhǎng)為，在杯內(nèi)壁離杯底的點(diǎn)B處有一滴蜂蜜，此時(shí)一只螞蟻正好在杯外壁，離杯上沿且與蜂蜜相對(duì)的點(diǎn)A處，則螞蟻從外壁A處到內(nèi)壁B處的最短距離為（

）．（杯壁厚度不計(jì)）A．20 B．25 C．30 D．40例2.（2022·陜西·八年級(jí)期中）有一個(gè)如圖所示的長(zhǎng)方體透明玻璃水缸，高，水深，在水面線上緊貼內(nèi)壁處有一粒食物，且，一只小蟲(chóng)想從水缸外的處沿水缸壁爬到水缸內(nèi)的處吃掉食物．（1）你認(rèn)為小蟲(chóng)應(yīng)該沿怎樣的路線爬行才能使爬行的路線最短，請(qǐng)你畫(huà)出它爬行的最短路線，并用箭頭標(biāo)注．（2）求小蟲(chóng)爬行的最短路線長(zhǎng)（不計(jì)缸壁厚度）．例3．（2023春·河北保定·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，高速公路的同一側(cè)有A，B兩城鎮(zhèn)，它們到高速公路所在直線的距離分別為，，．要在高速公路上C，D之間建一個(gè)出口P，使A，B兩城鎮(zhèn)到P的距離之和最小，則這個(gè)最短距離為（

）A． B． C． D．課后專項(xiàng)訓(xùn)練1．（2023·遼寧沈陽(yáng)·八年級(jí)?？计谥校┯幸粋€(gè)如圖所示的上底面是敞口的長(zhǎng)方體透明玻璃魚(yú)缸，其長(zhǎng)，高，寬，在頂點(diǎn)處有一塊面包屑，一只螞蟻想從魚(yú)缸外的點(diǎn)沿魚(yú)缸側(cè)面吃面包屑，螞蟻爬行的最短路線長(zhǎng)是（

）．A．B．C．D．2．（2023春·廣西玉林·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，圓柱形玻璃杯高為，底面周長(zhǎng)為，在杯內(nèi)壁離杯底的點(diǎn)處有一滴蜂蜜，此時(shí)一只螞蟻正好在杯外壁，離杯上沿與蜂蜜相對(duì)的點(diǎn)處，則螞蟻從外壁處到內(nèi)壁處的最短距離（杯壁厚度不計(jì)）為（）

A． B． C． D．3．（2023春·山西呂梁·八年級(jí)統(tǒng)考階段練習(xí)）如圖，正方體的棱長(zhǎng)為，已知點(diǎn)B與點(diǎn)C之間的距離為，一只螞蟻沿著正方體的表面從點(diǎn)A爬到點(diǎn)C，需要爬行的最短距離為（）A． B． C． D．4．（2023·四川成都·八年級(jí)?？计谥校┯幸粓A柱體如圖，高，底面周長(zhǎng)，處有一螞蟻，若螞蟻欲爬行到處，求螞蟻爬行的最短距離為(

)

A．3 B． C．8 D．55．（2023·陜西榆林·八年級(jí)?？计谥校┤鐖D，圓柱的底面周長(zhǎng)為，是底面圓的直徑，在圓柱表面的高上有一點(diǎn)，且，．一只螞蟻從點(diǎn)出發(fā)，沿著圓柱體的表面爬行到點(diǎn)的最短路程是．

6．（2023·江蘇·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖是一個(gè)長(zhǎng)為6cm、寬為3cm、高為4cm的長(zhǎng)方體木塊．一只螞蟻要沿著長(zhǎng)方體的表面從左下角的點(diǎn)A處爬行至右上角的點(diǎn)B處，那么這只螞蟻所走的最短路線的長(zhǎng)為cm．7．（2023春·湖南永州·八年級(jí)校考階段練習(xí)）如圖，有一個(gè)長(zhǎng)方體，長(zhǎng)、寬、高分別為6，4，4，在長(zhǎng)方體的底面A處，有一螞蟻，它想吃長(zhǎng)方體上面與A相對(duì)的B點(diǎn)處的食物，那么最短需要爬行的路程是．

8．（2023春·陜西西安·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，桌上有一個(gè)圓柱形玻璃杯（無(wú)蓋），高厘米，底面周長(zhǎng)厘米，在杯口內(nèi)壁離杯口厘米的處有一滴蜜糖，在玻璃杯的內(nèi)壁，的相對(duì)方向有一小蟲(chóng)，小蟲(chóng)離杯底的垂直距離為厘米，小蟲(chóng)爬到蜜糖處的最短距離是厘米．

9．（2023春·重慶江津·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，圓柱的底面周長(zhǎng)為10，，動(dòng)點(diǎn)從A點(diǎn)出發(fā)，沿著圓柱的側(cè)面移動(dòng)到點(diǎn)，則移動(dòng)的最短距離為

10．（2023春·吉林·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，已知圓柱底面直徑，高．小蟲(chóng)在圓柱表面爬行，先從點(diǎn)C爬行到點(diǎn)A．再沿另一面爬回C點(diǎn)，則小蟲(chóng)爬行的最短路程為．

11．（2023春·安徽蕪湖·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）已知，且x，y均為正數(shù)，則的最小值是．12．（2023秋·江蘇·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖是一個(gè)三級(jí)臺(tái)階，它的每一級(jí)的長(zhǎng)、寬、高分別為7寸、5寸和3寸，A和B是這個(gè)臺(tái)階的兩個(gè)相對(duì)端點(diǎn)，A點(diǎn)上有一只螞蟻想到B點(diǎn)去吃可口的食物，則它所走的最短路線長(zhǎng)度是寸．13．（2023秋·江蘇·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖，圓柱底面半徑為，高為，點(diǎn)A，B分別是圓柱兩底面圓周上的點(diǎn)，且A，B在同一條豎直直線上，用一根棉線從A點(diǎn)順著圓柱側(cè)面繞3圈到B點(diǎn)，則這根棉線的長(zhǎng)度最短為cm．14．（2023秋·全國(guó)·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖是某滑雪場(chǎng)U型池的示意圖，該U型池可以看作是一個(gè)長(zhǎng)方體去掉一個(gè)“半圓柱”而成，中間可供滑行部分的截面是半徑為3的半圓，其邊緣，點(diǎn)在上，．一名滑雪愛(ài)好者從點(diǎn)滑到點(diǎn)時(shí)，他滑行的最短路程約為（取3）．15．（2023春·河北承德·九年級(jí)統(tǒng)考階段練習(xí)）如圖，長(zhǎng)方體盒子的長(zhǎng)、寬、高分別為4，3，5．（1）一根長(zhǎng)7的木棒能否放人盒子里？__________（選填“能”或“不能”）（2）一只螞蟻想從盒底的A點(diǎn)爬到盒頂?shù)腂點(diǎn)，螞蟻爬行的最短行程為_(kāi)_________．16．（2023春·山東臨沂·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，透明圓柱的底面半徑為6厘米，高為12厘米，螞蟻在圓柱側(cè)面爬行．從圓柱的內(nèi)側(cè)點(diǎn)爬到圓柱的外側(cè)點(diǎn)處吃食物，那么它爬行最短路程是厘米．

17．（2022·內(nèi)蒙古包頭·九年級(jí)統(tǒng)考自主招生）圓柱的高為，底面半徑為，點(diǎn)B離地面，一只蜘蛛以的速度從底面上的點(diǎn)A處繞曲面到達(dá)點(diǎn)B捕食被網(wǎng)到的昆蟲(chóng)，蜘蛛到昆蟲(chóng)所在點(diǎn)B所用最短時(shí)間是多少？（π取3）

18．（2023春·廣西賀州·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，某工廠前面有一條筆直的公路，原來(lái)有兩條路，可以從工廠到達(dá)公路，經(jīng)測(cè)量，，，現(xiàn)需要修建一條路，使工廠到公路的路程最短．請(qǐng)你用尺規(guī)作圖畫(huà)出最短路徑（不寫(xiě)畫(huà)法，保留作圖痕跡），并求出新建路的長(zhǎng)．

19．（2023秋·全國(guó)·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖，A、B兩個(gè)村子在筆直河岸的同側(cè)，A、B兩村到河岸的距離分別為，，，現(xiàn)在要在河岸上建一水廠E向A、B兩村輸送自來(lái)水，要求水廠E到A、B兩村的距離之和最短．(1)在圖中作出水廠E的位置（要求：尺規(guī)作圖，不寫(xiě)作法，保留作圖痕跡）；(2)求水廠E到A、B兩村的距離之和的最小值．20．（2022秋·四川成都·八年級(jí)?？计谥校?）問(wèn)題再現(xiàn)：學(xué)習(xí)二次根式時(shí)，老師給同學(xué)們提出了一個(gè)求代數(shù)式最小值的問(wèn)題，如，“求代數(shù)式的最小值”．小強(qiáng)同學(xué)發(fā)現(xiàn)可看作兩直角邊分別為x和2的直角三角形斜邊長(zhǎng)，可看作兩直角邊分別是和4的直角三角形的斜邊長(zhǎng)．于是構(gòu)造出如圖所示，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求線段AB的長(zhǎng)，進(jìn)而求得的最小值是______．

（2）類比遷移：已知a，b均為正數(shù)，且．求的最小值．（3）方法應(yīng)用：已知a，b均為正數(shù)，且，，是三角形的三邊長(zhǎng)，求這個(gè)三角形的面積（用含a，b的代數(shù)式表示）．

專題01勾股定理中的最短路徑模型勾股定理中的最短路線問(wèn)題通常是以“兩點(diǎn)之間，線段最短”為基本原理推出的。人們?cè)谏a(chǎn)、生活實(shí)踐中，常常遇到帶有某種限制條件的最近路線即最短路線問(wèn)題。對(duì)于數(shù)學(xué)中的最短路線問(wèn)題可以分為兩大類：第一類為在同一平面內(nèi)；第二類為空間幾何體中的最短路線問(wèn)題，對(duì)于平面內(nèi)的最短路線問(wèn)題可先畫(huà)出方案圖，然后確定最短距離及路徑圖。對(duì)于幾何題內(nèi)問(wèn)題的關(guān)鍵是將立體圖形轉(zhuǎn)化為平面問(wèn)題求解，然后構(gòu)造直角三角形，利用勾股定理求解。模型1.圓柱中的最短路徑模型【模型解讀】圓柱體中最短路徑基本模型如下：計(jì)算跟圓柱有關(guān)的最短路徑問(wèn)題時(shí)，要注意圓柱的側(cè)面展開(kāi)圖為矩形，利用兩點(diǎn)之間線段最短結(jié)合勾股定理進(jìn)行求解，注意展開(kāi)后兩個(gè)端點(diǎn)的位置，有時(shí)候需要用底面圓的周長(zhǎng)進(jìn)行計(jì)算，有時(shí)候需要用底面圓周長(zhǎng)的一半進(jìn)行計(jì)算。注意：1）運(yùn)用勾股定理計(jì)算最短路徑時(shí)，按照展開(kāi)—定點(diǎn)—連線—勾股定理的步驟進(jìn)行計(jì)算；2）纏繞類題型可以求出一圈的最短長(zhǎng)度后乘以圈數(shù)?！咀钪翟怼?jī)牲c(diǎn)之間線段最短。例1．（2023春·山東臨沂·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，已知圓柱底面的周長(zhǎng)為，圓柱高為，在圓柱的側(cè)面上，過(guò)點(diǎn)和點(diǎn)嵌有一圈金屬絲，則這圈金屬絲的周長(zhǎng)最小為（

）

A． B． C． D．【答案】D【分析】要求絲線的長(zhǎng)，需將圓柱的側(cè)面展開(kāi)，進(jìn)而根據(jù)“兩點(diǎn)之間線段最短”得出結(jié)果，在求線段長(zhǎng)時(shí)，根據(jù)勾股定理計(jì)算即可．【詳解】解：如圖，把圓柱的側(cè)面展開(kāi)，得到矩形，則這圈金屬絲的周長(zhǎng)最小為的長(zhǎng)度．

圓柱底面的周長(zhǎng)為，圓柱高為，，，，，這圈金屬絲的周長(zhǎng)最小為．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了平面展開(kāi)最短路徑問(wèn)題，圓柱的側(cè)面展開(kāi)圖是一個(gè)矩形，此矩形的長(zhǎng)等于圓柱底面周長(zhǎng)，高等于圓柱的高，本題就是把圓柱的側(cè)面展開(kāi)成矩形，“化曲面為平面”，用勾股定理解決．例2．（2023·湖北十堰·統(tǒng)考一模）如圖，這是一個(gè)供滑板愛(ài)好者使用的形池，該形池可以看作是一個(gè)長(zhǎng)方體去掉一個(gè)“半圓柱”而成，中間可供滑行部分的截面是弧長(zhǎng)為的半圓，其邊緣（邊緣的寬度忽略不計(jì)），點(diǎn)在上，一滑板愛(ài)好者從點(diǎn)滑到點(diǎn)，則他滑行的最短距離為（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】滑行的距離最短，即是沿著的線段滑行，我們可將半圓展開(kāi)為矩形來(lái)研究，展開(kāi)后，、、三點(diǎn)構(gòu)成直角三角形，為斜邊，和為直角邊，寫(xiě)出和的長(zhǎng)，根據(jù)題意，由勾股定理即可得出的距離．【詳解】解：將半圓面展開(kāi)可得：米，米，

在中，（米）．即滑行的最短距離為米．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了平面展開(kāi)最短路徑問(wèn)題，型池的側(cè)面展開(kāi)圖是一個(gè)矩形，此矩形的寬是半圓的弧長(zhǎng)，矩形的長(zhǎng)等于本題就是把型池的側(cè)面展開(kāi)成矩形，“化曲面為平面”，用勾股定理解決．例3．（2023春·四川德陽(yáng)·八年級(jí)?？计谥校┤鐖D，圓柱底面半徑為，高為，點(diǎn)A，B分別是圓柱兩底面圓周上的點(diǎn)，且A，B在同一條豎直直線上，用一根棉線從A點(diǎn)順著圓柱側(cè)面繞3圈到B點(diǎn)，則這根棉線的長(zhǎng)度最短為_(kāi)__________cm．【答案】15【分析】要求圓柱體中兩點(diǎn)之間的最短路徑，最直接的作法，就是將圓柱體展開(kāi)，然后利用兩點(diǎn)之間線段最短解答．【詳解】解：圓柱體的展開(kāi)圖如圖所示：用一棉線從A順著圓柱側(cè)面繞3圈到B的運(yùn)動(dòng)最短路線是：；即在圓柱體的展開(kāi)圖長(zhǎng)方形中，將長(zhǎng)方形平均分成3個(gè)小長(zhǎng)方形，A沿著3個(gè)長(zhǎng)方形的對(duì)角線運(yùn)動(dòng)到B的路線最短；∵圓柱底面半徑為∴長(zhǎng)方形的寬即是圓柱體的底面周長(zhǎng)：；又∵圓柱高為，∴小長(zhǎng)方形的一條邊長(zhǎng)是；根據(jù)勾股定理求得；∴；故答案為：15．【點(diǎn)睛】本題主要考查了平面展開(kāi)--路徑最短問(wèn)題．圓柱的側(cè)面展開(kāi)圖是一個(gè)長(zhǎng)方形，此長(zhǎng)方形的寬等于圓柱底面周長(zhǎng)，長(zhǎng)方形的長(zhǎng)等于圓柱的高．本題就是把圓柱的側(cè)面展開(kāi)成長(zhǎng)方形，“化曲面為平面”，用勾股定理解決．模型2.長(zhǎng)方體中的最短路徑模型【模型解讀】長(zhǎng)方體中最短路徑基本模型如下：計(jì)算跟長(zhǎng)方體有關(guān)的最短路徑問(wèn)題時(shí)，要熟悉長(zhǎng)方體的側(cè)面展開(kāi)圖，利用兩點(diǎn)之間線段最短結(jié)合勾股定理進(jìn)行求解，注意長(zhǎng)方體展開(kāi)圖的多種情況和分類討論。注意：1）長(zhǎng)方體展開(kāi)圖分類討論時(shí)可按照“前+右”、“前+上”和“左+上”三種情況進(jìn)行討論；2）兩個(gè)端點(diǎn)中有一個(gè)不在定點(diǎn)時(shí)討論方法跟第一類相同?！咀钪翟怼?jī)牲c(diǎn)之間線段最短。例1．（2022·貴州貴陽(yáng)·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖所示，在正三棱柱中，已知，，一只螞蟻從A點(diǎn)出發(fā)繞三棱柱側(cè)面兩圈到達(dá)點(diǎn)，則螞蟻爬行的最短距離為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】要求長(zhǎng)方體中兩點(diǎn)之間的最短路徑，最直接的作法，就是將正三棱柱展開(kāi)，然后利用兩點(diǎn)之間線段最短解答．【詳解】∵一只螞蟻從A點(diǎn)出發(fā)繞三棱柱側(cè)面兩圈到達(dá)點(diǎn)，∴如圖所示，將正三棱柱展開(kāi)2次，∴，∵正三棱柱的高∴．故選：D．【點(diǎn)睛】此題考查了最短路徑問(wèn)題．解決本題的關(guān)鍵是熟練掌握用勾股定理的應(yīng)用，要注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．例2．（2023·廣東·八年級(jí)?？计谥校┤鐖D，長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高分別為．如果一只小蟲(chóng)從點(diǎn)開(kāi)始爬行，經(jīng)過(guò)兩個(gè)側(cè)面爬行到另一條側(cè)棱的中點(diǎn)處，那么這只小蟲(chóng)所爬行的最短路程為（）

A．5 B．4 C．6 D．7【答案】A【分析】根據(jù)題意把圖形展開(kāi)，連接，得出的長(zhǎng)就是從處爬到處的最短路程，分為三種情況展開(kāi)，根據(jù)勾股定理求出的長(zhǎng)，再比較即可.【詳解】如圖將正面與右面展開(kāi)在同一平面，連接，由勾股定理得：，

如圖將下底面與后面展開(kāi)在同一平面，連接，由勾股定理得：，如圖將下底面與右面展開(kāi)在同一平面，連接，由勾股定理得：，∴從處爬到處的最短路程是，故選：．【點(diǎn)睛】此題考查了立方體側(cè)面展開(kāi)圖最短路徑問(wèn)題，解題關(guān)鍵是畫(huà)出圖形知道求出哪一條線段的長(zhǎng)，題目具有一定的代表性，是一道比較好的題目，注意要進(jìn)行分類討論．例3．（2023秋·綿陽(yáng)市·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖，一個(gè)長(zhǎng)方體盒子，其中，，為上靠近的三等分點(diǎn)，在大長(zhǎng)方體盒子上有一個(gè)小長(zhǎng)方體盒子，，，，一只螞蟻要沿著長(zhǎng)方體盒子的表面從點(diǎn)爬行到點(diǎn)，它爬行的最短路程為．

【答案】10【分析】如圖，將面、、展開(kāi)在同一個(gè)平面內(nèi)，連接，則為最短路徑，由題意知，，，，則，由勾股定理得，，計(jì)算求解即可．【詳解】解：如圖，將面、、展開(kāi)在同一個(gè)平面內(nèi)，連接，則為最短路徑，由題意知，，，，∴，由勾股定理得，，故答案為：10．【點(diǎn)睛】本題考查了幾何體的展開(kāi)圖，勾股定理最短路徑的應(yīng)用．解題的關(guān)鍵在于對(duì)知識(shí)的熟練掌握．例4．（2023·湖北十堰·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，一大樓的外墻面與地面垂直，點(diǎn)在墻面上，若米，點(diǎn)到的距離是6米，有一只螞蟻要從點(diǎn)爬到點(diǎn)，它的最短行程是（

）米A．16 B． C．15 D．14【答案】B【分析】可將教室的墻面與地面展開(kāi)，連接，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短，利用勾股定理求解即可．【詳解】解：如圖，過(guò)P作于G，連接，∵米，米，∴米，∴（米），∴（米）∴這只螞蟻的最短行程應(yīng)該是米，故B正確．故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了平面展開(kāi)-最短路徑問(wèn)題，立體圖形中的最短距離，通常要轉(zhuǎn)換為平面圖形的兩點(diǎn)間的線段長(zhǎng)來(lái)進(jìn)行解決．模型3.階梯中的最短路徑模型【模型解讀】階梯中最短路徑基本模型如下：注意：展開(kāi)—定點(diǎn)—連線—勾股定理【最值原理】?jī)牲c(diǎn)之間線段最短。例1．（2023秋·四川宜賓·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖是一個(gè)三級(jí)臺(tái)階，它的每一級(jí)的長(zhǎng)、寬、高分別是4米、0.7米、0.3米，A、B是這個(gè)臺(tái)階上兩個(gè)相對(duì)的頂點(diǎn)，A點(diǎn)處有一只螞蟻，它想到B點(diǎn)去吃可口的食物，則螞蟻沿臺(tái)階面爬行到B點(diǎn)最短路程是________米．【答案】5【分析】先將臺(tái)階展開(kāi)，再根據(jù)勾股定理求解即可．【詳解】將三級(jí)臺(tái)階展開(kāi)，如圖所示．可知（米），（米），根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短，可知為最短路徑，根據(jù)勾股定理得（米）．故答案為：5．【點(diǎn)睛】本題考查了根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短求最短路徑，勾股定理等，勾股定理是求線段長(zhǎng)的常用方法．例2．（2023春·四川成都·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖所示，是長(zhǎng)方形地面，長(zhǎng)，寬．中間豎有一堵磚墻高．一只螞蚱從點(diǎn)爬到點(diǎn)，它必須翻過(guò)中間那堵墻，則它要走的路程s取值范圍是________．【答案】【分析】連接，利用勾股定理求出的長(zhǎng)，再把中間的墻平面展開(kāi)，使原來(lái)的長(zhǎng)方形長(zhǎng)度增加而寬度不變，求出新長(zhǎng)方形的對(duì)角線長(zhǎng)即可得到范圍．【詳解】解：如圖所示，將圖展開(kāi)，圖形長(zhǎng)度增加，原圖長(zhǎng)度增加，則，連接，四邊形是長(zhǎng)方形，，寬，，螞蚱從點(diǎn)爬到點(diǎn)，它要走的路程．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查的是平面展開(kāi)最短路線問(wèn)題及勾股定理，根據(jù)題意畫(huà)出圖形是解答此題的關(guān)鍵．例3．（2023春·重慶八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）在一個(gè)長(zhǎng)為米,寬為米的長(zhǎng)方形草地上,如圖堆放著一根正三棱柱的木塊，它的側(cè)棱長(zhǎng)平行且大于場(chǎng)地寬，木塊的主視圖是邊長(zhǎng)為1米的正三角形，一只螞蟻從點(diǎn)處到處需要走的最短路程是______米．【答案】【分析】如圖，將木塊展開(kāi)，相當(dāng)于長(zhǎng)方形草地的長(zhǎng)多了正三角形的一個(gè)邊長(zhǎng)，長(zhǎng)方形的長(zhǎng)為米，因?yàn)殚L(zhǎng)方形的寬為3米，一只螞蟻從點(diǎn)處到處需要走的最短路程是對(duì)角線，利用勾股定理求解即可．【詳解】解：如圖，將木塊展開(kāi)，相當(dāng)于長(zhǎng)方形草地的長(zhǎng)多了正三角形的一個(gè)邊長(zhǎng)，長(zhǎng)方形的長(zhǎng)為米，長(zhǎng)方形的寬為3米，一只螞蟻從點(diǎn)處到處需要走的最短路程是對(duì)角線，米，故答案為．【點(diǎn)睛】本題主要考查勾股定理的應(yīng)用，根據(jù)題意將木塊展開(kāi)，再利用兩點(diǎn)之間線段最短是解題關(guān)鍵．模型4.將軍飲馬與最短路徑模型【模型解讀】將軍飲馬與最短路徑基本模型如下：解決線段之和最小值問(wèn)題：對(duì)稱+連線，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短解決。注意：立體圖形中從外側(cè)到內(nèi)側(cè)最短路徑問(wèn)題需要先作對(duì)稱，再運(yùn)用兩點(diǎn)之間線段最短的原理結(jié)合勾股定理求解?！咀钪翟怼?jī)牲c(diǎn)之間線段最短。例1．（2023春·湖北武漢·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，圓柱形玻璃杯高為，底面周長(zhǎng)為，在杯內(nèi)壁離杯底的點(diǎn)B處有一滴蜂蜜，此時(shí)一只螞蟻正好在杯外壁，離杯上沿且與蜂蜜相對(duì)的點(diǎn)A處，則螞蟻從外壁A處到內(nèi)壁B處的最短距離為（

）．（杯壁厚度不計(jì)）A．20 B．25 C．30 D．40【答案】B【分析】化曲為直，利用勾股定理解決．【詳解】把玻璃杯的側(cè)面展開(kāi)，如圖，把點(diǎn)A向上平移6cm到點(diǎn)C，連接，過(guò)點(diǎn)B作于D，由已知得：，，，在中，由勾股定理得：，則螞蟻從外壁A處到內(nèi)壁B處的最短距離為．故選：B【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，根據(jù)題意把圓柱展開(kāi)，化曲為直是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．例2.（2022·陜西·八年級(jí)期中）有一個(gè)如圖所示的長(zhǎng)方體透明玻璃水缸，高，水深，在水面線上緊貼內(nèi)壁處有一粒食物，且，一只小蟲(chóng)想從水缸外的處沿水缸壁爬到水缸內(nèi)的處吃掉食物．（1）你認(rèn)為小蟲(chóng)應(yīng)該沿怎樣的路線爬行才能使爬行的路線最短，請(qǐng)你畫(huà)出它爬行的最短路線，并用箭頭標(biāo)注．（2）求小蟲(chóng)爬行的最短路線長(zhǎng)（不計(jì)缸壁厚度）．【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）100cm【分析】(1)做出A關(guān)于BC的對(duì)稱點(diǎn)A’，連接A’G，與BC交于點(diǎn)Q，由兩點(diǎn)之間線段最短，此時(shí)A’G最短，即AQ+QG最短；(2)A’G為直角△A’EG的斜邊，根據(jù)勾股定理求解即可．【詳解】解：(1)如下圖所示，作點(diǎn)A關(guān)于BC所在直線的對(duì)稱點(diǎn)，連接，與交于點(diǎn)，由兩點(diǎn)之間線段最短，此時(shí)A’G最短，則為最短路線．(2)∵，∴，∴．在中，，，∴．由對(duì)稱性可知，∴．故小蟲(chóng)爬行的最短路線長(zhǎng)為100cm．【點(diǎn)睛】本題考查的是利用勾股定理求最短路徑問(wèn)題，本題的關(guān)鍵是根據(jù)對(duì)稱性作出A的對(duì)稱點(diǎn)A’，再根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短，從而可找到路徑求出解．例3．（2023春·河北保定·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，高速公路的同一側(cè)有A，B兩城鎮(zhèn)，它們到高速公路所在直線的距離分別為，，．要在高速公路上C，D之間建一個(gè)出口P，使A，B兩城鎮(zhèn)到P的距離之和最小，則這個(gè)最短距離為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)題意畫(huà)出圖形，再利用軸對(duì)稱求最短路徑的方法得出點(diǎn)位置，進(jìn)而結(jié)合勾股定理得出即可．【詳解】解：如圖所示：作點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，再連接，交直線于點(diǎn)則此時(shí)最小，過(guò)點(diǎn)作延長(zhǎng)線于點(diǎn)，，，，，則，在中，，則的最小值為：．故選：B．【點(diǎn)睛】此題主要考查了應(yīng)用與設(shè)計(jì)作圖，兩點(diǎn)之間線段最短、勾股定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)利用對(duì)稱解決最短問(wèn)題．課后專項(xiàng)訓(xùn)練1．（2023·遼寧沈陽(yáng)·八年級(jí)校考期中）有一個(gè)如圖所示的上底面是敞口的長(zhǎng)方體透明玻璃魚(yú)缸，其長(zhǎng)，高，寬，在頂點(diǎn)處有一塊面包屑，一只螞蟻想從魚(yú)缸外的點(diǎn)沿魚(yú)缸側(cè)面吃面包屑，螞蟻爬行的最短路線長(zhǎng)是（

）．A．B．C．D．【答案】B【分析】把長(zhǎng)方體玻璃魚(yú)缸側(cè)面展開(kāi)在平面上，螞蟻爬行的最短路線長(zhǎng)是線段的長(zhǎng)，求出線段的長(zhǎng)即可．【詳解】解：把長(zhǎng)方體玻璃魚(yú)缸側(cè)面展開(kāi)在平面上，螞蟻爬行的最短路線長(zhǎng)是線段的長(zhǎng)，，．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查最短路徑問(wèn)題，關(guān)鍵是掌握兩點(diǎn)之間線段最短，從而可找到最短路徑．2．（2023春·廣西玉林·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，圓柱形玻璃杯高為，底面周長(zhǎng)為，在杯內(nèi)壁離杯底的點(diǎn)處有一滴蜂蜜，此時(shí)一只螞蟻正好在杯外壁，離杯上沿與蜂蜜相對(duì)的點(diǎn)處，則螞蟻從外壁處到內(nèi)壁處的最短距離（杯壁厚度不計(jì)）為（）

A． B． C． D．【答案】D【分析】如圖（見(jiàn)解析），將杯子側(cè)面展開(kāi)，作關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短可知的長(zhǎng)度即為所求，利用勾股定理求解即可得．【詳解】解：如圖，將杯子側(cè)面展開(kāi)，作關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，連接，作，交延長(zhǎng)線于點(diǎn)，則，

由兩點(diǎn)之間線段最短可知，當(dāng)點(diǎn)、F、B在同一條直線上時(shí)，取得最小值，最小值為的長(zhǎng)度，由題意可知，，，則，即螞蟻從外壁A處到內(nèi)壁B處的最短距離為，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了平面展開(kāi)最短路徑問(wèn)題，將立體圖形展開(kāi)，利用軸對(duì)稱的性質(zhì)和勾股定理進(jìn)行計(jì)算是解題的關(guān)鍵．同時(shí)也考查了同學(xué)們的創(chuàng)造性思維能力．3．（2023春·山西呂梁·八年級(jí)統(tǒng)考階段練習(xí)）如圖，正方體的棱長(zhǎng)為，已知點(diǎn)B與點(diǎn)C之間的距離為，一只螞蟻沿著正方體的表面從點(diǎn)A爬到點(diǎn)C，需要爬行的最短距離為（）A． B． C． D．【答案】B【分析】要求正方體中兩點(diǎn)之間的最短距離，最直接的作法，就是將正方體展開(kāi)，然后利用兩點(diǎn)之間線段最短解答即可．【詳解】解：按照正面和右面展開(kāi)，如下：∴，，∴；按照正面和下面展開(kāi)，如下：∴，，∴，按照上面和右面展開(kāi)，如下：∴，，∴，∵，∴需要爬行的最短距離為．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查平面展開(kāi)—最短路線問(wèn)題，涉及到勾股定理，將正方體側(cè)面展開(kāi)，利用兩點(diǎn)之間線段最短是解題的關(guān)鍵．4．（2023·四川成都·八年級(jí)?？计谥校┯幸粓A柱體如圖，高，底面周長(zhǎng)，處有一螞蟻，若螞蟻欲爬行到處，求螞蟻爬行的最短距離為(

)

A．3 B． C．8 D．5【答案】D【分析】圓柱展開(kāi)就是一個(gè)長(zhǎng)方形，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短可求出結(jié)果．【詳解】解：的長(zhǎng)就是螞蟻爬行的最短距離．，分別是，的中點(diǎn)．

，．．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了平面展開(kāi)圖最短路徑問(wèn)題，解題的關(guān)鍵是將圖形展開(kāi)，轉(zhuǎn)化為直角三角形利用勾股定理解答．5．（2023·陜西榆林·八年級(jí)?？计谥校┤鐖D，圓柱的底面周長(zhǎng)為，是底面圓的直徑，在圓柱表面的高上有一點(diǎn)，且，．一只螞蟻從點(diǎn)出發(fā)，沿著圓柱體的表面爬行到點(diǎn)的最短路程是．

【答案】10【分析】首先畫(huà)出圓柱的側(cè)面展開(kāi)圖，根據(jù)底面周長(zhǎng)為，求出的值；再在中，根據(jù)勾股定理求出的長(zhǎng)，即為所求．【詳解】解：圓柱側(cè)面展開(kāi)圖如圖所示，

∵圓柱的底面周長(zhǎng)為，∴．∵，．∴，在中，，∴，即螞蟻從A點(diǎn)出發(fā)沿著圓柱體的表面爬行到點(diǎn)D的最短距離是10cm．故答案為10．【點(diǎn)睛】此題主要考查了平面展開(kāi)圖，以及勾股定理的應(yīng)用，做題的關(guān)鍵是畫(huà)出圓柱的側(cè)面展開(kāi)圖．6．（2023·江蘇·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖是一個(gè)長(zhǎng)為6cm、寬為3cm、高為4cm的長(zhǎng)方體木塊．一只螞蟻要沿著長(zhǎng)方體的表面從左下角的點(diǎn)A處爬行至右上角的點(diǎn)B處，那么這只螞蟻所走的最短路線的長(zhǎng)為cm．【答案】【分析】把此長(zhǎng)方體的一面展開(kāi)，然后在平面內(nèi)，利用勾股定理求點(diǎn)A和B點(diǎn)間的線段長(zhǎng)，即可得到螞蟻爬行的最短距離．在直角三角形中，一條直角邊長(zhǎng)等于長(zhǎng)方體的高，另一條直角邊長(zhǎng)等于長(zhǎng)方體的長(zhǎng)寬之和，利用勾股定理可求得．【詳解】解：因?yàn)槠矫嬲归_(kāi)圖不唯一，故分情況分別計(jì)算，進(jìn)行大、小比較，再?gòu)母鱾€(gè)路線中確定最短的路線．（1）展開(kāi)前面右面由勾股定理得；（2）展開(kāi)前面上面由勾股定理得；（3）展開(kāi)左面上面由勾股定理得．∵，∴最短路徑的長(zhǎng)為．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查的是平面展開(kāi)?最短路徑問(wèn)題，解題的關(guān)鍵是正確理解兩點(diǎn)之間，線段最短．并在平面圖形上構(gòu)造直角三角形解決問(wèn)題．7．（2023春·湖南永州·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，有一個(gè)長(zhǎng)方體，長(zhǎng)、寬、高分別為6，4，4，在長(zhǎng)方體的底面A處，有一螞蟻，它想吃長(zhǎng)方體上面與A相對(duì)的B點(diǎn)處的食物，那么最短需要爬行的路程是．

【答案】10【分析】將長(zhǎng)方體展開(kāi)，把這個(gè)長(zhǎng)方體中螞蟻所走的路線放到一個(gè)平面內(nèi)，在平面內(nèi)線段最短，根據(jù)勾股定理即可計(jì)算．【詳解】解：第一種情況∶把我們所看到的前面和上面組成一個(gè)平面，

則這個(gè)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)和寬分別是8和6，則所走的最短線段是；第二種情況∶把我們看到的左面與上面組成一個(gè)長(zhǎng)方形，則這個(gè)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)和寬分別是10和4，所以走的最短線段是；第三種情況∶把我們所看到的前面和右面組成一個(gè)長(zhǎng)方形，

則這個(gè)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)和寬分別是10和4，所以走的最短線段是；三種情況比較而言，第一種情況最短，故答案為∶10．【點(diǎn)睛】考查了平面展開(kāi)—最短路徑問(wèn)題，此題的關(guān)鍵是明確兩點(diǎn)之間線段最短這一知識(shí)點(diǎn)，然后把立體的長(zhǎng)方體放到一個(gè)平面內(nèi)，求出最短的線段．8．（2023春·陜西西安·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，桌上有一個(gè)圓柱形玻璃杯（無(wú)蓋），高厘米，底面周長(zhǎng)厘米，在杯口內(nèi)壁離杯口厘米的處有一滴蜜糖，在玻璃杯的內(nèi)壁，的相對(duì)方向有一小蟲(chóng)，小蟲(chóng)離杯底的垂直距離為厘米，小蟲(chóng)爬到蜜糖處的最短距離是厘米．

【答案】【分析】將杯子側(cè)面展開(kāi)，作關(guān)于杯口的對(duì)稱點(diǎn)，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短可知的長(zhǎng)度即為所求，再結(jié)合勾股定理求解即可．【詳解】解：如圖所示：將杯子側(cè)面展開(kāi)，作關(guān)于杯口的對(duì)稱點(diǎn)，連接，最短距離為的長(zhǎng)度，

厘米，最短路程為厘米．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了平面展開(kāi)最短路徑問(wèn)題，將圖形展開(kāi)，利用軸對(duì)稱的性質(zhì)和勾股定理進(jìn)行計(jì)算是解題的關(guān)鍵．9．（2023春·重慶江津·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，圓柱的底面周長(zhǎng)為10，，動(dòng)點(diǎn)從A點(diǎn)出發(fā)，沿著圓柱的側(cè)面移動(dòng)到點(diǎn)，則移動(dòng)的最短距離為

【答案】【分析】先把圓柱的側(cè)面展開(kāi)，連接，利用勾股定理即可得出的長(zhǎng)．【詳解】解：如圖所示，

∵，∴．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查的是平面展開(kāi)一最短路徑問(wèn)題,根據(jù)題意畫(huà)出圓柱的側(cè)面展開(kāi)圖，利用勾股定理求解是解答此題的關(guān)鍵．10．（2023春·吉林·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，已知圓柱底面直徑，高．小蟲(chóng)在圓柱表面爬行，先從點(diǎn)C爬行到點(diǎn)A．再沿另一面爬回C點(diǎn)，則小蟲(chóng)爬行的最短路程為．

【答案】100【分析】要求最短路徑，首先要把圓柱的側(cè)面展開(kāi)，利用兩點(diǎn)之間線段最短，然后利用勾股定理即可求解．【詳解】解：把圓柱側(cè)面展開(kāi)，展開(kāi)圖如圖所示，

點(diǎn)A．C的最短距離為線段的長(zhǎng)．在中，，，為底面半圓弧長(zhǎng)，，所以，∴從C點(diǎn)爬到A點(diǎn)，然后再沿另一面爬回C點(diǎn)，則小蟲(chóng)爬行的最短路程為．故答案為：100．【點(diǎn)睛】本題考查了平面展開(kāi)?最短路徑問(wèn)題，解題的關(guān)鍵是會(huì)將圓柱的側(cè)面展開(kāi)，并利用勾股定理解答．11．（2023春·安徽蕪湖·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）已知，且x，y均為正數(shù)，則的最小值是．【答案】【分析】將轉(zhuǎn)化為：，看作是平面直角坐標(biāo)系中，x軸上一點(diǎn)到點(diǎn)，的距離之和，進(jìn)而得到當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，的值最小，即為點(diǎn)和點(diǎn)之間的距離，進(jìn)行求解即可．【詳解】解：∵，且x，y均為正數(shù)，∴，∴，∴可看作是平面直角坐標(biāo)系中，x軸上一點(diǎn)到點(diǎn)，的距離之和，∴當(dāng)三個(gè)點(diǎn)共線時(shí)，的值最小，即為點(diǎn)和點(diǎn)之間的距離，∴的最小值為：；故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查勾股定理．解題的關(guān)鍵是將代數(shù)式的最值問(wèn)題轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)系下兩點(diǎn)間的距離問(wèn)題．12．（2023秋·江蘇·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖是一個(gè)三級(jí)臺(tái)階，它的每一級(jí)的長(zhǎng)、寬、高分別為7寸、5寸和3寸，A和B是這個(gè)臺(tái)階的兩個(gè)相對(duì)端點(diǎn)，A點(diǎn)上有一只螞蟻想到B點(diǎn)去吃可口的食物，則它所走的最短路線長(zhǎng)度是寸．【答案】25【分析】把立體幾何圖展開(kāi)得到平面幾何圖，如圖，然后利用勾股定理計(jì)算，則根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短得到螞蟻所走的最短路線長(zhǎng)度．【詳解】解：將臺(tái)階展開(kāi)矩形，線段恰好是直角三角形的斜邊，兩直角邊長(zhǎng)分別為24寸，7寸，由勾股定理得寸．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，把立體幾何圖中的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面幾何圖中的問(wèn)題是解題的關(guān)鍵．13．（2023秋·江蘇·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖，圓柱底面半徑為，高為，點(diǎn)A，B分別是圓柱兩底面圓周上的點(diǎn)，且A，B在同一條豎直直線上，用一根棉線從A點(diǎn)順著圓柱側(cè)面繞3圈到B點(diǎn)，則這根棉線的長(zhǎng)度最短為cm．【答案】15【分析】要求圓柱體中兩點(diǎn)之間的最短路徑，最直接的作法，就是將圓柱體展開(kāi)，然后利用兩點(diǎn)之間線段最短解答．【詳解】解：圓柱體的展開(kāi)圖如圖所示：用一棉線從A順著圓柱側(cè)面繞3圈到B的運(yùn)動(dòng)最短路線是：；即在圓柱體的展開(kāi)圖長(zhǎng)方形中，將長(zhǎng)方形平均分成3個(gè)小長(zhǎng)方形，A沿著3個(gè)長(zhǎng)方形的對(duì)角線運(yùn)動(dòng)到B的路線最短；∵圓柱底面半徑為∴長(zhǎng)方形的寬即是圓柱體的底面周長(zhǎng)：；又∵圓柱高為，∴小長(zhǎng)方形的一條邊長(zhǎng)是；根據(jù)勾股定理求得；∴；故答案為：15．【點(diǎn)睛】本題主要考查了平面展開(kāi)--路徑最短問(wèn)題．圓柱的側(cè)面展開(kāi)圖是一個(gè)長(zhǎng)方形，此長(zhǎng)方形的寬等于圓柱底面周長(zhǎng)，長(zhǎng)方形的長(zhǎng)等于圓柱的高．本題就是把圓柱的側(cè)面展開(kāi)成長(zhǎng)方形，“化曲面為平面”，用勾股定理解決．14．（2023秋·全國(guó)·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖是某滑雪場(chǎng)U型池的示意圖，該U型池可以看作是一個(gè)長(zhǎng)方體去掉一個(gè)“半圓柱”而成，中間可供滑行部分的截面是半徑為3的半圓，其邊緣，點(diǎn)在上，．一名滑雪愛(ài)好者從點(diǎn)滑到點(diǎn)時(shí)，他滑行的最短路程約為（取3）．【答案】15【分析】要使滑行的距離最短，則沿著的線段滑行，先將半圓展開(kāi)為長(zhǎng)方形，展開(kāi)后，A、D、E三點(diǎn)構(gòu)成直角三角形，為斜邊，和為直角邊，求出和的長(zhǎng)，再據(jù)勾股定理求出的長(zhǎng)度即可．【詳解】解：將半圓面展開(kāi)可得，如圖所示：∵滑行部分的斜面是半徑為3的半圓∴，∵，，∴，在中，．故答案為：15．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理的應(yīng)用和兩點(diǎn)之間線段最短，解題關(guān)鍵是把U型池的側(cè)面展開(kāi)成長(zhǎng)方形，“化曲面為平面”，再利用勾股定理求解．15．（2023春·河北承德·九年級(jí)統(tǒng)考階段練習(xí)）如圖，長(zhǎng)方體盒子的長(zhǎng)、寬、高分別為4，3，5．（1）一根長(zhǎng)7的木棒能否放人盒子里？__________（選填“能”或“不能”）（2）一只螞蟻想從盒底的A點(diǎn)爬到盒頂?shù)腂點(diǎn)，螞蟻爬行的最短行程為_(kāi)_________．【答案】能【分析】（1）利用勾股定理求出線段的長(zhǎng)度與7比較大小即可；（2）將長(zhǎng)方形的盒子按不同方式展開(kāi)，得到不同的矩形，求出不同矩形的對(duì)角線，最短者即為正確答案．【詳解】如圖，長(zhǎng)方體盒子的長(zhǎng)、寬、高分別為4，3，5∴（1）在中，在中，∴一根長(zhǎng)7的木棒能放人盒子里．故答案為：能；（2）①如圖1，展開(kāi)后連接，則就是在表面上A到B的最短距離，在中，由勾股定理得：；②如圖2，展開(kāi)后連接，則就是在表面上A到B的最短距離，在中，由勾股定理得：；③如圖3，展開(kāi)后連接，則就是在表面上A到B的最短距離，在中，由勾股定理得：．∴螞蟻爬行的最短路程是.故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了平面展開(kāi)-最短路線問(wèn)題和勾股定理等知識(shí)點(diǎn)，關(guān)鍵是能畫(huà)出展開(kāi)圖形并能求出符合條件的最短路線．16．（2023春·山東臨沂·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，透明圓柱的底面半徑為6厘米，高為12厘米，螞蟻在圓柱側(cè)面爬行．從圓柱的內(nèi)側(cè)點(diǎn)爬到圓柱的外側(cè)點(diǎn)處吃食物，那么它爬行最短路程是厘米．

【答案】30【分析】把圓柱的側(cè)面展開(kāi)，根據(jù)勾股定理即可得到結(jié)論．【詳解】解：∵透明圓柱的底面半徑為6厘米，∴透明圓柱的底面周長(zhǎng)為厘米≈36厘米，作點(diǎn)A關(guān)于直線EF的對(duì)稱點(diǎn)，連接A′B，則的長(zhǎng)度即為它爬行最短路程，∴厘米，厘米，

∴，故答案為：30．【點(diǎn)睛】本題考查平面展開(kāi)-最短路徑問(wèn)題，解題的關(guān)鍵是計(jì)算出圓柱展開(kāi)后所得長(zhǎng)方形的長(zhǎng)和寬的值，然后用勾股定理進(jìn)行計(jì)算．17．（2022·內(nèi)蒙古包頭·九年級(jí)統(tǒng)考自主招生）圓柱的高為，