新九年級數(shù)學(xué)時(shí)期講義第11講圖形的相似-滿分班(學(xué)生版+解析)

第11講圖形的相似1.平行線分線段成比例1比例性質(zhì)：①；②（其中b叫做比例中項(xiàng)）2更比性質(zhì)(交換比例的內(nèi)項(xiàng)或外項(xiàng))：3反比性質(zhì)(把比的前項(xiàng)、后項(xiàng)交換)：．4合、分比性質(zhì)：．5等比性質(zhì)：如果，那么6如果四條線段a,b,c,d滿足,則四條線段a,b,c,d稱為比例線段。（有先后順序，不可顛倒）7平行線分線段成比例定理:三條平行線截兩條直線,所截得的對應(yīng)線段成比例.已知AD∥BE∥CF,可得等.注：平行線分線段成比例定理的推論：平行線等分線段定理：兩條直線被三條平行線所截，如果在其中一條上截得的線段相等，那么在另一條上截得的線段也相等?！纠}精選】例1(2023?順平縣一模）如圖，直線a∥b∥c，AB＝BC，若DF＝9，則EF的長度為（）A．9 B．5 C．4 D．3例2(2023?余杭區(qū)一模）如圖，AB∥CD∥MN，點(diǎn)M，N分別在線段AD，BC上，AC與MN交于點(diǎn)E，則（）A．＝ B．＝ C．＝ D．＝【隨堂練習(xí)】1．(2023?焦作一模）如圖，l1∥l2∥l3，AB＝2，BC＝4，DB＝3，則DE的長為（）A．4 B．5 C．6 D．92．(2023春?芝罘區(qū)期中）直線l1∥l2∥l3，若AC：CE＝5：4，則的值為（）A． B． C． D．3．(2023?蘭州模擬）如圖，直線l1∥l2∥l3，l1，l2，l3分別交直線m，n于點(diǎn)A，B，C，D，E，F(xiàn)，AB＝EF，BC＝，DE＝3，則EF＝（）A．5 B．6 C．7 D．82.相似多邊形及性質(zhì)相似圖形：我們把形狀相同的圖形叫相似圖形.兩個(gè)圖形相似，其中一個(gè)圖形可以看成是由另一個(gè)圖形放大或縮小得到的.如圖所示的幾組圖形都是形狀相同，大小不同的圖形，因此這幾組圖形分別都是相似圖形.當(dāng)兩個(gè)圖形的形狀相同，大小相同，這兩個(gè)圖形也是相似圖形，它們是特殊的相似圖形：全等圖形.相似多邊形：兩個(gè)邊數(shù)相同的多邊形，如果他們的角分別相等，邊成比例，那么這兩個(gè)多邊形叫相似多邊形，相似多邊形對應(yīng)邊的比叫做相似比.相似多邊形的性質(zhì)：相似多邊形的對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊成比例.相似圖形周長的比等于相似比，相似圖形面積比等于相似比的平方.【例題精選】例1(2023秋?鄞州區(qū)期末）兩個(gè)相似多邊形的面積之比是1：4，則這兩個(gè)相似多邊形的周長之比是（）A．1：2 B．1：4 C．1：8 D．1：16例2(2023?江城區(qū)一模）若兩個(gè)相似多邊形的面積之比為1：4，則它們的周長之比為（）A．1：4 B．1：2 C．2：1 D．1：16【隨堂練習(xí)】1．(2023?淮安模擬）若兩個(gè)相似多邊形的相似比是2：3，則它們的面積比等于________．2．(2023秋?鐵西區(qū)期末）兩個(gè)相似多邊形的一組對應(yīng)邊分別為3cm和4.5cm．如果它們的面積和為78cm2，那么較大多邊形的面積為________cm2．3．(2023秋?耒陽市期末）若如圖所示的兩個(gè)四邊形相似，則∠α的度數(shù)是________．3.相似三角形的判定相似三角形的概念對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊成比例的三角形，叫做相似三角形．相似用符號“∽”表示，讀作“相似于”.相似三角形的判定：

（1）平行于三角形一邊的直線和其他兩邊（或兩邊的延長線）相交,所構(gòu)成三角形與原三角形相似.

（2）如果一個(gè)三角形的兩個(gè)角與另一個(gè)三角形的兩個(gè)角對應(yīng)相等,那么這兩個(gè)三角形相似.

（3）如果兩個(gè)三角形的兩組對應(yīng)邊的比相等,并且相應(yīng)的夾角相等,那么這兩個(gè)三角形相似.

（4）如果兩個(gè)三角形的三組對應(yīng)邊的比相等,那么這兩個(gè)三角形相似.

直角三角形相似判定定理

斜邊與一條直角邊對應(yīng)成比例的兩直角三角形相似.相似三角形的性質(zhì)(1)相似三角形對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊成比例．(2)相似三角形對應(yīng)高的比，對應(yīng)中線的比和對應(yīng)角平分線的比都等于相似比．(3)相似三角形周長的比等于相似比．(4)相似三角形面積的比等于相似比的平方．【例題精選】例1(2023秋?陵川縣期末）（1）解方程：x2﹣2x﹣3＝0；（2）如圖，正方形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)，G分別在AB，BC，CD上，且∠EFG＝90°；求證：△EBF∽△FCG．例2(2023?臨潭縣校級模擬）如圖，在△ABC中，AD＝DB，∠1＝∠2．求證：△ABC∽△EAD．【隨堂練習(xí)】1．(2023?大通區(qū)模擬）已知如圖，D，E分別是△ABC的邊AB，AC上的點(diǎn)，AD＝3，AB＝8，AE＝4，AC＝6．求證：△ADE∽△ACB．4.相似三角形的綜合應(yīng)用【例題精選】例1(2023?濰坊一模）如圖是圓桌正上方的燈泡（看做一個(gè)點(diǎn)）發(fā)出的光線照射桌面后，在地面上形成陰影（圓形）的示意圖，已知桌面的直徑為1.2m，桌面距離地面1m．若燈泡距離地面3m，則地面上陰影部分的面積為（）A．0.36πm2 B．0.81πm2 C．2πm2 D．3.24πm2例2(2023秋?儋州期末）已知：如圖，某學(xué)生想利用標(biāo)桿測量一棵大樹的高度，如果標(biāo)桿EC的高為1.6m，并測得BC＝2.2m，CA＝0.8m，那么樹DB的高度是（）A．6m B．5.6m C．5.4m D．4.4m【隨堂練習(xí)】1．(2023秋?北海期末）如圖，鐵道口的欄桿短臂長1m，長臂長16m．當(dāng)短臂端點(diǎn)下降0.5m時(shí)，長臂端點(diǎn)升高（）A．5m B．6m C．7m D．8m2．(2023秋?潛山市期末）如圖，一同學(xué)在湖邊看到一棵樹，他目測出自己與樹的距離為20m，樹的頂端在水中的倒影距自己5m遠(yuǎn)，該同學(xué)的身高為1.7m，則樹高為（）m．A．3.4 B．5.1 C．6.8 D．8.53．(2023?公主嶺市一模）如圖，小明在打網(wǎng)球時(shí)，他的擊球高度AB＝2.4米，為使球恰好能過網(wǎng)（網(wǎng)高DC＝0.8米），且落在對方區(qū)域距網(wǎng)5米的位置P處，則他應(yīng)站在離網(wǎng)______米處．4．(2023?晉安區(qū)一模）如圖，利用鏡子M的反射（入射角等于反射角），來測量旗桿CD的長度，在鏡子上作一個(gè)標(biāo)記，觀測者AB看著鏡子來回移動，直到看到旗桿頂端在鏡子中的像與鏡子上的標(biāo)記相重合，若觀測者AB的身高為1.6m，量得BM：DM＝2：11，則旗桿的高度為________m．綜合運(yùn)用：1.已知a、b、c為△ABC的三邊長，且a+b+c=48，，求△ABC三邊的長．2.如圖，F(xiàn)為平行四邊形ABCD的邊AD的延長線上的一點(diǎn)，BF分別交CD、AC于G、E，若EF=32，GE=8，求BE．3.如圖，已知AD∥BE∥CF，它們以此交直線l1、l2于點(diǎn)A、B、C和D、E、F．若=，AC=14，（1）求AB的長．（2）如果AD=7，CF=14，求BE的長．4.如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系中，正方形ABCD與正方形BEFG是以原點(diǎn)O為位似中心的位似圖形，且相似比為1：3，點(diǎn)A，B，E在x軸上．（1）若點(diǎn)F的坐標(biāo)為（4.5，3），直接寫出點(diǎn)C和點(diǎn)A的坐標(biāo)；（2）若正方形BEFG的邊長為6，求點(diǎn)C的坐標(biāo)．5.正方形ABCD中，E是AC上一點(diǎn)，EF⊥AB，EG⊥AD，AB=6，AE：EC=2：1．求四邊形AFEG的面積．6.如圖，把矩形ABCD對折，折痕為MN，矩形DMNC與矩形ABCD相似，已知AB=4．

（1）求AD的長；

（2）求矩形DMNC與矩形ABCD的相似比．第11講圖形的相似1.平行線分線段成比例1比例性質(zhì)：①；②（其中b叫做比例中項(xiàng)）2更比性質(zhì)(交換比例的內(nèi)項(xiàng)或外項(xiàng))：3反比性質(zhì)(把比的前項(xiàng)、后項(xiàng)交換)：．4合、分比性質(zhì)：．5等比性質(zhì)：如果，那么6如果四條線段a,b,c,d滿足,則四條線段a,b,c,d稱為比例線段。（有先后順序，不可顛倒）7平行線分線段成比例定理:三條平行線截兩條直線,所截得的對應(yīng)線段成比例.已知AD∥BE∥CF,可得等.注：平行線分線段成比例定理的推論：平行線等分線段定理：兩條直線被三條平行線所截，如果在其中一條上截得的線段相等，那么在另一條上截得的線段也相等。【例題精選】例1(2023?順平縣一模）如圖，直線a∥b∥c，AB＝BC，若DF＝9，則EF的長度為（）A．9 B．5 C．4 D．3分析：由直線a∥b∥c，利用平行線分線段成比例可得出DE＝EF，結(jié)合DF＝DE+EF＝9，即可求出EF的長．【解答】解：∵直線a∥b∥c，∴＝，∴DE＝?EF＝EF．∵DF＝DE+EF＝EF+EF＝9，∴EF＝5．故選：B．【點(diǎn)評】本題考查了平行線分線段成比例，利用平行線分線段成比例，找出DE＝EF是解題的關(guān)鍵．例2(2023?余杭區(qū)一模）如圖，AB∥CD∥MN，點(diǎn)M，N分別在線段AD，BC上，AC與MN交于點(diǎn)E，則（）A．＝ B．＝ C．＝ D．＝分析：根據(jù)平行線分線段成比例定理，利用ME∥CD得到＝，則利用比例的性質(zhì)可判斷D選項(xiàng)正確．【解答】解：∵M(jìn)E∥CD，∴＝，∴＝．故選：D．【點(diǎn)評】本題考查了平行線分線段成比例：三條平行線截兩條直線，所得的對應(yīng)線段成比例．【隨堂練習(xí)】1．(2023?焦作一模）如圖，l1∥l2∥l3，AB＝2，BC＝4，DB＝3，則DE的長為（）A．4 B．5 C．6 D．9【解答】解：∵l1∥l2∥l3，∴，即，解得BE＝6，∴DE＝DB+BE＝3+6＝9，故選：D．2．(2023春?芝罘區(qū)期中）直線l1∥l2∥l3，若AC：CE＝5：4，則的值為（）A． B． C． D．【解答】解：∵直線l1∥l2∥l3，∴BD：DF＝AC：CE＝5：4，∴＝＝，故選：D．3．(2023?蘭州模擬）如圖，直線l1∥l2∥l3，l1，l2，l3分別交直線m，n于點(diǎn)A，B，C，D，E，F(xiàn)，AB＝EF，BC＝，DE＝3，則EF＝（）A．5 B．6 C．7 D．8【解答】解：∵l1∥l2∥l3，∴＝，∵AB＝EF，∴＝，即＝，解得，EF＝5，故選：A．2.相似多邊形及性質(zhì)相似圖形：我們把形狀相同的圖形叫相似圖形.兩個(gè)圖形相似，其中一個(gè)圖形可以看成是由另一個(gè)圖形放大或縮小得到的.如圖所示的幾組圖形都是形狀相同，大小不同的圖形，因此這幾組圖形分別都是相似圖形.當(dāng)兩個(gè)圖形的形狀相同，大小相同，這兩個(gè)圖形也是相似圖形，它們是特殊的相似圖形：全等圖形.相似多邊形：兩個(gè)邊數(shù)相同的多邊形，如果他們的角分別相等，邊成比例，那么這兩個(gè)多邊形叫相似多邊形，相似多邊形對應(yīng)邊的比叫做相似比.相似多邊形的性質(zhì)：相似多邊形的對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊成比例.相似圖形周長的比等于相似比，相似圖形面積比等于相似比的平方.【例題精選】例1(2023秋?鄞州區(qū)期末）兩個(gè)相似多邊形的面積之比是1：4，則這兩個(gè)相似多邊形的周長之比是（）A．1：2 B．1：4 C．1：8 D．1：16分析：根據(jù)相似多邊形的性質(zhì)求出相似比，根據(jù)相似多邊形的性質(zhì)求出周長比．【解答】解：∵兩個(gè)相似多邊形的面積之比是1：4，∴這兩個(gè)相似多邊形的相似比是1：2，則這兩個(gè)相似多邊形的周長之比是1：2，故選：A．【點(diǎn)評】本題考查的是相似多邊形的性質(zhì)，相似多邊形對應(yīng)邊之比、周長之比等于相似比，而面積之比等于相似比的平方．例2(2023?江城區(qū)一模）若兩個(gè)相似多邊形的面積之比為1：4，則它們的周長之比為（）A．1：4 B．1：2 C．2：1 D．1：16分析：根據(jù)相似多邊形的面積之比等于相似比的平方，周長之比等于相似比，就可求解．【解答】解：∵兩個(gè)相似多邊形面積比為1：4，∴周長之比為＝1：2．故選：B．【點(diǎn)評】本題考查相似多邊形的性質(zhì)．相似多邊形對應(yīng)邊之比、周長之比等于相似比，而面積之比等于相似比的平方．【隨堂練習(xí)】1．(2023?淮安模擬）若兩個(gè)相似多邊形的相似比是2：3，則它們的面積比等于________．【解答】解：∵兩個(gè)相似多邊形的相似比為2：3，∴它們的面積比＝22：32＝4：9．故答案為：4：92．(2023秋?鐵西區(qū)期末）兩個(gè)相似多邊形的一組對應(yīng)邊分別為3cm和4.5cm．如果它們的面積和為78cm2，那么較大多邊形的面積為________cm2．【解答】解：設(shè)較大多邊形的面積為xcm2，則較小多邊形的面積為：（78﹣x）cm2，∵兩個(gè)相似多邊形的一組對應(yīng)邊長分別為3cm和4.5cm，∴x：（78﹣x）＝4.52：32，解得x＝54．故答案為：543．(2023秋?耒陽市期末）若如圖所示的兩個(gè)四邊形相似，則∠α的度數(shù)是________．【解答】解：∵四邊形ABCD∽四邊形A′B′C′D′，∴∠A＝∠A′＝138°，∵∠A+∠B+∠C+∠D＝360°，∴∠α＝360°﹣∠A﹣∠B﹣∠C＝87°．故答案為：87°．3.相似三角形的判定相似三角形的概念對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊成比例的三角形，叫做相似三角形．相似用符號“∽”表示，讀作“相似于”.相似三角形的判定：

（1）平行于三角形一邊的直線和其他兩邊（或兩邊的延長線）相交,所構(gòu)成三角形與原三角形相似.

（2）如果一個(gè)三角形的兩個(gè)角與另一個(gè)三角形的兩個(gè)角對應(yīng)相等,那么這兩個(gè)三角形相似.

（3）如果兩個(gè)三角形的兩組對應(yīng)邊的比相等,并且相應(yīng)的夾角相等,那么這兩個(gè)三角形相似.

（4）如果兩個(gè)三角形的三組對應(yīng)邊的比相等,那么這兩個(gè)三角形相似.

直角三角形相似判定定理

斜邊與一條直角邊對應(yīng)成比例的兩直角三角形相似.相似三角形的性質(zhì)(1)相似三角形對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊成比例．(2)相似三角形對應(yīng)高的比，對應(yīng)中線的比和對應(yīng)角平分線的比都等于相似比．(3)相似三角形周長的比等于相似比．(4)相似三角形面積的比等于相似比的平方．【例題精選】例1(2023秋?陵川縣期末）（1）解方程：x2﹣2x﹣3＝0；（2）如圖，正方形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)，G分別在AB，BC，CD上，且∠EFG＝90°；求證：△EBF∽△FCG．分析：（1）理由因式分解法解方程；（2）先根據(jù)正方形的性質(zhì)得∠B＝∠C＝90°，再利用等角的余角相等得∠BEF＝∠CFG，然后根據(jù)有兩組角對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似可判定△EBF∽△FCG．【解答】（1）解：（x﹣3）（x+1）＝0解得x＝3或x＝﹣1；（2）證明：∵四邊形ABCD為正方形，∴∠B＝∠C＝90°，∴∠BEF+∠BFE＝90°，∵∠EFG＝90°，∴∠BFE+∠CFG＝90°，∴∠BEF＝∠CFG．∵∠B＝∠C＝90°∴△EBF∽△FCG．【點(diǎn)評】本題考查了相似三角形的判定：有兩組角對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似．也考查了分式的乘除法和正方形的性質(zhì)．例2(2023?臨潭縣校級模擬）如圖，在△ABC中，AD＝DB，∠1＝∠2．求證：△ABC∽△EAD．分析：根據(jù)已知得出∠C＝∠ADE，進(jìn)而利用相似三角形的判定方法得出答案．【解答】證明：∵AD＝DB，∴∠B＝∠BAD．∵∠BDA＝∠1+∠C＝∠2+∠ADE，又∵∠1＝∠2，∴∠C＝∠ADE．∴△ABC∽△EAD．【點(diǎn)評】此題考查了相似三角形的判定：①有兩個(gè)對應(yīng)角相等的三角形相似；②有兩個(gè)對應(yīng)邊的比相等，且其夾角相等，則兩個(gè)三角形相似；③三組對應(yīng)邊的比相等，則兩個(gè)三角形相似．【隨堂練習(xí)】1．(2023?大通區(qū)模擬）已知如圖，D，E分別是△ABC的邊AB，AC上的點(diǎn)，AD＝3，AB＝8，AE＝4，AC＝6．求證：△ADE∽△ACB．【解答】證明：∵AD＝3，AB＝8，AE＝4，AC＝6，∴，又∵∠DAE＝∠CAB，∴△ADE∽△ACB．4.相似三角形的綜合應(yīng)用【例題精選】例1(2023?濰坊一模）如圖是圓桌正上方的燈泡（看做一個(gè)點(diǎn)）發(fā)出的光線照射桌面后，在地面上形成陰影（圓形）的示意圖，已知桌面的直徑為1.2m，桌面距離地面1m．若燈泡距離地面3m，則地面上陰影部分的面積為（）A．0.36πm2 B．0.81πm2 C．2πm2 D．3.24πm2分析：欲求投影圓的面積，可先求出其直徑，而直徑可通過構(gòu)造相似三角形，由相似三角形性質(zhì)求出．【解答】解：構(gòu)造幾何模型如圖：依題意知DE＝1.2米，F(xiàn)G＝1米，AG＝3米，由△DAE∽△BAC得＝，即＝，得BC＝1.8，故S圓＝（BC）2?π＝（）2?π＝0.81π，故選：B．【點(diǎn)評】本題考查相似三角形的判定與性質(zhì)的實(shí)際應(yīng)用及分析問題、解決問題的能力．利用數(shù)學(xué)知識解決實(shí)際問題是中學(xué)數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容．解決此問題的關(guān)鍵在于正確理解題意的基礎(chǔ)上建立數(shù)學(xué)模型，把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題．例2(2023秋?儋州期末）已知：如圖，某學(xué)生想利用標(biāo)桿測量一棵大樹的高度，如果標(biāo)桿EC的高為1.6m，并測得BC＝2.2m，CA＝0.8m，那么樹DB的高度是（）A．6m B．5.6m C．5.4m D．4.4m分析：先根據(jù)相似三角形的判定定理得出Rt△ACE∽Rt△ABD，再根據(jù)相似三角形的對應(yīng)邊成比例即可求出BD的長．【解答】解：∵EC∥AB，BD⊥AB，∴EC∥BD，∠ACE＝∠ABD＝90°，在Rt△ACE∽Rt△ABD中，∠A＝∠A，∠ACE＝∠ABD＝90°，∴Rt△ACE∽Rt△ABD，∴＝，即＝，解得BD＝6m．故選：A．【點(diǎn)評】本題考查的是相似三角形的應(yīng)用，用到的知識點(diǎn)為：相似三角形的對應(yīng)邊成比例．【隨堂練習(xí)】1．(2023秋?北海期末）如圖，鐵道口的欄桿短臂長1m，長臂長16m．當(dāng)短臂端點(diǎn)下降0.5m時(shí)，長臂端點(diǎn)升高（）A．5m B．6m C．7m D．8m【解答】解：設(shè)長臂端點(diǎn)升高x米，則，∴x＝8．故選：D．2．(2023秋?潛山市期末）如圖，一同學(xué)在湖邊看到一棵樹，他目測出自己與樹的距離為20m，樹的頂端在水中的倒影距自己5m遠(yuǎn)，該同學(xué)的身高為1.7m，則樹高為（）m．A．3.4 B．5.1 C．6.8 D．8.5【解答】解：由相似三角形的性質(zhì)，設(shè)樹高x米，則＝，∴x＝5.1m．故選：B．3．(2023?公主嶺市一模）如圖，小明在打網(wǎng)球時(shí)，他的擊球高度AB＝2.4米，為使球恰好能過網(wǎng)（網(wǎng)高DC＝0.8米），且落在對方區(qū)域距網(wǎng)5米的位置P處，則他應(yīng)站在離網(wǎng)______米處．【解答】解：設(shè)他應(yīng)站在離網(wǎng)的x米處，根據(jù)題意得：，解得：x＝10．故答案為：10．4．(2023?晉安區(qū)一模）如圖，利用鏡子M的反射（入射角等于反射角），來測量旗桿CD的長度，在鏡子上作一個(gè)標(biāo)記，觀測者AB看著鏡子來回移動，直到看到旗桿頂端在鏡子中的像與鏡子上的標(biāo)記相重合，若觀測者AB的身高為1.6m，量得BM：DM＝2：11，則旗桿的高度為________m．【解答】解：根據(jù)題意得：△ABM∽△CDM，∴AB：CD＝BM：DM，∵AB＝1.6m，BM：DM＝2：11，∴1.6：CD＝2：11，解得：CD＝8.8m，故答案為：8.8．綜合運(yùn)用：1.已知a、b、c為△ABC的三邊長，且a+b+c=48，，求△ABC三邊的長．解析：解：設(shè)=x，得a=4x，b=5x，c=7x．∵a+b+c=48，∴4x+5x+7x=48，解得x=3，∴a=4x=12，b=5x=15，c=7x=21．2.如圖，F(xiàn)為平行四邊形ABCD的邊AD的延長線上的一點(diǎn)，BF分別交CD、AC于G、E，若EF=32，GE=8，求BE．解析：解：設(shè)BE=x，∵EF=32，GE=8，∴FG=32﹣8=24，∵AD∥BC，∴△AFE∽△CBE，∴=，∴則==+1①．∵DG∥AB，∴△DFG∽△CBG，∴==代入①，=+1，解得：x=±16（負(fù)數(shù)舍去），故BE=16．3.如圖，已知AD∥BE∥CF，它們以此交直線l1、l2于點(diǎn)A、B、C和D、E、F．若=，AC=14，（1）求AB的長．（2）如