初中數(shù)學(xué)試題分類

初中數(shù)學(xué)試題分類精編

四邊形的認識與證明

(時間：100分鐘滿分:120分)

一、選擇題(本大題共8小題，每小題3分，共24分)

1.給出下列命題：①平行四邊形的對邊相等；②對角線相等的四邊形

是矩形；③正方形既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形；④一條對角線平

分一組對角的平行四邊形是菱形.其中真命題的個數(shù)是()

A.1B.2

C.3D.4

2.如圖1,在矩形ABCD中，對角線AC,BD交于點0,以下說法錯誤

的是()

A.ZABC=90°B.AC=BD

C.0A=0BD.0A=AD

圖13.如圖2,菱形ABCD的對角線AC,BD相交于0,點E,F分別是

AB,BC邊上的中點，連接EF,若EF=3,BD=4,則菱形ABCD的周長為()

圖2A.4B.46

C.47D.28

4.若順次連接四邊形ABCD四邊的中點，得到的圖形是一個矩形，則

四邊形ABCD一定是()

A.矩形

B.菱形

C.對角線相等的四邊形

D.對角線互相垂直的四邊形

5.如圖3,四邊形ABCD為平行四邊形，延長AD到E,使DE=AD,連接

EB,EC,DB.添加一個條件，不能使四邊形DBCE成為矩形的是()

圖3A.AB=BEB.BE±DC

C.ZADB=90°D.CE±DE

圖46.如圖4,在aABC中，AD平分NBAC,按如下步驟作圖：第一步，

分別以點A,D為圓心，以大于12AD的長為半徑在AD兩側(cè)作弧，交于兩

點M,N；第二步，連接MN分別交AB,AC于點E,F；第三步，連接DE,

DF.若BD=6,AF=4,CD=3,則BE的長是()

A.2B.4

C.6D.8

7.如圖5,正方形ABCD的面積為12,aABE是等邊三角形，點E在正

方形ABCD內(nèi)，在對角線AC上有一點P,使PD+PE最小，則這個最小值為

()

圖5A.3B.23

C.26D.6

8.如圖6,在菱形ABCD和菱形BEFG中，點A,B,E在同一直線上，P

是線段DF的中點，連接PG,PC.若NABC=NBEF=60°,則PGPC=()

圖6A.3B.2

C.22D.33

二、填空題（本大題共7小題，每小題3分，共21分）

9.邊長為1的一個正方形和一個等邊三角形如圖7擺放，則4ABC的

面積為.

圖7圖810.如圖8,菱形ABCD的邊長為15,sinZBAC=35,則對角線

AC的長為.

11.如圖9,平行四邊形ABCD中，ZABC=60°,E,F分別在CD和BC

的延長線上，AE〃BD,EF±BC,EF=3,則AB的長是.

12.如圖10,在平行四邊形ABCD中，E在DC上，若DE：EC=1：2,則

BF：BE=.

圖9圖1013.如圖11,正方形ABCD的邊長為1,以對角線AC為邊作

第二個正方形ACEF,再以對角線AE為邊作第三個正方形AEGH,如此下去,

第n個正方形的邊長為.

圖1114.已知正方形ABC1D1的邊長為1,延長C1D1到A1,以A1C1為

邊向右作正方形A1C1C2D2,延長C2D2到A2,以A2C2為邊向右作正方形

A2C2C3D3（如圖12）,依此類推，若A1C1=2,且點A,D2,D3,…，D10

都在同一直線上，則正方形A9c9C10D10的邊長是.

圖12圖1315.如圖13,正方形ABCD的邊長是16,點E在邊AB上，

AE=3,點F是邊BC上不與點B,C重合的一個動點，把AEBF沿EF折疊，

點B落在B'處，若△CDB'恰為等腰三角形，則DB'的長為.

三、解答題（共75分）

16.（8分）如圖14,在平行四邊形ABCD中，E,F分別是AB,DC邊

上的點,且AE=CF.

圖14(1)求證：△ADEg/MSBF；

(2)如果NDEB=90°,求證：四邊形DEBF是矩形.

17.(9分)如圖15,在矩形ABCD中，點F在邊BC上，且AF=AD,過

點D作DE_LAF,垂足為點E.

圖15(1)求證：DE=AB；

(2)以D為圓心，DE為半徑作圓弧交AD于點G,若BF=FC=1,試求

EG的長.

18.(9分)如圖16,平行四邊形ABCD中，AB=3cm,BC=5cm,ZB=60°,

G是CD的中點，E是邊AD上的動點，EG的延長線與BC的延長線交于點F,

連接CE,DF.

圖16(1)求證：四邊形CEDF是平行四邊形.

(2)①當AE=cm時，四邊形CEDF是矩形；②當AE=cm時，四邊形CEDF

是菱形(直接寫出答案，不需要說明理由).

19.(9分)如圖17,在ZkABC中,AB=AC,NDAC是aABC的一個外角.

實踐與操作：根據(jù)要求尺規(guī)作圖，并在圖中標明相應(yīng)字母(保留作圖

痕跡，不寫作法).

圖17(1)作NDAC的平分線AM；

(2)作線段AC的垂直平分線，與AM交于點F,與BC邊交于點E,

連接AE,CF.

猜想并證明：判斷四邊形AECF的形狀并加以證明.

20.(9分)兩個全等的^ABC和^DEF重疊在一起，固定AABC,將4

DEF進行如下變換:

（1）如圖18,Z2XDEF沿直線CB向右平移（點F在線段CB上移動），

連接AF,AD,BD,請直接寫出SZ\ABC與S四邊形AFBD的關(guān)系.圖

18圖19（2）如圖19,當點F平移到線段BC的中點時，若四邊形AFBD為

正方形，那么aABC應(yīng)滿足什么條件？請給出證明.

（3）在（2）的條件下，將4DEF沿DF折疊，點E落在FA的延長線

上的點G處，連接CG.請你畫出圖形，并求出sin/CGF的值.

21.（10分）已知點E,F分別為正方形ABCD的邊BC,CD上的點，AF,

DE相交于點G,當E,F分別為邊BC,CD的中點時，有①AF=DE；②AF_L

DE成立.

試探究下列問題：

（1）如圖20,若點E不是邊BC的中點，F(xiàn)不是邊CD的中點，但CE=DF,

上述結(jié)論①②是否仍然成立（請直接回答“成立”或“不成立”，不需要

證明）？

（2）如圖21,若點E,F分別在CB的延長線和DC的延長線上，且

CE=DF,此時，上述結(jié)論①②是否仍然成立？若成立，請寫出證明過程，

若不成立，請說明理由.

（3）如圖22,在（2）的基礎(chǔ)上，連接AE,EF,若點M,N,P,Q分

別為AE,EF,FD,AD的中點，請判斷四邊形MNPQ是矩形、菱形、正方形

中的哪一種，并證明你的結(jié)論.

圖20圖21圖2222.（10分）類比等腰三角形的定義，我們定義：有

一組鄰邊相等的凸四邊形叫做“等鄰邊四邊形”.

（1）概念理解.如圖23,在四邊形ABCD中，添加一個條件使得四邊

形ABCD是“等鄰邊四邊形”.請寫出你添加的一個條件.

(2)問題探究.①小紅猜想：對角線互相平分的“等鄰邊四邊形”是

菱形.她的猜想正確嗎？請說明理由.

②如圖24,小紅畫了一個RtZ\ABC,其中NABC=90°,AB=2,BC=1,

將Rt/XABC沿NABC的平分線BB'方向平移得到4A'B'C',連接AA',

BC'.小紅要使平移后的四邊形ABC'A;是"等鄰邊四邊形”，應(yīng)平移多少

(線段BB'的長)？

圖23圖24圖25(3)應(yīng)用拓展.如圖25,“等鄰邊四邊形"ABCD中,

AB=AD,ZBAD+ZBCD=90°,AC,BD為對角線，AC=2AB,試探究BC,CD,

BD的數(shù)量關(guān)系.

23.(11分)如圖26,在矩形ABCD中，E為CD的中點，F(xiàn)為BE上的

一點，連接CF并延長交AB于點M,MNLCM交射線AD于點N.

(1)當F為BE的中點時，求證：AM=CE；

(2)若ABBC=EFBF=2,求ANND的值；

(3)若ABBC=EFBF=n,當n為何值時,MN〃BE?

圖26(河南曹松峰)

圓的認識與證明

(時間：100分鐘滿分:120分)

一、選擇題(本大題共8小題，每小題3分，共24分)

圖11.如圖1,經(jīng)過原點0的。P與x,y軸分別交于A,B兩點，點C

是劣弧0B上一點，則NACB=()

A.80°B.90°

C.100°D.無法確定

2.如圖2,四邊形ABCD為。0的內(nèi)接四邊形，已知NB0D=100°,則

ZBCD的度數(shù)為()

A.50°B.80°

C.100°D.130°

圖2圖33.如圖3,PA和PB是。0的切線，點A和點B是切點，AC是

。。的直徑，已知NP=40°,則NACB的大小是()

A.60°B.65°

C.70°D,75°

4.已知圓的半徑是23,則該圓的內(nèi)接正六邊形的面積是()

A.33B.93

C.183D.363

5.已知圓錐的底面半徑長為5,側(cè)面展開后得到一個半圓，則該圓錐

的母線長為()

A.2.5B.5

C.10D.15

6.已知在。0中，AB是弦，半徑0C_LAB,垂足為D,要使四邊形0ACB

為菱形，還需要添加一個條件，這個條件可以是()

A.AD=BD

B.0D=CD

C.ZCAD=ZCBD

D.Z0CA=Z0CB

7.如圖4,在矩形ABCD中，已知AB=4,BC=3,矩形在直線1上繞其

右下角的頂點B向右旋轉(zhuǎn)90°至圖4中①的位置，再繞右下角的頂點繼續(xù)

向右旋轉(zhuǎn)90°至圖4中②的位置，依此類推，這樣連續(xù)旋轉(zhuǎn)2015次后，

頂點A在整個旋轉(zhuǎn)過程中所經(jīng)過的路程之和是（）

圖4A.3024nB.3019.5n

C.3018nD.2015Ji

8.如圖5,AD,BC是。。的兩條互相垂直的直徑，點P從點0出發(fā)，

沿0-C~D-0的路線勻速運動，設(shè)NAPB=y（單位：度），那么y與點P

運動的時間x（單位：秒）的關(guān)系圖是（）

圖5二、填空題（本大題共7小題，每小題3分，共21分）

9.如圖6,點A,B,C在。0上，C0的延長線交AB于點D,ZA=50°,

ZB=30°,則NADC的度數(shù)為.

圖610.如圖7,AB是。。的直徑，弦CD_LAB,垂足為E,連接AC.若

NCAB=22.5°,CD=8cm,則。0的半徑為cm.

圖711.一條排水管的截面如圖8所示，已知排水管的半徑0A=lm,水

面寬AB=L2m,某天下雨后，水管水面上升了0.2m,則此時排水管水面寬

CD等于m.

圖812.已知點P是半徑為1的。0外一點，PA切。0于點A,且PA=1,

AB是。0的弦，AB=2,連接PB,則PB=.

13.如圖9,AB為。。的直徑，延長AB至點D,使BD=OB,DC切。0于

點C,點B是CF的中點，弦CF交AB于點E,若。。的半徑為2,則CF=.

圖914.如圖10,在矩形ABCD中，AB=8,AD=12,過A,D兩點的。0

與BC相切于點E,則。0的半徑為.圖1015.在以0為圓心，3為半

徑的圓周上，依次有A,B,C三個點，若四邊形0ABC為菱形，則弦AC所

對的弧長等于.

三、解答題（共75分）

16.（8分）如圖11,A0是aABC的中線，。。與AB相切于點D.

圖11（1）要使。。與AC邊也相切，應(yīng)增加條件；

（2）增加條件后，請你證明。。與AC相切.

17.（9分）如圖12,在4ABC中，AB=AC,以AC為直徑的。0交AB

于點D,交BC于點E.

圖12（1）求證：BE=CE；

（2）若BD=2,BE=3,求AC的長.

18.（9分）如圖13,已知4ABC內(nèi)接于。0,AB=AC=a,BC=b,AE切

。。于點A,BC〃AE,在射線AE上是否存在一點P,使得以A,P,C為頂

點的三角形與AABC相似？若不存在，請說明理由；若存在，求出AP的長.

圖1319.（9分）如圖14,AC是。0的直徑，點B在。0上，ZACB=30°.

圖14（1）利用尺規(guī)作NABC的平分線BD,交AC于點E,交。0于點

D,連接CD（保留作圖痕跡，不寫作法）.

（2）在（1）所作的圖形中，求4ABE與4CDE的面積之比.

20.（9分）如圖15,OC過坐標原點，且與兩坐標軸分別交于A,B

點，A點的坐標為（0,4）,M在圓上，且NBMO=120°.

圖15（1）求證：AB是。C的直徑；

（2）求。C的半徑及點C的坐標.

21.(10分)如圖16,在AABC中，BC是以AB為直徑的。。的切線，

且。。與AC相交于點D,E為BC的中點，連接DE.

圖16(1)求證：DE是。0的切線；

(2)連接AE,若NC=45°,求sinNCAE的值.

22.(10分)如圖17,在4ACE中，CA=CE,ZCAE=30°,。0經(jīng)過點

C,且圓的直徑AB在線段AE上.

圖17(1)試說明CE是。。的切線；

(2)若4ACE中AE邊上的高為h,試用含h的代數(shù)式表示。0的直徑

AB；

(3)設(shè)點D是線段AC上任意一點(不含端點)，連接OD,當12CD+0D

的最小值為6時，求。0的直徑AB的長.

23.(11分)。。是AABC的外接圓，AB是直徑，過BC的中點P作。

0的直徑PG交弦BC于點D,連接AG,CP,PB.

(1)如圖18,若D是線段0P的中點，求NBAC的度數(shù)；

(2)如圖19,在DG上取一點K,使DK=DP,連接CK,求證：四邊形

AGKC是平行四邊形；

圖18圖19圖20(3)如圖20,取CP的中點E,連接ED并延長ED交

AB于點H,連接PH,求證：PH±AB.

(河南曹松峰)圖形與變換

(時間:100分鐘滿分：120分)

一、選擇題(本大題共8小題，每小題3分，共24分)

1.下列電視臺的臺標，是中心對稱圖形的是()

2.下列四個圖形中，是軸對稱圖形，且對稱軸的條數(shù)為2的圖形的個

數(shù)是()

A.1B.2

C.3D.4

3.如圖1,將AABC沿BC方向平移2cm得到△DEF,若aABC的周長為

16cm,則四邊形ABFD的周長為()

圖1A.16cmB.18cm

C.20cmD.22cm

4.某數(shù)學(xué)興趣小組開展動手操作活動，設(shè)計了如圖2所示的三種圖形,

現(xiàn)計劃用鐵絲按照圖形制作相應(yīng)的造型，則所用鐵絲的長度關(guān)系是()

圖2A.甲種方案所用鐵絲最長

B.乙種方案所用鐵絲最長

C.丙種方案所用鐵絲最長

D.三種方案所用鐵絲一樣長

5.如圖3,在AABC中，ZCAB=65°,將aABC在平面內(nèi)繞點A旋轉(zhuǎn)到

△AB'C'的位置，使CC'〃AB,則旋轉(zhuǎn)角的度數(shù)為()

圖3A.35°B.40°

C.50°D.65°

6.在平面直角坐標系中，把點P(-5,3)向右平移8個單位得到點

P1,再將點P1繞原點旋轉(zhuǎn)90°得到點P2的坐標是()

A.(3,-3)

B.(-3,3)

C.(3,3)或(-3,-3)

D.(3,-3)或(-3,3)

7.如圖4,如果把aABC的頂點A先向下平移3格，再向左平移1格

到達A，點，連接A'B,則線段A，B與線段AC的關(guān)系是()

圖4A.垂直B.相等

C.平分D.平分且垂直

8.如圖5,AB是。0的直徑，AB=8,點M在。0上，ZMAB=20°,N是

MB的中點，P是直徑AB上的一動點，若MN=1,則APMN周長的最小值為

()

圖5A.4B.5

C.6D.7

二、填空題(本大題共7小題，每小題3分，共21分)

9.如圖6,有一個英語單詞，四個字母都關(guān)于直線1對稱，請在試卷

上補全字母，在答題卡上寫出這個單詞所指的物品.

圖610.如圖7,在正方形方格中，陰影部分是所形成的圖案，再將方

格內(nèi)空白的一個小正方形涂黑，使得到的新圖案成為一個軸對稱圖形的涂

法有種.

圖711.把直線y-x-1沿x軸向右平移2個單位，所得直線的函數(shù)解

析式為.

12.如圖8,在4ABC中，AB=2,AC=4,將Z\ABC繞點C按逆時針方向

旋轉(zhuǎn)得到4A'B'C,使CB'〃AB,分別延長AB,CA'相交于點D,則線

段BD的長為.圖813.如圖9,在菱形ABCD中，AB=1,ZDAB=60°,

把菱形ABCD繞點A順時針旋轉(zhuǎn)30°得到菱形AB'C'）,其中點C的運

動路徑為CC',則圖中陰影部分的面積為.

圖914.如圖10,在四邊形ABCD中，AD〃BC,ZC=90°,E為CD上一

點，分別以EA,EB為折痕將兩個角（ND,ZC）向內(nèi)折疊，點C,D恰好

落在AB邊的點F處.若AD=2,BC=3,則EF的長為.

圖10圖1115.如圖11,在四邊形紙片ABCD中，AB=BC,AD=CD,ZA=

NC=90°,NB=150°,將紙片先沿直線BD對折，再將對折后的圖形沿從

一個頂點出發(fā)的直線裁剪，剪開后的圖形打開鋪平，若鋪平后的圖形中有

一個是面積為2的平行四邊形，則CD=.

三、解答題（共75分）

16.（8分）如圖12,在長方形紙片ABCD中，M為AD的中點，將它沿

EF折疊（點E,F分別在邊AB,CD上），使點B落在AD邊上的點M處，點

C落在點N處，MN與CD相交于點P,連接EP.求證：EP=AE+DP.

圖1217.（9分）如圖13,在方格網(wǎng)中已知格點AABC和點0.

圖13（1）畫出4A'B'C'和△ABC關(guān)于點0成中心對稱；

（2）請在方格網(wǎng)中標出所有以點A,0,C',D為頂點的四邊形是平

行四邊形的點D.

18.（9分）如圖14,在邊長為6的正方形ABCD中，E是邊CD的中點，

將4ADE沿AE對折至AAFE,延長EF交BC于點G,連接AG.

圖14（1）求證：4ABG之4AFG；

（2）求BG的長.

19.（9分）如圖15,在平面直角坐標系中，已知點A（3,1）,B（2,

0),0(0,0),反比例函數(shù)y=kx的圖象經(jīng)過點A.

圖15(1)求k的值；

(2)將AAOB繞點0逆時針旋轉(zhuǎn)60°,得到△COD,其中點A與點C

對應(yīng)，試判斷點D是否在該反比例函數(shù)的圖象上.

20.(9分)平面內(nèi)有一個等腰直角三角板(NACB=90°)和一條直線

MN.過點C作CE±MN于E,過點B作BF±MN于F.當點E與點A重合時(如

圖16),易證：AF+BF=2CE.當三角板繞點A順時針旋轉(zhuǎn)到圖17,圖18的

位置時，上述結(jié)論是否仍然成立？若成立，請給予證明；若不成立，線段

AF,BF,CE之間又有怎樣的數(shù)量關(guān)系，請直接寫出你的猜想，不需證明.

圖16圖17圖1821.(10分)在正方形ABCD中，BD是一條對角線，

點P在射線CD上(與點C,D不重合)，連接AP,平移aADP,使點D移動

到點C得到ABCQ,過點Q作QHJ_BD于H,連接AH,PH.

(1)若點P在線段CD上，如圖19.①依題意補全圖形；②判斷AH與

PH的數(shù)量關(guān)系與位置關(guān)系并加以證明.

圖19(2)若點P在線段CD的延長線上，且NAHQ=152°,正方形ABCD

的邊長為1,請寫出求DP長的思路(可以不寫出計算結(jié)果).

22.(10分)如圖20,點0是正方形ABCD兩條對角線的交點，分別

延長0D到G,0C到E,使0G=20D,0E=20C,然后以0G,0E為鄰邊作正方

形OEFG,連接AG,DE.

(1)求證：DE±AG.

(2)正方形ABCD固定，將正方形OEFG繞點0逆時針旋轉(zhuǎn)a角(0。

<a<360°）得到正方形0E'F'G',如圖21.

圖20圖21①在旋轉(zhuǎn)過程中，當NOAG'是直角時，求a的度數(shù)；

②若正方形ABCD的邊長為1,在旋轉(zhuǎn)過程中，求AF'長的最大值和

此時a的度數(shù)，直接寫出結(jié)果不必說明理由.

23.(H分)在RtZ^ABC中，ZBAC=90°,AC=AB=4,D,E分別是AB,

AC的中點.若等腰RtAADE繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)，得到等腰RtAADlEl,設(shè)

旋轉(zhuǎn)角為a(0°<a^180°),直線BD1與CE1的交點為P.

(1)如圖22,當a=90°時，線段BD1的長等于，線段CE1的長等于

(直接填寫結(jié)果).

圖22圖23(2)如圖23,當a=135°時,求證：BD1=CE1,且BD1_L

CE1.

(3)①設(shè)BC的中點為M,則線段PM的長為；②點P到AB所在直線

的距離的最大值為(直接填寫結(jié)果).

(河南木山)相似與解直角三角形

(時間:100分鐘滿分：120分)

一、選擇題(本大題共8小題，每小題3分，共24分)

1.在Rt^ABC中，如果各邊長度都擴大2倍，則銳角A的正切值()

A.擴大2倍B,縮小2倍

C.擴大4倍D,沒有變化

2.在RtZ^ABC中，ZC=90°,BC=1,AB=2,則下列結(jié)論正確的是()

A.sinA=32B.tanA=12

C.cosB=32D.tanB=3

3.如圖1,在直角坐標系中，有兩點A(6,3),B(6,0).以原點0

為位似中心，相似比為13,在第一象限內(nèi)把線段AB縮小后得到線段CD,

則點C的坐標為()

圖1A.(2,1)B.(2,0)

C.(3,3)D.(3,1)

4.如圖2,點P在AABC的邊AC上，要判斷△ABPsaACB,添加一個

條件，不正確的是()

圖2A.ZABP=ZC

B.ZAPB=ZABC

C.APAB=ABAC

D.ABBP=ACCB

5.如圖3,在RtZ^ABC中，ZACB=90°,CD_LAB于D,AC=22,AB=23,

設(shè)NBCD=a,那么cosa的值為()圖3A.33B.63

C.22D.2

圖46.如圖4,已知AB,CD,EF都與BD垂直，垂足分別是B,D,F,

且AB=1,CD=3,那么EF的長是()

A.13B.23

C.34D.45

7.若正方形ABCD的邊長為2,點P是直線CD上一點，若DP=1,則tan

ZBPC的值是()

A.2B.23

C.2或23D.非上述答案

8.如圖5,在四邊形ABCD中，DC/7AB,CB_LAB,AB=AD,CD=12AB,點

E,F分別為AB,AD的中點，則aAEF與多邊形BCDFE的面積之比為（）

圖5A.17B.16

C.15D.14

二、填空題（本大題共7小題，每小題3分，共21分）

9.若兩個相似三角形的周長比為2:3,則它們的面積比是.

10.如圖6,ZABC是放置在正方形網(wǎng)格中的一個角，則sinZABC的

值是.

圖611.在AABC中，點E是AB邊的中點，點F在AC邊上，若以A,E,

F為頂點的三角形與4ABC相似，則需要增加的一個條件是（寫出一個即

可）.

12.某人沿著坡度為1：3的坡面前進了10米，則他上升的最大高度

為米.

13.已知在Rt/XABC中，ZC=90°,且tanA,tanB是關(guān)于x的一元二

次方程x2+2kx+k2-3=0的兩個實數(shù)根，求得k的值為.

14.如圖7,機器人從A點沿著西南方向走了42個單位，到達B點后

觀察到原點0在它的南偏東60°的方向上，則點A的坐標為（結(jié)果保留根

號）.

圖715.如圖8,在四邊形ABCD中，AB=AD=6,AB_LBC,AD±CD,Z

BAD=60°,點M,N分別在AB,AD邊上，若AM:MB=AN:ND=1：2,則tan

ZMCN=.

圖8三、解答題（共75分）

16.（8分）在RtaABC中，ZACB=90°,CD是斜邊AB上的中線，已

知BC=8,CD=5,求sinA和tanZACD.

圖917.（9分）生活經(jīng)驗表明，靠墻擺放的梯子，如圖9,當50°<

aW70°（a為梯子與地面所成的角）時，能夠使人安全攀爬，現(xiàn)在有一

長為6m的梯子AB,試求能夠使人安全攀爬時，梯子的頂端能達到的最大

高度AC（結(jié)果保留兩個有效數(shù)字，sin70。40.94,sin果。^0.77,cos70°

%0.34,cos50°"0.64）.

18.（9分）如圖10,在A島周圍25海里的水域有暗礁，一艘輪船由

西向東航行到0處時，發(fā)現(xiàn)A島在北偏東60°方向，輪船繼續(xù)前行20海

里到達B處發(fā)現(xiàn)A島在北偏東45°方向，若該船不改變航向繼續(xù)前進，有

無觸礁的危險（參考數(shù)據(jù)：2g1.414,3g1.732）?

圖1019.（9分）如圖11,矩形紙片ABCD,將4AMP和△BPQ分別沿

PM和PQ折疊（AP>AM）,點A和點B都與點E重合；再將△CQD沿DQ折疊,

點C落在線段EQ上點F處.

圖11（1）判斷△AMP,ABPQ,ZkCQD和△FDM中有哪幾對相似三角形

（不需說明理由）？

（2）如果AM=1,sinZDMF=35,求AB的長.

圖1220.（9分）如圖12,正方形ABCD中，M為BC邊上一點，F(xiàn)是

AM的中點，EF1AM,垂足為F,交AD的延長線于點E,交DC于點N.

（1）求證：AABM^AEFA；

（2）若AB=12,BM=5,求DE的長.

21.（10分）如圖13,在Rt^ABC中，ZACB=90°，AC=6cm,BC=8cm,

動點P從點B出發(fā)，在BA邊上以每秒5cm的速度向點A勻速運動，同時

動點Q從點C出發(fā)，在CB邊上以每秒4cm的速度向點B勻速運動，運動

時間為t秒(0<t<2),連接PQ.

圖13圖14(1)若4BPQ與aABC相似，求t的值；

(2)如圖14,連接AQ,CP,若AQ_LCP,求t的值.

22.(10分)(1)如圖15,已知NACB=NDCE=90°,AC=BC=6,CD=CE,

AE=3,ZCAE=45°,求AD的長.

圖15圖16(2)如圖16,已知NACB=NDCE=90°,NABC=NCED=N

CAE=30°,AC=3,AE=8,求AD的長.

23.(11分)如圖17,在AABC中，點E,P在邊AB上，且AE=BP,

過點E,P作BC的平行線，分別交AC于點F,Q,記4AEF的面積為S1,

四邊形EFQP的面積為S2,四邊形PQCB的面積為S3.

圖17(1)求證：EF+PQ=BC；

(2)若S1+S3=S2,求PEAE的值；

(3)若S3-S1=S2,直接寫出PEAE的值.

(河南木山)統(tǒng)計與概率

(時間:100分鐘滿分：120分)

一、選擇題(本大題共8小題，每小題3分，共24分)

1.如圖1所示的折線圖描述了某地某日的氣溫變化情況，根據(jù)圖中信

息，判斷下列說法錯誤的是()

圖1A.4：00氣溫最低

B.6：00氣溫為24℃

C.14：00氣溫最高

D.氣溫是30℃的為16：00

2.在下列調(diào)查中，適宜采用全面調(diào)查的是()

A.了解我省中學(xué)生視力情況

B.了解某校九(1)班學(xué)生校服的尺碼情況

C.檢測一批電燈泡的使用壽命

D.調(diào)查臺州《600全民新聞》欄目的收視率

3.為了解一路段車輛行駛速度的情況，交警統(tǒng)計了該路段上午7：00

至9：00來往車輛的車速(單位：千米/時)，并繪制成如圖2所示的條形

統(tǒng)計圖.這些車速的眾數(shù)、中位數(shù)分別是()A,眾數(shù)是70千米/時，

中位數(shù)是60千米/時

B.眾數(shù)是70千米/時，中位數(shù)是70千米/時

C.眾數(shù)是60千米/時，中位數(shù)是60千米/時

D.眾數(shù)是80千米/時，中位數(shù)是60千米/時

圖24.小明統(tǒng)計了他家今年5月份打電話的次數(shù)及通話時間，并列出

了頻數(shù)分布表：

通話時間x/min0<x<55〈xW1010<x〈1515〈xW20頻數(shù)(通話次數(shù))

201695則通話時間不超過15min的頻率為()

A.0.1B.0.28

C.0.5D.0.9

5.某村引進甲、乙兩種水稻良種，各選6塊條件相同的實驗田，同時

播種并核定畝產(chǎn)，結(jié)果甲、乙兩種水稻的平均產(chǎn)量均為550kg/畝，方差分

別為s2甲=141.7,$2乙=433.3,則產(chǎn)量穩(wěn)定，適合推廣的品種為()

A.甲、乙均可B.甲

C.乙D.無法確定

圖36.如圖3,有一個質(zhì)地均勻的正四面體，其四個面上分別畫著圓、

等邊三角形、菱形、正五邊形.投擲該正四面體一次，向下的一面的圖形

既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的概率是（）

A.13B.12

C.23D.34

7.已知點A,B,C,D,E,F是邊長為1的正六邊形的頂點，連接任

意兩點均可得到一條線段，在連接兩點所得的所有線段中任取一條線段，

取到長度為3的線段的概率為（）

A.14B.25

C.23D.59

8.甲、乙兩布袋裝有紅、白兩種小球，兩袋裝球總數(shù)量相同，兩種小

球只有顏色不同.甲袋中，紅球個數(shù)是白球個數(shù)的2倍；乙袋中，紅球個

數(shù)是白球個數(shù)的3倍.將乙袋中的球全部倒入甲袋，隨機從甲袋中摸出一

個球，摸出紅球的概率是（）

A.512B.712

C.1724D.25

二、填空題（本大題共7小題，每小題3分，共21分）

9.在“爭創(chuàng)美麗校園，爭做文明學(xué)生”示范校評比活動中，10位評委

給某校的評分情況如下表所示：

評分（分）80859095評委人數(shù)1252則這10位評委評分的平均數(shù)是分.

圖410.某學(xué)校在“你最喜愛的球類運動”調(diào)查中，隨機調(diào)查了若干名

學(xué)生（每名學(xué)生分別選了一項球類運動），并根據(jù)調(diào)查結(jié)果繪制了如圖4

所示的扇形統(tǒng)計圖.已知其中最喜歡羽毛球的人數(shù)比最喜歡乒乓球的人數(shù)

少6人，則該校被調(diào)查的學(xué)生總?cè)藬?shù)為名.

11.某工程隊有14名員工，他們的工種及相應(yīng)每人每月工資如下表所

示：

工種人數(shù)每人每月工資/元電工57000木工46000瓦工55000現(xiàn)該工

程隊進行了人員調(diào)整：減少木工2名，增加電工、瓦工各1名，與調(diào)整前

相比，該工程隊員工月工資的方差（填“變小”“不變”或“變大”）.

12.用2,3,4三個數(shù)字排成一個三位數(shù)，則排出的數(shù)是偶數(shù)的概率

為.

13.一枚質(zhì)地均勻的正方體骰子，骰子的六個面上分別刻有1到6的

點數(shù)，將這枚骰子連續(xù)擲兩次，其點數(shù)之和為7的概率為.

14.兩組數(shù)據(jù)：3,a,2b,5與a,6,b的平均數(shù)都是6,若將這兩組

數(shù)據(jù)合并為一組數(shù)據(jù)，則這組新數(shù)據(jù)的中位數(shù)為.

15.有10張卡片，分別寫有1?10這十個數(shù)字，將它們背面朝上洗勻

后,任意抽出一張，記卡片上的數(shù)字為a,則關(guān)于x的不等式組4x23（x+l）,

2x-x-12三、解答題（共75分）

16.（8分）老師和小明同學(xué)玩數(shù)學(xué)游戲，老師取出一個不透明的口袋,

其中裝有三張分別標有數(shù)字1,2,3的卡片，卡片除數(shù)字外其余都相同，

老師要求小明同學(xué)兩次隨機抽取一張卡片，并計算兩次抽到卡片上的數(shù)字

之積是奇數(shù)的概率，于是小明同學(xué)用畫樹狀圖的方法尋求他兩次抽取卡片

的所有可能的結(jié)果，圖5是小明同學(xué)所畫的正確樹狀圖的一部分.

圖5（1）補全小明同學(xué)所畫的樹狀圖；

（2）求小明同學(xué)兩次抽到卡片上的數(shù)字之積是奇數(shù)的概率.

17.（9分）甲、乙兩人在玩轉(zhuǎn)盤游戲時，把兩個可以自由轉(zhuǎn)動的轉(zhuǎn)盤

A,B分別分成4等份、3等份的扇形區(qū)域，并在每一小區(qū)域內(nèi)標上數(shù)字（如

圖6）,指針的位置固定.游戲規(guī)則：同時轉(zhuǎn)動兩個轉(zhuǎn)盤，當轉(zhuǎn)盤停止后，

若指針所指兩個區(qū)域的數(shù)字之和為3的倍數(shù)，甲勝；若指針所指兩個區(qū)域

的數(shù)字之和為4的倍數(shù)，乙勝.如果指針落在分割線上，則需要重新轉(zhuǎn)動

轉(zhuǎn)盤.

圖6（1）試用列表或畫樹形圖的方法，求甲獲勝的概率.

（2）請問這個游戲規(guī)則對甲、乙雙方公平嗎？試說明理由.如果不公

平，請為其設(shè)計一種公平的游戲規(guī)則.

18.（9分）某校分別于2014年、2015年隨機調(diào)查相同數(shù)量的學(xué)生，

對數(shù)學(xué)課開展小組合作學(xué)習(xí)的情況進行調(diào)查（開展情況分為較少、有時、

常常、總是四種），繪制成部分統(tǒng)計圖如圖7.請根據(jù)圖中信息，解答下列

問題：

圖7（1）a=%,b=%,“總是”對應(yīng)陰影的圓心角為。.

（2）請你補全條形統(tǒng)計圖.

（3）若該校2015年共有1200名學(xué)生，請你統(tǒng)計其中認為數(shù)學(xué)課“總

是"開展小組合作學(xué)習(xí)的學(xué)生有多少名？

（4）相比2014年、2015年數(shù)學(xué)課開展小組合作學(xué)習(xí)的情況有何變化？

19.（9分）（1）甲、乙、丙、丁四人做傳球游戲：第一次由甲將球隨

機傳給乙、丙、丁的某一人，從第二次起，每一次都由持球者將球再隨機

傳給其他三人中的某一人.求第二次傳球后球回到甲手里的概率(請用畫

樹狀圖或列表的方法給出分析過程).

(2)如果甲跟另外n(n22)個人做與(1)相同樣的游戲，那么，

第三次傳球后球回到甲手里的概率是(請直接寫結(jié)果).20.(9分)

閱讀下列材料：

2015年清明小長假，北京市屬公園開展以“清明踏青，春色滿園”為

主題的游園活動，雖然氣溫小幅走低，但游客踏青賞花的熱情很高，市屬

公園游客接待量約為190萬人次，其中玉淵潭公園的櫻花，北京植物園的

桃花受到了游客的熱捧，兩公園的游客接待量分別為38萬人次、21.75萬

人次；頤和園、天壇公園、北海公園因皇家園林的厚重文化底蘊與滿園春

色成為游客的重要目的地，游客接待量分別為26萬人次、20萬人次、17.6

萬人次；北京動物園游客接待量為18萬人次，熊貓館的游客密集度較高.

2014年清明小長假，北京晴好，北京市屬公園游客接待量約為200萬

人次，其中，玉淵潭公園游客接待量比2013年清明小長假增加了25%；頤

和園游客接待量為26.2萬人次，比2013年清明小長假增加了4.6萬人次;

北京動物園游客接待量為22萬人次.

2013年清明小長假，玉淵潭公園、陶然亭公園、北京動物園游客接待

量分別為32萬人次、13萬人次、14.9萬人次.

根據(jù)以上材料回答下列問題：

(1)2014年清明小長假，玉淵潭公園游客接待量為萬人次.

(2)選擇統(tǒng)計表或統(tǒng)計圖，將2013-2015年玉淵潭公園、頤和園和

北京動物園的游客接待量表示出來.

21.（10分）某運動品牌對第一季度A,B兩款運動鞋的銷售情況進行

統(tǒng)計，兩款運動鞋的銷售量及總銷售額如圖8所示：

圖8（1）一月份B款運動鞋的銷售量是A款的45,則一月份B款運

動鞋銷售了多少雙？

（2）第一季度這兩款運動鞋的銷售單價保持不變，求三月份的總銷

售額（銷售額=銷售單價義銷售量）.

（3）結(jié)合第一季度的銷售情況，請你對這兩款運動鞋的進貨、銷售

等方面提出一條建議.

22.（10分）小軍同學(xué)在學(xué)校組織的社會調(diào)查活動中負責了解他所居

住的小區(qū)450戶居民的生活用水情況，他從中隨機調(diào)查了50戶居民的月

均用水量（單位：t）,并繪制了樣本的頻數(shù)分布表和頻數(shù)分布直方圖（如

圖9）.

圖9月均用水量（單位：t）頻數(shù)百分比2Wx<324%3Wx<41224%4〈x〈55

^x<61020%6^x<712%7^x<836%8^x<924%（1）請根據(jù)題中已有的信息補

全頻數(shù)分布表和頻數(shù)分布直方圖.

（2）如果家庭月均用水量“大于或等于4t且小于7t”為中等用水量

家庭，請你通過樣本估計總體中的中等用水量家庭大約有多少戶？

（3）從月均用水量在2Wx<3,8Wx<9這兩個范圍內(nèi)的樣本家庭中任

意抽取2個，求抽取出的2個家庭來自不同范圍的概率.

23.（11分）有甲、乙兩個不透明的布袋，甲袋中裝有3個完全相同

的小球，分別標有數(shù)字0,1,2,乙袋中裝有3個完全相同的小球，分別

標有數(shù)字T,-2,0,先從甲袋中隨機取出一個小球，記錄標有的數(shù)字為x,

再從乙袋中隨機取出一個小球，記錄標有的數(shù)字為y,確定點M(x,y).

(1)用樹狀圖或列表法列舉點M所有可能的坐標；

(2)求點M(x,y)在函數(shù)y=-x+l的圖象上的概率；

(3)在平面直角坐標系xOy中，。。的半徑是2,求過點M(x,y)

能作。0的切線的概率.

(河南木山)

參考答案

四邊形的認識與證明

1.C2.D3.C4.D5.B6.D

圖17.B如圖1,由題意，得BE與AC交于點P.,點B與點D關(guān)于AC

對稱，.,.PD=PB..,.PD+PE=PB+PE=BE最小...?正方形ABCD的面積為12,，

AB=23.又：4ABE是等邊三角形，，BE=AB=23.故所求最小值為23.故選B.

圖28.A如圖2,延長GP交DC于點II.VP是線段DF的中點，，F(xiàn)P=DP.

由題意，得DC〃GF,AZGFP=ZHDP.VZGPF=ZHPD,AAGFP^AHDP.

/.GP=HP,GF=HD...?四邊形ABCD是菱形，，CD=CB.，CG=CH,△CHG是等腰

三角形....PG_LPC.又ZABC=ZBEF=60°,ZGCP=600,

PGPC=tan60°=3.故選A.

9.1410.2411.112.3：513.(2)n-1

14.3827(或?qū)懗?561128)設(shè)AD2與A1D1交于點M,AlM=x，則DlM=l-x.

易證△AD1MS/\D2A1M,，D1MA1M=AD1D2AL...l-xxR....x=23,即A1M=23.

還可證得aAIMD2s△AZDZDB,A1MA2D2=A1D2A2D3.設(shè)A2c2=y,則

23y-2=2y.，y=3,即A2c2=3.同理可得A3c3=92,A4c4=274,A5C5=818,

由此規(guī)律可得AnCn=3n-l2n-2.把n=9代入得A9c9=3827....正方形

A9C9C10D10的邊長為3827.

15.16或45由題意，若ACDB'恰為等腰三角形，需分三種情況討論:

(1)當DB'=DC時,則DB'=16(易知點F在BC上且不與點C,B重

合).

(2)當CB'=CD時,VEB=EB/,CB=CB',.'.點E,C在BB'的垂直

平分線上.，EC垂直平分BB，.由折疊可知點F與點C重合，不符合題意,

舍去.

(3)如圖3,當CB'=DB'時，過點B'作BzG±AB于點G,交CD

于點H.VAB/7CD,.,.B,H±CD.VCBZ=DB',.,.DH=12CD=8..,.AG=DH=8.

；.GE=AG-AE=5.在RSB'EG中,由勾股定理，得B'G=12,.,.B/H=GH-BZ

G=4.在RtZ\B'DH中,由勾股定理，得DB'=42+82.

綜上所述，DB'=16或45.圖316.(1)二?四邊形ABCD是平行

四邊形，/.AD=CB,NA=NC.又?.?AE=CF,.,.AADE^ACBF.

(2)二?四邊形ABCD是平行四邊形,/.AB=CD,AB#CD.VAE=CF,/.

BE=DF.四邊形DEBF是平行四邊形.又?:ZDEB=90°,四邊形DEBF是

矩形.

17.(1)VDE±AF,.?.NAED=90°.又?.?四邊形ABCD是矩形，/.Z

B=90°,AD/7BC.AZDAE=ZAFB.XVAF=AD,AAADE^AFAB..,.DE=AB.

(2)?;BF=FC=1,.\AD=BC=2,XVAADE^AFAB,.,.AE=BF=1.

△ADE中,AE=12AD,/.ZADE=30°,DE=3.，EG的長為36”.

圖418.(1)如圖4,?.?四邊形ABCD是平行四邊形,ACF/ZED.AZ

FCG=NEDG.是CD的中點，，CG=DG.XVZCGF=ZDGE,AAFCG^AEDG.

.,.FG=EG.VCG=DG,四邊形CEDF是平行四邊形.

(2)①當AE=3.5時，平行四邊形CEDF是矩形.(理由如下：過A作

AM_LBC于M,ANB=60°,AB=3,，BM=1.5.3四邊形ABCD是平行四邊形,

.,.ZCDA=ZB=60°,DC=AB=3,BC=AD=5.若AE=3.5,則DE=1.5=BM..'△MBA

g△EDC,...NCED=NAMB=90°.?四邊形CEDF是平行四邊形，，四邊形

CEDF是矩形.)②當AE=2時，四邊形CEDF是菱形(理由如下：’.飛口=5,

AE=2,.,.DE=3,XVCD=3,ZCDE=60°,是等邊三角形.，CE=DE.

???四邊形CEDF是平行四邊形，四邊形CEDF是菱形.)

19.(1),(2)作圖如圖5.猜想：四邊形AECF是菱形.證明如下：;

AB=AC,AM平分NCAD,；.NB=NACB,NCAD=2NCAM.：NCAD是AABC的

夕卜角，.?.NCAD=NB+NACB=2NACB....NCAMM/ACB.，AF〃CE.TEF垂直平

分AC,...OAuOC,ZA0F=ZC0E=90o..,.AOF^ACOE..,.AF=CE.在四邊形AECF

中，AF〃CE,AF=CE,，四邊形AECF是平行四邊形.又?；EF，AC,工四邊

形AECF是菱形.

圖520.(1)SAABC=S四邊形AFBD.

(2)AABC為等腰直角三角形，即AB=AC,NBAC=90°.理由如下：

為BC的中點，.，.CF=BF.YCFuAD,，AD=BF.又?.,AD〃BF,.?.四邊形AFBD

為平行四邊形.?;AB=AC,F為BC的中點，???AFLBC....平行四邊形AFBD為

矩形...?NBAC=90°,F為BC的中點,；.AF=12BC=BF.四邊形AFBD為正

方形.

圖6(3)畫出圖形如圖6.由(2)知，AABC為等腰直角三角形，AF

±BC.設(shè)CF=k,則GF=EF=CB=2k.由勾股定理，得CG=5k,sinZ

CGF=CFCG=k5k=55.

21.(1)上述結(jié)論①②仍然成立.

(2)上述結(jié)論①②仍然成立.理由如下：?.?四邊形ABCD為正方形，

.\AD=DC,ZADC=ZBCD=90°.VDF=CE,/.AADF^ADCE..*.AF=DE,ZAFD=

ZDEC.VZADG+ZEDC=90°,AZADG+ZFAD=90°..,.ZAGD=90°,即AF

±DE.

(3)四邊形MNPQ是正方形.證明：如圖7,設(shè)MQ交AF于點0,PQ交

DE于點H.?.,點M,N,P,Q分別為AE,EF,FD,AD的中點，，MQ=PN=12DE,

PQ=MN=12AF,MQ〃DE,PQ〃AF.又AF=DE,，四邊形MNPQ是菱形.又YAF

±DE,.?.NAGD=90°.NHQO=NAGD=90°.四邊形MNPQ是正方形.

圖722.(1)AB=BC或BC=CD或CD=AD或AD=AB(寫出一個即可).

(2)①正確.理由如下：?.?四邊形的對角線互相平分，，該四邊形是

平行四邊形.又?.?四邊形是“等鄰邊四邊形”，，該“等鄰邊四邊形”是菱

形.②根據(jù)題意，得BB'=AA',A'B'〃AB,A'B'=AB=2,B'C=BC=1,

A'C=AC=5.(?o繽?8,當AA'=AB時;BB'=AA'=AB=2.(??)如圖

9,當AA'=A'C時，BB'=AA'=A'C=5.(?#-|繽？10,當A'C=BC'

=5時,延長C'B'交AB于點D,則C'B'±AB.VBB,平分NABC,/.Z

ABBZ=12NABC=45°.，NBB'D='ZABB,=45°.：,B'D=BD.設(shè)B'

D=BD=x,則C'D=x+1,BB'=2x.?在RtZ\BC'D中，BD2+C'D2=BCZ2,

??.乂2+6+1)2=(5)2.解得乂1=1?2=-2(舍去)..?48'=2x=2.(?i「？BC'

=AB=2時，如圖11,與(？#-|?理可得BD2+C'D2=BC/2,設(shè)B'D=BD=x,

則x2+(x+1)2=22.解得xl=-l+72,x2=-l-72(舍去).：.W=2x=14-22.

綜上所述，應(yīng)平移2或5或2或14-22.

圖8圖9圖10圖。圖12(3)BC,CD,BD的數(shù)量關(guān)系為BC2+CD2=2BD2.

如圖12,VAB=AD,.?.將4ADC繞點A旋轉(zhuǎn)到aABF.連接CF..,.AABF^A

ADC.AZABF=ZADC,NBAF=NDAC,AF=AC,FB=CD.AZBAD=ZCAF,

ACAF=ADAB=1./.△ACF△ABD.CFBD=ACAB=2.CF=2BD.VZBAD+Z

ADC+ZBCD+ZABC=360°,AZABC+ZADC=360°-(ZBAD+ZBCD)=360°

-90°=270°.AZABC+ZABF=270°.ZCBF=900./.BC2+FB2=CF2=

(2BD)2=2BD2./.BC2+CD2=2BD2.23.⑴；F為BE的中點，，BF=EF.

?.?AB〃CD,，NMBF=NCEF,NBMF=NECF.

.,.△BMF^AECF.AMB^E.

VAB=CD,CE=DE,

Z.MB=AM./.AM=CE.

(2)i^BM=a.VABZ/CD,.,.△BMF^AECF.

VEFBF=12,，CEBM=2.，CB=2a.

/.AB=CD=2CE=4a.

/.AM=AB-BM=4a-a=3a.

VABBC=2,.\BC=AD=2a.

VMN1MC,ZA=ZABC=90°,

.,.△AMN^ABCM.

.,.ANBM=AMBC,即ANa=3a2a....AN=32a.

.,.ND=AD-AN=2a-32a=a2,

.,.ANND=32aa2=3.

(3)已知ABBC=EFBF=n,設(shè)MB=a,由(2)得BC=2a,CE=na.

當MN〃BE時，CM±BE,可證得△MBCsaBCE.

MBBC=BCCE..\a2a=2ana.AnM.

圓的認識與證明

LB2.D3.C4.C5.C6.B7.A8.B9.il。°10.4211.1.612.1或

513.2314.254

15.21或4n.如圖如連接0B和AC交于點D.V四邊形OABC為菱形,

.*.OA=AB=BC=OC.半徑為3..?.OAMCXXB.TOARB,.?.△OAB為等邊三角

形....ZAOB=60°.ANA0C=120°.劣弧AC的長度為1201X3180=2n