高中數(shù)學《不等式的性質》導學案

第2課時不等式的性質

卜課前自主預習

不等式的性質

性質1：a>b0b叵]<a.

性質2：a>h,b>c^a1^1>c.

性質3：a>b^a+c^>b+c.

性質4：⑴c>O=^acW>bc；

(2)a>b,c<O=>^cI—I<bc.

性質5：a>b,c>+cI—I>h+d.

性質6：a>b>0,c>d>O^ac1^1>bd.

性質7：a>b>^anIM,>b'\neN,〃22).

性質8：?>Z?>0=>yjaI—I>y[b{nGN,n22).

【知識拓展】

不等式的命題的判斷與求范圍應注意的問題

1.利用不等式判斷正誤的2種方法

①直接法：對于說法正確的，要利用不等式的相關性質或函數(shù)的相關性質證

明；對于說法錯誤的只需舉出一個反例即可.

②特殊值法：注意取值要遵循三個原則：一是滿足題設條件；二是取值要簡

單，便于驗證計算；三是所取值要有代表性.

2.利用不等式求范圍應注意的問題

求指定代數(shù)式的取值范圍，必須依據(jù)不等式的性質進行求解，同向不等式具

有可加性與可乘性，但是不能相減或相除，解題時必須利用性質，步步有據(jù)，避

免改變代數(shù)式的取值范圍.

F自診小測

1.判一判(正確的打“J”，錯誤的打"X")

(1)若a>b,b》0,則a>0.()

⑵由;<3可得%<3a.()

(3)若加+〃<e+/且機<e,則〃勺()

(4)若a<—"5,貝！J。2>25.()

答案(1)V(2)X(3)X(4)V

2.做一做

⑴若〃<0,a+b>0,則a—b0(填“〉”或

⑵若4。<0,則a2的填"/或

⑶若a>b>0,0<c<d,則今與g的大小關系是.

(4)已知12<興60,15。<36,則稱的取值范圍為

答案(1)>(2)>(3)安⑷惇，4)

卜課堂互動探究

探究1利用不等式的性質判斷真假

例1對于實數(shù)％從c,下列命題中的真命題是()

22

A.若a>b9貝ljtzc>Z?c

B.若a>b>0,則:寸

C.若a<b<0,則\寧

D-若a>b'則a>°'

答案D

解析解法一：,.?/20,.,.，=()時，

有ac1=bc2,故A為假命題；

由a>b>Q,有">。臺為嘉今晨，

故B為假命題;

a<Z?<0=>—a>—Z?>0=>—r>—->0b

uCl>——一a、一

ba,

a<b<0=^—a>—b>0,

故C為假命題；

a>b^b~a<0

1111b—a(^ab<0.

->T=?—T>0=>—7—>0

abababJ

'：d>b,...aX)且。<0,故D為真命題.

解法二：(特殊值排除法)

取C=0,則&?=反2,故A錯誤.

111

---

取a=2,b=l,則G=￡，人4力

取a=-2,b=—\,則?=]，*=2,有彳<f，故C錯誤.

拓展提升

利用不等式的性質判斷真假的方法

運用不等式的性質判斷時，要注意不等式成立的條件，不要弱化條件，尤其

是不能憑想當然隨意捏造性質，解有關不等式的選擇題時，可采用特殊值法進行

排除，注意取值一定要遵循如下原則：一是滿足題設條件；二是取值要簡單，便

于驗證計算.

不等式的性質常與比較大小問題結合起來考查，此類題目一般可以結合不等

式的性質，利用作差法求解.

【跟蹤訓練1]下列命題：

①若a<b,則a/cbc2；

②若聶>§，則a>b；

③若a>b,c<d,貝Ua-c>b~d-,

④若a>b,c>d,則ac>bd；

⑤若a>b,則《

其中正確命題是.

答案②③

解析當c=0時，①是假命題.若則^>0,：.a>b成立，故②正確.③

先利用不等式的性質變?yōu)橥虿坏仁?，再相加，可得結果，故為真命題.a>b,

0d可取a=2,b=l,c=—1,d=-2,可得ac=-2,hd=-2,故④錯誤.

可取a=l,b=—\,可得",故⑤錯誤.

探究2利用不等式的性質證明不等式

例2(1)已知。>力，e>f,c>0.

求證：f-ac<e-be；

...、a-\-b一c+“

(2)右hc—ad^Q,bd>0.求證：〃W..

證明(1)Va>h,c>0,/.ac>bc,

-ac<-bc.

.".f-ac<e—bc.

(2)bc-ad^O,:.adWbc,又'：bd>0,

拓展提升

利用不等式的性質證明不等式的注意事項

(1)利用不等式的性質及其推論可以證明一些不等式.解決此類問題一定要

在理解的基礎上，記準、記熟不等式的性質并注意在解題中靈活準確地加以應用.

(2)應用不等式的性質進行推導時，應注意緊扣不等式的性質成立的條件，且

不可省略條件或跳步推導，更不能隨意構造性質與法則.

【跟蹤訓練2】已知a>/?〉0,c<d<0.求證:

證明"：c<d<0,：.-c>-d>0.

???W

又,：a>b>0,

兩邊同乘以一1,得寸|<非」

探究3利用不等式的性質求取值范圍

例3⑴已知2<aW5,3〈b<10,求。一江杯的取值范圍;

(2)已知一方Wa<夕音，求gg9/的取值范圍;

Y

(3)已知x,y為正數(shù)，且1Wig(町)W2,3W%W4,求1g的取值范圍.

解⑴?.?3WX10,二一10<一6W—3.

又,.,2<aW5,，-8<a—bW2.

又,-J-c；—<—

人?10Q3'-5Q3，

TT7T

(2)V-/

.兀)a兀7U

??一尸相不

4,

兩式相加得一紅笥

?.117a7i兀一13it

?一霹5%，一號一3<不

兩式相加得一

一八a-0?！弧?/p>

又,/a〈B，<0,/.—3"<0.

(3)由題意設o=lgx,b=\gy,

,1g(xy)=a+b,

X

\g-=\gx—\gy=a-b,

y

IgQ4y2)=4Q+2A,

設4a+2b=m(a+b)+n(a—b),

/??+//=4,機=3,

c解得,

j?i-n=2,n=\.

4a+2Z?=3(a+/?)+(a—b),

又,：3W3(a+b)W6,3Wa—6W4,

...6W4a+2bW10,

Alg(dy2)的取值范圍為傳,10］.

［變式探究］本例(1)中，條件不變，求。+",必的取值范圍又如何？

解由2<aW5,3Wb<10得

2+3<。+方<5+10,2X3<ab<5X10,

即5<。+/?<15,6<。。<50.

拓展提升

利用不等式的性質求代數(shù)式的取值范圍要注意的問題

(1)恰當設計解題步驟，合理利用不等式的性質.

(2)運用不等式的性質時要切實注意不等式性質的前提條件，切不可用似乎

是很顯然的理由，代替不等式的性質，如由及c>4,推不出ac>M；由<7>仇

推不出/>房等.

(3)準確使用不等式的性質，不能出現(xiàn)同向不等式相減、相除的錯誤.

【跟蹤訓練3】若二次函數(shù)y=7U)的圖象關于y軸對稱，且

iqU)W2,3《/(2)W4,求人3)的范圍.

解設大組二加+以0/。)，

則?l)=a+c,/2)=4a+c.

又?.\A3)=9a+c,故設2成1)+2成2)=負3),

Ai+4A2=9,

則有

.21+22=1,

.跋2)—5液1)

?—3?

???1W/(1)W2,3W_A2)W4,

...5W凱1)W10,24W隊2)W32.

，14W8/(2)—5液1)W27.

..生蛆押久9,即詈?W9.

f---------------------------1那裹升1-----------------------------

［規(guī)律小結］

1.在應用不等式的性質時應注意的問題

使用不等式的性質時，一定要注意它們成立的前提條件，不可強化或弱化

它們成立的條件，盲目套用.例如：

(1)?>/?,c>d^a+c>b+d,已知的兩個不等式必須是同向不等式.

(2)a>/?>0且0d>00ac>M,已知的兩個不等式不僅要求同向，而且不等

式兩邊必須為正值.

(3)a>8>0=>a">b"(〃WN,〃22),及。>/?>0=>%>礪(〃6N,”22)成立的條

件是已知不等式兩邊為正值，并且〃dN,n>\,否則結論就不成立.假設去掉

匕>0這個條件，取a=3,b=—4,n=2,就會出現(xiàn)3?>(一4尸的錯誤結論；又若

去掉了"八￡N且〃，2”這個條件，取a=3,h=2,n=~\,又會出現(xiàn)3一1>2

I,即聶的錯誤結論.

(4)不等式的性質有的可以互推，如a>b0b<a；a>b^>a+c>b+c,有的不

可互推.

(5)性質7和性質8在〃取正奇數(shù)時，可放寬條件，命題仍成立，即有：

a>b^a">b'\n=2k+1,MN).

a>b=^y［a>，\［b(n=2k+1,ZGN).

2.性質8的證明

性質8的證明可采用反證法，即假設%不大于船，則有兩種情況：或者

缶〈加，或者缶=礪.由性質7,當缶<%時，a。，當時1=阪時,有a=

b,這些都與已知條件。>方>0矛盾，所以缶〉礪.

［走出誤區(qū)］

易錯點>運用不等式的性質不當致錯

［典例］已知lWa+/?W5,—iWa—bW3,求3a—2/?的范圍.

［錯解檔案］—iWa一8W3,

又,.,lWa+bW5,—3W—(a—")W1,-1WAW3.

?.?0WaW4,—匕W3,

；.0W3aW12,-6W—2/?W2,二一6W3a—2/7W14.

［誤區(qū)警示］在錯解中，由已知條件推出不等式一6W3a—28W14的各個

步驟，均實行了不等式性質中的推出關系，但結論是不正確的，事實上，由

1Wa+Z?W5與一1Wa-Z?W3,得到0WaW4,-1WAW3,但這并不意味著a與

匕可各自獨立地取得區(qū)間［0,4］與［-1,3］的一切值.如取a=4,8=3時，a+b=

7,就已超出題設條件lWa+bW5中的范圍，細究緣由，就是推出關系并非等

價關系.

［規(guī)范解答］設》=。+力，y=a-b,則。=嚀2,。=工子.

XW5,—1?戶3,

-2W；x+|vW10,即一2W3a—26W10.

［名師點津］要求指定代數(shù)式的取值范圍，必須依據(jù)不等式的性質進行求解,

同向不等式具有可加性，同向正值不等式具有可乘性，但是不能相減或相除，利

用性質時，必須步步有據(jù)，避免改變代數(shù)式的取值范圍.

I隨堂達標自測。

1.設mb,c,d￡R,則（）

A.a>b,c:=ac<bd

°ab、,

cc

C.蘇>〃。力

ab

11

2029〃。>一<二

D.tz>Z?,0=ab

答案c

解析用排除法，A錯誤，顯然c=d=O時，結論不成立.B錯誤，c<0時，

結論不成立.D錯誤，當。=-2,b=-l時，結論不成立.故選C.

2.已知：a,b,c,JGR,則下列命題中必成立的是（）

A.若a>b,c>b,則a>c

B.若a>—b,則c—a<c+b

C.若a>b,c<d,則

D.若a?〉y,則一q<一。

答案B

解析選項A,若。=4,b—2,c=5,顯然不成立；選項C不滿足倒數(shù)不

等式的條件，如a泌>0,c<0<d時，不成立；選項D,當a=—1,b=0時不等式

不成立，故選B.

3.若一l<a<Q<l,則下列各式中恒成立的是（）

A.—2<a—/?<0B.—2<a—/?<—1

C.-l<a一夕<0D.-l<a一4<1

答案A

解析由一l<a<l,—1<夕<1,得一1〈一口<1,所以一2<a一夕<2,但a<4,故

知一2<a—0<0.

4.若x>y,a>b,貝U在①“一%>/?一>②a+x>/?+y,③@x-b>y—a,

這四個式子中，恒成立的所有不等式的序號是.

答案②④

解析令》=—2,y=—3,a=3,b=2,

符合題設條件x>y,a>b,

"?'a—x=h—y=5,「.a—x>b—y不成立.

又,.?ar=/?y=—6,/.ax>by也不正確.

x>y,a>b,.??〃+尤>/7+y成立.

*：a>b,/.——b>——a,

Xx>y,?\x-h>y—a.

綜上知②④成立.

5.已知一1W〃+Z?W1,1Wo—2〃W3.求Q+3/7的取值范圍.

解設a+3〃=X\(a+〃)+叔。-2b)=(Ai+Xi)a+(2i—22i}b,則

21+12=1,

Ai-2后=3,

5?

解得九=予h=-y

55522

又因為一—2<—§(a—2/?)W—

所以一?Wa+3bWL

卜課后課時精練

A級：基礎鞏固練

一'選擇題

1.下列結論中，成立的個數(shù)為（）

x+y>Q,x>0,

①若則＜

xy>Q,J>0.

x>0,x+y>0,

②若則＜

ly>0,、孫>0.

x>\,x+y>2,

則＜

dy>l.

x+y>2,x>1,

④若則,

xy>l,J>1.

A.4個B.3個C.2個D.1個

答案B

解析由盯>0知x與y同號，又x+y>0,...x〉。且y>0,故①正確;

Vx>0,_y>0,，x+y>0,xy>0,.?.②正確；

x>\,y>\,，x+y>2,xy>l,.?.③正確；

1x>l,

當x=4,y=5時，x+y>2,xy>\,但孑不成立.故選B.

z[y>\

2.已矢口04<y<a<l,貝女)

A.log?(xy)<0B.0<log?(xy)<l

C.l<log?(xy)<2D.log”(孫)>2

答案D

解析由已知0<r<j<a<l,取特殊值，對應可取0<m<l,則A、B、C三

個選項都不正確，只有D正確.

3.若a,0GR,且a+|例<0,則下列不等式中正確的是()

A.a-b>0B.a3+/?3>0

C.a2—h2<QD.a+b<0

答案D

解析解法一：由a+|加<0知，a<0,Q^\b\<-a,

?*.Z>2<a2,.,.屋一82〉o；

V\b\^b,...a+AWa+|例<0；

?l切2—b,:.a—bWa+向<0；

-a>\b\^b,a)3>b3,a3+b3<0.

/.A,B,C錯誤，故選D.

解法二：取a=-2,b=±l,易知a—b<0,<23+/?3<0,a2—Z?2>0,排除A,

B,C,故選D.

4.如圖，y=?x)反映了某公司的銷售收入y萬元與銷量x之間的函數(shù)關系，

y=g(x)反映了該公司產品的銷售成本y萬元與銷售量x之間的函數(shù)關系.

(1)當銷量________時，該公司贏利；(2)當銷量_______時，該公司虧損.

①x>a；②尤<a；③xNa；④0Wx<a.()

A.①②B.③④C.①④D.②③

答案C

解析當銷售收入兀0大于銷售成本g(x)時，公司贏利；當銷售收入次龍)小于

銷售成本g(x)時，公司虧損.故選C.

二、填空題

5.設a>力>1,c<0,給出下列三個結論：

—

①余②/<加；(3)log/,(a—c)>loga(^c).

其中所有的正確結論的序號是.

答案①②③

11cc

解析由c<0,得了石，嘉函數(shù)y=W(c<0)在(0,+8)上是減函

數(shù)，所以廢<〃；因為。-c>〃-c>0,所以log/,(q—c)>log“(a—c)>loga(b—c),①②

③均正確.

6.已知2辰a<—小貝哈的取值范圍為.

答案(一1,2)

解析2b<a<—b,/.2b<—b.b<Q,二鏟0.

??丁<尸口即TR<2.

7.對于實數(shù)a,b,c,有下列說法：

①若a>b,則ac<bc-,

②若小泌洛則a〉b：

③若a<b<0,則。2>必>店；

④若c>a>b>0,則.

c-ac-b

其中正確的是(填序號).

答案②③④

解析①中，c的正、負或是否為0未知，因而判斷ac與反的大小缺乏依

據(jù)，故①不正確.

②中，由“/乂七2,知cWO,故02>0,所以a>b成立,故②正確.

③中，"°=^a2>ab,'°人'^ab>b2,所以內加爐，故③正確.

[a<0[b<0

④中，a>b>O=^—a<—b=^c—a<c—b.

Vc>6F,/.c——a>0./.0<c——a<c——b.

上式兩邊同乘以7—J—77,得」一>」7>0.

(c-a)(c—b)c-ac~b

nb

又9>0,二--->―r,故④正確.

c-ac-b

三、解答題

8.已知l<a<3,24<5,試求下列各式的取值范圍:

(1)2〃一3/7+1；

⑵惡.

解(l)Vl<a<3,：.2<2a<6.

'：2<b<5,/.-15<-3/?<-6,

/.-12<2a—3Z?+1<1,

即2a-3b+l的取值范圍為(一12,1).

(2)Vl<a<3,：.l<y[a<y/3.

"：2<b<5,，4幼2<25,

,,3Vbi2-1<24,?.24<^2_]<3，

.J_也V3

??24%2—1(3，

即若的取值范圍為怎，書.

9.已知一6<。<8,2。<3,分別求2a+",a-b,行的取值范圍.

解V-6<a<8,2</?<3,

—12<2a<16,-10<2?+/?<19.

又；一3(一。<一2,

—9<a~b<6,

人.3<62，

⑴當0，<8時，0號<4；

⑵當一6<a<0時，-3<|<0,

由⑴(2)得一3卷<4.

綜上可知所求的范圍分別為一10<2。+/?<19,—9<a-b<6,—3<^<4.

10.甲、乙兩車從A地沿同一路線到達8地，甲車一半時間的速度為。，另

一半時間的速度為乙車一半路程的速度為a,另一半路程的速度為b.若a^b,

試判斷哪輛車先到達8地.

解設A,B兩地間的路程為s,甲、乙兩輛車所用的時間分別為A,t2,則

2ss.s

九=幣，於=五