杭州市蕭山區(qū)2017年命題比賽試卷高中數(shù)學(xué)試卷一

2017年高考模擬試卷數(shù)學(xué)卷命題雙向細(xì)目表

題序考查內(nèi)容分值難易程度

3L集合運(yùn)算4容易題

2充分必要條件4容易題

3函數(shù)的性質(zhì)4容易題

4平行垂直4容易題

5平面向量4容易題

6函數(shù)，基本不等式4中檔題

中等偏難

7立體幾何的問(wèn)題4

題

8解三角形4中檔題

9解不等式和絕對(duì)值不等式4中檔題

10函數(shù)的新定義問(wèn)題4較難題

11數(shù)列的通項(xiàng)及求和6容易題

12三視圖體積表面積6容易題

13線性規(guī)劃6容易題

14概率，期望基本運(yùn)算6較難題

15平面向量概念及數(shù)量積的幾何意義4較難題

16拋物線問(wèn)題4較難題

17雙曲線離心率最值問(wèn)題4較難題

18三角函數(shù)化簡(jiǎn)求值和性質(zhì)14容易題

19空間中線線、線面垂直的判斷及幾何法求15容易題

面面角

20函數(shù)及導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用15中檔題

21圓錐曲線的方程及函數(shù)的最值15較難題

數(shù)列的通項(xiàng)及非特殊數(shù)列利用放縮法求

2215較難題

和

考試設(shè)計(jì)說(shuō)明

本試卷設(shè)計(jì)是在認(rèn)真研讀《2017年考試說(shuō)明》的基礎(chǔ)上精心編制而

成，以下從三方面加以說(shuō)明。

一、在選題上：

(1)遵循“考查基礎(chǔ)知識(shí)的同時(shí)，注重考查能力”的原則，確立

以能力立意命題的指導(dǎo)思想，將知識(shí)、能力和素質(zhì)融為一體，全面檢

測(cè)考生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

(2)試卷保持相對(duì)穩(wěn)定，適度創(chuàng)新，逐步形成“立意鮮明，背景

新穎，設(shè)問(wèn)靈活，層次清晰”的特色。

二、命題原則：

(1)強(qiáng)化主干知識(shí)，從學(xué)科整體意義上設(shè)計(jì)試題.

（2）注重通性通法，強(qiáng)調(diào)考查數(shù)學(xué)思想方法.

（3）注重基礎(chǔ)的同時(shí)強(qiáng)調(diào)以能力立意，突出對(duì)能力的全面考查.

（4）考查數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)，堅(jiān)持“貼近生活，背景公平，控制難度”

的原則.

（5）結(jié)合運(yùn)動(dòng)、開放、探究類試題考查探究精神和創(chuàng)新意識(shí).

（6）體現(xiàn)多角度，多層次的考查，合理控制試卷難度。

2017年高考模擬試卷數(shù)學(xué)卷

本試卷分第（I）卷（選擇題）和第（II）卷（非選擇題）兩部分.滿

分150分，考試時(shí)間120分鐘

請(qǐng)考生按規(guī)定用筆將所有試題的答案涂、寫在答題紙上。

參考公式：

球的表面積公式：5=4K/?2,其中斤表示球的半徑；

球的體積公式：聯(lián)，心其中7?表示球的半徑；

3

棱柱體積公式：V=Sh,其中S為棱柱的底面面積，/?為棱柱的高；

棱錐體積公式：，其中S為棱柱的底面面積，〃為棱柱的高；

臺(tái)體的體積公式：丫=?6+■'+S2）其中「應(yīng)分別表示臺(tái)體的上底、

下底面積，力表示臺(tái)體的高.

第I卷（選擇題共40分）

注意事項(xiàng)：

1.答第I卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)用黑色字跡的

簽字筆或鋼筆填寫在答題紙上。

2.每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題紙上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)

涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號(hào)。不能答在

試題卷上。

一、選擇題：本大題共10小題，每小題4分，共40分.在每小題給

出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.

1.（原創(chuàng)）設(shè)全集U=R,集合P=U|x>l}，Q={^X2-X-2<0},則（[〃P）

nQ=（）

A.（-1,1）B.（-2,1]C.0D.（-1,1]

2.（改編）已矢口z=>一1+（蘇-3根+2）j（為虛數(shù)單位），貝1J"〃z=-l"

是“z為純虛數(shù)”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條

件

3.（摘錄）下列函數(shù)中周期為萬(wàn)且為奇函數(shù)的是

A.B

C.D.

4.（改編）如圖1,四棱柱ABCD-ABCR中,E、F

分別是BQ的中點(diǎn).下列結(jié)論中，正確的是

（）

A.EF1BB,B.EF〃平面

ACG4

C.EF±BDD.EF_L平面BCGg

5.（改編）P為4ABC部一點(diǎn)，且滿足|P8|=2|PA|=2,,且2所+3萬(wàn)+4定=6,

則AA3C的面積為（）

A.-B.-C.1D.-

835

6.（改編）設(shè)“為實(shí)常數(shù)，y=/（乃是定義在R上的奇函數(shù)，且當(dāng)x＜（）

時(shí)，.若/3）加+1對(duì)一切北0成立，貝。的取值范圍是（）.

A.a＜0B.3C.D.

7.（摘錄）將正方形ABCZ＞沿對(duì)角線3。折疊成一個(gè)四面體A8CD,當(dāng)該

四面體的體積最大時(shí)，直線AB及C。所成的角為（）

A.90°B.60°C.45°D.30°

8.（改編）.在AA8C中，已知，且AABC最大邊的長(zhǎng)為舊，則AA8C的

最小邊為

（）

A.1B.V5C.V2

D.3

9.(摘錄)設(shè)實(shí)數(shù)a使得不等式|2%一|+m-2。|加2對(duì)任意實(shí)數(shù)王恒成

立，則滿足條件的&所組成的集合是()

A.B.C.D.[-3,3]

10.(改編)設(shè)/(x),g(x)都是定義在實(shí)數(shù)集上的函數(shù)，定義函數(shù)(/°g)(x):

任意xeR，

(fog)(x)=/(g(x))?若，，則()

A.(/°/)(%)=/(x)B.(/og)(x)=/(x)

C.(g°f)(x)=g(x)D.(gog)(x)=g(x)

第II卷(非選擇題共110分)

注意事項(xiàng)：

1.黑色字跡的簽字筆或鋼筆填寫在答題紙上，不能答在試題卷上。

2.在答題紙上作圖，可先使用2B鉛筆，確定后必須使用黑色字跡

的簽字筆或鋼筆描黑。

二、填空題：本大題7小題，11T4題每題6分，15T7每題4分，共

36分，把答案填在題中的橫線上.

11.(原創(chuàng))若正項(xiàng)等比數(shù)列｛叫滿足4+%=3,?5=1，則公比

q=，an=?

12.(原創(chuàng))某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積

為.

表面積是.

13.(摘錄)已知實(shí)數(shù)x,>滿足條件若存在實(shí)數(shù)a使

得函數(shù)z="+y(a<0)取到最大值z(mì)(a)的解有無(wú)數(shù)個(gè)，

111T

俯視圖

貝|Ja-,z（a）_.

14.（原創(chuàng)）一個(gè)口袋里裝有大小相同的6個(gè)小球，其中紅色、黃色、

綠色的球各2個(gè)，現(xiàn)從中任意取出3個(gè)小球，其中恰有2個(gè)小球同顏

色的概率是.若取到紅球得1分，取到黃球得2分，取到綠球

得3分，記變量g為取出的三個(gè)小球得分之和，則4的期望為—.

15.（原創(chuàng)）在AABC中，CA=2,CB=6,ZACB=60°.若點(diǎn)。在ZAC8的角平

分線上，滿足租&+〃加,m,〃G/?,且，則充的取值范圍

是.

16.（改編）已知F為拋物線y2=x的焦點(diǎn)，點(diǎn)A,B在該拋物線上且位

于X軸的兩側(cè)，OAOB=2（其中0為坐標(biāo)原點(diǎn)），則△AF0及△BF0

面積之和的最小值是.

22

17.（摘錄）已知雙曲線G：土本=1（〃<0力>0）的左右焦點(diǎn)分別為6,工，

拋物線G：/=2PMp>o）的焦點(diǎn)及雙曲線c,的一個(gè)焦點(diǎn)重合，G與G在第

一象限相交于點(diǎn)P,且閨用=仍用，則雙曲線的離心率為.

三、解答題：本大題共5小題，共74分.解答題應(yīng)寫出必要的文字說(shuō)

明、證明過(guò)程或演算步驟.

18.（原創(chuàng)）（本題滿分14分）

已知函數(shù)/（x）=—sin2x-cos2x-m,

（l）求函數(shù)/（x）的最小正周期及單調(diào)遞增區(qū)間；

（2）若時(shí)，函數(shù)/Q）的最大值為0,求實(shí)數(shù)加的值.

19.（改編）（本小題滿分15分）

在四棱錐P-ABC。中，AD//BC,ZABC=ZAP3=90。，點(diǎn)M是線段A8上

的一點(diǎn)，且PMLCD,AB=BC=2PB=2AD=4BM.

（1）證明：面"8，面45。。；/：\

（2）求直線CM及平面PCD所成角的正弦嬖N一…，，畛

DC

20.（本小題滿分15分）

（摘錄）已矢口函數(shù)/（x）=-；x3+2ox2-3a2x+b,（a,heR）

（1）當(dāng)。=3時(shí)，若/（x）有3個(gè)零點(diǎn)，求b的取值范圍；

（2）對(duì)任意，當(dāng)xe[a+l,a+m]時(shí)恒有-a?r（x）?a,求〃?的最大值，并求

此時(shí)/（x）的最大值。

21.（本小題滿分15分）

（改編）已知橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)為耳（-1,0）,瑪（1,0）,過(guò)鳥垂直于長(zhǎng)軸

的直線交橢圓于P、Q兩點(diǎn)，且|PQ|=3,

（1）求橢圓的方程;

（2）過(guò)名的直線1及橢圓交于不同的兩點(diǎn)M、N,則△耳MN的內(nèi)切圓

的面積是否存在最大值？若存在求出這個(gè)最

大值及此時(shí)的直線方程；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明

理由.

22.（本小題滿分15分）

（原創(chuàng)）已知數(shù)列｛&｝的前n項(xiàng)和為S“，且nwN*.

（1）求證為等比數(shù)列，并求出數(shù)列口｝的通項(xiàng)公式；

（2）設(shè)數(shù)歹1」｛為的前n項(xiàng)和為人是否存在正整數(shù)4,對(duì)任意

孫〃eN*,不等式M"Sn<0恒成立？若存在，求出4的最小值，若不存在，請(qǐng)

說(shuō)明理由

2017年高考模擬試卷數(shù)學(xué)卷參考答案及解題提示

一、選擇題：本大題共10小題，每小題4分，共40分.

1.D【命題意圖】本題考查集合的運(yùn)算，屬于容易題.

2.C【命題意圖】本題考查純虛數(shù)的概念，屬于容易題

3.B【命題立意】本題主要考查三角函數(shù)的周期、誘導(dǎo)公式、奇偶性

問(wèn)題，難度較小。

【解題思路】B.根據(jù)函數(shù)的周期為不可知選項(xiàng)C,D錯(cuò)誤，又因?yàn)檫x項(xiàng)

A中y=sin（2x-］）=cos2x為偶函數(shù)，而選項(xiàng)B中y=cos（2x-］）=-sin2x為奇

函數(shù)，所以選B.

4.B【命題意圖】本題考查空間中直線及平面的位置關(guān)系，屬于容易

題

【解析】試題分析：如圖，取明的中點(diǎn)/，連接延長(zhǎng)ME交AA

于P,延長(zhǎng)ME交CC.于Q,丁上、F分別是姐、g的中點(diǎn)，，P是AA

的中點(diǎn)，。是CG中點(diǎn)，從而可得后是MP中點(diǎn)，尸是MQ中點(diǎn)，所以

EFUPQ,又PQu平面ACGA，EFZ平面ACG4，所以PQ〃平面AC￡4,

選B.

B

考點(diǎn)：線面平行.

命題意圖空間中直線及平面的位置關(guān)系

5.A.【命題意圖】本題考查平面向量的線性運(yùn)算等基礎(chǔ)知識(shí)，意在考

查學(xué)生的學(xué)生運(yùn)算能力，觀察分析，解決問(wèn)題的能力.

【解析】如圖所示，作麗=2所，PE^3PB,PF=4PC,/.PD+PE+PF=Q,

,?P為^DEF重心，??sRPDE=S"EF=S"DF>,,SAPAC=TX~7S"DF=~S"DF'同理，,

24o

?c_1C1.5萬(wàn)1

?*S&PAB;S&PBC:S^PAC=4:2:3,又,|P3|=2|PA|=2,,??OADAP=---2-1-Sin-----=—9

“AB262

S

??S1M3c=td>ABx+3=',故選A.

4o

6.D【命題意圖】函數(shù)奇偶性，不等式恒成立

試題分析：因?yàn)閥=/（x）是定義在R上的奇函數(shù)，所以當(dāng)x=（）時(shí)，小）=0;

22

當(dāng)x>()時(shí)，f(x)=-f(-x)=-[-9x+—+7]=9x+—-7,因此ONa+l且對(duì)一切

—XX

x>()成立所以。<—1且2》x?0——72。+1n-6a-7>?+1=>a<—r即?

7.B【命題意圖】本題考查空間位置關(guān)系的判斷，求兩異面直線所

成的角，屬于中檔題

【解題思路】法一：取妝AC,的中點(diǎn)，分別為O,M,N,則ON,MN所

成的角即為所求的角。當(dāng)該四面體的體積最大時(shí)，即面ABZ)垂直于面

BCDo設(shè)正方形邊長(zhǎng)為2,則=腦V=ON=1,所以直線AB及8所成

的角為6。°。

法二：ABCD^AB(BD-BC)=-^

8.C.【命題立意】本題主要考查兩角和的正切公式以及正弦定理的應(yīng)

用，難度中等。

13

【解題思路】在AA8C中，tan(A+B)=tanA+tanB=即

1-tanAtanB.13

1------X——

45

tanC=-l,所以C=135。，所以c=V17

因?yàn)閠anB>tanA,則角A所對(duì)的邊最小。由可知，由正弦定理，得

V17V17

a=sinA----------X-產(chǎn)V2o

sinC17V2

2

9.A

【解析】令，則有，排除B、Do由對(duì)稱性排除C,從而只有A正確。

一般地，對(duì)屆R,令，則原不等式為|葉依-1|+||〃|.伙-當(dāng)加2,由此易

知原不等式等價(jià)于，對(duì)任意的“￡R成立。由于

5,c,4

-k-3k>—

23

3414

iii+/丁1--^\<k<-,

23

3--kk<l

2

所以min{H-l|+2|左一g|}=!，從而上述不等式等價(jià)于。

“R233

10.A

試題分析：從A開始判斷，(/。/)(?=/(/(初=［八幻'/⑴>°,當(dāng)x>0時(shí)，

f(x),/(x)<0

/(x)=%>0,(/o/)(x)=/(%)=%,當(dāng)x<0時(shí)，/(x)=X2>0,(/o/)(%)=fix)=X2,

當(dāng)x=0時(shí)(fo/)(x)=/2(x)=0=()2,因此對(duì)任意的xeH,有(/。/)(%)=/(X)，A

正確下面的B、C、D不再考慮了，選A.

考點(diǎn)：新定義，分段函數(shù).

二、填空題：本大題7小題，11-14題每題6分，15-17每題4分，共

36分.

11.巫，2吧

2

試題分析：因?yàn)閍3a5=。：=1，%>0,所以&=1，因?yàn)椋?q=3,所以4=2,

因?yàn)?，q>0,所以，所以%=%尸=2、國(guó)”=22之所以答案應(yīng)填：冬

2」

22.

【命題立意】本題考查：1、等比數(shù)列的性質(zhì)；2、等比數(shù)列的通項(xiàng)公

式.基本量運(yùn)算，屬于容易題.

12.5,14+V19.

試題分析:

試題分析：由三視圖可知該幾何體為長(zhǎng)方體截去兩個(gè)三棱錐后剩下的

部分，如圖.根據(jù)三視圖可知，長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高分別為2,1,3,

所以幾何體的體積V=2xlx3-2xlxlxlxlx3=6-l=5,表面積

32

S=2x3x-!-+2x3+2xl+2x3xlxi+J—xV2xix2=14+719.

22V22

【命題意圖】本題考查三視圖及棱柱、棱錐的體積111T

俯視圖

公式.屬于容易題

13.-1；1

【命題意圖】本題考查：線性規(guī)劃的基本問(wèn)題；屬于容易題.

14.6

【命題意圖】本題考查排列組合，期望的運(yùn)算.屬于容易題.

15..

【命題立意】本題考查：1、平面向量的數(shù)量積的應(yīng)用；2、向量的坐

標(biāo)運(yùn)算；

試題分析：如下圖，以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，CB所在直線作x軸建立平面直角

坐標(biāo)系.

則可知3(6,0),A(l,5)，直線C。：，可設(shè)，其中x>0,由OC=mOA+〃O5得,

(一x,一x)=m(\—x,y/3一x)+〃(6—x,一x),

-x=m(l一x)+n(6-x)

所以出廠內(nèi)g，所以.由可得：，即，所以

—x=77/(v3—x)+n(—x)

阿居孚畔,

16.叵

4

【命題立意】本題考查：1、拋物線；2、基本不等式；屬于較難題。

17.【命題立意】本題主要考查學(xué)生拋物線及雙曲線的定義域及性質(zhì)，

需要找出”之間的關(guān)系，難度較大。

【解題思路】設(shè)點(diǎn)P(Xo，x3尸(c,。),過(guò)點(diǎn)P做拋物線G：_/=2pMp>o)準(zhǔn)

線的垂線，垂足為A,連接尸工。根據(jù)雙曲線的定義和恒用=|P4|=2c,

可知|P[=2c-2a。由拋物線的定義可知|尸4=$+。=2<?-2"，則Xo=c-2a。

在RtAF^AP中,

田山之=(2*(2c-2a卜=Sac-4a2,即

y(/=8ac-4a2,由題意可知，所以=2px()=4c(c-2"),所以

8ac-4a2=4c(c-2a),化簡(jiǎn)可得c?-4ac+a?=0,即/-4e=l=0(e>l),解得

e-2+V3

三、解答題：本大題共5小題，共74分.

18.(1)T=1,單調(diào)遞增區(qū)間為，keZ;(2).

【解析】

試題分析：(1)化簡(jiǎn)了⑺，求出了(X)在最小正周期，解不等式，求出函

數(shù)的遞增區(qū)間即可；(2)根據(jù)X的范圍，求出的范圍，得到關(guān)于加的方

程，解出即可.

試題解析

(1)/(x)=—sin2x-cos2x-w=—sin2x-1+C°s2-y-zn=sinf

'，222<6j2

則函數(shù)f(x)的最小正周期

T=兀,...5分

根據(jù)一代+2kjr<2x--<—+2k7r,keZ>得一色+<—+k7r,keZ,

26263

所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，keZ.……7分

(2)因?yàn)?，所以，…?分

則當(dāng)，時(shí)，函數(shù)取得最大值3……11分

即，解得：.……14分

考點(diǎn)：三角函數(shù)中的恒等變換；三角函數(shù)的周期性及其求法；三角函

數(shù)的最值.

19.本題主要考查空間點(diǎn)、線、面位置關(guān)系，線面角等基礎(chǔ)知識(shí).同

時(shí)考查空間想象能力和運(yùn)算求解能力.滿分15分.

【解析】(1)由A8=2依=48"，得

又因?yàn)镻M_LCD,且ABDCD,所以PW面ABC￡),5分

且PMu面PAB.所以，I?PABlffiABCDO.........7分

(2)過(guò)點(diǎn)M作M/7J.CD,連結(jié)HP,

因?yàn)镻MLCD,,

所以CDJ?平面PAM,又由CDu平面PCD,

所以平面PM”_L平面尸CD,平面平面PCD=P”，過(guò)點(diǎn)M作

p

MNLPH,即有MN_L平面PCD,所

以4MCN為直線CM及平面PCD所

成角....10分

在四棱錐P-ABC。中，設(shè)AB=2Z,

則,，，，，

從而sin/MCN="L述，即直線

CM40

CM及平面P8所成角的正弦值為普.……15分

20.f'［x}=-x2+4ax-3a2--------------------------------------------2分

(1)a=3,r(x)=-(x-3X^-9),f(x)極小值=〃3)=-36+。,/⑺極大值

=/(9)=匕

由題意：:.0<b<36------------------------------6分

(2)時(shí)，有2aWa+l<2,由廣(x)圖不，/(尤)在［a+l,a+m］上為減函數(shù)

f'{a+m)<f'(a+\)易知/(a+l)=2a-l<a必成立；8分

只須f\a+m)>-a得

可得-----------------------10分

Xm>1：.\<m<2團(tuán)最大值為212分

此時(shí)xe\a+l,a+2］,有助Wa+l<3aWa+2

/(x)在［a+1,3a］內(nèi)單調(diào)遞增,在［3a,a+2］內(nèi)單調(diào)遞減,

???/(尤),海=/(3。)=匕---------------------------------------15分

21.(1)設(shè)橢圓方程為=1(a>b>0)，由焦點(diǎn)坐標(biāo)可得c=l......1由

PQ|=3,可得也=3,

a

解得a-2,b-V3,故橢圓方程為

=1..............6分

(2)設(shè)M(x,y),N(x2，%)，不妨弘>0，%<。，設(shè)△KMN的內(nèi)切圓的徑妨

貝1「△GMN的周長(zhǎng)=4a=8,(MN+KM+^N)R=4R

因此S心最大，R就最大，

SAMN=；KK(x—y2)=x—>2，..............8分

由題知，直線1的斜率不為零，可設(shè)直線1的方程為x=my+l,

由得(3m2+4)V+6my-9=0,

得，，.............10分

則AB(%_%)=%_必=，令t=J〃，+i,貝11t?l,..............12分

貝1令f(t)=3t+』，當(dāng)t'l時(shí)，f(t)在

3m+43/+14-t