
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文檔簡(jiǎn)介
201——201—學(xué)年—期
八年級(jí)數(shù)學(xué)教學(xué)案
——八年級(jí)數(shù)學(xué)教研組
姓名___________
班級(jí)__________
多邊形的內(nèi)角和
教學(xué)目錄11.3.2
第11章三角形(8)數(shù)學(xué)活動(dòng)
復(fù)習(xí)小結(jié)(1)
第12章全等三角形(11)
11.1與三角形有關(guān)的線段(2)
12.1全等三角形(1)
12.2三角形全等的判定(6)
11.1.1三角形的邊信息技術(shù)應(yīng)用探究三角形全等的條件
11.1.2三角形的高、中線與角平分線
教學(xué)目錄
11.1.3三角形的穩(wěn)定性
12.3角的平分線的性質(zhì)(2)
信息技術(shù)應(yīng)用畫(huà)圖找規(guī)律
數(shù)學(xué)活動(dòng)
11.2與三角形有關(guān)的角(3)
復(fù)習(xí)小結(jié)(2)
11.2.1三角形的內(nèi)角
7.2.2三角形的外角第13章軸對(duì)稱(chēng)(14)
閱讀與思考為什么要證明13.1軸對(duì)稱(chēng)(3)
11.3多邊形及其內(nèi)角和(2)13.1.1軸對(duì)稱(chēng)
13.1.2線段的垂直平分線的性質(zhì)
11.3.1多邊形
13.2畫(huà)軸對(duì)稱(chēng)圖形(2)
14.2.2完全平方公式
信息技術(shù)應(yīng)用用軸對(duì)稱(chēng)進(jìn)行圖案設(shè)計(jì)
閱讀與思考楊輝三角
13.3等腰三角形(5)
14.3因式分解(3)
13.3.1等腰三角形
14.3.1提公因式法
13.3.2等邊三角形
14.3.2公式法
實(shí)驗(yàn)與探究三角形中邊與角之間的不等關(guān)
系閱讀與思考型式子的分解
13.4課題學(xué)習(xí)最短路徑問(wèn)題(2)數(shù)學(xué)活動(dòng)
數(shù)學(xué)活動(dòng)復(fù)習(xí)小結(jié)(2)
復(fù)習(xí)小結(jié)⑵第15章分式(15)
第14章整式的乘法與因式分解(14)15.1分式(4)
14.1整式的乘法(6)15.1.1從分?jǐn)?shù)到分式
15.1.2分式的基本性質(zhì)
14.1.1同底數(shù)僚的乘法
14.1.2嘉的乘方15.2分式的運(yùn)算(6)
14.1.3積的乘方
15.2.1分式的乘除
14.1.4整式的乘法
14.2乘法公式(3)15.2.2分式的加減
15.2.3整數(shù)指數(shù)數(shù)
14.2.1平方差公式
閱讀與思考容器中的水能倒完嗎?
15.3分式方程(3)
數(shù)學(xué)活動(dòng)
復(fù)習(xí)小結(jié)(2)
第一課時(shí)三角形的邊
一、新課導(dǎo)入
1、三角形是我們?cè)缫咽煜さ膱D形,你能列舉出日常生活中有什么物體是三角形嗎?
2、對(duì)于三角形,你了解了哪些方面的知識(shí)?你能畫(huà)一個(gè)三角形嗎?
二、學(xué)習(xí)目標(biāo)
1、三角形的三邊關(guān)系。
2、用三邊關(guān)系判斷三條線段能否組成三角形。
三、研讀課本
認(rèn)真閱讀課本的內(nèi)容,完成以下練習(xí)。
(-)劃出你認(rèn)為重點(diǎn)的語(yǔ)句。
(二)完成下面練習(xí),并體驗(yàn)知識(shí)點(diǎn)的形成過(guò)程。
研讀一、認(rèn)真閱讀課本(P63至P64"探究"前,時(shí)間:5分鐘)
要求:知道三角形的定義;會(huì)用符號(hào)表示三角形,了解按邊角關(guān)系對(duì)三角形進(jìn)行分類(lèi)。一邊閱讀一邊
完成檢測(cè)一。
檢測(cè)練習(xí)一、
1、的圖形叫三角形。
2、如圖線段AB,BC,CA是三角形的,
點(diǎn)A,B,C是三角形的,ZA、NB、ZC是
叫做.,簡(jiǎn)稱(chēng).
3、用符號(hào)語(yǔ)言表示上圖的三角形。
頂點(diǎn)是的三角形,記作.,讀作:
4、按照三個(gè)內(nèi)角的大小,可以將三角形分為
5、三角形按邊可分為
研讀二、認(rèn)真閱讀課本(P64“探究”,時(shí)間:3分鐘)
要求:思考"探究"中的問(wèn)題,理解三角形兩邊的和大于第三邊;
游戲:用棍子擺三角形。
檢測(cè)練習(xí)二、6、在三角形ABC中,
AB+BCACAC+BC____ABAB+ACBC
7、假設(shè)一只小蟲(chóng)從點(diǎn)B出發(fā),沿三角形的邊爬到點(diǎn)C,
有_路線。路線—最近,根據(jù)是:,于是有:
(得出的結(jié)論)o
8、下列下列長(zhǎng)度的三條線段能否構(gòu)成三角形,為什么?
⑴3、4、8(2)5、6、11(3)5、6、10
研讀三、認(rèn)真閱讀課本認(rèn)真看課本(P64例題,時(shí)間:5分鐘)
要求:(1)、注意例題的格式和步驟,思考(2)中為什么要分情況討論。
(2)、對(duì)這例題的解法你還有哪些不理解的?
(3)、一邊閱讀例題一邊完成檢測(cè)練習(xí)三。
檢測(cè)練習(xí)三、
9、一個(gè)等腰三角形的周長(zhǎng)為28cm.①已知腰長(zhǎng)是底邊長(zhǎng)的3倍,求各邊的長(zhǎng);
②已知其中一邊的長(zhǎng)為6cm,求其它兩邊的長(zhǎng).(要有完整的過(guò)程啊!)
解:
(三)在研讀的過(guò)程中,你認(rèn)為有哪些不懂的問(wèn)題?
四、歸納小結(jié)
(-)這節(jié)課我們學(xué)到了什么?(二)你認(rèn)為應(yīng)該注意什么問(wèn)題?
五、強(qiáng)化訓(xùn)練
[A]組
1、下列說(shuō)法正確的是
(1)等邊三角形是等腰三角形
(2)三角形按邊分類(lèi)課分為等腰三角形、等邊三角形、不等邊三角形
(3)三角形的兩邊之差大于第三邊
(4)三角形按角分類(lèi)應(yīng)分銳角三角形、直角三角形、鈍角三角形
其中正確的是()
A、1個(gè)B、2個(gè)C、3個(gè)D、4個(gè)
2、一個(gè)不等邊三角形有兩邊分別是3、5另一邊可能是()
A、1B、2C、3D、4
3、下列長(zhǎng)度的各邊能組成三角形的是()
A、3cm>12cm>8cmB、6cm、8cm、15cm、3cm、5cmD、6.3cm、6.3cm>12cm
[B]組
4、已知等腰三角形的一邊長(zhǎng)等于4,另一邊長(zhǎng)等于9,求這個(gè)三角形的周長(zhǎng)。
5,已知三角形的一邊長(zhǎng)為5cm,另一邊長(zhǎng)為女m.則第三邊的長(zhǎng)取值范圍是多少?
IC]組(共小1-2題)
6、已知三角形的一邊長(zhǎng)為5cm,另一邊長(zhǎng)為3cm.則第三邊的長(zhǎng)取值范圍是。
小方有兩根長(zhǎng)度分別為5cm、8cm的游戲棒,他想再找一根,使這三根游戲棒首尾相連能搭成一個(gè)三
角形.
(1)你能幫小方想出第三根游戲棒的長(zhǎng)度嗎?(長(zhǎng)度為正整數(shù))
(2)想一想:如果已知兩邊,則構(gòu)成三角形的第三邊的條件是什么?
(3)如果第三邊的長(zhǎng)為偶數(shù),那么第三條又有幾種情況?
第二課時(shí)7.1.2三角形的高、中線與角平分線(1)
A
一、新課導(dǎo)入?
a
你還記得“過(guò)直線外一點(diǎn)畫(huà)已知直線的垂線”怎么畫(huà)嗎?
二、學(xué)習(xí)目標(biāo)
1、了解三角形的高的概念;
2、會(huì)用工具準(zhǔn)確畫(huà)出三角形的高。
三、研讀課本
認(rèn)真閱讀課本的內(nèi)容,完成以下練習(xí)。
(-)劃出你認(rèn)為重點(diǎn)的語(yǔ)句。
(二)完成下面練習(xí),并體驗(yàn)知識(shí)點(diǎn)的形成過(guò)程。
1、定義:從三角形的一個(gè)向它的所在的直線作和
.之間的線段,叫做三角形的高。
2、幾何語(yǔ)言(圖1)
?/AD是4ABC的高
;.AD,BC于點(diǎn)D(或N=/=90°)
逆向:
???AD_LBC于點(diǎn)D(或N=/=90°)
AD是4ABC中BC邊上的高
3、請(qǐng)畫(huà)出下列三角形的高
(1)
(三)在研讀的過(guò)程中,你認(rèn)為有哪些不懂的問(wèn)題?
四、歸納小結(jié)
(-)這節(jié)課我們學(xué)到了什么?
(二)你認(rèn)為應(yīng)該注意什么問(wèn)題?
五、強(qiáng)化訓(xùn)練
[A]組
1、三角形的高是()
A.直線B.射線C.線段D.垂線
2、如果一個(gè)三角形的三條高的交點(diǎn)恰好是這個(gè)三角形的一個(gè)頂點(diǎn),那么這個(gè)三角形是
()
A.銳角三角形B.直角三角形C.鈍角三角形D.不能確定
3、對(duì)于任意三角形的高,下列說(shuō)法不正確的是()
A.銳角三角形有三條高B.直角三角形只有一條高
C.任意三角形都有三條高D.鈍角三角形有兩條高在三角形的外部
[B]組
4、如圖1,4ABC中,高CD、BE、AF相交于點(diǎn)O,則ABOC?的三條高分別為線段.
5、如圖2,在AABC中,/ACB=90°,CD是邊AB上的高。與/A相等的角是()
A.ZAB.ZACDC.ZBCDD.ZBDC
,AA,
C
/K
BRAB
D
圖1圖2
[C]組
6、如右圖,在銳角AABC中,CD、BE分別
是AB、AC上的高,?且CD、BE交于一
點(diǎn)P,若/A=50°,則/BPC的度數(shù)是
()
A.150°B.130°C.120°D.100°
7、如圖,在AABC中,AC=6,BC=8,AD^BC于D,AD=5,BE1AC于E,求BE
的長(zhǎng).
第三課時(shí)三角形的高、中線與角平分線(2)
一、新課導(dǎo)入
A,
請(qǐng)畫(huà)出線段AB的中點(diǎn)。八
二、學(xué)習(xí)目標(biāo)
1、了解三角形的中線的概念;
2、會(huì)用工具準(zhǔn)確畫(huà)出三角形的中線。
三、研讀課本
認(rèn)真閱讀課本的內(nèi)容,完成以下練習(xí)。
(-)劃出你認(rèn)為重點(diǎn)的語(yǔ)句。
(二)完成下面練習(xí),并體驗(yàn)知識(shí)點(diǎn)的形成過(guò)程。
(1)定義:連結(jié)三角形一個(gè)_________和它對(duì)邊——的線段,叫做三角形士
(2)幾何語(yǔ)言(右圖)
???AD是AABC的中線^—
B二
逆向:
AD是AABC的中線
(3)畫(huà)出下列三角形的中線
△K
(1)⑵(3)
(三)在研讀的過(guò)程中,你認(rèn)為有哪些不懂的問(wèn)題?
四、歸納小結(jié)
(-)這節(jié)課我們學(xué)到了什么?
(二)你認(rèn)為應(yīng)該注意什么問(wèn)題?
五、強(qiáng)化訓(xùn)練
[A]組
1、三角形的三條三條中線交于________0
2、三角形的中線是()
A.直線B.射線C.線段D.=歪線
A
3、如右圖,AE是AABC的中線,已知EC=6,OE=2,
BDEC
則BD的長(zhǎng)為()
A.2B.3C.4D.6
[B]組
4、如右圖,D、E是AC的三等分點(diǎn),BD是
△中的邊上的中線,BE是
△中的邊上的中線
5、如右圖,BD=1BC,則BC邊上的中線為
△的面積=4_____的面積
[C]組
第四課時(shí)三角形的高、中線與角平分線(3)
一、新課導(dǎo)入
請(qǐng)畫(huà)出/AOB的角平分線。
B
0
二、學(xué)習(xí)目標(biāo)
1、了解三角形的角平分線的概念;
2、會(huì)用工具準(zhǔn)確畫(huà)出三角形的角平分線。
三、研讀課本
認(rèn)真閱讀課本的內(nèi)容,完成以下練習(xí)。
(-)劃出你認(rèn)為重點(diǎn)的語(yǔ)句。
(-)完成下面練習(xí),并體驗(yàn)知識(shí)點(diǎn)的形成過(guò)程。
(1)定義:三角形一個(gè)內(nèi)角的與它的相交,這個(gè)角與
之間的線段,叫做三角形的角平分線。
(2)幾何語(yǔ)言(右圖):
???AD是AABC的角平分線
Z=Z
逆向:
?/Z=z
AD是4ABC的角平分線
(3)畫(huà)出下列三角形的角平分線
思考:三角形的角平分線與一個(gè)角的角平分線有何異同?
(三)在研讀的過(guò)程中,你認(rèn)為有哪些不懂的問(wèn)題?
四、歸納小結(jié)
(一)這節(jié)課我們學(xué)到了什么?
(二)你認(rèn)為應(yīng)該注意什么問(wèn)題?
五、強(qiáng)化訓(xùn)練
[A]組
1、三角形的角平分線是()
A.直線B.射線C.線段D.垂線
2、如圖。在Z\ABC中,AD是角平分線,AE是中線,AF是高,則
(1)BE==-.
------------2------------
(2)ZBAD==-
------------2--------------
(3)ZAFB==90°
(4)△ABC的面積=.
3、如右圖,在AABC中,AD平分/BAC且與BC
相交于點(diǎn)D,ZB=40°,/BAD=30°,則NC的
度數(shù)是_____________
[B]組
4.以下說(shuō)法錯(cuò)誤的是()
A.三角形的三條高一定在三角形內(nèi)部交于一點(diǎn)
B.三角形的三條中線一定在三角形內(nèi)部交于一點(diǎn)
C.三角形的三條角平分線一定在三角形內(nèi)部交于一點(diǎn)
D.三角形的三條高可能相交于外部一點(diǎn)
5.如圖,在AABC中,AE是角平分線,且/B=52°,
BE
[C]組
6.直角三角形兩銳角的平分線所夾的鈍角為度.
7、如圖,在AABC中,AD是AABC的高,AE是4ABC的角
平分線,已知NBAC=82°,ZC=40°,求/DAE的大小。
分析:你能先求出/AED的度數(shù)嗎?
第五課時(shí)7.1.3三角形的穩(wěn)定性
一、新課導(dǎo)入
蓋房子時(shí),在窗框未安裝好之前,木工師傅
常常先在窗框上斜釘一根木條(如右圖),為什么□
這樣做呢?
二、學(xué)習(xí)目標(biāo)
1、了解三角形的穩(wěn)定性,四邊形沒(méi)有穩(wěn)定性,
2、理解穩(wěn)定性與沒(méi)有穩(wěn)定性在生產(chǎn)、生活中廣泛應(yīng)用。
三、研讀課本
認(rèn)真閱讀課本的內(nèi)容,完成以下練習(xí)。
(-)劃出你認(rèn)為重點(diǎn)的語(yǔ)句。
(-)完成下面練習(xí),并體驗(yàn)知識(shí)點(diǎn)的形成過(guò)程。
活動(dòng)1、自主探究
1、如圖(1),用三根木條用釘子釘成一個(gè)三角形木架,然后扭動(dòng)它,它的形狀會(huì)改變嗎?
2、如圖(2),用四根木條用釘子釘成一個(gè)四邊形木架,然后扭動(dòng)它,它的形狀會(huì)改變嗎?
3、如圖(3),在四邊形的木架上再釘一根木條,將它的一對(duì)頂點(diǎn)連接起來(lái),然
后扭動(dòng)它,它的形狀會(huì)改變嗎?
(3)
活動(dòng)2、議一議
從上面實(shí)驗(yàn)過(guò)程你能得出什么結(jié)論?與同伴交流。
三角形木架形狀改變,四邊形木架形狀改變,這就是說(shuō),三角形具有
性,四邊形不具有性。
斜釘一根木條的四邊形木架的形狀改變,原因是四邊形變成了兩個(gè)三角形,這
樣就利用了三角形的
活動(dòng)3、看一看,想一想
三角形的穩(wěn)定性和四角形的不穩(wěn)定性在生活中都有廣泛應(yīng)用。
你知道課本圖7.1-8和圖7.1-9中的例子哪些是利用三角形的穩(wěn)定性?哪些是利用四角
形的不穩(wěn)定性?你能再舉一些例子嗎?
(三)在研讀的過(guò)程中,你認(rèn)為有哪些不懂的問(wèn)題?
四、歸納小結(jié)
(-)這節(jié)課我們學(xué)到了什么?
(-)你認(rèn)為應(yīng)該注意什么問(wèn)題?活動(dòng)掛果
五、強(qiáng)化訓(xùn)練
(1)(2)
⑷⑸(6)
2、在建筑工地我們常可看見(jiàn)如右圖所示,用木條EF
固定矩形門(mén)框ABCD的情形.這種做法根據(jù)()
A.兩點(diǎn)之間線段最短B.兩點(diǎn)確定一條直線
C.三角形的穩(wěn)定性D.垂線段最短
3、下列圖形具有穩(wěn)定性的有()
A.梯形B.長(zhǎng)方形C.直角三角形D.正方形
IB]組
4、如右圖,一扇窗戶打開(kāi)后,用窗鉤BC可將其固定,
一里所運(yùn)用的幾何原理士—0
5、我們學(xué)校的大門(mén)是電動(dòng)推拉門(mén),這種門(mén)工作的原理
是根據(jù)四邊形的_______________________
[C]組
6、(開(kāi)放題)三角形具有穩(wěn)定性,而其它多邊形不具有穩(wěn)定性,要使多邊形也具有穩(wěn)定性
必須額外加一些線段,將其轉(zhuǎn)化為幾個(gè)三角形。試探究要使四邊形不變形,至少需要加一
條線段,五邊形至少需要加條線段,六邊形至少需要加條線段,n邊形
(n>3)最少需要條線段才具有穩(wěn)定性。
第六課時(shí)7.2.1三角形的內(nèi)角
一、新課導(dǎo)入
1、平行線有哪些性質(zhì)?2、1平角=:;3、三角形的內(nèi)角和等于°
二、學(xué)習(xí)目標(biāo)
1、了解三角形的穩(wěn)定性,四邊形沒(méi)有穩(wěn)定性,2、理解穩(wěn)定性與沒(méi)有穩(wěn)定性在生產(chǎn)、生活中廣泛應(yīng)用。
三、研讀課本
認(rèn)真閱讀課本的內(nèi)容,完成以下練習(xí)。
(-)劃出你認(rèn)為重點(diǎn)的語(yǔ)句。
(-)完成下面練習(xí),并體驗(yàn)知識(shí)點(diǎn)的形成過(guò)程。
活動(dòng)1、自主探究
在事先準(zhǔn)備的三角形硬紙片上標(biāo)出三個(gè)內(nèi)角的編碼(如圖1),并將它的內(nèi)角剪下拼合在一起,看
看得到什么結(jié)果。
活動(dòng)2,議一議
從上面的操作過(guò)程你能得出什么結(jié)論?與同伴交流。
把一個(gè)三角形其中的兩個(gè)角剪下拼在第三個(gè)角的頂點(diǎn)處(如圖2、圖3),形成了一個(gè)角。說(shuō)
明在中,。從中得出:
三角形內(nèi)角和定理o
活動(dòng)3、想一想
1、如果我們不用剪、拼辦法,可不可以用推理論證的方法來(lái)說(shuō)明三角形內(nèi)角和定理的正確性呢?
2、已知:.求證:.
證明:如右圖,過(guò)點(diǎn)A作直線DE,
使DE//BC
因?yàn)镈E〃BC,
所以NB=/()
同理/C=N
因?yàn)镹BAC、/DAB、NEAC組成角,
所以NBAC+/DAB+/EAC=()
所以NBAC+ZB+ZC=()
說(shuō)明:為了證明的需要,在原來(lái)圖形上添畫(huà)的線叫做輔助線,在平面幾何里,藉敬線通常甩虛線
夕'o
3、思考:在圖2中,CM與AA8C的邊AB有什么關(guān)系?你能從中想出其他證明三角形內(nèi)角和定
理的方法嗎?
活動(dòng)4、例題
如右下圖,C島在A島的北偏東50°方向,B島在A島的北偏東80°方向,C島在B島的北偏西
40°方向,從C島看A、B兩島的視角NACB是多少度?
(先獨(dú)立解決,再小組合作,教師點(diǎn)評(píng))
北
北
B
解:zCBA=-=80°-50°=30°
由AD//BE,可得:+=180’
所以NABE=180°-=180°-80°=100°
ZABC=-=100°-40°=60°
在/ABC中,ZABC=180°-_-=180"-60°-30°=90°
答:O
想一想:你還有其他解法嗎?
(三)在研讀的過(guò)程中,你認(rèn)為有哪些不懂的問(wèn)題?
四、歸納小結(jié)
(-)這節(jié)課我們學(xué)到了什么?(二)你認(rèn)為應(yīng)該注意什么問(wèn)題?
五、強(qiáng)化訓(xùn)練
[A]組
1、在AABC中,若/A=80°,/C=20°,則NB=___;
2、在AABC中,若NA=80°,則NB+/C=_
3、在aABC中,若NA=40°,ZA=2ZB,則NC=。
[B]組
4、判斷對(duì)錯(cuò):
(1)三角形中最大的角是70°,那么這個(gè)三角形是銳角三角形()
(2)一個(gè)等腰三角形一定是銳角三角形()
(3)一個(gè)三角形最少有一個(gè)角不大于60。()A
5、如右圖,在AABC中/C=60",ZB=50°,/\AA
AD是NBAC的平分線,則NBAD=________,//\
ZDAC=_,ZADB=__o乙---1---/\D
BDC
6、如圖,在4ABC中,NABC=70°,NC=65°,BDJ_AC于D,
求NABD,NCBD的度數(shù)
[C]組
7、如圖:在AABC中,ZABC,ZACB的平分線交于點(diǎn)O,若/BOC=132°,
則/A等于多少度?若NBOC=a°時(shí),NA又等于多少度呢?
第七課時(shí)7.2.2三角形的外角
一、新課導(dǎo)入
1、三角形的內(nèi)角和定理:____________________________________________________
2、填空:
⑴在AABC中,ZA=30°,ZB=50°,則NC=。
(2)在直角AABC中,其中一個(gè)銳角是50。,則另一個(gè)銳角等于
二、學(xué)習(xí)目標(biāo)
1、探索并了解三角形的外角的兩條性質(zhì)
2、利用學(xué)過(guò)的定理論證這些性質(zhì)
3、能利用三角形的外角性質(zhì)解決實(shí)際問(wèn)題
三、研讀課本
認(rèn)真閱讀課本的內(nèi)容,完成以下練習(xí)。
(-)劃出你認(rèn)為重點(diǎn)的語(yǔ)句。
(二)完成下面練習(xí),并體驗(yàn)知識(shí)點(diǎn)的形成過(guò)程。
活動(dòng)1、做一做,把AA8C的一邊AB延長(zhǎng)到D,得N4CD,
它不是三角形的內(nèi)角,那它是三角形的什么角?。
定義:三角形的一邊與組成的角,叫做三
角形的外角。
想一想:三角形的外角有幾個(gè)?.每個(gè)頂點(diǎn)處有一個(gè)外角,但它們是
活動(dòng)2、議一議
在圖1中,NACD與A48C的內(nèi)角有什么關(guān)系?
(1)ZACD=+;
(2)ZACDZA,ZACDZB(填
再畫(huà)AABC的其他的外角試一試,還會(huì)得到這些結(jié)論嗎?
同學(xué)用幾何語(yǔ)言敘述這個(gè)結(jié)論:
三角形的一個(gè)外角等于兩個(gè)內(nèi)角的;
三角形的一個(gè)外角大于任何一個(gè)內(nèi)角O
你能用學(xué)過(guò)的定理說(shuō)明這些定理的成立嗎?
已知:NACO是AABC的外角
求證:(1)ZACO=ZA+NB(2)ZACD>ZA,ZACD>AB
證明:(1)因?yàn)镹A+/B+/ACB=180°().
所以/A+/B=.
又因?yàn)镹ACB+/ACD=180°,所以NACD=.
所以NACD=N().
(2)由(1)的證明結(jié)果可以得出:
ZACD>ZA,ZACD>ZB
想一想:你還可以結(jié)合右圖形給予說(shuō)明嗎?
活動(dòng)3、例題
如右圖,Nl、N2、N3是三角形ABC的不同三個(gè)外角,則它們的和是多少?
解:因?yàn)镹1=NABC+/ACB,
Z2=,Z3=()
所以Z1+Z2+Z3
=2(++)
因?yàn)?+=180°,
B
所以Zl+Z2+/3=2x180°=360°
(三)在研讀的過(guò)程中,你認(rèn)為有哪些不懂的問(wèn)題?
四、歸納小結(jié)
(-)這節(jié)課我們學(xué)到了什么?(二)你認(rèn)為應(yīng)該注意什么問(wèn)題?
五、強(qiáng)化訓(xùn)練
[A]組
1、若一個(gè)三角形的一個(gè)外角小于與它相鄰的內(nèi)角,則這個(gè)三角形是()
A.直角三角形B.銳角三角形C.鈍角三角形D.無(wú)法確定
2、AABC中,若NC-NB=/A,則4ABC的外角中最小的角是(填"銳角"、"直角"或"鈍
角)
3、如圖2,AABC中,點(diǎn)D在BC的延長(zhǎng)線
上,點(diǎn)F是AB邊上一點(diǎn),延長(zhǎng)CA到E,
連EF,則Nl,Z2,/3的大小關(guān)系是
[B]組
4、三角形的三個(gè)外角中最多有銳角,最多有個(gè)鈍角,最多有個(gè)直角。
5、如圖所示,則a=.
6、如圖,NA=55°,/B=30°,/C=35°,求/D的度數(shù).
(第2題)
[C]組
7、(1)如圖(1),求出/A+/B+NC+ND+/E+/F的度數(shù);
(2)如圖(2),求出/A+/B+/C+/D+/E+/F的度數(shù).
多邊形及其內(nèi)角和
第一課時(shí)
(-)引入
你能從圖7.3—1中找出幾個(gè)由一些線段圍成的圖形嗎?
(二)知識(shí)點(diǎn)
我們學(xué)過(guò)三角形。類(lèi)似地,在平面內(nèi),由一些線段首尾版次相接組成的圖形叫做多邊形(polygpn)。
多邊形按組成它的線段的條數(shù)分成三角形、四邊形、五邊形……三角形是最簡(jiǎn)單的多邊形。如果
一個(gè)多邊形由n條線段組成,那么這個(gè)多邊形就叫做n邊形。如圖7.3—2,螺母底面的邊緣可以設(shè)計(jì)
為六邊形,也可以設(shè)計(jì)為八邊形。
多邊形相鄰兩邊組成的角叫做它的內(nèi)角。圖7.3—3中的NA、/B、NC、ND、/E是五邊形ABCDE
的5個(gè)內(nèi)角。多邊形的邊與它的鄰邊的延長(zhǎng)線組成的角叫做多邊形的外角。圖7.3—4中的/I是五邊
形ABCDE的一個(gè)外角。
連接多邊形不相鄰的兩個(gè)頂點(diǎn)的線段,叫做多邊形的對(duì)角線(diagonal)。圖7.3—5中,AC、AD
是五邊形ABCDE的兩條對(duì)角線。
特別提醒:n邊形(n>3)從一個(gè)頂點(diǎn)可引出(n-3)條對(duì)角線,把n邊形分割成(n-2)個(gè)三
角形,共有對(duì)角線"⑺二"條。
2
例如:十邊形有條對(duì)角線。在這里n=10,就可套用對(duì)角線條數(shù)公式
n(n-3)_10x(10_3)___...
——33(條)?
22
圖7.3-5圖7.3-6
如圖7.3—6(1),畫(huà)出四邊形ABCD的任何一條邊(例如CD)所在直線,整個(gè)四邊形都在這條
直線的同一側(cè),這樣的四邊形叫做凸四邊形。而圖7.3—6(2)中的四邊形ABCD就不是凸四邊形,
因?yàn)楫?huà)出邊CD(或BC)所在直線,整個(gè)四邊形不都在這條直線的同一側(cè)。類(lèi)似地,畫(huà)出多邊形的任
何一條邊所在直線,如果整個(gè)多邊形都在這條直線的同一側(cè),那么這個(gè)多邊形就是凸多邊形。本節(jié)只
討論凸多邊形。
我們知道,正方形的各個(gè)角都相等,各條邊都相等。像正方形那樣,各個(gè)角都相等,各條邊都相
等的多邊形叫做正多邊形。圖7.3—7是正多邊形的一些例子。
正六邊形
圖7.3-7
特別提醒:(1)正多邊形必須兩個(gè)條件同時(shí)具備,①各內(nèi)角都相等;②各邊都相等。例如:矩形
各個(gè)內(nèi)角都相等,它就不是正四邊形。再如:菱形各邊都相等,它卻不是正四邊形。
(三)練習(xí)
一起學(xué)習(xí)課本86頁(yè)的練習(xí)
(四)小結(jié)
引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)本節(jié)的知識(shí)點(diǎn)。
第二課時(shí)
(-)思考
三角形的內(nèi)角和等于180"。正方形、長(zhǎng)方形的內(nèi)角和都等于360°,其他四邊形的內(nèi)角和等于多
少?
(二)探究
任意畫(huà)一個(gè)四邊形,量出它的4個(gè)內(nèi)角,計(jì)算它們的和。再畫(huà)幾個(gè)四邊形,量一量,算一算。
你能得出什么結(jié)論?能否利用三角形內(nèi)角和等于1800得出這個(gè)結(jié)論?
如圖7.3—8,畫(huà)出任意一個(gè)四邊形的一條對(duì)角線,都能將這個(gè)四邊形分為兩個(gè)三角形。這樣,任
意一個(gè)四邊形的內(nèi)角和,都等于兩個(gè)三角形的內(nèi)角和,即360°。
從上面的問(wèn)題,你能想出五邊形和六邊形的內(nèi)角和各是多少嗎?觀察圖7.3—9,請(qǐng)?zhí)羁?
從五邊形的一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā),可以引條對(duì)角線,它們將五邊形分為個(gè)三角形,五邊
形的內(nèi)角和等于180°X。
從六邊形的一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā),可以引條對(duì)角線,它們將六邊形分為個(gè)三角形,六邊
形的內(nèi)角和等于180°Xo
通過(guò)以上問(wèn)題,你能發(fā)現(xiàn)多邊形的內(nèi)角和與邊數(shù)的關(guān)系嗎?
一般地,怎樣求n邊形的內(nèi)角和呢?請(qǐng)?zhí)羁眨?/p>
從n邊形的一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā),可以引條對(duì)角線,它們將n邊形分為個(gè)三角形,n邊
形的內(nèi)角和等于180°Xo
總結(jié):過(guò)n邊形的一個(gè)頂點(diǎn)可以做(n—3)條對(duì)角線,將多邊形分成(n—2)個(gè)三角形,每個(gè)三
角形內(nèi)角和180°。
所以n邊形內(nèi)角和(n-2)X18000
把一個(gè)多邊形分成幾個(gè)三角形,還有其他分法嗎?由新的分法,能得出多邊形內(nèi)角和公式嗎?
方法2:如圖:7—3—3過(guò)n邊形內(nèi)任意一點(diǎn)與n邊形各頂點(diǎn)連接,可得n個(gè)三角形,其內(nèi)角和n
X180°。再減去以。為頂點(diǎn)的周角。
即得n邊形內(nèi)角和n?180°-360°。
得出了多邊形內(nèi)角和公式:n邊形內(nèi)角和等于(n-2),180°。
(三)例題
例1如果一個(gè)四邊形的一組對(duì)角互補(bǔ),那么另一組對(duì)角有什么關(guān)系?
C
解:如圖7.3—10,四邊形ABCD中,
ZA+ZC=180°。
因?yàn)镹A+/B+/C+/D=(4—2)X180°=360°,
所以NB+/D=360°-(ZA+ZC)
=360°-180°=180°o
這就是說(shuō),如果四邊形的一組對(duì)角互補(bǔ),那么另一組對(duì)角也互補(bǔ)。
例2如圖7.3—11,在六邊形的每個(gè)頂點(diǎn)處各取一個(gè)外角,這些外角的和叫做六邊形的外角和。六
邊形的外角和等于多少?
(1)任何一個(gè)外角同與它相鄰的內(nèi)角有什么關(guān)系?
(2)六邊形的6個(gè)外角加上與它們相鄰的內(nèi)角,所得總和是多少?
(3)上述總和與六邊形的內(nèi)角和、外角和有什么關(guān)系?
聯(lián)系這些問(wèn)題,考慮外角和的求法。
解:六邊形的任何一個(gè)外角加上與它相鄰的內(nèi)角,都等于180°。6個(gè)外角連同它們各自相鄰的內(nèi)
角,共有12個(gè)角。這些角的總和等于6X180°o
這個(gè)總和就是六邊形的外角和加上內(nèi)角和。所以外角和等于總和減去內(nèi)角和,即外角和等于6X
180°-(6-2)X180°=2X180"=360"。
(四)探究
如果將例2中六邊形換為n邊形(n的值是不小于3的任意整數(shù)),可以得到同樣結(jié)果嗎?
思路:(用計(jì)算的方法)
設(shè)n邊形的每一個(gè)內(nèi)角為Nl,Z2,Z3,……,Zn,其相鄰的外角分別為180°-/I,180°
/2,180一Z3,-,?180-Zno外角和為(180,—Z1)+(180°—Z2)H----F(180—Nn)
=nX180°-(Z1+Z2+Z3+……+Zn)=nX1800-(n-2)XI80°=360°
注意:以上各推導(dǎo)方法體現(xiàn)將多邊形問(wèn)題轉(zhuǎn)化為三角形問(wèn)題來(lái)解決的基本思想。
由上面的探究可以得到:
多邊形的外角和等于360°o
你也可以像以下這樣理解為什么多邊形的外角和等于360°。
如圖7.3—12,從多邊形的一個(gè)頂點(diǎn)A出發(fā),沿多邊形的各邊走過(guò)各頂點(diǎn),再回到點(diǎn)A,然后轉(zhuǎn)向
出發(fā)時(shí)的方向。在行程中所轉(zhuǎn)的各個(gè)角的和,就是多邊形的外角和。由于走了一周,所轉(zhuǎn)的各個(gè)角的
和等于一個(gè)周角,所以多邊形的外角和等于360°。
一起學(xué)習(xí)課本89頁(yè)的練習(xí)
(六)小結(jié)
引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)本節(jié)所學(xué)的知識(shí)點(diǎn)
《三角形》復(fù)習(xí)小結(jié)
[-]認(rèn)識(shí)三角形
1.三角形有關(guān)定義:在圖9.1.3(1)中畫(huà)著一個(gè)三角形4BC三角形的頂點(diǎn)采用大寫(xiě)字母/、B、
C或K、LM等表示,整個(gè)三角形表示為△ABC或△紅M"(參照頂點(diǎn)的字母).
如圖9.1.3(2)所示,在三角形中,每?jī)蓷l邊所組成的角叫做三角形的內(nèi)角,如N4。;三角形
中內(nèi)角的一邊與另一邊的反向延長(zhǎng)線所組成的角叫做三角形的外角,如乙ACD是與△4BC的內(nèi)角/
4四相鄰的外角.圖9.1.3(2)指明了△4BC的主要成分.
(1)(2)
圖9.1.3
2.三角形可以按角來(lái)分類(lèi):
所有內(nèi)角都是銳角一一銳角三角形;有一個(gè)內(nèi)角是直角一一直角三角形;
有一個(gè)內(nèi)角是鈍角---鈍角三角形;
圖9.1.4
3三角形可以按角邊分類(lèi):.把三條邊都相等的三角形稱(chēng)為等邊三角形(或正三角形);兩條邊相等的A
三角形稱(chēng)為等腰三角形,相等的兩邊叫做等腰三角形的腰;.
練習(xí)A:
1、圖中共有(
A:5
2、如圖,AE1BC,
高是()
A:AEB:CDC:BFD:AF
3、三角形一邊上的高()。第1題圖第2
題圖
A:必在三角形內(nèi)部B:必在三角形的邊上C:必在三角形外部D:以上三種情況都有可能
4、能將三角形的面積分成相等的兩部分的是()0
A:三角形的角平分線B:三角形的中線C:三角形的高線D:以上都不對(duì)
6、具備下列條件的三角形中,不是直角三角形的是()o
1
A:ZA+ZB=ZCB:ZA=ZB=-ZCC:ZA=90°-ZBD:ZA-ZB=90
-2
7、一個(gè)三角形最多有個(gè)直角,有個(gè)鈍角,有個(gè)銳角。
8、4ABC的周長(zhǎng)是12cm,邊長(zhǎng)分別為a,b,c,且a=b+l,b=c+l,則a=
9、如圖,AB〃CD,/ABD、NBDC的平分線交于E,試判斷ABED的形狀?
10、如圖,在4X4的方格中,以AB為一邊,以小正方形的頂點(diǎn)為頂點(diǎn),畫(huà)出符
合下列條件的三角形,并把相應(yīng)的三角形用字母表示出來(lái)。
(1)鈍角三角形是o
(2)等腰直角三角形是。
(3)等腰銳角三角形是o
[-]三角形的內(nèi)、外角和定理及其推論的應(yīng)用
1.三角形的一個(gè)外角等于兩個(gè)內(nèi)角的和;
2.三角形三角形的一個(gè)外角任何一個(gè)與它不相鄰的內(nèi)角
3.三角形的內(nèi)角和三角形的外角和等于
練習(xí)B:
1、三角形的三個(gè)外角中,鈍角最多有()o
A:1個(gè)B:2個(gè)C:3個(gè)D:4個(gè)
2、下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是()。
A:一個(gè)三角形中至少有兩個(gè)銳角B:一個(gè)三角形中,一定有一個(gè)外角大于其中的一個(gè)內(nèi)
角
C:在一個(gè)三角形中至少有一個(gè)角大于60°D:銳角三角形,任何兩個(gè)內(nèi)角的和均大于90°
3、一個(gè)三角形的外角恰好等于和它相鄰的內(nèi)角,則這個(gè)三角形是()o
A:銳角三角形B:直角三角形C:鈍角三角形D:不能確定
4、直角三角形兩銳角的平分線相交所成的鈍角是()o
A:120°B:135°C:150°D:165°
5,△ABC中,NA=100°,NC=3/8,則N3=.
6、在中,ZA=100°,ZB-ZC=40°,則NB=,ZC=。
7、如圖1,NB=50°,NC=60°,AD為△ABC的角平分線,求NADB的度數(shù)。
圖1
8、已知:如圖2,AE〃BD,ZB=28°,ZA=95°,求NC的度數(shù)。
圖2
[三]三角形三邊關(guān)系的應(yīng)用
三角形的任何兩邊的和第三邊.三角形的任何兩邊的差第三邊.
練習(xí)C:
1、以下列線段為邊不能組成等腰三角形的是()?
A:2、2、4B:6、3、6C:4、4、5D:1、1、1
2、現(xiàn)有兩根木棒,它們的長(zhǎng)度分別為40cm和50cm,若要釘成一個(gè)三角架,則在下列四根棒中應(yīng)選
?。ǎ?
A:10cm的木棒B:40cm的木棒C:90cm的木棒D:100cm的木棒
3、三條線段a=5,b=3,c為整數(shù),從a、b、c為邊組成的三角形共有().
A:3個(gè)B:5個(gè)C:無(wú)數(shù)多個(gè)D:無(wú)法確定
4、在△河?中,a=3x,b=4x,c=14,則x的取值范圍是()。
A:2<x<14B:x>2C:x<14D:7<x<14
5、如果三角形的三邊長(zhǎng)分別為m-l,m,m+l(m為正數(shù)),則m的取值范圍是()。
A:m>0B:m>-2C:m>2D:m<2
6、等腰三角形的兩邊長(zhǎng)為25cm和12cm,那么它的第三邊長(zhǎng)為cm。
7、工人師傅在做完門(mén)框后.為防變形常常像圖4中所示的那樣上兩條斜拉的木條C
這樣做根據(jù)的數(shù)學(xué)道理是o
8、已知一個(gè)三角形的周長(zhǎng)為15cm,且其中的兩邊都等于第三邊的2倍,求這個(gè)三角形的最短邊。
9、如果a,b,c為三角形的三邊,且(a-Z?)2+(a-c)2+|Z?—d=0,試判斷這個(gè)三角形的形狀。
10、如右圖,△ABC的周長(zhǎng)為24,BC=10,AD是AABC的中線,且被分得的兩個(gè)三角形的周長(zhǎng)差為
2,求AB和AC的長(zhǎng)。A
B
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