2024新高考數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)梳理與課本題目鞏固-模塊16-計(jì)數(shù)原理

模塊十六：計(jì)數(shù)原理1、分類計(jì)數(shù)原理(加法原理)完成一件事,有n類辦法,在第1類辦法中有m1m2種不同的方法?,在第n類辦法中有mn種不同的方法,那么完成這件事共有:N注:(1)分類加法計(jì)數(shù)原理的特點(diǎn):分類加法計(jì)數(shù)原理又稱為分類計(jì)數(shù)原理或加法原理,其特點(diǎn)是各類中的每一種方法都可以完成要做的事情,強(qiáng)調(diào)每一類中的任何一種方法都可以完成要做的事,因此共有m1+(2)分類的原則:分類計(jì)數(shù)時(shí),首先要根據(jù)問題的特點(diǎn),確定一個(gè)合適的分類標(biāo)準(zhǔn),然后利用這個(gè)分類標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行分類,分類時(shí)要注意兩個(gè)基本原則:一是完成這件事的任何一種方法必須屬于相應(yīng)的類;二是不同類的任意兩種方法必須是不同的方法,只要滿足這兩個(gè)基本原則,就可以確保計(jì)數(shù)時(shí)不重不漏.2、分步計(jì)數(shù)原理(乘法原理)完成一件事,需要n個(gè)步驟,在第1個(gè)步驟中有m1m2種不同的方法?,在第n個(gè)步驟中有mnN=_注:(1)分布乘法計(jì)數(shù)原理的特點(diǎn)是在所有的各步之中,每一步都要使用一種方法才能完成要做的事情,強(qiáng)調(diào)依次完成各個(gè)步驟才能完成要做的事情,因此共有m1×(2)分類的原則:(i)明確題目中所指的“完成一件事”是指什么事。怎樣才能完成這件事,弄清要經(jīng)過哪幾步才能完成這件事;(ii)完成這件事需要分成n個(gè)步驟,只有每個(gè)步驟完成了,才算完成這件事,缺少任何一步,這件事就不可能完成;(iii)根據(jù)題意正確分步,要求各步驟之間必須連續(xù)(不能缺少步驟),只有按照這n個(gè)步驟逐步去做,才能完成這件事,各個(gè)步驟既能不重復(fù)也不能遺漏.3、分類加法計(jì)數(shù)原理與分步乘法計(jì)數(shù)原理的辨析(1)區(qū)別與聯(lián)系區(qū)別分類加法計(jì)數(shù)原理分步加法計(jì)數(shù)原理(1)針對(duì)的是“分類問題”;針對(duì)的是“分步問題”;(2)各種方法相互獨(dú)立;(2)各種步驟之間的方法相互依存;(3)用其中一種方法都可以完成這件事(3)只有各個(gè)步驟都完成才算完成這件事聯(lián)系解決的都是有關(guān)完成一件事的不同方法的種數(shù)問題(2)分類加法計(jì)算原理與分步乘法計(jì)數(shù)原理的合理選擇在解決有關(guān)計(jì)數(shù)問題時(shí),應(yīng)注意合理分類,準(zhǔn)確分步,同時(shí)還要注意列舉法、模型法、間接法和轉(zhuǎn)換法的應(yīng)用.4、排列(1)排列的定義:一般地,從n個(gè)不同元素中取出mm≤n,n,m∈N′個(gè)元素,并按照一定的順序排成一列,叫做從n(2)排列概念的理解:1)排列的定義中包含兩個(gè)基本內(nèi)容,一是取出元素;二是按照一定的順序排列.2)兩個(gè)排列相同的條件(1)元素完全相同;(2)元素的排列順序也相同.3)定義中“一定的順序”就是說排列與位置有關(guān).(3)排列的判斷判斷一個(gè)問題是不是排列問題的關(guān)鍵:判斷是否與順序有關(guān),與順序有關(guān)且是從n個(gè)不同元素中取出mm≤n5、排列數(shù)一般地,從n個(gè)不同元素中取出mm≤n,n,m∈N*個(gè)元素的所有不同排列的個(gè)數(shù),叫從n注:(1)排列數(shù)公式的特征:第一個(gè)因數(shù)是n,后面每一個(gè)因數(shù)比它前面一個(gè)因數(shù)少1,最后一個(gè)因數(shù)是n?m+1,共有(2)全排列與階乘:A(3)Ann(1)組合的定義一般地,從n個(gè)不同元素中取出mm≤n,n,m∈N*(2)對(duì)組合概念的理解1)組合的概念中有兩個(gè)要點(diǎn):(1)要求n個(gè)元素是不同的;(2)“只取不排”,即取出的m個(gè)元素與順序無關(guān),無序性是組合的特征性質(zhì).2)兩個(gè)組合相同:只要兩個(gè)組合中的元素完全相同,無論元素的順序如何,都是相同的組合.(3)排列與組合的區(qū)別與聯(lián)系聯(lián)系:都是從n個(gè)不同元素中取出m?m區(qū)別:排列是把取出的元素按順序排成一列,它與元素的順序有關(guān),而組合只要把元素取出來就可以,取出的元素與順序無關(guān),可以總結(jié)為:有序排列,無序組合.7、組合與組合數(shù)一般地,從n個(gè)不同的元素中,任取m1≤m≤n個(gè)元素為一組,叫作從nC8、組合數(shù)的性質(zhì)（能解釋其中原理）(1)Cnm(2)Cn0+Cn1(3)mCnm=9、二項(xiàng)式定理一般地,對(duì)于任意正整數(shù)n,都有aC(*)公式*叫做二項(xiàng)式定理,等號(hào)右邊的多項(xiàng)式叫做a+bn的二項(xiàng)展開式,其中各項(xiàng)的系數(shù)Cnkk∈{0,1,2,?,n}10、二項(xiàng)展開式的規(guī)律說明(1)項(xiàng)數(shù):n+1(2)第r+1項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)是(3)在二項(xiàng)展開式中,與首末兩端等距離的兩項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等.(4)如果二項(xiàng)式的冪指數(shù)是偶數(shù),中間的一項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大.如果二項(xiàng)式的冪指數(shù)是奇數(shù),中間兩項(xiàng)的的二項(xiàng)式系數(shù)最大,并且相等.(5)通項(xiàng)公式:Tr+1=Cn11、二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)對(duì)稱性與首末兩端“等距離”的兩個(gè)二項(xiàng)式系數(shù)相等(即C增減性當(dāng)k<n+12最大值當(dāng)n是偶數(shù)時(shí),展開式的中間一項(xiàng)T42+1的二項(xiàng)式系數(shù)Cn12最大;當(dāng)n是奇數(shù)時(shí),展開式的中間兩項(xiàng)Tn?1各二項(xiàng)式系數(shù)的和各二項(xiàng)式的系數(shù)和C奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的和等于偶數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的和C(2)楊輝三角一一二項(xiàng)式系數(shù)表(閱讀課本選擇性必修三P39-P41)當(dāng)n依次取1,2,3,?系數(shù):CC10C20?C3aaa(i)每一行的二項(xiàng)式系數(shù)是對(duì)稱的,即C(ii)每一行兩端都是1,而且從第二行起,除1以外的每一個(gè)數(shù)都等于它“肩上”兩個(gè)數(shù)的和.(iii)從第二項(xiàng)起,每一行的二項(xiàng)式系數(shù)從兩端向中間逐漸增大;(iv)所有二項(xiàng)式系數(shù)和Cn0(1)ax+(1)常數(shù)項(xiàng)a(2)所有項(xiàng)的系數(shù)和:a(3)奇數(shù)項(xiàng)與偶數(shù)項(xiàng)系數(shù)的差:a13、二項(xiàng)展開中系數(shù)最大(小)項(xiàng)的求法:設(shè)第k項(xiàng)的系數(shù)Ak最大(小),由Ak≥Ak?1Ak≥(1)利用二項(xiàng)式定理解決整除問題,關(guān)鍵是要巧妙構(gòu)造二項(xiàng)式,其基本做法:要證明一個(gè)式子能被另一個(gè)式子整除,只要證明這個(gè)式子按照二項(xiàng)式定理展開后個(gè)各項(xiàng)均能被另一個(gè)式子整除即可.(2)用二項(xiàng)式定理處理整除問題時(shí),通常把底數(shù)寫成除數(shù)(或與除數(shù)密切相關(guān)的數(shù))與某數(shù)的和或差的形式,再用二項(xiàng)式定理展開,只考慮(或者前面)一兩項(xiàng)就可以了.(3)要注意余數(shù)的范圍,a=c?r+b【課本優(yōu)質(zhì)習(xí)題匯總】人教A版選擇性必修三P74.在1,25.由數(shù)字1,2人教A版選擇性必修三P111.乘積a1+4.用1,5,9,135.一個(gè)口袋內(nèi)裝有5個(gè)小球,另一個(gè)口袋內(nèi)裝有6個(gè)小球,所有這些小球的顏色互不相同.從兩個(gè)袋子中分別取1個(gè)球,共有多少種不同的取法?6.(1)在平面直角坐標(biāo)系內(nèi),橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)均在A={(2)在平面直角坐標(biāo)系內(nèi),斜率在集合B={1,3,5,7}內(nèi)取值,人教A版選擇性必修三P1211.在國慶長假期間,要從7人中選若干人在7天假期值班(每天只需1人值班),不出現(xiàn)同一人連續(xù)值班2天,有多少種可能的安排方法?12.2160有多少個(gè)不同的正因數(shù)?人教A版選擇性必修三P266.(1)空間中有8個(gè)點(diǎn),其中任何4個(gè)點(diǎn)不共面,過每3個(gè)點(diǎn)作一個(gè)平面,可以作多少個(gè)平面?(2)空間中有10個(gè)點(diǎn),其中任何4個(gè)點(diǎn)不共面,過每4個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)作一個(gè)四面體,可以作多少個(gè)四面體?人教A版選擇性必修三P268.求證:(1)An+1n+19.學(xué)校要安排一場(chǎng)文藝晚會(huì)的11個(gè)節(jié)目的演出順序.除第1個(gè)節(jié)目和最后1個(gè)節(jié)目已確定外,4個(gè)音樂節(jié)目要求排在第2,5,7,10人教A版選擇性必修三P2711.一個(gè)數(shù)陣有m行n列,第一行中的n個(gè)數(shù)互不相同,其余行都由這n個(gè)數(shù)以不同的順序組成.如果要使任意兩行的順序都不相同,那么m的值最大可取多少?12.(1)從0,2,4,6(2)由數(shù)字0,113.從5名男生和4名女生中選出4人去參加一項(xiàng)創(chuàng)新大賽.(1)如果4人中男生女生各選2人,那么有多少種選法?(2)如果男生中的甲和女生中的乙必須在內(nèi),那么有多少種選法?(3)如果男生中的甲和女生中的乙至少要有1人在內(nèi),那么有多少種選法?(第17題)(4)如果4人中必須既有男生又有女生,那么有多少種選法?14.一個(gè)宿舍的6名同學(xué)被邀請(qǐng)參加一個(gè)晚會(huì).(1)如果必須有人去,去幾個(gè)人自行決定,有多少種不同的去法?(2)如果其中甲和乙兩位同學(xué)要么都去,要么都不去,有多少種去法?17.如圖,現(xiàn)要用5種不同的顏色對(duì)某市的4個(gè)區(qū)縣地圖進(jìn)行著色,要求有公共邊的兩個(gè)地區(qū)不能用同一種顏色,共有幾種不同的著色方法?人教A版選擇性必修三P2819.甲、乙、丙、丁、戊共5名同學(xué)進(jìn)行勞動(dòng)技術(shù)比賽,決出第1名到第5名的名次.甲和乙去詢問成績,回答者對(duì)甲說:“很遺憾,你和乙都沒有得到冠軍."對(duì)乙說:“你當(dāng)然不會(huì)是最差的.”從這兩個(gè)回答分析,5人的名次排列可能有多少種不同情況?人教A版選擇性必修三P314.x?1(A)C106(B)?C106(C)5.在x?1x?2x人教A版選擇性必修三P341.填空題(1)C(2)C人教A版選擇性必修三P357.證明:(1)x?1x2n(2)1+x2n的展開式的中間一項(xiàng)是8.已知1+x9.用二項(xiàng)式定理證明:(1)n+1n?1(2)9910?10.求證:2n?人教A版選擇性必修三P37(6)正十二邊形的對(duì)角線的條數(shù)是人教A版選擇性必修三P38(1)已知Cn+1n(2)某班一天上午有4節(jié)課,下午有2節(jié)課,現(xiàn)要安排該班一天中語文、數(shù)學(xué)、政治、英語、體育、藝術(shù)6堂課的課程表,要求數(shù)學(xué)課排在上午,體育課排在下午,不同排法種數(shù)是__(4)以正方體的頂點(diǎn)為頂點(diǎn)的三棱雉的個(gè)數(shù)是人教A版選擇性必修三P384.(1)平面內(nèi)有n條直線,其中沒有兩條平行,也沒有三條交于一點(diǎn),共有多少個(gè)交點(diǎn)?(2)空間有n個(gè)平面,其中沒有兩個(gè)互相平行,也沒有三個(gè)交于一條直線,共有多少條交線?5.(1)求1?2x51+(2)求9x+(3)已知1+xn的展開式中第9項(xiàng)、第10項(xiàng)、第11項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)成等差數(shù)列,求(4)求1+x+x21(5)求x2+x+y56.用二項(xiàng)式定理證明5555+9能被8整除.(提示:7.(1)平面內(nèi)有兩組平行線,一組有m條,另一組有n條,這兩組平行線相交,可以構(gòu)成多少個(gè)平行四邊形?(2)空間有三組平行平面,第一組有m個(gè),第二組有n個(gè),第三組有l(wèi)個(gè),不同兩組的平面都相交,且交線不都平行,可以構(gòu)成多少個(gè)平行六面體?8.某種產(chǎn)品的加工需要經(jīng)過5道工序.(1)如果其中某道工序不能放在最后,那么有多少種加工順序?(2)如果其中某2道工序既不能放在最前,也不能放在最后,那么有多少種加工順序?(3)如果其中某2道工序必須相鄰,那么有多少種加工順序?(4)如果其中某2道工序不能相鄰,那么有多少種加工順序?9.在1+x3+1+10.你能構(gòu)造一個(gè)實(shí)際背景,對(duì)等式Cnk人教B版選擇性必修二P8(3)已知n是一個(gè)小于10的正整數(shù),且由集合A=x?x∈N(4)如圖所示,把硬幣有幣值的一面稱為正面,有花的一(第4題)面稱為反面.拋一次硬幣,得到正面記為1,得到反面記為0.現(xiàn)拋一枚硬幣5次,按照每次的結(jié)果,可得到由5個(gè)數(shù)組成的數(shù)組(例如,若第一、二、四次得到的是正面,第三、五次得到的是反面,則結(jié)果可記為1,1(5)已知A是一個(gè)有限集,且A中的元素個(gè)數(shù)為n,求A的子集的個(gè)數(shù).人教B版選擇性必修二P15(3)用0,1(1)沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)?(2)沒有重復(fù)數(shù)字且被5整除的四位數(shù)?(3)比2000大且沒有重復(fù)數(shù)字的自然數(shù)?(4)四對(duì)夫婦坐成一排照相:(1)每對(duì)夫婦都不能被隔開的排法有多少種?(2)每對(duì)夫婦都不能被隔開,且同性別的人不能相鄰的排法有多少種?將2個(gè)男生和4個(gè)女生排成一排:(1)男生排在中間的排法有多少種?(2)男生不在頭尾的排法有多少種?(3)男生不相鄰的排法有多少種?(4)男生不相鄰且不在頭尾的排法有多少種?(5)2個(gè)男生都不與女生甲相鄰的排法有多少種?人教B版選擇性必修二P23(2)解方程:C18x(4)利用組合數(shù)公式證明Cnm(4)甲、乙、丙、丁、戊五名同學(xué)參加某項(xiàng)競(jìng)賽,決出了第一名到第五名的5個(gè)名次.甲、乙兩人去詢問成績,組織者對(duì)甲說:“很遺憾,你和乙都未拿到冠軍."對(duì)乙說:“你當(dāng)然不會(huì)是最差的.”從組織者的回答分析，這五名同學(xué)的名次排列共有多少種不同的情況.將6名中學(xué)生分到甲、乙、丙3個(gè)不同的公益小組:(1)要求有3人分到甲組,2人分到乙組,1個(gè)人分到丙組,共有多少種不同的分法?(2)要求三個(gè)組的人數(shù)分別為3,2人教B版選擇性必修二P(2)已知從n個(gè)不同對(duì)象中取出2個(gè)對(duì)象的排列數(shù)等于從n?4個(gè)不同對(duì)象中取出2個(gè)對(duì)象的排列數(shù)的7倍,求正整數(shù)n(5)(1)已知圓上有10個(gè)點(diǎn),過任意3個(gè)點(diǎn)都可畫一個(gè)圓內(nèi)接三角形,一共可畫多少個(gè)圓內(nèi)接三角形?(2)已知空間中有10個(gè)點(diǎn),且任意4個(gè)點(diǎn)都不共面,即以任意4個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)都可構(gòu)造一個(gè)四面體,則一共可以構(gòu)造多少個(gè)四面體?(1)(1)平面內(nèi)有兩組平行線,一組有m條,另一組有n條,不同組的平行線都相交,其中m,n都是大于1的正整數(shù),這些平行線一共構(gòu)成了多少個(gè)平行四邊形?(2)空間中有三組平行平面,第一組有m個(gè),第二組有n個(gè),第三組有l(wèi)個(gè),不同組的平面都互相垂直,其中m將4封不同的信全部投入3個(gè)郵筒:(1)不加任何限制,有多少種不同的投法?(2)每個(gè)郵筒至少投1封信,有多少種不同的投法?(3)某乒乓球邀請(qǐng)賽,參加的有三個(gè)組,第一、第二組各有7個(gè)隊(duì),第三組有6個(gè)隊(duì),首先各組進(jìn)行單循環(huán)賽,然后各小組的第一名共3個(gè)隊(duì)分主客場(chǎng)進(jìn)行決賽，最終決出冠、亞軍，該乒乓球邀請(qǐng)賽一共需要比賽多少場(chǎng)?人教B版選擇性必修二P24(2)在不小于3000且不大于7000的正整數(shù)中,有多少個(gè)沒有重復(fù)數(shù)字的5的倍數(shù)?人教B版選擇性必修二P25某班有35名學(xué)生，其中正、副班長各1名，現(xiàn)要從該班選派5名學(xué)生參加某種活動(dòng):(1)如果正、副班長必須在內(nèi),共有多少種不同的選派方法?(2)如果正、副班長必須有一人在內(nèi),且只能有一人在內(nèi),共有多少種不同的選派方法?(3)如果正、副班長都不在內(nèi),共有多少種不同的選派方法?(4)如果正、副班長至少有一人在內(nèi),共有多少種不同的選派方法?(3)有6個(gè)座位連成一排,安排3個(gè)人就座,恰有兩個(gè)空位相鄰的不同坐法共有多少種?(3)有10個(gè)人圍著一張圓桌坐成一圈,共有多少種不同的坐法?人教B版選擇性必修二P(1)求C22(2)求證:Amm(3)如圖所示,一個(gè)地區(qū)分為5個(gè)行政區(qū)域,現(xiàn)(第3題)給地圖著色,要求相鄰區(qū)域不得使用同一顏色,有4種顏色可供選擇,則不同的著色方法共有多少種?要把9本不同的課外書分別裝到三個(gè)相同的手提袋里,每個(gè)袋中至少一本,一共有多少種不同的裝法?(3)把分別標(biāo)有1號(hào)、2號(hào)、3號(hào)、4號(hào)的4個(gè)不同的小球放入分別標(biāo)有1號(hào)、2號(hào)、