量子力學(xué)知識點總結(jié)

量子力學(xué)期末復(fù)習(xí)完美總結(jié)自由粒子體系，_動量一守恒；中心力場中運動的粒子

_角動量_守恒

13.量子力學(xué)中的守恒量A是指：4不顯含時間而且與百

對易，守恒量在一切狀態(tài)中的平均值和概率分布都不隨

一、填空題

時間改變。

1.玻爾-索末菲的量子化條件為：

14.隧道效應(yīng)是指：量子力學(xué)中粒子在能量E小于勢壘

^\pdq=nh,（n=l,2,3,,

高度時仍能貫穿勢壘的現(xiàn)象稱為隧道效應(yīng)。

h15.次通=1式玲/為氫原子的波函數(shù)，附），加

2.德布羅意關(guān)系為：E=hy=p——=Jik。

A的取值范圍分別為：n=l,2,3,…；1=0,1,...,n-l；

m=-I,-1+1,...,0,1,

3.用來解釋光電效應(yīng)的愛因斯坦公式為：

—mV2=hu-A,16.對氫原子，不考慮電子的自旋，能級的簡并

2

為:一考慮自旋但不考慮自旋與軌道角動量的

4.波函數(shù)的統(tǒng)計解釋：帆（尸，代表t時刻，粒子在

耦合時，能級的簡并度為_2〃2_,如再考慮自旋與

空間尸處單位體積中出現(xiàn)的概率，又稱為概率密度。這

是量子力學(xué)的基本原理之一。波函數(shù)在某一時刻在空間

的強度，即其振幅絕對值的平方與在這一點找到粒子的軌道角動量的耦合，能級的簡并度為_2/+1_。

幾率成正比，和粒子聯(lián)系的波是概率波。

17.設(shè)體系的狀態(tài)波函數(shù)為1'9》,如在該狀態(tài)下測量

5.波函數(shù)的標準條件為：連續(xù)性，有限性，單值性o

力學(xué)量尸有確定的值云，則力學(xué)量算符戶與態(tài)矢量

6.a?：1,I為單位矩陣，則算符a的本征值為：國＞的關(guān)系為：戶附。

±1?

18.力學(xué)量算符#（尸，一談?wù)拢┰趹B(tài)于（尸）下的平均值可寫

7.力學(xué)量算符應(yīng)滿足的兩個性質(zhì)是實數(shù)性和正交完備

性。為（"*卯（產(chǎn)）心力宓的條件為：力學(xué)量算符的本征

8.厄密算符的本征函數(shù)具有：正交性，它們可以組成值組成分立譜，并且“（產(chǎn)）是歸一化波函數(shù)。

正交歸一性。即

=鼠或J刎曲=雙"￡）.19.希爾伯特空間：量子力學(xué)中Q的本質(zhì)函數(shù)有無限多

個，所以態(tài)矢量所在的空間是無限維的函數(shù)空間。

9.設(shè)CS/）為歸一化的動量表象下的波函數(shù)，則

20.設(shè)粒子處于態(tài)+后n+叱°,甲為

Ic（p/）『女的物理意義為：表示在“任，。所描寫

的態(tài)中測量粒子動量所得結(jié)果在力一萬+期范圍內(nèi)的

歸一化波函數(shù)，及為球諧函數(shù)，則系數(shù)c的取值為：

幾率。

J-,上工的可能值為：1方，3本征值為防2出現(xiàn)

io,清；戒,；[工，刃=°。V63

的幾率為：—O

A人2

11.如兩力學(xué)量算符九8有共同本征函數(shù)完全系，則

[X5]=_o_o21.原子躍遷的選擇定則為：△/=±1；Am=O,±l。

*2

12.坐標和動量的測不準關(guān)系是：（8）2口即、.）2

30.考慮自旋后，波函數(shù)在自旋空間表示為

22.自旋角動量與自旋磁矩的關(guān)系為：Ms^--S；

*=（已歸一化），則［2r的，意

式中后s是自旋磁矩，S是自旋角動量，-e是電子的電

義為:表示在t時刻，在（x,y,z）點周圍單位體積內(nèi)找

荷，〃是電子的質(zhì)量。

到自旋力的電子的幾率。

23.臺為泡利算符，則

（T2=3［承，陰=0,匚（|叼『+|叫|2）心力應(yīng)=1

但?！?2汶。

31.量子力學(xué)中的態(tài)是希爾伯特空間的矢量_;算符

24.另為自旋算符，則a=」方2,是希爾伯特空間的一算符_。

4_

力學(xué)量算符在自身表象中的矩陣是對角的

［于,比］=0，色，M］=法&（,

32、W（x,y,z,f）「的物理意義：發(fā)現(xiàn)粒子的幾率密

25.烏倫貝克和哥德斯密脫關(guān)于自旋的兩個基本假設(shè)是:度與之成正比。

（1）每個電子具有自旋角動量6,它在空間任何方向上

33、/dr表示在r一r+dr單位立體角

的投影只能是兩個數(shù)值：S,=±^!■力；（2）每個電子具

2

的球殼內(nèi)發(fā)現(xiàn)粒子的幾率。

有自旋磁矩而s，它和它的自旋角動量S的關(guān)系式是：

34、在量子力學(xué)中，微觀體系的狀態(tài)被一個波

Ms=--S,式中-e是電子的電荷，〃是電子的質(zhì)

量。而$在空間任意方向上的投影只能取兩個數(shù)值：函數(shù)完全描述:力學(xué)量用厄密算符表示。

M＜；=+^~—±MRo

邑2〃13二、問答題

1.你認為Bohr的量子理論有哪些成功之處？有哪些不

26.軌道磁矩與軌道角動量的關(guān)系是：M,=-—￡o成功的地方？試舉一例說明。

2〃（簡述波爾的原子理論，為什么說玻爾的原子理論是半

經(jīng)典半量子的？）

27.證明電子具有自旋的實驗有：斯特恩-革拉赫實驗。

答：Bohr理論中核心的思想有兩條：一是原子具有能量

28.費米子所組成的全同粒子體系的波函數(shù)具有應(yīng)對稱不連續(xù)的定態(tài)的概念；二是兩個定態(tài)之間的量子躍遷的

性，玻色子所組成的全同粒子體系的波函數(shù)具有一概念及頻率條件。首先，Bohr的量子理論雖然能成功的

對稱性。說明氫原子光譜的規(guī)律性，但對于復(fù)雜原子光譜，甚至

對于氯原子光譜，Bohr理論就遇到了極大的困難（這里

有些困難是人們尚未認識到電子的自旋問題），對于光

29.考慮自旋后，波函數(shù)在自旋空間表示為

譜學(xué)中的譜線的相對強度這個問題，在Bohr理論中雖然

四（"刀（已歸一化），則在態(tài)空下，自旋算符借助于對應(yīng)原理得到了一些有價值的結(jié)果，但不能提供

系統(tǒng)解決它的辦法；其次，Bohr理論只能處理簡單的周

G/%叼期運動，而不能處理非束縛態(tài)問題，例如：散射；再其

〔GnGnJ對自旋的平均可表示為：次，從理論體系上來看，Bohr理論提出的原子能量不連

續(xù)概念和角動量量子化條件等，與經(jīng)典力學(xué)不相容的，

G=〃+6/=（%*,歸）.’G?甲'.對坐標和多少帶有人為的性質(zhì)，并未從根本上解決不連續(xù)性的本

［G?］,G?2人%，質(zhì)。

自旋同時求平均的結(jié)果可表示為：G=J〃+?“dr。

2.什么是光電效應(yīng)？光電效應(yīng)有什么規(guī)律？愛因斯坦是

如何解釋光電效應(yīng)的？

答：當(dāng)一定頻率的光照射到金屬上時，有大量電子從金

屬表面逸出的現(xiàn)象稱為光電效應(yīng)；光電效應(yīng)的規(guī)律：a.

對于一定的金屬材料做成的電極，有一個確定的臨界頻

答：不一定，如果〃一收2對應(yīng)的能量本征值相

率。0，當(dāng)照射光頻率4時，無論光的強度有多大，

等，則獷=q%+C2〃2還是能量的本征態(tài)，否則，

不會觀測到光電子從電極上逸出；b.每個光電子的能量只

與照射光的頻率有關(guān)，而與光強無關(guān)；C.當(dāng)入射光頻率

如果-I,乙對應(yīng)的能量本征值不相等，則

U>vo時，不管光多微弱，只要光一照，幾乎立刻。10-95

W=cm+cm不是能量的本征態(tài)

觀測到光電子。愛因斯坦認為：（1）電磁波能量被集中在

光子身上，而不是象波那樣散布在空間中，所以電子可

以集中地、一次性地吸收光子能量，所以對應(yīng)弛豫時間8.什么是表象？不同表象之間的變換是一種什么變換？

在不同表象中不變的量有哪些？

應(yīng)很短，是瞬間完

成的。（2）所有同頻率光子具有相同能量，光強則對應(yīng)于

答：量子力學(xué)中態(tài)和力學(xué)量的具體表示方式稱為表象。

光子的數(shù)目，光強越大，光子數(shù)目越多，所以遏止電壓不同表象之間的變換是一種幺正變換。在不同表象中不

與光強無關(guān)，飽和電流與光強成正比。（3）光子能量與其變的量有：算符的本征值，矩陣的跡即矩陣對角元素的

頻率成正比，頻率越高，對應(yīng)光子能量越大，所以光電和。

效應(yīng)也容易發(fā)生，光子能量小于逸出功時，則無法激發(fā)

簡述量子力學(xué)的五個基本假設(shè)。

光電子。9.

答：（1）微觀體系的狀態(tài)被一個波函數(shù)完全描述，從這

3.簡述量子力學(xué)中的態(tài)疊加原理，它反映了什么？

個波函數(shù)可以得出體系的所有性質(zhì)。波函數(shù)一般應(yīng)滿足

答：對于一般情況，如果也和“2是體系的可能狀態(tài)，那連續(xù)性、有限性和單值性三個條件；（2）力學(xué)量用厄密

算符表示。如果在經(jīng)典力學(xué)中有相應(yīng)的力學(xué)量，則在量

么它們的線性疊加:少%+。2%2（卬是復(fù)數(shù)）子力學(xué)中表示這個力學(xué)量的算符，由經(jīng)典表示中的將動

也是這個體系的一個可能狀態(tài)。這就是量子力學(xué)中的態(tài)量「換為算符-法▽得出。表示力學(xué)量的算符具有組成

疊加原理。態(tài)疊加原理的含義表示當(dāng)粒子處于態(tài)風(fēng)和勿2完全系的本征函數(shù)。（3）將體系的狀態(tài)波函數(shù)”用算符

戶的本征函數(shù)展開（戶外=%％,戶外=kp）：

的線性疊加態(tài)杯時，粒子是既處于態(tài)玄，又處于態(tài)y2。

它反映了微觀粒子的波粒二象性矛盾的統(tǒng)一。量子力學(xué)W=￡cnfPm+JCM”,則在“態(tài)中測量力學(xué)量F

nt

中這種態(tài)的疊加導(dǎo)致在疊加態(tài)下觀測結(jié)果的不確定性。

4.什么是定態(tài)？定態(tài)有什么性質(zhì)？得到結(jié)果為4“的幾率為卜丁,得到結(jié)果在丸口；i+dx

答:體系處于某個波函數(shù)/）="（r）exp[—zEr/方]

范圍內(nèi)的幾率是kJdA；（4）體系的狀態(tài)波函數(shù)滿足薛

所描寫的狀態(tài)時，能量具有確定值。這種狀態(tài)稱為定態(tài)。

定態(tài)的性質(zhì)：（1）粒子在空間中的概率密度及概率流密定謂方程：訪絲=月>,方是體系的哈密頓算符。（5）

度不隨時間變化：（2）任何力學(xué)量（不顯含時間）的平dt

在全同粒子組成的體系中，兩全同粒子相互調(diào)換不改變

均值不隨時間變化；（3）任何力學(xué)量（不顯含時間）取

體系的狀態(tài)（全同性原理）。

各種可能測量值的概率分布也不隨時間變化。

10.波函數(shù)歸一化的含義是什么？歸一化隨時間變化

6.經(jīng)典波和量子力學(xué)中的幾率波有什么本質(zhì)區(qū)別？

嗎？

答：1）經(jīng)典波描述某物理量在空間分布的周期性變化，

答：粒子既不產(chǎn)生也不湮滅。根據(jù)波函數(shù)的統(tǒng)計解釋，

而幾率波描述微觀粒子某力學(xué)量的幾率分布；（2）經(jīng)典

在任何時刻，粒子一定在空間出現(xiàn)，所以在整個空間中

波的波幅增大一倍，相應(yīng)波動能量為原來的四倍，變成

發(fā)現(xiàn)粒子是必然事件，概率論中認為必然事件的概率等

另一狀態(tài)，而微觀粒子在空間出現(xiàn)的幾率只決定于波函

數(shù)在空間各點的相對強度，幾率波的波幅增大一倍不影于lo因而粒子在整個空間中出現(xiàn)的概率即H『對整個空

響粒子在空間出現(xiàn)的兒率，即將波函數(shù)乘上一個常數(shù)，

間的積分應(yīng)該等于1.即J帆（龍,y,z，O『dr=l式中積分

所描述的粒子狀態(tài)并不改變；

表示對整個空間積分。這個條件我們稱為歸一化條件。

7.能量的本征態(tài)的疊加一定還是能量本征態(tài)。滿足歸一化條件的波函數(shù)稱為歸一化波函數(shù)。波函數(shù)一

旦歸一化，歸一化常數(shù)將不隨時間變化。

11.量子化是不是量子力學(xué)特有的效應(yīng)？經(jīng)典物理中是答：（1）不能；因為在量子力學(xué)中，粒子具有波粒二象

否有量子化現(xiàn)象？性，粒子的坐標和動量不可能同時具有確定值。（2）不

改變；根據(jù)Born對波函數(shù)的統(tǒng)計解釋，描寫體系量子狀

答：所謂量子化，就是指某個力學(xué)量可取數(shù)值具有離散態(tài)的波函數(shù)是概率波，由于粒子必定要在空間中的某一

譜。一般來說，這不是量子力學(xué)的特有效應(yīng)。經(jīng)典物理點出現(xiàn)，所以粒子在空間各點出現(xiàn)的概率總和等于1,因

中，例如聲音中的泛音，無線電中的諧波都是頻率具有而粒子在空間各點出現(xiàn)概率只決定于波函數(shù)在空間各點

離散譜。經(jīng)典波在束縛態(tài)形成駐波時，頻率也是量子化的相對強度。（3）可以；因為卜［2=］,如果M『對整

的，但經(jīng)典波的頻率量子化并不對應(yīng)能量量子化。有時

量子化用了專指能量量子化，在這種意義上它就是量子個空間積分等于1,則忖“〃『對整個空間積分也等于1.

力學(xué)特有的效應(yīng)。

即用任意相因子e"（5是實常數(shù)）去乘以波函數(shù)，既不

12.什么是算符的本征值和本征函數(shù)？它們有什么物理影響體系的量子狀態(tài)，也不影響波函數(shù)的歸一化。（4）

意義？滿足關(guān)系式a的為厄密算符，滿足關(guān)系式b的為幺正算

符；（5）證明：以4表示F的本征值，〃表示所屬的本

征函數(shù)，則戶"=4”因為F是厄密算符，于是有

答：含有算符F的方程F（pm=Fm（pm稱為戶的本質(zhì)方

%〃辦=4*,由此可得4=2*,即4為實

程，F(xiàn)m為F的一個本質(zhì)值。而（pm則為F的屬于本征值

月”的本征函數(shù)。如果算符多代表一個力學(xué)量，上述概數(shù)。

念的物理意義如下：當(dāng)體系處于戶的本征態(tài)夕,“時，測量

16.薛定譚方程應(yīng)該滿足哪些條件？

F的數(shù)值時確定的，恒等于耳“。當(dāng)體系處于任意態(tài)時，答：（1）它必須是波函數(shù)應(yīng)滿足的含有對時間微商的微

單次測量F的值必等于它的本征值之一。

分方程；（2）方程是線性的，即如果匕和〃2都是方程的

13.算符運算與一般代數(shù)運算有什么異同之處？

姐，那么叫和i//2的線性疊加w=ci%+（:卻［也是方程

答：（1）相同點:都滿足加法運算中的加法交換律和加

法結(jié)合律。（2）不同點：a.算符乘積一般不滿足代數(shù)乘

的解，這是因為根據(jù)態(tài)疊加原理，如果由和色2是體系的

法運算的交換律，即戶戶；b.算符乘積定義

（戶。方）收=戶［@（￡〃）］,運算次序由后至前，不能隨

可能狀態(tài)，那么它們的線性疊加：w=cw、+cy：

意變換。

（G，C2是復(fù)數(shù)）也是這個體系的一個可能狀態(tài)；（3）

14.什么是束縛態(tài)和定態(tài)？束縛態(tài)是否必為定態(tài)？定態(tài)

是否必為束縛態(tài)？這個方程的系數(shù)不應(yīng)該包含狀態(tài)的參量，如動量、能量

等，因為方程的系數(shù)如含有狀態(tài)的參量，則方程只能被

答：定態(tài)是概率密度和概率流密度不隨時間變化的狀態(tài)。粒子的部分狀態(tài)所滿足，而不能被各種的狀態(tài)所滿足。

OTT

若勢場恒定絲?=（）,則體系可以處于定態(tài)。當(dāng)粒子被外17.量子力學(xué)中的力學(xué)量用什么算符表示？為什么？力

dt學(xué)量算符在自身表象中的矩陣是什么形式？

力（勢場）束縛于特定的空間區(qū)域內(nèi)，及在無窮處波函

數(shù)等于零的態(tài)叫做束縛態(tài)。束縛態(tài)是離散的。例如一維答：量子力學(xué)中表示力學(xué)量的算符都是厄密算符。因為

諧振子就屬于束縛定態(tài)，具有量子化能級。但束縛態(tài)不所有力學(xué)量的數(shù)值都是實數(shù)，既然表示力學(xué)量的算符的

一定是定態(tài)。例如限制在一維箱子中的粒子，最一般的本征值是這個力學(xué)量的可能值，因而表示力學(xué)量的算符，

可能態(tài)是以一系列分立的定態(tài)疊加而成的波包。這種疊它的本征值必須是實數(shù)。力學(xué)量算符在自身表象中的矩

加是沒有確定值的非定態(tài)。雖然一般情況下定態(tài)多屬束陣是一個對角矩陣。

縛態(tài)，當(dāng)定態(tài)也可能有非束縛態(tài)。

18.簡述力學(xué)量算符的性質(zhì)？

15.（1）在量子力學(xué)中，能不能同時用粒子坐標和動量

的確定值來描寫粒子的量子狀態(tài)？（2）將描寫的體系量

答：（1）實數(shù)性：厄密算符的本征值和平均值皆為實數(shù)；

子狀態(tài)波函數(shù)乘上一個常數(shù)后，所描寫的體系量子狀態(tài)

（2）正交性：屬于不同本征值的本征態(tài)彼此正交。即

是否改變？（3）歸一化波函數(shù)是否可以含有任意相因子

\（pm（pndT=8mn-,（3）完備性：力學(xué)量算符的本征態(tài)的

e泊（3是實常數(shù)）？（4）己知F為一個算符，當(dāng)F滿

足如下的兩式時，a.F+=F,b.F-l=F+，問何為厄全體構(gòu)成一完備集，即“=

n

米算符，何為幺正算符？（5）證明厄米算符的本征值為

實數(shù)。量子力學(xué)中表示力學(xué)量的算符是不是都是厄米算

符？19.在什么情況下兩個算符相互對易？

答：如果兩個算符戶和自有一組共同本征函數(shù)外,,而

答：烏倫貝克和高斯密特提出了電子自旋的假設(shè)。他們

且（p組成完全系，則算符片和G對易。

m主要根據(jù)的兩個實驗事實是：堿金屬光譜的雙線結(jié)構(gòu)和

20.請寫出測不準關(guān)系？反常的Zeeman效應(yīng)。他們假設(shè)的主要內(nèi)容為：a.每個電

答：設(shè)算符戶和。的對易關(guān)系為：[戶，G]=ii,則子具有自旋角動量它在空間任何方向上的投影只能

是兩個數(shù)值：S一=±工方；b.每個電子具有自旋磁矩網(wǎng)s，

測不準關(guān)系式為：（△戶△勾^，如果I不為零,

’2s

則戶和@的均方偏差不會同時為零，它們的乘積要大于

它和它的自旋角動量S的關(guān)系式是：Ms=--S,式

一正數(shù)。

21.量子力學(xué)中的守恒量是如何定義的？守恒量有什么中-e是電子的電荷，〃是電子的質(zhì)量。

性質(zhì)？量子力學(xué)中的守恒量和經(jīng)典力學(xué)的守恒量定義有

什么不同，并舉例說明？表明電子有自旋的實驗事實：斯特恩-蓋拉赫實驗。其現(xiàn)

答：量子力學(xué)中不顯含時間，且其算符與體系的哈密頓象：K射出的處于S態(tài)的氫原子束通過狹縫BB和不均勻

算符對易的力學(xué)量稱為守恒量；量子體系的守恒量，無

磁場，最后射到照相片PP上，實驗結(jié)果是照片上出現(xiàn)兩

論在什么態(tài)下，平均值和概率分布都不隨時間改變；量

子力學(xué)中的守恒量與經(jīng)典力學(xué)中的守恒量概念不相同，

條分立線。解釋：氫原子具有磁矩，設(shè)至沿Z方向：

實質(zhì)上是不確定度關(guān)系的反映。a.量子體系的守恒量并

不一定取確定值，及體系的狀態(tài)并不一定就是某個守恒

?dU..dB.

量的本征態(tài)。如對于自由粒子，動量是守恒量，但自由U=-MB=-MBcos&.*一法一加法cos如加■在空

粒子的狀態(tài)并不一定是動量的本征態(tài)（平面波），在一

般情況下是一個波包；b.量子體系的各守恒量并不一定

間可取任何方向，9應(yīng)連續(xù)變化，照片上應(yīng)是一連續(xù)帶,

都可以同時取確定值。例如中心力場中的粒子，/的三個

分量都守恒，但由于小l,/工不對易，一般說來它們并

y但實驗結(jié)果只有兩條，說明必是空間量子化的，只有

不能同時取確定值（角動量/=0的態(tài)除外）。

22.定態(tài)微擾理論的適用范圍和適用條件是什么？兩個取向cos6=±l,對S態(tài)，，=0,沒軌道角動量，

答：適用范圍：求分立能級及所屬波函數(shù)的修正；適用所以原子所具有的磁矩是電子固有磁矩，即自旋磁矩。

條件是：1與而口1，式中￡2力￡：°＞。自旋的特點：（1）電子具有自旋角動量這一特點純粹是

量子特性，它不可能用經(jīng)典力學(xué)來解釋。它是電子的本

身的內(nèi)稟屬性，標志了電子還有一個新自由度。（2）電

23.什么是自發(fā)躍遷？什么是受激躍遷？子自旋與其它力學(xué)量的根本區(qū)別為，一般力學(xué)量可表示

為坐標和動量的函數(shù)，自旋角動量與電子坐標和動量無

答：在不受外界影響的情況下，體系由高能級躍遷到低

關(guān)，不能表示為方，它是電子內(nèi)部狀態(tài)的表征，是

能級，這種躍遷稱為自發(fā)躍遷；體系在外界（如輻射場）

作用下，由低能級躍遷到高能級，這種躍遷稱為受激躍

h

遷。

一個新的自由度。（3）電子自旋值是2,而不是弁的

24.什么是嚴格禁戒躍遷？角量子數(shù)和磁量子數(shù)的選擇心=_￡__e

定則是什么？整數(shù)倍。（4）一",而Z而兩者在差一倍。

自旋角動量也具有其它角動量的共性，即滿足同樣的對

答：如果在任何級近似中躍遷幾率均為零，這這種躍遷

稱為嚴格禁戒躍遷。角量子數(shù)和磁量子數(shù)的選擇定則是：易關(guān)系：=而。

△/=±1；Am=O,±1。

?它是個內(nèi)稟的物理量，不能用坐標、動量、時間

25.誰提出了電子自旋的假設(shè)？表明電子有自旋的實驗等變量表示；

事實有哪些？自旋有什么特征？

②它完全是一種量子效應(yīng)，沒有經(jīng)典對應(yīng)量。也就

是說，當(dāng)力-0時，自旋效應(yīng)消失。

③它是角動量，滿足角動量最一般的對應(yīng)關(guān)系。而1Y0-i}02(0-lYoI、

oJU-0Ju

且電子自旋在空間任何方向上的投影只取±力/2兩0,

個值。

四1

rnS:

26.什么是斯塔克效應(yīng)？

答：當(dāng)原子置于外電場中，它發(fā)射的光譜線將發(fā)生分裂,

這稱為Stark效應(yīng)。

其中同心0)=E“(p”00；H2(pm(5)=Em(pm(r2)?

27.什么是光譜的精細結(jié)構(gòu)？產(chǎn)生精細結(jié)構(gòu)的原因是什

32.請簡述微擾論的基本思想。

么？考慮精細結(jié)構(gòu)后能級的簡并度是多少？

答：由于電子自旋與軌道角動量耦合，是原來簡并的能答：將復(fù)雜的體系的哈密頓量身分成型與自'兩部

級分裂成幾條差別很小的能級，稱為光譜的精細結(jié)構(gòu)；

當(dāng)n和1給定后，j可以取/=/±;，(/=0除外)，分。自°是可求出精確解的，而自'可看成力。的微擾。

即具有相同的量子數(shù)n,1的能級有兩個，它們的差別很只需將精確解加上由微擾引起的各級修正量，逐級迭代,

小，這就是產(chǎn)生精細結(jié)構(gòu)的原因。考慮精細結(jié)構(gòu)后能級

的簡并度為(2j+l)逐級逼近，就可得到接近問題真實的近似解。確定育'時，

28.什么是塞曼效應(yīng)？什么是反常的塞曼效應(yīng)？對簡單

先確定6°,再用自'=育一育。確定分二

塞曼效應(yīng)，沒有外磁場時的一條譜線在外磁場中分裂為

幾條？

33.什么是玻色子和費米子？

答：把原子(光源)置于強磁場中，原子發(fā)出的每條光h

譜線都分裂為三條，我們把這稱為正常的塞曼效應(yīng)。而答：由電子，質(zhì)子，中子這些自旋為5的粒子以及自旋

反常的塞曼效應(yīng)是指在弱磁場中原子光譜線的復(fù)雜分裂

(分裂成偶條數(shù))。對簡單塞曼效應(yīng)，沒有外磁場時的h

為5的奇數(shù)倍的粒子組成的全同粒子體系的波函數(shù)是

一條譜線在外磁場中分裂為三條。

反對稱的，這類粒子服從費米(Fermi)—狄拉克(Dirac)

29.什么是全同性原理和泡利不相容原理？

統(tǒng)計，稱為費米子，由光子(自旋為1)以及其它自旋為

答：全同性原理：由全同粒子所組成的體系中，兩全同

粒子相互代換不引起物理狀態(tài)的改變。描寫全同粒子體零，或克整數(shù)倍的粒子所組成的全同粒子體系的波函數(shù)

系狀態(tài)的波函數(shù)只能是對稱的或反對稱的，它們的對稱

性不隨時間改變。泡利不相容原理：不能有兩個或兩個是對稱的，這類粒子服從玻色(Bose)—愛因斯坦統(tǒng)計，

以上的費米子處于同一狀態(tài)。

稱為玻色子。

30.寫出泡利矩陣的形式及其對易關(guān)系。請用泡利矩陣定

義電子的自旋算符，并驗證它們滿足角動量對易關(guān)系。34.什么是隧道效應(yīng)？請舉例說明隧道效應(yīng)的應(yīng)用。

八(on八ro

答：泡利矩陣：巴=；°\=；答：粒子在其能量E小于勢壘高度時，仍然會有部分

Uoj'U0J

(10)粒子穿過勢壘的現(xiàn)象叫隧道效應(yīng)，又叫隧穿效應(yīng)。隧道

；對易關(guān)系為：；自旋算

a.-=lo-1J&Xa=21&效應(yīng)的應(yīng)用：1.掃描隧道顯微鏡(STM)是電子隧道效應(yīng)

的重要應(yīng)用之一。掃描隧道顯微鏡可以顯示表面原子臺

A"pl八八人

符s=25；對易關(guān)系為SxS=[%S。驗證過程如下：階和原子排布的表面三維圖案。在表面物理、材料科學(xué)

2

和生命科學(xué)等諸多領(lǐng)域中，掃描隧道顯微鏡都能提供十

S*，SJ=即：

SxSy—SySx分有價值的信息。2.隧道二極管是一種利用隧道效應(yīng)的半

導(dǎo)體器件，也是隧道效應(yīng)的重要應(yīng)用之一。由于隧道效

應(yīng)而使其伏安特性曲線出現(xiàn)負陽區(qū)，因而隧道二級管具

有高頻、低噪聲的特點。隧道二級管是低頻放大器、低

頻噪聲振蕩器和超高速開關(guān)電路中的重要器件。

35.厄米算符具有哪些性質(zhì)？厄米算符的平均值、本征

5x(秘)方rw士gd(t)hk

值、本征函數(shù)具有哪些性質(zhì)？答：tico=--------，a>=------,則群速度：v——=—

答：厄米算符具有下列性質(zhì)：a.兩厄米算符之和仍為2m2mdkm

厄米算符；b.當(dāng)且僅當(dāng)兩厄米算符A和后對易（對應(yīng)的才是粒子運動的速度）。而相速度：

囚=處（不是粒子運動速度）。

時，它們之積才為厄米算符。因為

「k2m

=8\4'=84。只有在[A,B]=O時，

40.什么是希爾伯特空間？波函數(shù)與希爾伯特空間的關(guān)

BA=AB,才有，（4與『=4月，即4與仍為厄米算系？

答：希爾伯特空間是定義在復(fù)數(shù)域上的一個有限維或無

符；C.無論厄米算符X、月是否對易，算符

限維的完備矢量空間。波函數(shù)對應(yīng)于希爾伯特空間中的

及天（A3—BA）必為厄米算符，因為

態(tài)矢。

一，…知試帶”有哪些實景揭示了光的粒子性質(zhì)？哪些實驗

I//X人ZV11

—(AB-BA

2八2i2i2”揭東了粒學(xué)的波動理質(zhì)？

答：黑體輻射、光電效應(yīng)、康普頓散射實驗給出了能量

d.任何算符總可分解為6=6++訪_。令分立、光場量子化的概念，從實驗上揭示了光的粒子性

<5_=g（6+6*）、6_=:（6-6*）,則6+和6一均為質(zhì)。電子楊氏雙縫實驗、電子在晶體表面的衍射實驗、

厄米算符。中子在晶體上的衍射實驗從實驗上揭示了微粒的波動性

厄米算符的平均值、本征值、本征函數(shù)具有下列性質(zhì)：質(zhì)。

①厄米算符的平均值是實數(shù)；②在任何狀態(tài)下平均值均

為實數(shù)的算符必為厄米算符；

③厄米算符的本征值為實數(shù)。厄米算符在本征態(tài)中的平3.試以基態(tài)氫原子為例證明：*不是f或。的本征函

均值就是本征值。

④厄米算符屬于不同本征值的本征函數(shù)正交；⑤厄米算數(shù)，而是亍+0的本征函數(shù)。

符的簡并的本征函數(shù)可以經(jīng)過重新組合后使它正交歸一

化；⑥厄米算符的本征函數(shù)系具有完備性；⑦厄米算符

2e”

的本征函數(shù)系具有封閉型。脩“看右產(chǎn)

37.為什么物質(zhì)的波動性在宏觀尺度不顯現(xiàn)？

答：由于％=h/p,原因是普朗克常數(shù)太小

學(xué)方21dd17?Ad、13?1

T=---------[—(r2—)+--------(sin0—)+---------------]

2〃r2drdrsin0dOsin20d(p

（%=6.6X1（T34Js）,而宏觀尺度的運動動量太大，

導(dǎo)致波長太小，難以引起可以觀察的物理效應(yīng)。因為

p=^2mE,要減小宏觀尺度運動的動量，必須減小動

能E,但從物理上考慮E不可能減小到比熱運動能量奶7

更小，所以必須減小質(zhì)量。質(zhì)量的減小對應(yīng)于尺度的減

小。只有把物體尺度減小到微觀尺度，才可能出現(xiàn)較大

的物質(zhì)波波長丸。從而引起可以觀察到的物理效應(yīng)。

39.自由粒子非相對論情形的相速度和群速度分別為多

少？

所以：叫,w不是涵本征函數(shù)

2d22d22d2

可見4x—T(CU+CH)=4X--(cw)+4x--(CM

ih1。，100=J%00X122112

rdxdxdx

d2

巴。。不是。的本征函數(shù)

1dx212

2-,4,

而(,+O)%0G=_q--^=(—),(-4--)e"--<^00r,

2〃J%/aQaQr「倉)[]②不是線性算符

fi21方2方2方21

一一萬至內(nèi)00+購7%°°一詬"叱=酶拜=c；W+2cg/%+c)；

22

^c,[w,]+c2[w2]

可見，kw是（不+0）的本征函數(shù)。③￡是線性算符；

K=1

4.證明：L=?L=±方的氫原子中的電子在

7.指出下列算符哪個是厄米算符，說明其理由。

0=45。和135°的方向上被發(fā)現(xiàn)的幾率最大。

(1)—,i—>4——；(2)(i)xp,

dxdxdxx

解：-：Wfm（e,（p）dQ=\^flXdQ；