高三高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)練習(xí)113變量間的相關(guān)關(guān)系統(tǒng)計(jì)案例

1131．已知變量x與y正相關(guān)，且由觀測(cè)數(shù)據(jù)算得樣本平均數(shù)eq\o(x,\s\up6(－))＝3，eq\o(y,\s\up6(－))＝3.5，則由該觀測(cè)數(shù)據(jù)算得的線性回歸方程可能是()A.eq\o(y,\s\up6(^))＝0.4x＋2.3 B.eq\o(y,\s\up6(^))＝2x－2.4C.eq\o(y,\s\up6(^))＝－2x＋9.5 D.eq\o(y,\s\up6(^))＝－0.3x＋4.4【解析】因?yàn)樽兞縳和y正相關(guān)，則回歸直線的斜率為正，故可以排除選項(xiàng)C和D.因?yàn)闃颖军c(diǎn)的中心在回歸直線上，把點(diǎn)(3，3.5)的坐標(biāo)代入檢驗(yàn)，A滿足．【答案】A2．(2018·武昌元月調(diào)考)根據(jù)如下樣本數(shù)據(jù)：x34567y4.02.5－0.50.5－2.0得到的回歸方程為eq\o(y,\s\up6(^))＝bx＋a，若a＝7.9，則x每增加一個(gè)單位，y就()A．增加1.4個(gè)單位 B．減少1.4個(gè)單位C．增加1.2個(gè)單位 D．減少1.2個(gè)單位【解析】根據(jù)樣本數(shù)據(jù)可得，eq\o(x,\s\up6(－))＝5，eq\o(y,\s\up6(－))＝0.9，由于樣本點(diǎn)的中心(eq\o(x,\s\up6(－))，eq\o(y,\s\up6(－)))滿足eq\o(y,\s\up6(－))＝beq\o(x,\s\up6(－))＋a，所以0.9＝b×5＋7.9，可得b＝－1.4.故選B.【答案】B3．設(shè)某大學(xué)的女生體重y(單位：kg)與身高x(單位：cm)具有線性相關(guān)關(guān)系，根據(jù)一組樣本數(shù)據(jù)(xi，yi)(i＝1，2，…，n)，用最小二乘法建立的回歸方程為eq\o(y,\s\up6(^))＝0.85x－85.71，則下列結(jié)論中不正確的是()A．y與x具有正的線性相關(guān)關(guān)系B．回歸直線過(guò)樣本點(diǎn)的中心(eq\o(x,\s\up6(－))，eq\o(y,\s\up6(－)))C．若該大學(xué)某女生身高增加1cm，則其體重約增加0.85kgD．若該大學(xué)某女生身高為170cm，則可斷定其體重必為58.79kg【解析】∵0.85>0，∴y與x正相關(guān)，∴A正確；∵回歸直線經(jīng)過(guò)樣本點(diǎn)的中心(eq\o(x,\s\up6(－))，eq\o(y,\s\up6(－)))，∴B正確；∵Δy＝0.85(x＋1)－85.71－(0.85x－85.71)＝0.85，∴C正確．【答案】D4．為了普及環(huán)保知識(shí)，增強(qiáng)環(huán)保意識(shí)，某大學(xué)從理工類專業(yè)的A班和文史類專業(yè)的B班各抽取20名同學(xué)參加環(huán)保知識(shí)測(cè)試．統(tǒng)計(jì)得到成績(jī)與專業(yè)的列聯(lián)表：優(yōu)秀非優(yōu)秀總計(jì)A班14620B班71320總計(jì)211940附：參考公式及數(shù)據(jù)：(1)統(tǒng)計(jì)量：K2＝eq\f(n（ad－bc）2,（a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d）)(n＝a＋b＋c＋d)．(2)獨(dú)立性檢驗(yàn)的臨界值表：P(K2≥k0)0.0500.010k03.8416.635則下列說(shuō)法正確的是()A．有99%的把握認(rèn)為環(huán)保知識(shí)測(cè)試成績(jī)與專業(yè)有關(guān)B．有99%的把握認(rèn)為環(huán)保知識(shí)測(cè)試成績(jī)與專業(yè)無(wú)關(guān)C．有95%的把握認(rèn)為環(huán)保知識(shí)測(cè)試成績(jī)與專業(yè)有關(guān)D．有95%的把握認(rèn)為環(huán)保知識(shí)測(cè)試成績(jī)與專業(yè)無(wú)關(guān)【解析】因?yàn)镵2＝eq\f(40×（14×13－7×6）2,20×20×21×19)≈4.912，【答案】C5．有甲、乙兩個(gè)班級(jí)進(jìn)行數(shù)學(xué)考試，按照大于等于85分為優(yōu)秀，85分以下為非優(yōu)秀統(tǒng)計(jì)成績(jī)，得到如下所示的列聯(lián)表：優(yōu)秀非優(yōu)秀總計(jì)甲班10b乙班c30合計(jì)附：P(K2≥k0)0.050.0250.0100.005k03.8415.0246.6357.879已知在全部105人中隨機(jī)抽取1人，成績(jī)優(yōu)秀的概率為eq\f(2,7)，則下列說(shuō)法正確的是()A．列聯(lián)表中c的值為30，b的值為35B．列聯(lián)表中c的值為15，b的值為50C．根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，若按97.5%的可靠性要求，能認(rèn)為“成績(jī)與班級(jí)有關(guān)系”D．根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，若按97.5%的可靠性要求，不能認(rèn)為“成績(jī)與班級(jí)有關(guān)系”【解析】由題意知，成績(jī)優(yōu)秀的學(xué)生數(shù)是30，成績(jī)非優(yōu)秀的學(xué)生數(shù)是75，所以c＝20，b＝45，選項(xiàng)A、B錯(cuò)誤．根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，得到K2＝eq\f(105×（10×30－20×45）2,55×50×30×75)≈6.109>5.024，因此有97.5%的把握認(rèn)為“成績(jī)與班級(jí)有關(guān)系”．【答案】C6．已知數(shù)組(x1，y1)，(x2，y2)，…，(x10，y10)滿足線性回歸方程eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^))，則“(x0，y0)滿足線性回歸方程eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^))”是“x0＝eq\f(x1＋x2＋…＋x10,10)，y0＝eq\f(y1＋y2＋…＋y10,10)”的()A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件【解析】x0，y0為這10組數(shù)據(jù)的平均數(shù)，根據(jù)公式計(jì)算線性回歸方程eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^))的eq\o(b,\s\up6(^))以后，再根據(jù)eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\o(y,\s\up6(－))－eq\o(b,\s\up6(^))eq\o(x,\s\up6(－))(eq\o(x,\s\up6(－))，eq\o(y,\s\up6(－))為樣本平均數(shù))求得eq\o(a,\s\up6(^)).因此(eq\o(x,\s\up6(－))，eq\o(y,\s\up6(－)))一定滿足線性回歸方程，但滿足線性回歸方程的除了(eq\o(x,\s\up6(－))，eq\o(y,\s\up6(－)))外，可能還有其他樣本點(diǎn)．【答案】B7．(2018·海南模擬)某車間為了規(guī)定工時(shí)定額，需要確定加工零件所花費(fèi)的時(shí)間，為此進(jìn)行了5次試驗(yàn)．根據(jù)收集到的數(shù)據(jù)(如下表)，由最小二乘法求得線性回歸方程eq\o(y,\s\up6(^))＝0.67x＋54.9.零件數(shù)x(個(gè))1020304050加工時(shí)間(min)62758189現(xiàn)發(fā)現(xiàn)表中有一個(gè)數(shù)據(jù)模糊不清，請(qǐng)你推斷出該數(shù)據(jù)的值為________．【解析】eq\o(x,\s\up6(－))＝30，線性回歸方程必過(guò)樣本點(diǎn)的中心(eq\o(x,\s\up6(－))，eq\o(y,\s\up6(－)))，則eq\o(y,\s\up6(－))＝0.67×30＋54.9＝75，設(shè)模糊數(shù)據(jù)為a，則eq\f(62＋a＋75＋81＋89,5)＝75，解得a＝68.故填68.【答案】688．某單位為了了解用電量y(度)與氣溫x(℃)之間的關(guān)系，隨機(jī)統(tǒng)計(jì)了某4天的用電量與當(dāng)天氣溫，并制作了對(duì)照表：氣溫(℃) 181310－1用電量(度)24343864由表中數(shù)據(jù)得回歸直線方程eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^))中的eq\o(b,\s\up6(^))＝－2，預(yù)測(cè)當(dāng)氣溫為－4℃時(shí)，用電量約為________度．【解析】根據(jù)題意知eq\o(x,\s\up6(－))＝eq\f(18＋13＋10＋（－1）,4)＝10，eq\o(y,\s\up6(－))＝eq\f(24＋34＋38＋64,4)＝40，因?yàn)榛貧w直線過(guò)樣本點(diǎn)的中心，所以eq\o(a,\s\up6(^))＝40－(－2)×10＝60，所以當(dāng)x＝－4時(shí)，y＝(－2)×(－4)＋60＝68，所以用電量約為68度．【答案】689．(2018·廣州模擬)為了判斷高中三年級(jí)學(xué)生選修文理科是否與性別有關(guān)，現(xiàn)隨機(jī)抽取50名學(xué)生，得到2×2列聯(lián)表如下：理科文科總計(jì)男131023女72027總計(jì)203050已知P(K2≥3.841)≈0.05，P(K2≥5.024)≈0.025.根據(jù)表中數(shù)據(jù)，得到K2＝eq\f(50×（13×20－10×7）2,23×27×20×30)≈4.844，則認(rèn)為選修文理科與性別有關(guān)系出錯(cuò)的可能性約為________．【解析】由K2＝4.844＞3.841.故認(rèn)為選修文理科與性別有關(guān)系出錯(cuò)的可能性約為5%.【答案】5%10．對(duì)具有線性相關(guān)關(guān)系的變量x，y有一組觀測(cè)數(shù)據(jù)(xi，yi)(i＝1，2，…，8)，其線性回歸方程是eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\f(1,3)x＋eq\o(a,\s\up6(^))，且x1＋x2＋x3＋…＋x8＝2(y1＋y2＋y3＋…＋y8)＝6，則實(shí)數(shù)eq\o(a,\s\up6(^))的值是________．【解析】依題意可知樣本點(diǎn)的中心為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)，\f(3,8)))，則eq\f(3,8)＝eq\f(1,3)×eq\f(3,4)＋eq\o(a,\s\up6(^))，解得eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\f(1,8).【答案】eq\f(1,8)11．某百貨公司1～6月份的銷售量x與利潤(rùn)y的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如下表：月份123456銷售量x(萬(wàn)件)1011131286利潤(rùn)y(萬(wàn)元)222529261612(1)根據(jù)2～5月份的數(shù)據(jù)，畫出散點(diǎn)圖，求出y關(guān)于x的線性回歸方程eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^))；(2)若由線性回歸方程得到的估計(jì)數(shù)據(jù)與剩下的檢驗(yàn)數(shù)據(jù)的誤差均不超過(guò)2萬(wàn)元，則認(rèn)為得到的線性回歸方程是理想的，試問(wèn)所得線性回歸方程是否理想？【解析】(1)根據(jù)表中2～5月份的數(shù)據(jù)作出散點(diǎn)圖，如圖所示：計(jì)算得eq\o(x,\s\up6(－))＝11，eq\o(y,\s\up6(－))＝24，eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\o(y,\s\up6(－))－eq\o(b,\s\up6(^))eq\o(x,\s\up6(－))＝24－eq\f(18,7)×11＝－eq\f(30,7).故y關(guān)于x的線性回歸方程為eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\f(18,7)x－eq\f(30,7).(2)當(dāng)x＝10時(shí)，eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\f(18,7)×10－eq\f(30,7)＝eq\f(150,7)，此時(shí)eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(150,7)－22))<2；當(dāng)x＝6時(shí)，eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\f(18,7)×6－eq\f(30,7)＝eq\f(78,7)，此時(shí)eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(78,7)－12))<2.故所得的線性回歸方程是理想的.12．某高校共有學(xué)生15000人，其中男生10500人，女生4500人，為調(diào)查該校學(xué)生每周平均體育運(yùn)動(dòng)時(shí)間的情況，采用分層抽樣的方法，收集300位學(xué)生每周平均體育運(yùn)動(dòng)時(shí)間的樣本數(shù)據(jù)(單位：小時(shí))．(1)應(yīng)收集多少位女生的樣本數(shù)據(jù)？(2)根據(jù)這300個(gè)樣本數(shù)據(jù)，得到學(xué)生每周平均體育運(yùn)動(dòng)時(shí)間的頻率分布直方圖(如圖所示)，其中樣本數(shù)據(jù)的分組區(qū)間為：[0，2)，[2，4)，[4，6)，[6，8)，[8，10)，[10，12]，估計(jì)該校學(xué)生每周平均體育運(yùn)動(dòng)時(shí)間超過(guò)4小時(shí)的概率；(3)在樣本數(shù)據(jù)中，有60位女生的每周平均體育運(yùn)動(dòng)時(shí)間超過(guò)4小時(shí)，請(qǐng)列出每周平均體育運(yùn)動(dòng)時(shí)間與性別列聯(lián)表，并判斷是否有95%的把握認(rèn)為“該校學(xué)生的每周平均體育運(yùn)動(dòng)時(shí)間與性別有關(guān)”．附：K2＝eq\f(n（ad－bc）2,（a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d）).P(K2≥k0)0.100.050.0100.005k02.7063.8416.6357.879【解析】(1)300×eq\f(4500,15000)＝90，所以應(yīng)收集90位女生的樣本數(shù)據(jù)．(2)由頻率分布直方圖得1－2×(0.025＋0.100)＝0.75，所以該校學(xué)生每周平均體育運(yùn)動(dòng)時(shí)間超過(guò)4小時(shí)的概率的估計(jì)值為0.75.(3)由(2)知，300位學(xué)生中有300×0.75＝225(人)的每周平均體育