江蘇省專轉(zhuǎn)本高等數(shù)學(xué)第七章矢量與解析幾何核心知識點例題講解(含答案)

第七章矢量與空間解析幾何本章主要知識點矢量運算平面直線方程主要的幾個立體圖形及方法一、矢量運算著重掌握矢量的內(nèi)積、叉積運算，并深刻理解這兩種運算在研究線線、線面、面面之間位置關(guān)系時的作用；掌握以矢量為主要線索來建立直線和平面方程的方法和實質(zhì)。1．矢量的內(nèi)積〔1〕，其中為的夾角〔2〕假設(shè)，且〔3〕(為非零矢量)例7.1．，求。解：。例7.2．如果，且，求。解：得：得：。2．矢量的叉積圖示7.1如下圖，如果不平行于，那么同時垂直與又垂直于，或者等價地，垂直于由確定的一平面。它在后面研究平面與直線中起相當(dāng)重要的作用。圖示7.1如果那么，利用第一行代數(shù)余子式展開計算。假設(shè)非零，例7.3．，求解：例7.4．如果，求解：，解得：。3．單位向量為矢量的方向上的單位矢量。4．矢量在上的投影二、平面方程1．平面方程的根本形式〔點法式〕平面過點，法矢量為那么平面方程為〔1〕點法式有兩個根本要素：點和法向量。〔2〕如果一平面方程寫為，那么?！?〕兩平面之間的位置矢量由各自的法向量來決定?！?〕點到平面的距離例7.5．平面過三點,求平面方程。解：平面方程為例7.6．平面過點且平行與矢量，求平面方程。解：平面方程為。例7.7．平面過點且與平面平行，求平面的方程解：，平面方程為。三、直線方程直線過且方向矢量為，那么直線方程〔點斜式〕的根本形式為：直線點斜式兩根本要素為及方向矢量。另外一種常見的直線方程可由兩平面相交形式給出。例7.8．如果直線方程為，求直線的方向矢量的點斜式方程解：令，得，所以故，兩平面的方向為，那么直線的點斜式為例7.9．求直線在平面的投影直線的方程。解：取直線，交線構(gòu)成平面，那么，的法線故平面方程為，圖示7.2即，。圖示7.2故直線的方程為。例7.10．當(dāng)為何值時，直線與直線平行？解：平面法矢量分別為：直線方向矢，直線方向矢，由得：那么，，，得：，，即，所以，，于是得到或。例7.11．平面通過直線，且與平面：垂直，求平面的方程。解：設(shè)平面方程為即：；由于即得：，即平面的方程為或注：此題解法中應(yīng)用了平面束的概念。例7.12．平面通過點〔1,-1,2〕且直線落在其中，求平面方程。解：平面方程為：。例7.13．求異面直線之間的距離。解：，以為法矢量分別作包含的兩平行平面，即，即兩平面間的距離就是異面直線之間的距離。。四、常見曲面及方程方程名稱母線平行軸，準(zhǔn)線是面上曲線的柱面方程平面上曲線：繞軸旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)面方程。橢球面橢圓拋物面雙曲拋物面單葉雙曲面雙葉雙曲面單元練習(xí)題7給為兩個非零矢量，為非零常數(shù)，假設(shè)向量垂直于向量，那么等于〔〕A．B.C.D.2.設(shè)，用表示方向上單位向量，那么向量在上的投影為〔〕A．B.C.D.3.方程在空間直角坐標(biāo)系下表示為：A．圓柱面B.點C.圓D.旋轉(zhuǎn)拋物面4．在空間坐標(biāo)系下，以下為平面方程的是：A.B.C.D.5．與平面垂直的直線方程為：A．B.C.D.6．直線與x軸平行，且與曲線相切，那么切點坐標(biāo)是：A．〔1,1〕B．(-1,1)C．(0,-1)D．(0,1)7．點到平面的距離。8．過原點且與直線：垂直的平面方程為9．過點且平行向量的平面方程為。10．過點且平行于兩個平面，的直線方程為。11．曲線繞軸旋轉(zhuǎn)一周所生成的旋轉(zhuǎn)曲面的方程為。12．判斷直線與平面的關(guān)系。13．向量求與同向的單位向量。14．求通過原點且垂直于直線：的平面方程。15.把方程化為標(biāo)準(zhǔn)式〔點斜式〕與參數(shù)形式。16．平面通過直線且與直線平行，求平面方程。17．求過點且與直線和平行的平面方程式。18．確定與的平行或垂直關(guān)系。19．確定與平面的平行或垂直關(guān)系。歷年真考題1．〔2001〕方程在空間直角坐標(biāo)系下表示〔〕A.圓柱面B.點C.圓D.旋轉(zhuǎn)拋物面2．〔2002〕在空間坐標(biāo)系下，以下為平面方程的是〔〕A.B.C.D.3．〔2003〕與平面垂直的直線方程為〔〕A.B.C.D.4．〔2004〕過點M(1,0,-2)且垂直于平面的直線方程為______.5．〔2005〕設(shè)向量假設(shè)與垂直，那么k=________.6．〔2005〕求過點且通過直線的平面方程。本章測試題1．過點與平面相平行的平面方程是。2．直線的標(biāo)準(zhǔn)式是。3．將曲線繞軸旋轉(zhuǎn)所的旋轉(zhuǎn)面方程是。4．下面哪條直線與平面平行〔〕Ａ.Ｂ.Ｃ.Ｄ.5．下面曲面中哪一個是旋轉(zhuǎn)拋物面〔〕Ａ.Ｂ.Ｃ.Ｄ.6．一平面通過直線且垂直于平面,求平面的方程。7.求過點M(-3,2,5)且與兩個平面：的交線平行的直線方程。單元練習(xí)題七答案1、B，2、B，3、A，4、D，5、D，6、C，7、，8、，9、，10、11、12、，平面法矢量，由于故：∥13.。與同向單位向量14．解：的方向矢量所求平面的法矢量：∥，可?。浩矫娣匠虨椋?。15．取由解得：，故直線通過點標(biāo)準(zhǔn)式〔點斜式〕方程：參數(shù)形式方程為：16．解：設(shè)平