新教材高中數(shù)學(xué)函數(shù)的概念與性質(zhì)函數(shù)的應(yīng)用一教學(xué)案新人教A版必修第一冊(cè)

3.4函數(shù)的應(yīng)用(一)

(教師獨(dú)具內(nèi)容)

課程標(biāo)準(zhǔn)：1.理解函數(shù)模型是描述客觀世界中變量關(guān)系和規(guī)律的重要數(shù)學(xué)語言和工具.2.

在實(shí)際情境中，能夠運(yùn)用已經(jīng)學(xué)過的一次函數(shù)、二次函數(shù)、分段函數(shù)及基函數(shù)建立模型，解

決簡單的實(shí)際問題，體會(huì)這些函數(shù)在解決實(shí)際問題中的作用.

教學(xué)重點(diǎn)：用函數(shù)模型來解決實(shí)際問題.

教學(xué)難點(diǎn)：建立函數(shù)模型.

【知識(shí)導(dǎo)學(xué)】

知識(shí)點(diǎn)用函數(shù)模型解決實(shí)際問題的一般步驟

(1)審題：，弄清題意，分清條件和結(jié)論，理順數(shù)量關(guān)系，用函數(shù)刻畫實(shí)際問題，初步選

擇模型.

(2)建模：■將文字語言轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語言，利用數(shù)學(xué)知識(shí)，建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型.

(3)求模：因求解數(shù)學(xué)模型，得到數(shù)學(xué)結(jié)論.

(4)還原：?利用數(shù)學(xué)知識(shí)和方法得出的結(jié)論還原到實(shí)際問題中.

可將這些步驟用框圖表示如下：

【新知拓展】

常見的函數(shù)模型

(1)一次函數(shù)模型：即直線模型，其特點(diǎn)是隨著自變量的增大，函數(shù)值勻速增大或減小.現(xiàn)

實(shí)生活中很多事例可以用該模型來表示，例如：勻速直線運(yùn)動(dòng)的時(shí)間和位移的關(guān)系，彈簧的

伸長量與拉力的關(guān)系等.

(2)二次函數(shù)模型：二次函數(shù)為生活中最常見的一種數(shù)學(xué)模型，因二次函數(shù)可求其最大值

(或最小值)，故最優(yōu)、最省等問題常常是二次函數(shù)的模型.

(3)分段函數(shù)模型：由于分段函數(shù)在不同的區(qū)間中具有不同的解析式，因此分段函數(shù)在研

究條件變化的實(shí)際問題，或者在某一特定條件下的實(shí)際問題中具有廣泛的應(yīng)用.

1.判一判(正確的打“J”，錯(cuò)誤的打“X”)

(1)在用函數(shù)模型解決實(shí)際問題時(shí)，得到的數(shù)學(xué)問題的解就是實(shí)際問題的解.()

(2)現(xiàn)實(shí)生活中有很多問題都可以用分段函數(shù)來描述，如出租車計(jì)費(fèi)，個(gè)人所得稅

等.()

(3)一根蠟燭長20cm,點(diǎn)燃后每小時(shí)燃燒5cm,燃燒時(shí)剩下的高度方(cm)與燃燒時(shí)間t(h)

的函數(shù)關(guān)系可以用一次函數(shù)模型來刻畫.()

答案⑴X(2)J(3)V

2.做一做(請(qǐng)把正確的答案寫在橫線上)

(1)某人從/地出發(fā)，開汽車以80千米/小時(shí)的速度經(jīng)2小時(shí)到達(dá)8地，在8地停留2小

時(shí)，則汽車離開/地的距離y(單位：千米)是時(shí)間力(單位：小時(shí))的函數(shù)，該函數(shù)的解析式是

(2)有200m長的籬笆材料，如果利用已有的一面墻(假設(shè)長度夠用)作為一邊，圍成一塊

矩形菜地，那么矩形的長為________m,寬為________m時(shí)，這塊菜地的面積最大.

801,0WW2,

答案(1)/='(2)10050

160,2〈區(qū)4

題型一一次函數(shù)模型解決實(shí)際問題

例1某服裝廠每天生產(chǎn)童裝200套或西服50套，已知每生產(chǎn)一套童裝需成本40元，可

獲得利潤22元，每生產(chǎn)一套西服需成本150元，可獲得利潤80元.由于資金有限，該廠每

月成本支出不超過23萬元，為使贏利最大，若按每月30天計(jì)算，應(yīng)安排生產(chǎn)童裝和西服各

多少天(天數(shù)為整數(shù))？并求出最大利潤.

［解］設(shè)生產(chǎn)童裝的天數(shù)為x,則生產(chǎn)西服的天數(shù)為(30—王)，每月生產(chǎn)童裝和西服的套

數(shù)分別為200%和50(30—x),每月生產(chǎn)童裝和西服的成本分別為40X200%元和150X50X(30

一X)元，每月生產(chǎn)童裝和西服的利潤分別為22X200X元和80X50X(30—x)元，則總利潤為

y=22X200x+80X50X(30-x),化簡得y=400x+120000.

注意到每月成本不超過23萬元，則40X200x+150X50X(30—x)W230000,從而求出x

的取值范圍是OWxWlO,且x為整數(shù).顯然當(dāng)x=10時(shí)，贏利最大，最大利潤是124000元.

金版點(diǎn)睛

用一次函數(shù)模型解決實(shí)際問題的解題方法

(1)建立一次函數(shù)模型時(shí)應(yīng)先求出自變量的取值范圍；

(2)根據(jù)題目中的數(shù)量關(guān)系建立一次函數(shù)模型；

(3)利用一次函數(shù)的圖象和性質(zhì)進(jìn)行求解、檢驗(yàn).

［跟蹤訓(xùn)練1］某列火車從北京西站開往石家莊，全程277km.火車出發(fā)10min開出13km

后，以120km/h勻速行駛.試寫出火車行駛的總路程s與勻速行駛的時(shí)間t之間的關(guān)系，并

求離開北京2h時(shí)火車行駛的路程.

解因?yàn)榛疖噭蛩龠\(yùn)動(dòng)的時(shí)間為(277—13)+120=??,所以0W因?yàn)榛疖噭蛩?/p>

行駛th所行駛路程為1200，所以，火車行駛總路程s與勻速行駛時(shí)間力之間的關(guān)系是s=

13+120離開北京2h時(shí)火車行駛的路程s=13+120Xy=233(km).

題型二二次函數(shù)模型解決實(shí)際問題

例2某化工廠引進(jìn)一條先進(jìn)生產(chǎn)線生產(chǎn)某種化工產(chǎn)品，其生產(chǎn)的總成本y(萬元)與年產(chǎn)

量x(噸)之間的函數(shù)關(guān)系式可以近似地表示為y=--48x+8000,已知此生產(chǎn)線年產(chǎn)量最大為

□

210噸.若每噸產(chǎn)品平均出廠價(jià)為40萬元，那么當(dāng)年產(chǎn)量為多少噸時(shí)，可以獲得最大利潤？

最大利潤是多少？

［解］設(shè)可獲得總利潤為R5)萬元，

則7?(x)=40%-y

X

=40x—=+48/—8000

5

殳

=一二+88彳―8000

o

=-5(X-220)2+1680(0WXW210).

□

在［0,210］上單調(diào)遞增，

...x=210時(shí)，

/?(%)??=-7(210-220)2+1680=1660(萬元).

□

.?.年產(chǎn)量為210噸時(shí)，可獲得最大利潤1660萬元.

金版點(diǎn)睛

用二次函數(shù)模型解題的策略

(1)根據(jù)實(shí)際問題建立函數(shù)解析式(即二次函數(shù)關(guān)系式).

(2)利用配方法、判別式法、換元法、函數(shù)的單調(diào)性等方法求函數(shù)的最值，從而解決實(shí)際

問題中的最值問題.

(3)解答二次函數(shù)最值問題最好結(jié)合二次函數(shù)的圖象.

［跟蹤訓(xùn)練2］有甲、乙兩種商品，經(jīng)營銷售這兩種商品所獲得的利潤依次為Q萬元和Q

1Q

萬元，它們與投入的資金X萬元的關(guān)系是Q^-X,Q=n「.現(xiàn)有3萬元資金投入使用，則對(duì)

UU

甲、乙兩種商品如何投資才能獲得最大利潤？

解設(shè)對(duì)甲種商品投資X萬元，則對(duì)乙種商品投資(3—X)萬元，總利潤為y萬元.

所以。=三X，。=力3—x.

13____

所以y=苫+與3—x(0》xW3),

D0

令t=y［3—x(0^W小),則x=3一七.

所以y=|(3-a+*=$一0+a

321

當(dāng)力=5時(shí)，場(chǎng)(“=^=1.05(萬元)，

3

即x=7=0.75(萬元)，所以3—x=2.25(萬元).

由此可知，為獲得最大利潤，對(duì)甲、乙兩種商品的資金投入分別為0.75萬元和2.25萬

元，共獲得利潤1.05萬元.

題型三分段函數(shù)模型解決實(shí)際問題

例3某廠生產(chǎn)某種零件，每個(gè)零件的成本為40元，出廠單價(jià)定為60元，該廠為鼓勵(lì)銷

售商訂購，決定當(dāng)一次訂購量超過100個(gè)時(shí)，每多訂購1個(gè)，訂購的全部零件的出廠單價(jià)就

降低0.02元，但實(shí)際出廠單價(jià)不能低于51元.

(1)當(dāng)一次訂購量為多少個(gè)時(shí)，零件的實(shí)際出廠單價(jià)恰降為51元？

(2)設(shè)一次訂購量為x個(gè)，零件的實(shí)際出廠單價(jià)為尸元，寫出函數(shù)Af(x)的表達(dá)式；

(3)當(dāng)銷售商一次訂購500個(gè)零件時(shí)，該廠獲得的利潤是多少元？如果訂購1000個(gè)，利

潤又是多少元？

(工廠售出一個(gè)零件的利潤=實(shí)際出廠單價(jià)一成本)

［解］(1)設(shè)每個(gè)零件的實(shí)際出廠價(jià)恰好降為51元時(shí)，一次訂購量為揚(yáng)個(gè)，則加=100+

60—51

萬位-=550(個(gè)).因此，當(dāng)一次訂購量為550個(gè)時(shí)，每個(gè)零件的實(shí)際出廠價(jià)恰好降為51元.

(2)當(dāng)0<x<100時(shí)，片=60；當(dāng)100cA<550時(shí)，

x

—60-0.02(%-100)=62-—；

當(dāng)x>550時(shí)，々51.

〃60,0<A<100,

x

P=f(x)=462——,100<x^550,(x￡N).

ou

.51,%>550

(3)設(shè)銷售商一次訂購量為x個(gè)時(shí)，工廠獲得的利潤為￡元，

〃20x,0<A<100,

貝！J￡=(〃-40)x=<22x一義，100<xW550,(x￡N).

□u

Jlx,x>550

當(dāng)x=500時(shí),￡=6000；當(dāng)x=1000時(shí)，￡=11000.

因此，當(dāng)銷售商一次訂購500個(gè)零件時(shí)，該廠獲得的利潤是6000元；如果訂購1000個(gè),

利潤是110007C.

金版點(diǎn)睛

用分段函數(shù)模型解決實(shí)際問題的解法

分段函數(shù)主要是每一段自變量變化所遵循的規(guī)律不同，可以先將其當(dāng)作幾個(gè)問題，將各

段的變化規(guī)律分別找出來，再將其合到一起，要注意各段變量的范圍，特別是端點(diǎn)值.

［跟蹤訓(xùn)練3］有一新款服裝在4月份(共30天)投放某專賣店銷售，日銷售量近單位：

件)關(guān)于時(shí)間〃"?”)(單位：天)的函數(shù)圖象如圖所示，其中函數(shù)y=F(〃)的圖象

中的點(diǎn)位于斜率為5和一3的兩條直線上，兩直線的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為如且第必天日銷售量最

大.

(1)求/(〃)的表達(dá)式，及前0天的銷售總量；

(2)按規(guī)律，當(dāng)該服裝的銷售總量超過400件時(shí)，社會(huì)上流行該服裝，而日銷售量連續(xù)下

降并低于30件時(shí)，該服裝的流行會(huì)消失.試問該服裝在社會(huì)上流行的天數(shù)是否會(huì)超過10天？

并說明理由.

解(1)由圖象知，當(dāng)且〃GN*時(shí)，設(shè)/"(〃)=5〃+6,將點(diǎn)(1,2)代入，得5+6=

2,

解得6=—3,則f［n)=5/7-3.

由/'(加)=57,即5加一3=57,得0=12.

當(dāng)12<〃W30且〃CN*時(shí)，設(shè)『(〃)=一3〃+衣，將點(diǎn)(30,3)代入，得一3X30+4=3,解得

4=93,則/（。）=一3〃+93.

5P-3,且〃GN*,

綜上得f(〃)=

一3〃+93,12〈〃W30且

前12天的銷售總量為5(l+2+3+…+12)-3X12=354(件).

⑵第13天的銷售量為f(13)=-3X13+93=54(件)，而354+54>400,

從第14天開始銷售總量超過400件，即該服裝開始流行.

設(shè)第〃天的日銷售量開始低于30件(12〈〃W30且〃6N*),即［(")=一3〃+93〈30,解得

成21.

從第22天開始日銷售量低于30件，即流行時(shí)間為14號(hào)至21號(hào).

...該服裝在社會(huì)上流行的天數(shù)不超過10天.

題型四綜合運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題

例4某商品每件成本價(jià)為80元，售價(jià)為100元，每天售出100件.若售價(jià)降低x成(1

O

成=10%),售出商品數(shù)量就增加成.要求售價(jià)不能低于成本價(jià).

(1)設(shè)該商店一天的營業(yè)額為外試求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式尸f(x),并寫出定義域;

(2)若要求該商品一天營業(yè)額至少為10260元，求x的取值范圍.

［解］(1)由題意得尸100(1一%)700(1+卷，

因?yàn)槭蹆r(jià)不能低于成本價(jià)，所以1000—高一8020,得啟2.所以y=/U)=20(10-

x)(50+8x),定義域?yàn)椋?,2］.

113

(2)由題意得20(10一入)(50+8x)210260,化簡得8_?—30/+13W0.解得所以

x的取值范圍是2.

金版點(diǎn)睛

對(duì)于此類實(shí)際應(yīng)用問題，應(yīng)先根據(jù)題意建立函數(shù)關(guān)系式，再解決數(shù)學(xué)問題，最后結(jié)合問

題的實(shí)際意義作出回答.建立函數(shù)關(guān)系式是解題關(guān)鍵.

［跟蹤訓(xùn)練4］甲廠以x千克/小時(shí)的速度勻速生產(chǎn)某種產(chǎn)品(生產(chǎn)條件要求IWxWlO),

每小時(shí)可獲得的利潤是100(5x+l一g元.

(1)要使生產(chǎn)該產(chǎn)品2小時(shí)獲得的利潤不低于3000元，求x的取值范圍；

(2)要使生產(chǎn)900千克該產(chǎn)品獲得的利潤最大，問：甲廠應(yīng)該選取何種生產(chǎn)速度？并求最

大利潤.

解（1）根據(jù)題意，得

200^5x+l-^3000,

3

整理得5x-14一—與0,即5f—14了一320,

x

又IWXWIO,可解得3WA<10.

即要使生產(chǎn)該產(chǎn)品2小時(shí)獲得的利潤不低于3000元，x的取值范圍是［3,10］.

（2）設(shè)利潤為y元，則

一絆.哪什1—%9'10（5+:￡|

故當(dāng)x=6時(shí)，％?x=457500元.

即甲廠以6千克/小時(shí)的生產(chǎn)速度生產(chǎn)900千克該產(chǎn)品時(shí)獲得的利潤最大，最大利潤為

457500元.

1.設(shè)甲、乙兩地的距離為a（a〉O）米，小王騎自行車勻速從甲地到乙地用了20分鐘，在

乙地休息10分鐘后，他又勻速從乙地返回到甲地用了30分鐘，則小王從出發(fā)到返回原地所

走過的路程y（米）和其所用的時(shí)間x（分）的函數(shù)圖象為（如下圖所示）（）

答案D

解析注意到y(tǒng)表示“小王從出發(fā)到返回原地所走過的路程”，而不是位移.故選D.

2.某學(xué)校要召開學(xué)生代表大會(huì)，規(guī)定各班每10人推選一名代表，當(dāng)各班人數(shù)除以10的

余數(shù)大于6時(shí)再增選一名代表.那么，各班可推選代表人數(shù)y與該班人數(shù)X之間的函數(shù)關(guān)系

用取整函數(shù)y=［x］（［x］表示不大于x的最大整數(shù)）可以表示為（）

「x+4］「x+5一

C-y=\_10JD,尸［10_

答案B

解析根據(jù)規(guī)定可知，當(dāng)各班人數(shù)除以10的余數(shù)分別為7,8,9時(shí)可以增選一名代表，所

x+3

以最小應(yīng)該加3,因此利用取整函數(shù)可表示為y=

10

3.生產(chǎn)一定數(shù)量的商品的全部費(fèi)用稱為生產(chǎn)成本，某企業(yè)一個(gè)月生產(chǎn)某種商品x萬件時(shí)

的生產(chǎn)成本為以*)=^/+2*+20(萬元).1萬件售價(jià)是20萬元，若該企業(yè)生產(chǎn)的這種商品能

夠全部售出，那么為獲取最大利潤，該企業(yè)一個(gè)月應(yīng)生產(chǎn)該商品的數(shù)量為()

A.18萬件B.