陜西省寶雞南山高級(jí)中學(xué)2023=2024學(xué)年高二下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題

寶雞南山中學(xué)2022級(jí)2023～2024學(xué)年高二第二學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)全卷滿分150分，考試時(shí)間120分鐘．注意事項(xiàng)：1．答題前，先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在試卷和答題卡上，并將條形碼粘貼在答題卡上的指定位置．2．請(qǐng)按題號(hào)順序在答題卡上各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，寫在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效．3．選擇題用2B鉛筆在答題卡上把所選答案的標(biāo)號(hào)涂黑；非選擇題用黑色簽字筆在答題卡上作答；字體工整，筆跡清楚．4．考試結(jié)束后，請(qǐng)將試卷和答題卡一并上交．5．本卷主要考查內(nèi)容：必修第二冊(cè)，選擇性必修第一冊(cè)，選擇性必修第二冊(cè)，選擇性必修第三冊(cè)．一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的、1．《中國好聲音》報(bào)名即將開始，選手們可通過撥打熱線電話或登陸官網(wǎng)兩種方式之一來報(bào)名．現(xiàn)有甲、乙、丙三人均要報(bào)名參加，則不同的報(bào)名方法有（）A．4種B．6種C．8種D．9種2．已知復(fù)數(shù)z滿足（i是虛數(shù)單位），則（）A．B．C．D．3．某市2018年至2022年新能源汽車年銷量y（單位：千臺(tái)）與年份代號(hào)x的數(shù)據(jù)如下表：年份2019202020212022年份代號(hào)x1234年銷量y1520m35若根據(jù)表中的數(shù)據(jù)用最小二乘法求得y關(guān)于x的經(jīng)驗(yàn)回歸直線方程為，則表中m的值為（）A．25B．28C．30D．324．是一種由60個(gè)碳原子構(gòu)成的分子，形似足球，又名足球烯，其分子結(jié)構(gòu)由12個(gè)正五邊形和20個(gè)正六邊形組成．如圖，將足球烯上的一個(gè)正六邊形和相鄰正五邊形展開放平，若正多邊形的邊長為1，A，B，C為正多邊形的頂點(diǎn)，則（）A．1B．2C．3D．45．已知顏色分別是紅、綠、黃的三個(gè)大小相同的口袋，紅色口袋內(nèi)裝有兩個(gè)紅球，一個(gè)綠球和一個(gè)黃球；綠色口袋內(nèi)裝有兩個(gè)紅球，一個(gè)黃球；黃色口袋內(nèi)裝有三個(gè)紅球，兩個(gè)綠球（球的大小質(zhì)地相同）．若第一次先從紅色口袋內(nèi)隨機(jī)抽取1個(gè)球，然后將取出的球放人與球同顏色的口袋內(nèi)，第二次從該口袋內(nèi)任取一個(gè)球，則第二次取到黃球的概率為（）A．B．C．D．6．著名的古希臘數(shù)學(xué)家阿基米德一生最為滿意的一個(gè)數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)就是“圓柱容球”定理：把一個(gè)球放在一個(gè)圓柱形的容器中，如果蓋上容器的上蓋后，球恰好與圓柱的上、下底面和側(cè)面相切（該球也被稱為圓柱的內(nèi)切球），那么此時(shí)圓柱的內(nèi)切球體積與圓柱體積之比為定值，則該定值為（）A．B．C．D．7．已知函數(shù)在上單調(diào)遞減的概率為，且隨機(jī)變量，則（）（附：若，則，）A．0.1359B．0.01587C．0.0214D．0.013418．已知點(diǎn)A為直線上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)，且滿足，則的最小值為（）A．B．C．D．二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分．9．《莊子·天下》中有：“一尺之棰，日取其半，萬世不竭”，其大意為：一根一尺長的木棰每天截取一半，永遠(yuǎn)都取不完，設(shè)第一天這根木棰截取一半后剩下尺，第二天截取剩下的一半后剩下尺，…，第五天截取剩下的一半后剩下尺，則下列說法正確的是（）A．B．C．D．10．下列命題中正確的是（）A．已知一組數(shù)據(jù)6，6，7，8，10，12，則這組數(shù)據(jù)的50%分位數(shù)是7.5B．隨機(jī)變量，且，則C．若隨機(jī)變量，則D．在回歸方程中，y與x具有負(fù)線性相關(guān)關(guān)系11．某商場舉辦一項(xiàng)抽獎(jiǎng)活動(dòng)，規(guī)則如下：每人將一枚質(zhì)地均勻的骰子連續(xù)投擲3次，記第i次正面朝上的點(diǎn)數(shù)為，若“”，則算作中獎(jiǎng)，現(xiàn)甲、乙、丙、丁四人參加抽獎(jiǎng)活動(dòng)，記中獎(jiǎng)人數(shù)為X，下列說法正確的是（）A．若甲第1次投擲正面朝上的點(diǎn)數(shù)為3，則甲中獎(jiǎng)的可能情況有4種B．若甲第3次投擲正面朝上的點(diǎn)數(shù)為5，則甲中獎(jiǎng)的可能情況有6種C．甲中獎(jiǎng)的概率為D．12．已知函數(shù)，則下列說法正確的是（）A．方程號(hào)恰有3個(gè)不同的實(shí)數(shù)解B．函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)C．若關(guān)于x的方程恰有1個(gè)解，則D．若，且，則存在最大值三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13．展開式中的常數(shù)項(xiàng)為________．14．隨著杭州亞運(yùn)會(huì)的舉辦，吉祥物“琮琮”、“蓮蓮”、“宸宸”火遍全國．現(xiàn)有甲、乙、丙3位運(yùn)動(dòng)員要與“琮琮”、“蓮蓮”、“宸宸”站成一排拍照留念，則這3個(gè)吉祥物相鄰的排隊(duì)方法數(shù)為_________．（用數(shù)字作答）15．在20件產(chǎn)品中可能存在次品，從中抽取2件檢查，其次品數(shù)為，已知，且該產(chǎn)品的次品率不超過30%，則這20件產(chǎn)品的次品率為___________．16．已知A，B兩個(gè)不透明的盒中各有形狀、大小都相同的紅球、白球若干個(gè)，A盒中有m個(gè)紅球與個(gè)白球，B盒中有個(gè)紅球與m個(gè)白球，若從A，B兩盒中各取1個(gè)球，表示所取的2個(gè)球中紅球的個(gè)數(shù)，則的最大值為________．四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程及演算步驟．17．（本小題滿分10分）已知數(shù)列滿足：，數(shù)列是以4為公差的等差數(shù)列．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）記數(shù)列的前n項(xiàng)和為，求的值．18．（本小題滿分12分）生態(tài)環(huán)境部等五部門發(fā)布關(guān)于實(shí)施汽車國六排放標(biāo)準(zhǔn)有關(guān)事宜的公告，其中提到，自2023年7月1日起，全國范圍全面實(shí)施國六排放標(biāo)準(zhǔn)6b階段，禁止生產(chǎn)、進(jìn)口、銷售不符合國六排放標(biāo)準(zhǔn)6b階段的汽車．為調(diào)查市民對(duì)此公告的了解情況，對(duì)某市市民進(jìn)行抽樣調(diào)查．了解不了解合計(jì)男性14060200女性18020200合計(jì)32080400（1）根據(jù)以上數(shù)據(jù)，依據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否認(rèn)為對(duì)此公告的了解情況與性別有關(guān)?并說明原因；（2）以樣本的頻率為概率．在全市隨機(jī)抽取5名市民進(jìn)行采訪，求這5名中恰有3名為“了解”的概率．附：0.100.050.0100.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828參考公式：，其中．19．（本小題滿分12分）如圖，在四棱錐中，底面ABCD是邊長為3的正方形．（1）若直線l是平面PAB和平面PCD的交線，證明：；（2）若四棱錐的體積為3，二面角和二面角都是，求直線AP與平面PBC所成角的正弦值．20．（本小題滿分12分）2021年底某購物網(wǎng)站為了解會(huì)員對(duì)售后服務(wù)（包括退貨、換貨、維修等）的滿意度，從2021年下半年的會(huì)員中隨機(jī)調(diào)查了25個(gè)會(huì)員，得到會(huì)員對(duì)售后服務(wù)的滿意度評(píng)分如下：958875829094986592100859095778770899390848283977391根據(jù)會(huì)員滿意度評(píng)分，將會(huì)員的滿意度從低到高分為三個(gè)等級(jí)：滿意度評(píng)分低于75分75分到94分不低于95分滿意度等級(jí)不滿意比較滿意非常滿意（1）根據(jù)這25個(gè)會(huì)員的評(píng)分，估算該購物網(wǎng)站會(huì)員對(duì)售后服務(wù)比較滿意和非常滿意的頻率；（2）以（1）中的頻率作為概率，假設(shè)每個(gè)會(huì)員的評(píng)價(jià)結(jié)果相互獨(dú)立．（i）若從下半年的所有會(huì)員中隨機(jī)選取2個(gè)會(huì)員，求恰好一個(gè)評(píng)分比較滿意，另一個(gè)評(píng)分非常滿意的概率；（ⅱ）若從下半年的所有會(huì)員中隨機(jī)選取3個(gè)會(huì)員，記評(píng)分非常滿意的會(huì)員的個(gè)數(shù)為X，求X的分布列，數(shù)學(xué)期望及方差．21．（本小題滿分12分）已知雙曲線，其焦點(diǎn)到漸近線的距離為，雙曲線C的離心率為2，右焦點(diǎn)為F，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．（1）求雙曲線C的方程；（2）若經(jīng)過右焦點(diǎn)F的直線l交雙曲線C的右支于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)N滿足，求直線ON的斜率的取值范圍．22．（本小題滿分12分）已知函數(shù)．（1）當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；（2）當(dāng)時(shí)，證明：．

寶雞南山中學(xué)2022級(jí)2023~2024學(xué)年高二第二學(xué)期期中考試·數(shù)學(xué)參考答案，提示及評(píng)分細(xì)則1．C每人選擇的方式有2種，總共有種．故選C．2．A設(shè)，所以，所以，所以．故選A．3．C由已知，回歸直線方程為過樣本點(diǎn)中心，∴，即∴．故選C．4．B取AC的中點(diǎn)M，則，所以，故選B．5．D記第一次抽到紅、綠、黃球的事件分別為則，記第二次在紅、綠、黃色口袋內(nèi)抽到黃球的事件分別為，而兩兩互斥，其和為，所以.記第二次抽到黃球的事件為B，則，故選D．6．D設(shè)圓柱的母線長為l．內(nèi)切球的半徑為r，如圖所示，則其軸截面如圖所示，則，所以圓柱的內(nèi)切球體積為，圓柱體積為，所以圓柱的內(nèi)切球體積與圓柱體積之比為．故選D．7．C根據(jù)題意在上單調(diào)遞減，可得，故∵，∴，故選C．8．D∵．∴．設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為，可得，∴P點(diǎn)軌跡是以點(diǎn)為圓心，1為半徑的圓，令，，令，．又∵解得，∴，，當(dāng)A，P，M三點(diǎn)共線時(shí)，最小為．即點(diǎn)M到直線的距離的2倍，．故選D．9．ACD根據(jù)題意可得，故A正確；．故B錯(cuò)誤；，則，故C正確；，故D正確．故選ACD．10．ABD對(duì)于A選項(xiàng)，，第3個(gè)和第4個(gè)數(shù)的平均數(shù)為，故A正確；對(duì)于B選項(xiàng)，，故B正確；對(duì)于C選項(xiàng)，，則，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D選項(xiàng)，，可得y與x具有負(fù)線性相關(guān)關(guān)系，可知D正確．故選ABD．11．BCD由題意知，當(dāng)時(shí)，中獎(jiǎng)情況有種，故A錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，中獎(jiǎng)情況有種，故B正確；中獎(jiǎng)情況如下：當(dāng)時(shí)，共有1種；當(dāng)時(shí)，共有種；當(dāng)時(shí)，共有種；∴記“”的事件為A，則中獎(jiǎng)的可能情況共有種，所有可能情況有種，∴，故C正確；四人參加抽獎(jiǎng)．每人中獎(jiǎng)的概率均為，中獎(jiǎng)人數(shù)．所以，故D正確．故選BCD．12．AD由已知，由方程得或或，由圖可知，無解，無解，有3個(gè)解，故A正確；由圖可知，和不是函數(shù)的極值點(diǎn)，故B錯(cuò)誤；若方程數(shù)恰有1個(gè)零點(diǎn)，即函數(shù)與的圖象僅有一個(gè)交點(diǎn)，可得或，故C錯(cuò)誤﹔由，則，則．設(shè)，則，設(shè)，顯然在上單調(diào)遞增，且，所以存在，使，且當(dāng)時(shí)，．單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，所以存在最大值，故D正確．故選AD．13．7，令，得，所以常數(shù)項(xiàng)為7．14．144先將甲、乙、丙3位運(yùn)動(dòng)員排序，然后將“琮琮”、“蓮蓮”、“宸宸”三個(gè)吉祥物插入3位運(yùn)動(dòng)員形成的空位中，所以不同的排隊(duì)方法種數(shù)為（種）．15．10%設(shè)20件產(chǎn)品中有x件次品，則，解得或．因?yàn)榇纹仿什怀^30%·所以，所以次品率為．16．的可能取值為0，1，2，，，所以的分布列為012P當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以當(dāng)取到最大值時(shí)，m的值為4．17．解：（1）根據(jù)題意可得，2分則；5分（2）∵7分∴10分18．解：（1）零假設(shè)為：對(duì)此公告的了解情況與性別相互獨(dú)立，即對(duì)此公告的了解情況與性別無關(guān)，由題意3分所以根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，我們推斷不成立．即認(rèn)為對(duì)此公告的了解情況與性別有關(guān)，此推斷犯錯(cuò)誤的概率不大于0.001；6分（2）由樣本數(shù)據(jù)可知，“了解”的概率為﹐9分設(shè)這5名市民中恰有3名為“了解”為事件A．則．12分19．（1）證明：∵正方形ABCD，∴，1分∵，平面PCD，平面PCD，∴平面PCD，平面PAB，直線l是平面PAB和平面PCD的交線，2分∴；3分（2）解：如圖，過點(diǎn)P作平面ABCD的垂線，垂足為H，過點(diǎn)H作，垂足為E，連接PE，因?yàn)槎娼呛投娼嵌际?，可知點(diǎn)H在正方形ABCD內(nèi)，4分四棱錐的體積為3，有，可得，5分因?yàn)槠矫鍭BCD，平面ABCD，所以，因?yàn)?，所以為二面角的平面角，可得，可得，同理可得點(diǎn)H到AD的距離為1，7分以A為坐標(biāo)原點(diǎn)向量，與平面ABCD垂直的方向分別為x，y，z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，，8分可得，9分設(shè)平面PBC的法向量為有，取，可得，11分由，有，所以直線AP與平面PBC所成角的正弦值為．12分20．（1）解：（1）由給出的25個(gè)數(shù)據(jù)可得，非常滿意的個(gè)數(shù)為5，不滿意的個(gè)數(shù)為3，比較滿意的個(gè)數(shù)為17，∵2分∴可估算該購物網(wǎng)站會(huì)員對(duì)售后服務(wù)比較滿意和非常滿意的頻率分別為0.68和0.2．3分（2）（i）記“恰好一個(gè)評(píng)分比較滿意，另一個(gè)評(píng)分非常滿意”為事件A，則．5分（ii）X的可能取值為0，1，2，3，，6分，7分，8分，9分則X的分布列為X0123P0.5120.3840.0960.008由題可知，∴．12分21．解：（1）根據(jù)題意得，3分∴雙曲線C的方程為；4分（2）∵，∴，∴，5分設(shè)點(diǎn)，設(shè)直線l的方程為，與雙曲線C的方程聯(lián)立，6分整理得，則，整理得，7分由根與系數(shù)的關(guān)系得，于是注意到，于是，解得，8分又點(diǎn)N滿足，即整理得9分兩式消除得，代入消去m得，10分因此