動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)軟體之教學(xué)設(shè)計(jì)

動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)軟體之教學(xué)設(shè)計(jì)左臺(tái)益Tai-YihTso國(guó)立臺(tái)灣師範(fàn)大學(xué)數(shù)學(xué)系2010.09.30摘要抽象數(shù)學(xué)通常需借助外在表徵作為個(gè)體內(nèi)在建構(gòu)與外部溝通數(shù)學(xué)思維之仲介。自由軟體GeoGebra是整合幾何、代數(shù)、微積分及統(tǒng)計(jì)試算表等多重表徵的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)數(shù)位工具且以開放碼公諸於世使其自然形成有機(jī)體成為不斷發(fā)展之?dāng)?shù)學(xué)學(xué)習(xí)資源。本報(bào)告將從中學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)面向概述GeoGebra教學(xué)設(shè)計(jì)及其相關(guān)的資源應(yīng)用。運(yùn)用動(dòng)態(tài)鏈結(jié)多重表徵於數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)抽象概念通常需藉助外在的表徵作為個(gè)體內(nèi)在建構(gòu)與外部溝通的仲介。在數(shù)學(xué)的發(fā)展過(guò)程中，人們不僅深入發(fā)展數(shù)學(xué)的知識(shí)，同時(shí)也建構(gòu)出各種表徵形式以溝通及存取抽象數(shù)學(xué)思維。學(xué)習(xí)者要瞭解、學(xué)習(xí)與應(yīng)用數(shù)學(xué)，不僅要思考數(shù)學(xué)的本質(zhì)意義，且要能充分掌握其各種表徵以及表徵之間的轉(zhuǎn)換與轉(zhuǎn)移（Lesh,1987;Kaput,1987,1989,2008），透過(guò)外在表徵的理解與操作來(lái)建構(gòu)此概念的內(nèi)在表徵（Goldin,2000）。數(shù)位學(xué)習(xí)活動(dòng)架構(gòu)現(xiàn)今的數(shù)學(xué)教學(xué)趨勢(shì)即是運(yùn)用資訊科技整合多重表徵於學(xué)習(xí)系統(tǒng)，來(lái)鼓勵(lì)學(xué)習(xí)者透過(guò)自我探索以建構(gòu)知識(shí)。而在數(shù)位學(xué)習(xí)活動(dòng)中，設(shè)計(jì)者應(yīng)從科技特色、學(xué)習(xí)理論及學(xué)科本質(zhì)等三方面來(lái)做考量。數(shù)位學(xué)習(xí)活動(dòng)架構(gòu)增進(jìn)學(xué)生深入了解數(shù)學(xué)概念科學(xué)探索活動(dòng)學(xué)習(xí)者為中心生活議題為主軸多重表徵學(xué)習(xí)環(huán)境多媒體動(dòng)態(tài)模擬網(wǎng)路科技工具科技特色學(xué)科本質(zhì)學(xué)習(xí)理論數(shù)學(xué)數(shù)位學(xué)習(xí)環(huán)境設(shè)計(jì)構(gòu)念多重表徵數(shù)位學(xué)習(xí)環(huán)境實(shí)作參考因素Ainsworth（2006）針對(duì)多重表徵的學(xué)習(xí)環(huán)境提出DeFT理論，認(rèn)為教學(xué)設(shè)計(jì)者在布置教學(xué)環(huán)境時(shí)，應(yīng)考量下列三個(gè)與學(xué)習(xí)有關(guān)的基本面向：多重表徵學(xué)習(xí)環(huán)境之設(shè)計(jì)參數(shù)（Designparameters）多重表徵的基本功能（Functions）學(xué)習(xí)者與表徵間進(jìn)行互動(dòng)時(shí)所要進(jìn)行的認(rèn)知作業(yè)（Task）多重表徵學(xué)習(xí)環(huán)境之設(shè)計(jì)參數(shù)在設(shè)計(jì)多重表徵之學(xué)習(xí)環(huán)境時(shí)，應(yīng)考量到五個(gè)與表徵有關(guān)的設(shè)計(jì)參數(shù)著手表徵的數(shù)量(number)表徵物所呈現(xiàn)的訊息量(information)表徵系統(tǒng)的形式(form)表徵的呈現(xiàn)次序(sequence)表徵間的轉(zhuǎn)換(translation)多重表徵的基本功能與多重表徵互動(dòng)時(shí)需進(jìn)行的認(rèn)知作業(yè)學(xué)習(xí)者應(yīng)理解表徵物的形式學(xué)習(xí)者應(yīng)理解表徵物與被表徵物間的關(guān)連學(xué)習(xí)者應(yīng)理解如何選擇合適的表徵學(xué)習(xí)者可能需理解如何建構(gòu)合適的表徵學(xué)習(xí)者可能需理解不同表徵物間的關(guān)連與轉(zhuǎn)換數(shù)位設(shè)計(jì)工具：GeoGebra簡(jiǎn)介GeoGebra是由MarkusHohenwarter教授在2001年於奧地利Salzburg大學(xué)攻讀數(shù)學(xué)教育博士所發(fā)展出的一套自由軟體結(jié)合了幾何、代數(shù)、微積分及統(tǒng)計(jì)試算表等功能並透過(guò)JavaScript做為人機(jī)介面溝通的橋樑以開放源碼（opensource）方式使其成為不斷發(fā)展的有機(jī)體不到10年的期間（2002~2010）就已發(fā)展出51種多國(guó)語(yǔ)言且跨平臺(tái)的軟體數(shù)位設(shè)計(jì)工具：GeoGebra特色GeoGebra能夠如同DGS一樣，透過(guò)點(diǎn)、線、圓等基本作圖工具進(jìn)行動(dòng)態(tài)構(gòu)圖提供CAS中的函數(shù)繪圖、根解以及微分、積分等基本數(shù)值運(yùn)算功能而在3.2版中更加入了能夠做基本統(tǒng)計(jì)運(yùn)算的試算表，嘗試結(jié)合幾何、代數(shù)、微積分、統(tǒng)計(jì)試算DGSCASGeoGebraGeoGebra的溝通介面與表徵誠(chéng)如上述所言，GeoGebra在3.2版中涵蓋了幾何、代數(shù)、統(tǒng)計(jì)與微積分等領(lǐng)域，因此介面的設(shè)計(jì)上主要包含了三大視區(qū)與指令輸入模式，分別是：幾何視區(qū)（GraphicsView）代數(shù)視區(qū)（AlgebraView）試算表視區(qū)（SpreadsheetView）指令列（InputBar）GeoGebra的三大視區(qū)與指令輸入模式代數(shù)視區(qū)幾何視區(qū)試算表視區(qū)指令列動(dòng)態(tài)鏈結(jié)動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)軟體GeoGebra做為數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)工具，具有如下基本功能：動(dòng)態(tài)圖形、動(dòng)態(tài)行為、拉曳認(rèn)知行動(dòng)、多重表徵。在GeoGebra中的數(shù)學(xué)物件除了多重表徵的呈現(xiàn)外，更重要的是，不同表徵間具有動(dòng)態(tài)鏈結(jié)的功能。換言之，當(dāng)使用者操弄幾何視區(qū)中的數(shù)學(xué)物件時(shí)，其代數(shù)視區(qū)中所對(duì)應(yīng)的代數(shù)表徵也會(huì)隨之變動(dòng)，反之亦然。Hohenwarter&Preiner（2007）將此行為稱為表徵間的雙向連結(jié)（BidirectionalConnectionofRepresentations）。GeoGebra基本操作說(shuō)明構(gòu)圖工具：當(dāng)使用者選定工具後，在工具列右側(cè)會(huì)出現(xiàn)工具的操作提示及說(shuō)明指令操作：按F1可得到操作提示及指令說(shuō)明幾何物件可透過(guò)代數(shù)變數(shù)來(lái)改變屬性示範(fàn)操作GeoGebra動(dòng)態(tài)網(wǎng)頁(yè)提供教師或教材設(shè)計(jì)者將作品以動(dòng)態(tài)網(wǎng)頁(yè)形式放置在網(wǎng)際網(wǎng)路上供社群使用，形成一種可分享的公共資源。透過(guò)JavaScript來(lái)擴(kuò)增applet的功能以及連結(jié)網(wǎng)頁(yè)中的元件功能（例如按鈕、文字方塊等等），與使用者進(jìn)行互動(dòng)JavaScript具有簡(jiǎn)化人機(jī)溝通介面、整合多元資源、結(jié)構(gòu)各項(xiàng)學(xué)習(xí)活動(dòng)等幾項(xiàng)基本功能。GeoGebra動(dòng)態(tài)網(wǎng)頁(yè)實(shí)例設(shè)定GGB中物件的變數(shù)值

方法：

setValue(物件名稱,數(shù)值)

例如：

document.ggbApplet.setValue(“a”,1);

document.ggbApplet.setVisible(“c”,3);GeoGebra動(dòng)態(tài)網(wǎng)頁(yè)實(shí)例顯示或隱藏GGB中的物件

方法：

setVisible(物件名稱,顯示條件)

例如：

document.ggbApplet.setVisible(“H”,true);

document.ggbApplet.setVisible(“H”,false);GeoGebra教學(xué)設(shè)計(jì)國(guó)中課程高中課程大眾科普線型函數(shù)幾何證明二次函數(shù)複數(shù)乘法空間中的直線

與平面二次不等式九章算術(shù)複數(shù)乘法數(shù)位設(shè)計(jì)

教學(xué)目標(biāo)透過(guò)六個(gè)活動(dòng)引導(dǎo)學(xué)生整合複數(shù)乘法的一般式、極式以及幾何變換的表徵一般式：(a+bi)(c+di)極式：r(cosθ+isinθ)*s(cosφ+isinφ)幾何變換：旋轉(zhuǎn)與伸縮電腦環(huán)境動(dòng)態(tài)連結(jié)多重表徵學(xué)習(xí)環(huán)境使用探索學(xué)生建構(gòu)數(shù)學(xué)概念設(shè)計(jì)科技特色學(xué)習(xí)理論數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)GeoGebra動(dòng)態(tài)網(wǎng)頁(yè)DeFT理論一般式、極式、幾何變換複數(shù)乘法之動(dòng)態(tài)視窗環(huán)境設(shè)計(jì)

設(shè)計(jì)結(jié)果

一、複數(shù)乘法之動(dòng)態(tài)視窗學(xué)習(xí)環(huán)境

(一)一般式轉(zhuǎn)極式

(二)極式轉(zhuǎn)一般式

(三)一般式乘積

(四)極式乘法

(五)極式除法

(六)棣美弗定理

二、學(xué)習(xí)環(huán)境的特色

(一)動(dòng)態(tài)連結(jié)多重表徵性質(zhì)

(二)視窗型環(huán)境

(三)教學(xué)內(nèi)容動(dòng)態(tài)視窗環(huán)境之教學(xué)成效

後測(cè)前測(cè)表徵整合型表徵轉(zhuǎn)移型(+)表徵轉(zhuǎn)移型(–)單一表徵型(+)單一表徵型(–)合計(jì)表徵整合型3––––3(7%)表徵轉(zhuǎn)移型(+)2––––2(5%)表徵轉(zhuǎn)移型(–)111–––12(29%)單一表徵型(+)115–2–18(44%)單一表徵型(–)12–126(15%)合計(jì)28(68%)8(20%)0(0%)3(7%)2(5%)E二次不等式數(shù)位設(shè)計(jì)

教學(xué)目標(biāo)透過(guò)四個(gè)活動(dòng)引導(dǎo)學(xué)生統(tǒng)合運(yùn)用圖形與代數(shù)表徵，形成過(guò)程概念(procept)。函數(shù)的表徵：圖形、代數(shù)、表列二次不等式的解二次多項(xiàng)式的正定性二次不等式之動(dòng)態(tài)視窗環(huán)境設(shè)計(jì)

活動(dòng)一：二次函數(shù)點(diǎn)集及其圖形活動(dòng)二：二次函數(shù)圖形與x軸交點(diǎn)活動(dòng)三：解二次不等式活動(dòng)四：二次不等式之正定性解二次不等式可分解型的解題思維：

1.多重表徵策略

2.純代數(shù)策略

以因式分解式

與x2項(xiàng)係數(shù)

繪製拋物線概圖由圖形解讀出

不等式的解因式分解

並找出

二次方程式兩根利用數(shù)線標(biāo)示

兩根由右至左

三區(qū)域函數(shù)值

分別為正、負(fù)、正找出二次

不等式的解解二次不等式恆正恆負(fù)型的解題思維：

1.多重表徵策略

2.純代數(shù)策略

判別式為負(fù)方程式無(wú)實(shí)根函數(shù)圖形

與x軸無(wú)交點(diǎn)由圖形解讀出

不等式的解判別式為負(fù)方程式無(wú)實(shí)根記憶法則或帶入數(shù)字計(jì)算求出

不等式的解產(chǎn)生錯(cuò)誤產(chǎn)生錯(cuò)誤產(chǎn)生錯(cuò)誤空間中的直線與平面

之動(dòng)態(tài)視窗環(huán)境設(shè)計(jì)

活動(dòng)一：平面上直線的參數(shù)式活動(dòng)二：平面中，直線方程式與方向向量、法向量的關(guān)係活動(dòng)三：空間中，以法向量描述平面活動(dòng)四：空間中，ax+by=c所代表的圖形?活動(dòng)五：空間中，平面與法向量的關(guān)係活動(dòng)六：空間中，直線與方向向量活動(dòng)七：空間中，直線方程式與方向向量的關(guān)係發(fā)展中的臺(tái)灣GeoGebra中心國(guó)立臺(tái)灣師範(fàn)大學(xué)數(shù)學(xué)系的ELME也預(yù)計(jì)在近期向國(guó)際GeoGebra中心（InternationalGeoGebraInstitute,IGI）申請(qǐng)成為臺(tái)灣GeoGebra中心將採(cǎi)用研究群的方式進(jìn)行歡迎臺(tái)灣從事動(dòng)態(tài)幾何研究學(xué)者、具有豐富數(shù)學(xué)數(shù)位教材設(shè)計(jì)經(jīng)驗(yàn)之教師、以及GeoGebra的使用者，共同組成一個(gè)兼具研究與教學(xué)實(shí)務(wù)的GeoGebra研究中心臺(tái)灣GeoGebra中心目標(biāo)與運(yùn)作功能教師培訓(xùn)建立GeoGebra認(rèn)證網(wǎng)絡(luò)舉辦工作坊與研討會(huì)的形式培養(yǎng)教師或研究者成為GeoGebra使用者、專家、培訓(xùn)者或中心培訓(xùn)者。教材發(fā)展與分享翻譯官方說(shuō)明手冊(cè)與發(fā)行GeoGebra教學(xué)手冊(cè)建立中學(xué)數(shù)學(xué)課程的教材資源中心發(fā)行ELME通訊研究與發(fā)展結(jié)合數(shù)學(xué)師資培育與數(shù)學(xué)教育研究GeoGebra認(rèn)證制度GeoGebra使用者具備基本的GeoGebra操作技巧使用GeoGebra設(shè)計(jì)與實(shí)施有效的教學(xué)。GeoGebra專家熟悉GeoGebra功能GeoGebra與JavaScript的設(shè)計(jì)GeoGebra輔導(dǎo)員舉辦過(guò)GeoGebra工作坊，並有能力進(jìn)行相關(guān)行動(dòng)研究GeoGebra中心輔導(dǎo)員具豐富經(jīng)驗(yàn)GeoGebra使用者、輔導(dǎo)員與研究者，並通過(guò)國(guó)際GeoGebra中心的認(rèn)可GeoGebra工作坊與教材中心GeoGebra工作坊

/site/taiwanggb/cursesGGB教材中心

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.tw/ELME/臺(tái)灣GeGeobra中心

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