江西梳城市2024-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期末理試題含解析

Page212025屆高二年級(jí)上學(xué)期期末考試?yán)砜茢?shù)學(xué)試題一、單項(xiàng)選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分．）1.已知，且是的充分條件，則實(shí)數(shù)可以是（）A.3 B.1 C. D.【答案】A【解析】【分析】由題意先求出的充要條件，然后結(jié)合是的充分條件可得實(shí)數(shù)的范圍，從而對(duì)比選項(xiàng)即可得解.【詳解】由題意，若是的充分條件，則當(dāng)且僅當(dāng)，對(duì)比選項(xiàng)可知實(shí)數(shù)可以是3.故選：A.2.已知命題，都有，則為（）A.，都有 B.，使得C.，都有 D.，使得【答案】D【解析】【分析】依據(jù)全稱命題的否定推斷即可.【詳解】命題，都有，所以為，使得，故選：D.3.已知是拋物線的焦點(diǎn)，點(diǎn)在拋物線上，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先求得和焦點(diǎn)，然后求得.【詳解】將代入得，則，拋物線，即，，所以焦點(diǎn)，所以.故選：D4.某市環(huán)境疼惜局公布了該市，兩個(gè)景區(qū)年至年各年的全年空氣質(zhì)量優(yōu)良天數(shù)的數(shù)據(jù)．現(xiàn)依據(jù)這組數(shù)據(jù)繪制了如圖所示的折線圖，則由該折線圖得出的下列結(jié)論中正確的是（）A.景區(qū)這七年的空氣質(zhì)量優(yōu)良天數(shù)的極差為B.景區(qū)這七年的空氣質(zhì)量優(yōu)良天數(shù)的中位數(shù)為C.分別記景區(qū)，這七年的空氣質(zhì)量優(yōu)良天數(shù)的眾數(shù)為，，則D.分別記景區(qū)，這七年的空氣質(zhì)量優(yōu)良天數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)差為，，則【答案】D【解析】【分析】依據(jù)極差、中位數(shù)、眾數(shù)的定義、標(biāo)準(zhǔn)差的性質(zhì)，結(jié)合折線圖逐一推斷即可,【詳解】A：景區(qū)這七年的空氣質(zhì)量優(yōu)良天數(shù)的極差為，故本選項(xiàng)結(jié)論不正確；B：景區(qū)這七年的空氣質(zhì)量優(yōu)良天數(shù)的中位數(shù)為，故本選項(xiàng)結(jié)論不正確；C：由折線圖可知：，明顯，故本選項(xiàng)結(jié)論不正確；D：由折線圖可知：景區(qū)這七年的空氣質(zhì)量優(yōu)良天數(shù)的數(shù)據(jù)波動(dòng)要比景區(qū)這七年的空氣質(zhì)量優(yōu)良天數(shù)據(jù)波動(dòng)大，因此，所以本選項(xiàng)結(jié)論正確，故選：D5.下列給出的圖形中，每個(gè)圖案均由若干個(gè)星星組成，記第個(gè)圖案中星星的個(gè)數(shù)是，由，，，，可推出（）A.463 B.464 C.465 D.466【答案】C【解析】【分析】由題得，然后列出等式，相加即可.【詳解】由題得，所以，，…，將上述等式相加得，所以，故選C.6.已知具有線性相關(guān)的變量x，y，設(shè)其樣本點(diǎn)為，回來直線方程為，若（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），則（）A.-1 B.-6 C.1 D.6【答案】A【解析】【分析】依據(jù)向量相等的坐標(biāo)表示，由此即可計(jì)算平均數(shù)，得到樣本點(diǎn)的中心的坐標(biāo)，代入回來直線方程求出結(jié)果．【詳解】因?yàn)闃颖军c(diǎn)為且，所以所以，；又回來直線方程為過，∴，解得，故選：A．【點(diǎn)睛】本題主要考查了線性回來方程必過樣本中心、向量相等的坐標(biāo)表示等基礎(chǔ)學(xué)問，屬于基礎(chǔ)題.7.已知，且．若在處的切線與直線垂直，則（）A. B. C. D.0【答案】A【解析】【分析】依據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義求得切線的斜率，依據(jù)直線垂直列方程，求得，進(jìn)而求得正確答案.【詳解】依題意，，則，，所以，所以.故選：A8.一個(gè)正方體的綻開如圖所示，點(diǎn)為原正方體的頂點(diǎn)，點(diǎn)為原正方體一條棱的中點(diǎn)，那么在原來的正方體中，直線與所成角的正切值為（）A.3 B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先還原正方體，將對(duì)應(yīng)的字母標(biāo)出，依據(jù)異面直線所成角的概念，作出異面直線所成角，再利用余弦定理求出此角的余弦值，從而即可得到其正弦值、正切值.【詳解】還原正方體，如圖所示，設(shè)正方體棱長為2，由題意可得，，則，，，又在正方體中，所以或其補(bǔ)角即為異面直線與所成角，所以.故選：A.9.設(shè)雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，離心率為．是上一點(diǎn)，且．若的面積為4，則（）A.81 B.42 C.2 D.1【答案】D【解析】【分析】由題得出，然后結(jié)合面積公式、雙曲線的定義和勾股定理得出答案.【詳解】因，所以，又P在雙曲線上，所以又的面積為4，所以，結(jié)合，解得，又，所以，又，所以，故選：D.10.設(shè)函數(shù)，若，使得，則的最小值為（）A.2 B. C. D.【答案】C【解析】【分析】因?yàn)?，使得，所以在的值域包含于在的值域，然后分別求出兩個(gè)函數(shù)的值域即可.【詳解】因?yàn)?，使得，所以在的值域包含于在的值域，，所以?dāng)時(shí)，單調(diào)增，當(dāng)時(shí)，單調(diào)減，且離對(duì)稱軸遠(yuǎn)，所以.,所以當(dāng)時(shí)，，單調(diào)減，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)增，，，，所以，所以，所以，解得，故則的最小值為，故選C.11.已知正方體的內(nèi)切球半徑為1，、平面，若，，現(xiàn)在有以下四個(gè)命題：：點(diǎn)的軌跡是一個(gè)圓：點(diǎn)的軌跡是一個(gè)圓：三棱錐的體積為定值：則下述結(jié)論正確的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】如圖建立以為原點(diǎn)的空間直角坐標(biāo)系，設(shè).由，，可確定E，F(xiàn)坐標(biāo)，即可推斷p，q命題正誤；對(duì)于，留意到F到平面距離為定值，即可推斷命題正誤；對(duì)于，由圓外始終線到圓上點(diǎn)最短距離相關(guān)學(xué)問可推斷命題s是否正確.后可推斷出正確結(jié)論.【詳解】如圖建立以為原點(diǎn)的空間直角坐標(biāo)系，因正方體的內(nèi)切球半徑為1，則正方體棱長為2.則，設(shè).對(duì)于p，，則點(diǎn)的軌跡是一個(gè)以為圓心，半徑為1的圓，故正確；對(duì)于q，由，則，又，，則，即F在直線上，故點(diǎn)的軌跡是一條直線，故q錯(cuò)誤；對(duì)于r，留意到，面，面，則面，又F在直線上，則點(diǎn)到平面距離為定值，則為定值，故r正確；對(duì)于s，由以上分析可知，即為圓外始終線到圓上點(diǎn)距離，當(dāng)圓心，圓上一點(diǎn)，直線上點(diǎn)三點(diǎn)共線,且圓上一點(diǎn)，直線上點(diǎn)在圓心同側(cè)時(shí)距離最小.由題可得，直線到圓心距離為，又圓半徑為1，故最短距離為，即，故s正確.則正確，錯(cuò)誤，又錯(cuò)誤，則，錯(cuò)誤.故選：C12.若函數(shù)在區(qū)間無零點(diǎn)但有2個(gè)極值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由題得在區(qū)間無解，在區(qū)間有2兩個(gè)不同解，然后參變分別，轉(zhuǎn)換成圖像交點(diǎn)問題即可.【詳解】由題在區(qū)間無解，即在區(qū)間無解，設(shè)，則，所以當(dāng)時(shí)，，單調(diào)減，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)增，所以，明顯當(dāng)x趨于無窮大時(shí)，趨于無窮大，所以；又函數(shù)在區(qū)間有2個(gè)極值點(diǎn)，所以在區(qū)間有2兩個(gè)不同解，即在區(qū)間有2兩個(gè)不同解，設(shè)，則，所以當(dāng)時(shí)，，單調(diào)減，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)增，所以，明顯當(dāng)x趨于無窮大和0時(shí)，都趨于無窮大，所以，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是，故選：B.二、填空題（每小題5分，共4小題，20分）13.若一組數(shù)據(jù)的方差為10，則另一組數(shù)據(jù)的方差為______．【答案】40【解析】【分析】由題意先設(shè)出兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)，然后依據(jù)已知方差、方差公式運(yùn)算即可得解.【詳解】由題意設(shè)的平均數(shù)為，則的平均數(shù)為，由題意的方差為，從而的方差為.故答案為：40.14.過雙曲線的右焦點(diǎn)作漸近線的垂線，垂足為，則______．【答案】1【解析】【分析】由題意首先依據(jù)漸近線斜率得出，進(jìn)一步得到，解直角三角形即可得解.【詳解】如圖所示：不妨設(shè)點(diǎn)在第一象限，由題意所在直線即雙曲線的漸近線，其方程為，所以，又，所以，從而.故答案為：1.15.曲線上一點(diǎn)到直線的最短距離為______．【答案】【解析】【分析】先求在曲線上與直線平行的切線方程，再依據(jù)兩平行線間的距離公式求得正確答案.【詳解】直線的斜率為，令，當(dāng)時(shí)，，所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為，即，與的距離為.所以曲線上一點(diǎn)到直線的最短距離為.故答案為：16.已知都在球的球面上，且平面．在球內(nèi)任取一點(diǎn)，則該點(diǎn)落在三棱錐內(nèi)的概率為______．【答案】【解析】【分析】先求出三棱錐的體積，然后利用條件求出球O的體積，利用幾何概型得出答案.【詳解】由題可知，所以，如圖設(shè)外接圓的圓心為，連接取中點(diǎn)為，連接，則平面，因?yàn)椋?，所以四邊形為矩形，所以，在中，，由正弦定理得，所以球O的半徑，所以，所以在球內(nèi)任取一點(diǎn)，則該點(diǎn)落在三棱錐內(nèi)概率為故答案為：三、解答題（本大題共6小題，共70分．解答時(shí)應(yīng)寫出必要的文字說明，證明過程或演算）17.已知命題在內(nèi)單調(diào)遞增；命題：關(guān)于的不等式對(duì)隨意實(shí)數(shù)恒成立．（1）若為真命題，求實(shí)數(shù)的取值范圍．（2）若為真命題，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）依據(jù)函數(shù)得導(dǎo)數(shù)為非負(fù)數(shù)列不等式，由此求得的取值范圍.（2）先求得為真命題時(shí)的取值范圍，進(jìn)而依據(jù)為真命題求得實(shí)數(shù)的取值范圍.【小問1詳解】對(duì)于函數(shù)，當(dāng)為真命題時(shí)，在區(qū)間上恒成立，所以在區(qū)間上恒成立，，所以，所以為真命題時(shí)，的取值范圍是.【小問2詳解】由（1）得為真命題時(shí)，的取值范圍是，對(duì)于命題：關(guān)于的不等式對(duì)隨意實(shí)數(shù)恒成立，時(shí)，不等式不恒成立，所以，解得，所以為真命題時(shí)，；為假命題時(shí)，，所以為真命題，即真假，對(duì)應(yīng)的取值范圍是.18.若拋物線焦點(diǎn)為，過點(diǎn)的直線交拋物線于．（1）當(dāng)平行于軸時(shí)，，求；（2）當(dāng)時(shí)，現(xiàn)有以下兩個(gè)結(jié)論：①；②．請(qǐng)選擇其中一個(gè)結(jié)論證明．【答案】（1）2（2）當(dāng)時(shí)，只能證明結(jié)論②成立【解析】【分析】（1）由題意將代入得，從而即可得解.（2）由題意設(shè)出直線方程，將其與拋物線方程聯(lián)立，由韋達(dá)定理可得，進(jìn)一步分別代入結(jié)論①②驗(yàn)證即可.【小問1詳解】由題意過點(diǎn)的直線平行于軸時(shí)，其方程為，由題意將代入得，所以不妨設(shè)，所以，解得.【小問2詳解】如圖所示：由題意不妨設(shè)點(diǎn)在點(diǎn)上方，且直線斜率不為0，當(dāng)時(shí)，拋物線方程為，所以設(shè)直線的方程為，將其代入拋物線方程得，，，，可以證明結(jié)論①不成立，理由如下：由以上條件可知；可以證明結(jié)論②成立，理由如下：.19.如圖，四棱錐的底面是平行四邊形，，是的中點(diǎn)，點(diǎn)滿意.（1）證明：平面平面；（2）若，求二面角的余弦值.【答案】（1）證明見解析；（2）二面角的余弦值為【解析】【分析】（1）證明平面，再利用面面垂直的判定定理可證得結(jié)論成立；（2）證明出平面，以為原點(diǎn)，分別以、、的方向分別為、、軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法可求得二面角的余弦值.【小問1詳解】由題意得，，，在中，由余弦定理可得，，則，，，平面，平面，平面，所以平面平面.【小問2詳解】由（1）知平面，平面，，又，，平面，所以平面，以為原點(diǎn)，分別以、、的方向分別為、、軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，連接，在平行四邊形中，由余弦定理可得，在直角三角形中，，于是、、，由得，設(shè)平面的法向量，則，取得，，易知平面的一個(gè)法向量，則，由圖可知，二面角的平面角為鈍角，所以，二面角的余弦值為.20.近期，豐城九中高一、高二年級(jí)實(shí)行“新冠肺炎”防控學(xué)問閉卷考試競(jìng)賽，總分獲得一等獎(jiǎng)、二等獎(jiǎng)、三等獎(jiǎng)的代表隊(duì)人數(shù)狀況如表，其中一等獎(jiǎng)代表隊(duì)比三等獎(jiǎng)代表隊(duì)多10人．為使頒獎(jiǎng)儀式有序進(jìn)行，同時(shí)氣氛活躍，在頒獎(jiǎng)過程中穿插抽獎(jiǎng)活動(dòng)．并用分層抽樣的方法從三個(gè)代表隊(duì)中共抽取16人在前排就坐，其中二等獎(jiǎng)代表隊(duì)有5人（同隊(duì)內(nèi)高一、高二仍接受分層抽樣）獲獎(jiǎng)年級(jí)一獲等獎(jiǎng)代表隊(duì)二等獎(jiǎng)代表隊(duì)三等獎(jiǎng)代表隊(duì)高一30高二302030（1）完成表格；（2）從前排就坐的一等獎(jiǎng)代表隊(duì)中隨機(jī)抽取3人上臺(tái)領(lǐng)獎(jiǎng)，用表示高二上臺(tái)領(lǐng)獎(jiǎng)的人數(shù)，求．（3）抽獎(jiǎng)活動(dòng)中，代表隊(duì)員通過操作按鍵，使電腦自動(dòng)產(chǎn)生內(nèi)的兩個(gè)勻整隨機(jī)數(shù)，隨后電腦自動(dòng)運(yùn)行如圖所示的程序框圖的程序．若電腦顯示“中獎(jiǎng)”，則代表隊(duì)員獲相應(yīng)獎(jiǎng)品；若電腦顯示“感謝”，則不中獎(jiǎng)．求代表隊(duì)隊(duì)員獲得獎(jiǎng)品的概率．【答案】（1）30；20（2）（3）【解析】【分析】（1）由題和分層抽樣的定義即可得出答案；（2）由（1）的結(jié)論，得出前排就坐的16人中一等獎(jiǎng)代表隊(duì)有3名高一的學(xué)生，3名高二的學(xué)生，然后依據(jù)古典概率模型求出答案；（3）先求出試驗(yàn)結(jié)果的所構(gòu)成的全部區(qū)域，然后求出獲獎(jiǎng)結(jié)果構(gòu)成的區(qū)域，利用幾何概型求出答案.【小問1詳解】由表可知，二等將代表隊(duì)共50人，設(shè)代表隊(duì)共有n人，，解得，設(shè)一等獎(jiǎng)代表隊(duì)高一人數(shù)為x，，解得，故填30，20.【小問2詳解】由（1）得三個(gè)代表隊(duì)中前排就坐的比例是依據(jù)一等獎(jiǎng)：二等獎(jiǎng)：三等獎(jiǎng)，所以一等獎(jiǎng)被抽取的人數(shù)為，又同隊(duì)內(nèi)高一、高二仍接受分層抽樣，所以故前排就坐的16人中一等獎(jiǎng)代表隊(duì)有3名高一的學(xué)生，3名高二的學(xué)生，則的取值為：0、1、2、3，則.【小問3詳解】試驗(yàn)的全部結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域?yàn)?，面積為，設(shè)事務(wù)A表示代表隊(duì)隊(duì)員獲得獎(jiǎng)品，則其所構(gòu)成的區(qū)域?yàn)?，如圖，陰影部分的面積，這是一個(gè)幾何概型，所以，故求代表隊(duì)隊(duì)員獲得獎(jiǎng)品的概率為.21.已知函數(shù)．（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）若存在區(qū)間，使得的值域?yàn)?，求?shí)數(shù)的取值范圍．【答案】（1）單調(diào)遞增區(qū)間和，單調(diào)遞減區(qū)間為（2）【解析】【分析】（1）求出函數(shù)導(dǎo)數(shù)，解出和即可得出；（2）依據(jù)題意可轉(zhuǎn)化為在有兩個(gè)不同的根，利用導(dǎo)數(shù)求出的單調(diào)性即可.【小問1詳解】可得，由解得或，由解得，的單調(diào)遞增區(qū)間為和，單調(diào)遞減區(qū)間為.【小問2詳解】由題可知，大于，并且在單調(diào)遞增．假設(shè)存在區(qū)間，使得的值域?yàn)閯t的圖像與在上有兩個(gè)不同的交點(diǎn)．即在有兩個(gè)不同的根．令，則，則當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，又，所以22.已知曲線，點(diǎn)在橢圓上（與左右頂點(diǎn)不重合），直線、斜率之積為．（1）求的方程；（2）已知直線與交于兩點(diǎn)，且與圓相切于點(diǎn)，直線與相交于兩點(diǎn)，記四邊形的面積為的面積為，①用含的式子表示；②求的最小值．【答案】（1）（2）①；②【解析】【分析】（1）設(shè)，依據(jù)直線、斜率之積為列方程，從而求得的方程.（2）①先求得