2024秋高中數(shù)學(xué)5.2三角函數(shù)的概念教材例題課后習(xí)題新人教A版必修第一冊(cè)

5．2三角函數(shù)的概念例題1.求的正弦、余弦和正切值.【答案】，，【解析】【分析】求出的終邊與單位圓的交點(diǎn)即可【詳解】在直角坐標(biāo)系中，作（如圖），易知的終邊與單位圓的交點(diǎn)坐標(biāo)為.所以，，，.【點(diǎn)睛】本題考查的是三角函數(shù)的定義，較簡(jiǎn)單.2.如圖，設(shè)是一個(gè)任意角，它的終邊上任意一點(diǎn)P（不與原點(diǎn)O重合）的坐標(biāo)為，點(diǎn)P與原點(diǎn)的距離為r，求證：，，.【答案】見(jiàn)解析【解析】【分析】設(shè)角的終邊與單位圓交于點(diǎn)，分別過(guò)點(diǎn)P，作x軸的垂線PM，，垂足分別為M，，利用即可證明.【詳解】如圖，設(shè)角的終邊與單位圓交于點(diǎn).分別過(guò)點(diǎn)P，作x軸的垂線PM，，垂足分別為M，，則，，，，因?yàn)樗?，?因?yàn)榕cy同號(hào)，所以，即.同理可得，【點(diǎn)睛】只要知道角終邊上任意一點(diǎn)P的坐標(biāo)，就可以求得角的各個(gè)三角函數(shù)值，并且這些函數(shù)值不會(huì)隨P點(diǎn)位置的改變而改變.3.求證角為第三象限角的充要條件是【答案】見(jiàn)解析【解析】【分析】根據(jù)象限角的定義以及三角函數(shù)在各個(gè)象限中的符號(hào)證明即可【詳解】因?yàn)榻菫榈谌笙藿撬?，反過(guò)來(lái)：由得由得所以所以角為第三象限角所以角為第三象限角的充要條件是【點(diǎn)睛】本題主要考查充分條件、必要條件、充要條件的定義，象限角的定義以及三角函數(shù)在各個(gè)象限中的符號(hào)，屬于基礎(chǔ)題．4.確定下列三角函數(shù)值的符號(hào)，然后用計(jì)算工具驗(yàn)證：（1）；（2）；（3）；（4）.【答案】（1）；（2）；（3）；（4）【解析】【分析】判斷出每個(gè)角所在的象限即可【詳解】（1）因?yàn)槭堑谌笙藿牵?；?）因?yàn)槭堑谒南笙藿牵?；?）因?yàn)?，而是第一象限角，所以；?）因?yàn)?，而的終邊在x軸上，所以.【點(diǎn)睛】本題考查的是三角函數(shù)在各個(gè)象限中的符號(hào)，較簡(jiǎn)單.5.求下列三角函數(shù)值：（1）（精確到0.001）；（2）；（3）.【答案】（1）；（2）；（3）【解析】【分析】由，，求出即可【詳解】（1）；（2）；（3）.【點(diǎn)睛】本題考查的是三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式，較簡(jiǎn)單.6.已知，求，的值.【答案】見(jiàn)解析【解析】【分析】分角為第三和第四象限角兩種情況討論，結(jié)合同角三角函數(shù)的基本關(guān)系可得解.【詳解】因?yàn)?，，所以是第三或第四象限?由得.如果是第三象限角，那么，于是，從而；如果是第四象限角，那么，.綜上所述，當(dāng)是第三象限角時(shí)，，；當(dāng)是第四象限角時(shí)，，.【點(diǎn)睛】本題考查利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求值，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.7.求證：．【答案】證明見(jiàn)解析【解析】【分析】作差法，結(jié)合同角三角函數(shù)的平方關(guān)系，即得證【詳解】證明：．所以，即得證5．2．1三角函數(shù)的概念練習(xí)8.利用三角函數(shù)定義，求0，，，的三個(gè)三角函數(shù)值.【答案】；；.；；不存在；；；.；；不存在.【解析】【分析】分別找出角0，，，與單位圓的交點(diǎn)即可【詳解】因?yàn)?的終邊與單位圓的交點(diǎn)是所以；；因?yàn)榈慕K邊與單位圓的交點(diǎn)是所以；；不存在；因?yàn)榈慕K邊與單位圓的交點(diǎn)是所以；；.因?yàn)榈慕K邊與單位圓的交點(diǎn)是所以；；不存在.【點(diǎn)睛】本題考查的是三角函數(shù)的定義，較簡(jiǎn)單.9.利用三角函數(shù)定義，求的三個(gè)三角函數(shù)值．【答案】，，．【解析】【分析】由題意利用任意角的三角函數(shù)的定義，求得的三個(gè)三角函數(shù)值．【詳解】解：在角的終邊上任意取一點(diǎn)，，則，，，，，．10.已知角的終邊過(guò)點(diǎn)，求角的三角函數(shù)值.【答案】；；【解析】【分析】先算出，然后即得，，【詳解】所以，，【點(diǎn)睛】設(shè)是一個(gè)任意角，它的終邊上任意一點(diǎn)P（不與原點(diǎn)O重合）的坐標(biāo)為，點(diǎn)P與原點(diǎn)的距離為r，則，，.11.已知點(diǎn)P在半徑為2的圓上按順時(shí)針?lè)较蜃鰟蛩賵A周運(yùn)動(dòng)，角速度為1rad/s.求2s時(shí)點(diǎn)P所在的位置.【答案】P【解析】【分析】設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為，，由和即可得出答案.【詳解】設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為，.∵，∴，∵，∴，∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為.【點(diǎn)睛】本題考查的是三角函數(shù)的定義，較簡(jiǎn)單.練習(xí)12.填表：【答案】見(jiàn)解析【解析】【分析】根據(jù)三角函數(shù)的定義及誘導(dǎo)公式填表即可【詳解】001-100-1【點(diǎn)睛】本題考查的是三角函數(shù)的定義及誘導(dǎo)公式，較簡(jiǎn)單.13.設(shè)是三角形的一個(gè)內(nèi)角，在，，，中，哪些有可能取負(fù)值？【答案】和有可能取負(fù)值【解析】【分析】直接根據(jù)角所在象限確定正負(fù)值.【詳解】當(dāng)是鈍角時(shí)，和取負(fù)值，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)和均為正值.即是三角形的一個(gè)內(nèi)角時(shí)，和有可能取負(fù)值.14.確定下列三角函數(shù)值的符號(hào)：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）.【答案】（1）正；（2）負(fù)；（3）0；（4）負(fù)；（5）正；（6）正.【解析】【分析】判斷出每個(gè)角的終邊所在象限即可【詳解】因?yàn)榈牡诙笙藿?，所以的符?hào)為正因?yàn)椋允堑谌笙藿撬缘姆?hào)為負(fù)因?yàn)?，所以的終邊在軸負(fù)半軸所以因?yàn)?，所以是第四象限角所以的符?hào)為負(fù)因?yàn)?，所以是第二象限角所以的符?hào)為正因?yàn)椋允堑谌笙藿撬缘姆?hào)為正.【點(diǎn)睛】本題考查的是三角函數(shù)在各個(gè)象限中的符號(hào)，較簡(jiǎn)單.15.對(duì)于，②，③，④，⑤與⑥，選擇恰當(dāng)?shù)年P(guān)系式序號(hào)填空：（1）角為第一象限角的充要條件是_____；（2）角為第二象限角的充要條件是_____；（3）角為第三象限角的充要條件是_____；（4）角為第四象限角的充要條件是______.【答案】①.①③或①⑤或③⑤或①③⑤②.①④或①⑥或④⑥或①④⑥③.②④或②⑤或④⑤或②④⑤④.②③或②⑥或③⑥或②③⑥【解析】【分析】根據(jù)三角函數(shù)在各個(gè)象限中的符號(hào)即可填出答案【詳解】角為第一象限角的充要條件是①③或①⑤或③⑤或①③⑤角為第二象限角的充要條件是①④或①⑥或④⑥或①④⑥角為第三象限角的充要條件是②④或②⑤或④⑤或②④⑤角為第四象限角的充要條件是②③或②⑥或③⑥或②③⑥故答案為：(1).①③或①⑤或③⑤或①③⑤(2).①④或①⑥或④⑥或①④⑥(3).②④或②⑤或④⑤或②④⑤(4).②③或②⑥或③⑥或②③⑥【點(diǎn)睛】本題考查的是三角函數(shù)在各個(gè)象限中的符號(hào)，較簡(jiǎn)單.16.求下列三角函數(shù)值（可用計(jì)算工具，第（1）題精確到0.0001）：（1）；（2）；（3）；（4）.【答案】（1）0.8746；（2）；（3）0.5；（4）1.【解析】【分析】利用誘導(dǎo)公式把每個(gè)角轉(zhuǎn)化到即可【詳解】【點(diǎn)睛】本題考查的是三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式及特殊角的三角函數(shù)值，較簡(jiǎn)單.5．2．2同角三角函數(shù)的基本關(guān)系練習(xí)17.已知，且為第三象限角，求，的值.【答案】，【解析】【分析】利用同角三角函數(shù)的平方關(guān)系和商數(shù)關(guān)系即可得解.【詳解】，且為第三象限角，，.【點(diǎn)睛】本題考查利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求值，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.18.已知，求，的值.【答案】見(jiàn)解析【解析】【分析】分角為第二和第四象限角兩種情況討論，利用同角三角函數(shù)的商數(shù)關(guān)系和平方關(guān)系建立有關(guān)和的方程組，即可得出，的值.【詳解】，為第二或第四象限角，又，.代入，得.當(dāng)為第二象限角時(shí)，，；當(dāng)為第四象限角時(shí)，，.綜上所述，當(dāng)為第二象限角時(shí)，，；當(dāng)為第四象限角時(shí)，，.【點(diǎn)睛】本題考查利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求值，建立有關(guān)和的方程組是解答的關(guān)鍵，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.19.已知，求，的值（精確到）.【答案】見(jiàn)解析【解析】【分析】分角為第一和第二象限角兩種情況討論，利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系可求得，的值.【詳解】，為第一或第二象限角.當(dāng)為第一象限角時(shí)，，；當(dāng)為第二象限角時(shí)，，.綜上所述，當(dāng)為第一象限角時(shí)，，；當(dāng)為第二象限角時(shí)，，.【點(diǎn)睛】本題考查利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求值，要注意對(duì)角的象限分類(lèi)討論，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.20.化簡(jiǎn)：（1）；（2）；（3）.【答案】（1）；（2）；（3）.【解析】【分析】（1）由代入化簡(jiǎn)即可得解；（2）將等式代入分式化簡(jiǎn)計(jì)算即可；（3）由代入化簡(jiǎn)計(jì)算即可.【詳解】（1）；（2）；（3）.【點(diǎn)睛】本題考查利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系化簡(jiǎn)計(jì)算，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.21.求證：.【答案】證明見(jiàn)解析【解析】【分析】在等式左邊提公因式，結(jié)合化簡(jiǎn)計(jì)算即可證得所證等式成立.【詳解】左邊右邊.【點(diǎn)睛】本題考查三角恒等式的證明，考查同角三角函數(shù)平方關(guān)系的應(yīng)用，考查計(jì)算能力與推理能力，屬于基礎(chǔ)題.習(xí)題5．2復(fù)習(xí)鞏固22.用定義法、公式一求下列角的三個(gè)三角函數(shù)值（可用計(jì)算工具）：（1）；（2）；（3）；（4）．【答案】（1），，;（2），，（3），，（4），，【解析】【分析】對(duì)于各個(gè)角，直接利用誘導(dǎo)公式一和三角函數(shù)定義化簡(jiǎn)求解三個(gè)三角函數(shù)值即可．【小問(wèn)1詳解】解：；；．【小問(wèn)2詳解】解：；；；【小問(wèn)3詳解】解：；；.【小問(wèn)4詳解】解：；；.23.已知角的終邊上有一點(diǎn)的坐標(biāo)是，其中，求.【答案】見(jiàn)解析【解析】【分析】直接利用三角函數(shù)的坐標(biāo)定義求解.【詳解】r＝＝5|a|.當(dāng)a＞0時(shí)，r＝5a，∴sinα＝＝＝，cosα＝＝＝，tanα＝＝＝；當(dāng)a＜0時(shí)，r＝－5a，∴sinα＝－，cosα＝－，tanα＝.綜上可知，sinα＝，cosα＝，tanα＝或sinα＝－，cosα＝－，tanα＝.【點(diǎn)睛】(1)本題主要考查三角函數(shù)的坐標(biāo)定義，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的掌握水平和分析推理能力.(2)點(diǎn)p(x,y)是角終邊上的任意的一點(diǎn)（原點(diǎn)除外）,r代表點(diǎn)到原點(diǎn)的距離，則sin=cos=,tan=.24.計(jì)算：（1）；（2）；（3）；（4）【答案】（1）；（2）；（3）；（4）【解析】【分析】（1）根據(jù)三角函數(shù)定義,分別求得的值,代入即可求解.（2）根據(jù)三角函數(shù)定義,分別求得的值,代入即可求解.（3）根據(jù)三角函數(shù)定義,分別求得的值,代入即可求解.（4）根據(jù)三角函數(shù)定義,分別求得的值,代入即可求解.【詳解】（1）根據(jù)三角函數(shù)定義可得（2）根據(jù)三角函數(shù)定義可得（3）根據(jù)三角函數(shù)定義可得（4）根據(jù)三角函數(shù)定義可得【點(diǎn)睛】本題考查了特殊角三角函數(shù)值的計(jì)算求值,屬于基礎(chǔ)題.25.化簡(jiǎn)：（1）；（2）；（3）.（4）.【答案】（1）；（2）；（3）；（4）【解析】【分析】（1）根據(jù)三角函數(shù)定義,分別求得的值,代入即可求解.（2）根據(jù)三角函數(shù)定義,分別求得的值,代入即可求解.（3）根據(jù)三角函數(shù)定義,分別求得的值,代入即可求解.（4）根據(jù)三角函數(shù)定義,分別求得的值,代入即可求解.【詳解】（1）根據(jù)三角函數(shù)定義可得（2）根據(jù)三角函數(shù)定義可得.（3）根據(jù)三角函數(shù)定義可得.（4）根據(jù)三角函數(shù)定義可得.【點(diǎn)睛】本題考查了特殊角三角函數(shù)值的計(jì)算求值,屬于基礎(chǔ)題.26.確定下列三角函數(shù)值的符號(hào)：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）.【答案】（1）負(fù)（2）負(fù)（3）負(fù)（4）正（5）負(fù)（6）負(fù)【解析】【分析】由角的終邊的位置和三角函數(shù)的符號(hào)規(guī)律逐個(gè)判斷即可．【小問(wèn)1詳解】解：因?yàn)闉榈谌笙藿?，所以為?fù)；【小問(wèn)2詳解】解：因?yàn)闉榈诙笙藿牵詾樨?fù)；【小問(wèn)3詳解】解：因?yàn)闉榈谒南笙藿?，所以為?fù)；【小問(wèn)4詳解】解：因?yàn)闉榈谝幌笙藿牵詾檎?；【小?wèn)5詳解】解：因?yàn)闉榈谌笙藿?，所以為?fù)；【小問(wèn)6詳解】解：因?yàn)闉榈诙笙藿?，所以為?fù)．27.（1）已知，且為第四象限角，求的值；（2）已知，且為第二象限角，求的值；（3）已知，求的值；（4）已知，求的值（精確到0.01）.【答案】（1）；（2）；（3）當(dāng)為第二象限角時(shí)，；當(dāng)為第四象限角時(shí)，；（4）當(dāng)為第一象限角時(shí)，；當(dāng)為第四象限角時(shí)，.【解析】【分析】根據(jù)同角三角函數(shù)關(guān)系式,結(jié)合角的取值范圍,即可求解.【詳解】（1）由,得為第四象限角,（2）由,得為第二象限角（3）∴為第二或第四象限角當(dāng)為第二象限角時(shí),；當(dāng)為第四象限角時(shí),.（4）為第一或第四象限角當(dāng)為第一象限角時(shí),；當(dāng)為第四象限角時(shí),.【點(diǎn)睛】本題考查了同角三角函數(shù)關(guān)系式的應(yīng)用,在使用時(shí)要特別注意角的取值范圍,屬于基礎(chǔ)題.綜合運(yùn)用28.分別根據(jù)下列條件求函數(shù)的值：（1）；（2）.【答案】（1）1；（2）-1【解析】【分析】（1）直接將代入計(jì)算即可；（2）直接將代入計(jì)算即可.【詳解】解：（1）當(dāng)時(shí)，.（2）當(dāng)時(shí)，29.確定下列式子的符號(hào)（1）；（2）；（3）；（4）.【答案】（1）正；（2）負(fù)；（3）負(fù)；（4）正【解析】【分析】根據(jù)角所在的象限,判斷三角函數(shù)的符號(hào),即可判斷各自的符號(hào).【詳解】（1）∴原式為正；（2）∴原式為負(fù)；（3）∴原式為負(fù)；（4）∴原式為正.【點(diǎn)睛】本題考查了三角函數(shù)在四個(gè)象限的符號(hào)判斷,屬于基礎(chǔ)題.30.求下列三角函數(shù)值（可用計(jì)算工具，第（1）（3）（4）題精確到0.0001）；（1）；（2）；（3）；（4）.【答案】（1）0.9659；（2）1；（3）0.7857；（4）1.045.【解析】【分析】根據(jù)誘導(dǎo)公式將三角函數(shù)進(jìn)行化簡(jiǎn),借助計(jì)算器即可求解.【詳解】（1）由計(jì)算器可得（2）（3）由計(jì)算器可得（4）.由計(jì)算器可得【點(diǎn)睛】本題考查了三角函數(shù)誘導(dǎo)公式的化簡(jiǎn),計(jì)算器計(jì)算三角函數(shù)值,屬于基礎(chǔ)題.31.求證：（1）角為第二或第三象限角的充要條件是；（2）角為第三或第四象限角的充要條件是；（3）角為第一或第四象限角的充要條件是；（4）角為第一或第三象限角的充要條件是.【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）證明見(jiàn)解析；（3）證明見(jiàn)解析；（4）證明見(jiàn)解析【解析】【分析】根據(jù)角所在的象限,可得三角函數(shù)的符號(hào);同理根據(jù)三角函數(shù)符號(hào),可判斷角所在的象限,結(jié)合充要條件的判定方法即可證明.【詳解】（1）證明:當(dāng)角為第二象限角時(shí),,所以；當(dāng)角為第三象限角時(shí),,所以.所以當(dāng)角為第二或第三象限角時(shí),.因?yàn)?所以；或.當(dāng)時(shí),角為第二象限角當(dāng)時(shí),角為第三象限角所以當(dāng)時(shí),角為第二或第三象限角.綜上所述,原命題成立（2）證明:當(dāng)角為第三象限角時(shí),,所以；當(dāng)角為第四象限角時(shí),,所以.所以當(dāng)角為第三或第四象限角時(shí),.因?yàn)?所以；或.當(dāng)時(shí),為第三象限角；當(dāng)時(shí),為第四象限角所以當(dāng)時(shí),角為第三或第四象限角.綜上所述,原命題成立.（3）證明:當(dāng)角為第一或第四象限角時(shí),與同號(hào),所以當(dāng)時(shí),與同號(hào)所以角為第一或第四象限角.綜上所述,原命題成立.（4）證明:當(dāng)角為第一或第三象限角時(shí),與同號(hào),所以；當(dāng)時(shí),與同號(hào)所以角為第一或第三象限角,綜上所述,原命題成立【點(diǎn)睛】本題考查了三角函數(shù)在四個(gè)想象符號(hào)的判斷,充分必要條件的證明,屬于基礎(chǔ)題.32.已知，求的值.【答案】為第三象限角，；為第四象限角，.【解析】【分析】討論為第三象限角或第四象限角.結(jié)合同角三角函數(shù)關(guān)系式即可求解.【詳解】為第三或第四象限角.由可得而當(dāng)為第三象限角時(shí),當(dāng)為第四象限角時(shí),【點(diǎn)睛】本題考查了同角三角函數(shù)關(guān)系式的簡(jiǎn)單應(yīng)用,注意討論角所在的象限,屬于基礎(chǔ)題.33.已知，求的值.【答案】【解析】【分析】根據(jù)的值及的范圍,可求得的值,進(jìn)而求得的值即可.【詳解】【點(diǎn)睛】本題考查了根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值求角的度數(shù),特殊角三角函數(shù)值求法,屬于基礎(chǔ)題.34.已知角的終邊不在坐標(biāo)軸上，（1）用表示；（2）用表示.【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）見(jiàn)解析【解析】【分析】討論角所在的象限,結(jié)合同角三角函數(shù)關(guān)系式,即可得解.【詳解】（1）當(dāng)角是第一、二象限角時(shí),.當(dāng)角是第三、四象限角時(shí),.（2）當(dāng)角是第一、四象限角時(shí),.當(dāng)角是第二、三象限角時(shí),.【點(diǎn)睛】本題考查了同角三角函數(shù)關(guān)系式的簡(jiǎn)單應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題.35.求證：（1）；（2）；（3）；（4）.【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）證明見(jiàn)解析；（3）證明見(jiàn)解析；（4）證明見(jiàn)解析【解析】【分析】根據(jù)同角三角函數(shù)式關(guān)系,結(jié)合齊次式的化簡(jiǎn)即可證明.【詳解】（1