利用函數(shù)性質(zhì)判定方程解的存在性高一上學(xué)期數(shù)學(xué)北師大版（2019）必修第一冊

§4.1函數(shù)與方程利用函數(shù)性質(zhì)判定方程解的存在問題導(dǎo)入方程的實數(shù)根函數(shù)的圖像與

x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)

思考：一元二次方程

的解和二次函數(shù)的圖像與x軸的交點(diǎn)有何關(guān)系？-23-6

方程

的解就是函數(shù)

的圖像與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo).自己試一試oxy

不是，函數(shù)的零點(diǎn)是實數(shù)；當(dāng)函數(shù)的自變量取這個實數(shù)時，其函數(shù)值等于零.問題一：零點(diǎn)是點(diǎn)嗎？零點(diǎn)的定義：函數(shù)的圖像與橫軸的交點(diǎn)橫坐標(biāo)稱為這個函數(shù)的零點(diǎn).想一想引入概念

函數(shù)y=x2-x-6的零點(diǎn)就是方程x2-x-6=0的實數(shù)根例1求函數(shù)的零點(diǎn).數(shù)形理解概念例2

求函數(shù)的零點(diǎn).

解

方程的根，故函數(shù)的零點(diǎn)是0.小試牛刀oyx-1小結(jié)：求函數(shù)零點(diǎn)的方法

1.求對應(yīng)方程的根.2.作出該函數(shù)的圖像，觀察圖像與橫軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo).如何判定函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有零點(diǎn)？合作探究第1組男生宿舍食堂男生宿舍食堂探究1如何判定函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有零點(diǎn)？

你能畫出課代表的路線嗎？課代表一定過了馬路嗎？起點(diǎn)終點(diǎn)合作探究動手畫一畫起點(diǎn)終點(diǎn)yoA(a,f(a))B(b,f(b))

將中間浙大路抽象成x軸，在x軸上取一點(diǎn)o為坐標(biāo)原點(diǎn)，如圖建立坐標(biāo)系，將課代表的兩個位置抽象為A、B兩點(diǎn)，A、B兩點(diǎn)對應(yīng)的橫坐標(biāo)分別為a、b

.

當(dāng)A、B與x軸怎樣的位置關(guān)系時，AB之間這段連續(xù)的函數(shù)圖像與x軸一定有交點(diǎn)？此時A、B兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)符號有何關(guān)系？如何用數(shù)學(xué)式子來表示?yoA(a,f(a))B(b,f(b))

f(a)·f(b)<0函數(shù)

在區(qū)間

的圖像是連續(xù)曲線.合作探究探究2滿足f(a)f(b)<0，函數(shù)f(x)在(a,b)內(nèi)一定有零點(diǎn)？合作探究探究3

若函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)，且f(a)·f(b)<0，則f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)只有一個零點(diǎn)嗎?

至少有一個yo(a,f(a))b(b,f(b))

若函數(shù)y=f(x)在閉區(qū)間[a,b]上的圖像是連續(xù)曲線，并且在區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值符號相反，即有f(a)·f(b)<0，則在區(qū)間(a,b)內(nèi)，函數(shù)y=f(x)至少有一個零點(diǎn)，即相應(yīng)的方程f(x)=0在區(qū)間(a,b)內(nèi)至少有一個實數(shù)解.xyOxyObaabcc歸納定理函數(shù)零點(diǎn)存在性定理探究4

在函數(shù)零點(diǎn)存在性定理基礎(chǔ)上加什么條件？函數(shù)f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)有唯一的零點(diǎn)？xyOxyObaabcc合作探究結(jié)論：如果函數(shù)y=f(x)在閉區(qū)間[a,b]上的圖象是連續(xù)的曲線，并且有

f(a)·f(b)<0,且是單調(diào)函數(shù)，那么，這個函數(shù)在(a,b)內(nèi)必有唯一的零點(diǎn)。

1.設(shè),則下列區(qū)間中，使函數(shù)有零點(diǎn)區(qū)間是（）

CA.（-1,0）B.（0,1）C.（1,2）D.（2,3）課堂鞏固2.判定方程有兩個相異的實數(shù)解，且一個大于5，一個小于2.1.若函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)，且f(a)·f(b)>0，則f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)一定沒有零點(diǎn)嗎？2.若函數(shù)y=f(x)

在區(qū)間(a,b)內(nèi)有零點(diǎn)，則f(a)·f(b)<0嗎？請同學(xué)們思考:（1）不滿足函數(shù)零點(diǎn)存在性定理條件時函數(shù)也可能有零點(diǎn);（2）定理反之不成立.想一想收獲結(jié)論理解定理思考題1.當(dāng)a為何值時？方程(x-2)(x-5)=a的解有0個，1個，2個.2.當(dāng)a為何值時？方程|(x-2)(x-5)|=a的解有0個，2個