第四章-平面向量、數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)的引入

第四章

DISIZHANG

平面向量、數(shù)系的折充與復(fù)數(shù)的引入

第一節(jié)平面向量的概念及線性運(yùn)算

高考?導(dǎo)航考綱下載

1.理解平面向量的有關(guān)概念及向量的表示方法.

2.掌握向量加法、減法、數(shù)乘的運(yùn)算及其幾何意義.

3.理解兩個向量共線的含義.

4.了解向量線性運(yùn)算的性質(zhì)及其幾何意義.

/主干知識＞自主排查幣:溫教材:::自傳自糾

?教材通關(guān)?

1.向量的有關(guān)概念

名稱定義備注

既有大小又有方向的量;向量的大小叫

向量平面向量是自由向量

做向量的長度（或稱模）

零向量長度為0_的向量；其方向是任意的記作0

單位向量長度等于1個單位的向量非零向量。的單位向量為啥

方向相同或相反的非零向量（又叫做共

平行向量0與任一向量平行或共線

線向量）

相等向量長度相等且方向相同的向量兩向量只有相等或不等,不能比較大小

相反向量長度相等且方向相反的向量0的相反向量為0

2.向量的線性運(yùn)算

向量法則（或幾運(yùn)算律

定義

運(yùn)算何意義）

(1)交換律：

a~\~b=b~\~a；

(2)結(jié)合律：

三角形法則

加法求兩個向量和的運(yùn)算(〃+5)+C=

a+(b+c)

平行四邊形法則

a—b=a+(—b)

求。與萬的相反向量一方的

減法

和的運(yùn)算叫做。與萬的差

三角形法則

⑴|加=|川同;

（2）當(dāng)力＞0時，觴的方向(2+〃)〃=；

求實(shí)數(shù)力與向量a的積的運(yùn)與a的方向相同；當(dāng)標(biāo)0勸

數(shù)乘

算時，Aa的方向與a的方

向相反;當(dāng)A=0時，Xa

=0

3.共線向量定理

向量a（“WO）與》共線，當(dāng)且僅當(dāng)有唯---個實(shí)數(shù)九使得b=Ia.

［小題診斷］

1.在平行四邊形ABCD中，對角線AC與BD交于點(diǎn)O,若贏+廢）=應(yīng)），則4（）

A.1B.2

C.4D.6

2.在△ABC中，AD^2DC,BA^a,BD=b,BC=c,則下列等式成立的是（）

A.c=2b~aB.c=2a——b

c3.1

C.c=呼一5bD.c=^b—^a

3.若向量a與8不相等，則a與8一定（）

A.有不相等的模

B.不共線

C.不可能都是零向量

D.不可能都是單位向量

4.已知a,b是不共線的向量，AB^Xa+b,/=a+〃方，A,〃GR,則A,B,C三點(diǎn)

共線的充分必要條件為（）

A.2+〃=2B.A—〃=1

C.川=一1D.加=1

5.已知口A8CD的對角線AC和8。相交于。，且宓=a,OB=b,則成'=,BC

=（用a,b表示）.

?易錯通關(guān)?

1.對于平行向量易忽視兩點(diǎn)：（1）零向量與任一向量平行.（2）表示兩平行向量的有向線

段所在的直線平行或重合，易忽視重合這一條件.

2.單位向量的定義中只規(guī)定了長度沒有方向限制.

［小題糾偏］

1.若機(jī)〃〃，n//k,則向量機(jī)與向量A（）

A.共線B.不共線

C.共線且同向D,不一定共線

2.設(shè)a,8都是非零向量，下列四個選項(xiàng)中，一定能使含+條=0成立的是（）

A.a=:2bB.（i//b

C.a——^bD.a±b

考點(diǎn)一平面向量的有關(guān)概念自主探究基礎(chǔ)送分考點(diǎn)一自主練透

［題組練通］

1.下列說法正確的是（）

A.長度相等的向量叫做相等向量

B.共線向量是在同一條直線上的向量

C.零向量的長度等于0

D.AB//詼就是贏所在的直線平行于無所在的直線

2.（2018?棗莊期末測試）下列命題正確的是（）

A.若⑷=|臼，則a=6B.若⑷>|臼，貝

C.若a=b,則a〃bD.若|a|=0,則a=0

3.給出下列命題:

①若a=5,b—c,則a=c；

②若A,B,C,。是不共線的四點(diǎn)，則贏=比是四邊形ABC。為平行四邊形的充要條

件；

③a=b的充要條件是⑷=|加且a//b；

其中正確命題的序號是.

向量有關(guān)概念的5個關(guān)鍵點(diǎn)

(1)向量：方向、長度.

(2)非零共線向量：方向相同或相反.

(3)單位向量：長度是一個單位長度.

(4)零向量：方向沒有限制，長度是0.

(5)相等相量：方向相同且長度相等.

考點(diǎn)二向量的線性運(yùn)算自主探究基礎(chǔ)送分考點(diǎn)——自主練透

［題組練通］

1.(2018?武漢調(diào)研)設(shè)M為平行四邊形A8C。對角線的交點(diǎn)，O為平行四邊形ABC。所

在平面內(nèi)的任意一點(diǎn)，則應(yīng)+而+詼+而等于()

A.OMB.2OM

C.3OMD.4OM

2.設(shè)。，E,F分別為AABC三邊BC,CA,48的中點(diǎn)，則ZM+班+尸C=()

1一1一

B.^DA

1一

C.^DAD.0

3.在△ABC中，P,。分別是邊AB,BC上的點(diǎn)，＞AP=1AB,8c若贏=a,AC

=b,則PQ=()

A.ga+g。B.—ga+g。

D.-ga-fb

c5』

4.在△ABC中，ZA=60°,NA的平分線交于點(diǎn)。，若AB=4,5.AD=|AC+/AB

aeR),則A。的長為

用幾個基本向量表示某個向量問題的4個步驟

⑴觀察各向量的位置；

(2)尋找相應(yīng)的三角形或多邊形；

(3)運(yùn)用法則找關(guān)系；

(4)化簡結(jié)果.

考點(diǎn)三共線向量定理及其應(yīng)用多維探究題點(diǎn)多變考點(diǎn)——多角探明

［鎖定考向］對共線向量定理的專查主要是應(yīng)用定理求解參數(shù)，…三點(diǎn)共線等問題」歸納

起來常見的命題角度有：

⑴判斷囪量共線「⑵證明三點(diǎn)共線」⑶利用一共線求參一數(shù)值「…

角度一判斷向量共線

1.(2018?咸陽模擬)對于非零向量a,瓦“2a+3Z?=0”是%〃廠成立的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

角度二證明三點(diǎn)共線

2.設(shè)兩個非零向量a與5不共線，

(1)若AB=a+5,BC—2a+8b,CD=3(a—b),

求證：A,B,。三點(diǎn)共線；

(2)試確定實(shí)數(shù)k,使ka+b和a+kb同向.

角度三利用共線求參數(shù)值

3.已知向量〃，力是兩個不共線的向量，若向量加=4a+）與〃=。一勸共線，則實(shí)數(shù)2

的值為（）

A.—4B.一；

C.1D.4

4.（2018?資陽模擬）設(shè)ei與C2是兩個不共線的向量，b=3ei+2e2,CB=kei+e2,CD=

3ei—2既2，若A，B,。三點(diǎn)共線，則左的值為（）

94

--

A.-4B.-9

D.-I

C.丁

「/方法技巧/

共線向量定理的3個應(yīng)用

⑴判斷向量共線：對于向量a,b,若存在實(shí)數(shù)九使。=助，則a與》共線.

（2）證明三點(diǎn)共線：若存在實(shí)數(shù)九使贏=九元，則A,B,C三點(diǎn)共線.

（3）求參數(shù)的值：利用共線向量定理及向量相等的條件列方程（組）求參數(shù)的值.

［即時應(yīng)用］

1.設(shè)。，E,尸分別是△ABC的三邊BC,CA,A8上的點(diǎn)，且虎=2訪，CE=2EA,

AF=2FB,則箭）+靛+序與正（）

A.反向平行B.同向平行

C.互相垂直D.既不平行也不垂直

2.已知點(diǎn)O,A,B不在同一條直線上，點(diǎn)P為平面AOB內(nèi)一點(diǎn)，且2.0P^20A+BA,

則（）

A.點(diǎn)尸在線段AB上

B.點(diǎn)P在線段A8的反向延長線上

C.點(diǎn)P在線段的延長線上

D.點(diǎn)尸不在直線AB上

3.（2018彳藥陽模擬）在如圖所示的方格紙中，向量a,b,c的起點(diǎn)和終點(diǎn)均在格點(diǎn)（小正

方形頂點(diǎn)）上，若c與xa+y伙x,y為非零實(shí)數(shù)）共線，貝4的值為

第二節(jié)平面向量的基本定理及坐標(biāo)表示

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1.了解平面向量的基本定理及其意義.

2.掌握平面向量的正交分解及其坐標(biāo)表示.

3.會用坐標(biāo)表示平面向量的加法、減法與數(shù)乘運(yùn)算.

4.理解用坐標(biāo)表示的平面向量共線的條件.

/主干知識＞自主排查乖溫教材::：白杳白糾

?教材通關(guān)?

1.平面向量的基本定理

如果ei，02是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量,那么對于這一平面內(nèi)的任意向量a，有且

只有一對實(shí)數(shù)九,七,使”=為的十?dāng)?shù)

其中，不共線的向量ei,e2叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底.

2.平面向量的正交分解

把一個向量分解為兩個互相垂直的向量,叫做把向量正交分解.

3.平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算

（1）向量加法、減法、數(shù)乘向量及向量的模

設(shè)。=（X1，%）,b=（X2,J2），貝1J

a+=（xi+xz，yi+v2），

a~b=（羽-X2，yi—V2），

%a=（Axi，%也），|a|=+握

（2）向量坐標(biāo)的求法

①若向量的起點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn)，則終點(diǎn)坐標(biāo)即為向量的坐標(biāo).

②設(shè)4（無1,yi）,Bg竺），則43=（無21xi，丫2一W）,

\AB\=\/(電—%1)2+(，2-yi>?

4.平面向量共線的坐標(biāo)表示

設(shè)。=(尤1，yD，b=(x2,y2)>則a〃10尤在2—4丫1=0.

［小題診斷］

1.若向量。=(2,3),8=(—1,2),則a+b的坐標(biāo)為()

A.(1,5)B.(1,1)

C.(3,1)D.(3,5)

2.(2018?咸陽模擬)下列各組向量中，可以作為基底的是()

A.ei=(0,0),e2=(l,-2)

B.ei=(—1,2),e2=(5,7)

C.ei=(3,5),e2=(6,10)

D.ei=(2,—3),C2=g，-4)

3.如圖，在△。43中，尸為線段AB上的一點(diǎn)，OP=xOA+yOB,且麗=2函，則()

人21

A.x=］，y

c12

B.%=§，y=g

-13

c.%=a，y=4

n31

D.『，y=4

4.已知A(—1,-1),B(m,m+2),C(2,5)三點(diǎn)共線，則機(jī)的值為()

A.1B.2

C.3D.4

5.在AABC中，點(diǎn)P在BC上，且麗=2瓦?，點(diǎn)。是AC的中點(diǎn)，若麗=(4,3),PQ=

(1,5),則病=.

?易錯通關(guān)?

1.向量的坐標(biāo)與表示向量的有向線段的起點(diǎn)、終點(diǎn)的相對位置有關(guān)系.兩個相等的向

量，無論起點(diǎn)在什么位置，它們的坐標(biāo)都是相同的.

2.若Q=(X1，刀)，b=(X2,yi),則a〃8的充要條件不能表示成言=,，因?yàn)閷O丁2有

可能等于0,所以應(yīng)表示為為州一刀2丁1=0.

［小題糾偏］

1.設(shè)ei，出是平面內(nèi)一組基底，若加01+/12?2=0，則21+/12=.

2.(2015?高考江蘇卷)已知向量〃=(2,1),6=(1,—2),若ma+nb=(9,—8)(m,n￡

R),則加一〃的值為

,核心考點(diǎn)

＞互動探究突破疑難:::通法悟道

考點(diǎn)一平面向量基本定理及應(yīng)用自主探究基礎(chǔ)送分考點(diǎn)——自主練透

［題組練通］

1.在梯形ABCD中，贏=3詼，則詼=()

A.—|AB+|ADB.—|AB+^AD

C^AB-ADD.-|AB+AD

2.直線/與平行四邊形ABC。的兩邊AB,分別交于E,P兩點(diǎn)，且交其對角線AC

于點(diǎn)K.若贏=2贏，Ab=3AF,AC=X4k(/ieR),貝1|4=()

A.2B.|C.3D.5

3.如圖，已知在△ABC中，。為邊BC上靠近8點(diǎn)的三等分點(diǎn)，連接AO,E為線段

A。的中點(diǎn).若無=機(jī)油+嬴，則加+w=()

A.一1B.一2

C-1D1

J42

方法技巧/-------------------------------------

用平面向量基本定理解決問題的一般思路

⑴先選擇一組基底，并運(yùn)用該基底將條件和結(jié)論表示為向量的形式，再通過向量的運(yùn)算來

解決.

⑵在基底未給出的情況下，合理地選取基底會給解題帶來方便.另外，要熟練運(yùn)用平面幾

何的一些性質(zhì)定理.

考點(diǎn)二平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算互動探究重點(diǎn)保分考點(diǎn)——師生共研

［典例］(1)(2018?廣東六校聯(lián)考)已知4(-3,0),8(0,2),。為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)C在NA03

內(nèi)，10cl=2吸，且/AOC=：,設(shè)次=/1a+為Q6R),則%的值為()

A.1B.§

C.^D.1

(2)在平行四邊形ABC。中，AC為一條對角線，若施=(2,4),危=(1,3),則前＞=()

A.(—2,—4)B.(—3,—5)

C.(3,5)D.(2,4)

「/方法技巧/

(1)向量的坐標(biāo)運(yùn)算主要是利用向量加、減、數(shù)乘運(yùn)算的法則來進(jìn)行求解的，若已知有向線

段兩端點(diǎn)的坐標(biāo)，則應(yīng)先求向量的坐標(biāo).

(2)解題過程中，常利用向量相等則其坐標(biāo)相同這一原則，通過列方程(組)來進(jìn)行求解.

I)

［即時應(yīng)用］

1.(2018?福州模擬)已知向量。=(2,4),6=(-1,1),則2a+l等于()

A.(5,7)B.(5,9)

C.(3,7)D.(3,9)

2.已知點(diǎn)A(l,3),2(4,-1),則與贏同方向的單位向量是()

A.(|,-1)B.4-|)

3443

C.(一亍5)D.(—亍5)

3.設(shè)向量。=(1,-3),6=(—2,4),c=(—1,一2),若表示向量4G,45一2G2(〃一c),d

的有向線段首尾相連能構(gòu)成四邊形，則向量d=()

A.(2,6)B.(-2,6)

C.(2,-6)D.(-2,-6)

考點(diǎn)三平面向量共線的坐標(biāo)表示變式探究母題變式考點(diǎn)——多練題型

［典例］(2018?文登二中模擬)平面內(nèi)給定三個向量。=(3,2),方=(-1,2),c=(4,l).

(1)若(a+阮)〃(28—a),求實(shí)數(shù)公

(2)若d滿足(d—c)〃(a+?,且|d-c|=4，求d的坐標(biāo).

［變式探究1］

母題條件不變，若a=〃>+〃c.試求九

［變式探究2］

母題條件若變?yōu)椤叭糈A=2a+3Z),反：=a+mc.且A、B、C三點(diǎn)共線”，試求九

/方法技巧/

II

平面向量共線的坐標(biāo)表示問題的常見3種類型及解題策略

(1)利用兩向量共線求參數(shù).如果已知兩向量共線，求某些參數(shù)的取值時,則利用“若。=(制，

yi),b=(x2,y2),則a〃6的充要條件是龍1>2=必刀”解題比較方便.

⑵利用兩向量共線的條件求向量坐標(biāo).一般地，在求與一個已知向量”共線的向量時，可

設(shè)所求向量為加QGR),然后結(jié)合其他條件列出關(guān)于％的方程，求出4的值后代入加即可

得到所求的向量.

(3)三點(diǎn)共線問題.A,B,C三點(diǎn)共線等價于油與公共線.

［即時應(yīng)用］

1.已知向量。=(1,m),b=。,—2),且(〃+5)〃方，則m=()

22

A,"3B3

C.-8D.8

2.已知非零向量e”《2，?3，Q=ei+e2+3e3，)=藥+?2-24，。=幻一3改+2。3，d=4ei

+602+893,d—aa+/3b+yc,則a,夕，y的值分別為()

A1891c1891

而一~2B?一亍，元，-~2

-1891c1891

「—_—D—

10'2--亍F2

3.(2018?南陽五校聯(lián)考)已知向量方=(1,-3),OB=(2,-1),OC=(k+lf%—2),

若A,B,。三點(diǎn)不能構(gòu)成三角形，則左=.

考點(diǎn)四平面向量基本定理及坐標(biāo)運(yùn)算與最值范圍問題

平面向量基本定理及坐標(biāo)運(yùn)算常與最值范圍創(chuàng)新考查，該類題型命題角度新穎，能力強(qiáng),

多為選擇填空的壓軸題.

［典例］(1)(2018?石家莊模擬)A,B,C是圓。上不同的三點(diǎn)，線段C。與線段交于

點(diǎn)。(點(diǎn)。與點(diǎn)。不重合)，若次=%宓+〃而(九〃GR),則4+〃的取值范圍是()

A.(0,1)B.(1,+8)

C.(1,@D.(-1,0)

(2)(2017?高考全國卷川)在矩形A8C。中，AB=1,AD=2,動點(diǎn)尸在以點(diǎn)C為圓心且與

8。相切的圓上.若存=%矗+〃幼，則2+洶的最大值為()

A.3B.2小

C.y［5D.2

/思維升華/

II

解決平面向量基本定理及坐標(biāo)運(yùn)算與最值范圍的創(chuàng)新問題的2種方法

(1)臨界分析法：即充分利用平面向量的幾何定義，結(jié)合圖形，臨界分析，多用到共線問題.

(2)坐標(biāo)法：即數(shù)形結(jié)合，建立恰當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系后，尋求所求量的目標(biāo)函數(shù).轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最

值問題.

［即時應(yīng)用］

1.在Rt^ABC中，4=90。，點(diǎn)。是邊BC上的動點(diǎn)，且|贏|=3,11bl=4,AD=AAB+

//ACa>0,/z>0）,則當(dāng)“取得最大值時，|命|的值為（）

A.|

B.3

12

C.1D3

2.給定兩個長度為1的平面向量。4和。2,它們的夾角為120。.點(diǎn)C在以點(diǎn)0為圓心的

X----X

圓弧AB上移動，若次=入殖+'而，其中心y￡R,則x+y的最大值是（）

A.3B.4C.2D.8

第三節(jié)平面向量的數(shù)量積

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1.理解平面向量數(shù)量積的含義及其物理意義.

2.了解平面向量的數(shù)量積與向量投影的關(guān)系.

3.掌握數(shù)量積的坐標(biāo)表達(dá)式，會進(jìn)行平面向量數(shù)量積的運(yùn)算.

4.能運(yùn)用數(shù)量積表示兩個向量的夾角，會用數(shù)量積判斷兩個平面向量的垂直關(guān)系.

乙主干知識

?自主排查*溫教材:::自杳n糾

?教材通關(guān)?

1.向量的夾角

定義圖示范圍共線與垂直

已知兩個非零向量a

設(shè)。是。與6的夾角，

和"作有4=a,OB=8=0。或1=180。0。〃

則9的取值范圍是

b,則NA08就是a與b,0=9O°^a±b

0Y6W180。

b的夾角

2.平面向量的數(shù)量積

設(shè)兩個非零向量a，的夾角為仇則數(shù)量.㈤加cos0

定義

叫做。與方的數(shù)量積，記作a協(xié)

lalcos。叫做向量a在方向上的投影，

投影

而cos/叫做向量方在a方向上的投影

幾何數(shù)量積ab等于a的長度⑷與b在a的方向上的投影

意義向cose的乘積

3.向量數(shù)量積的運(yùn)算律

(l)ab=ba

(2)Ua)'b=A(ab)=.

(3)(。+b)'C=〃?0++c.

4.平面向量數(shù)量積的有關(guān)結(jié)論

已知非零向量a=（xi,yi）,》=（尤2,y2）,a與b的夾角為“

結(jié)論幾何表示坐標(biāo)表示

模\u\

八a山八xix2+yiy2

夾角cos(7=rm

皿I

alb的

。仍=0Xp2+yi，2=0

充要條件

I。?臼與

|XlX2+yiy2|W

1加1

A/華+病)(若+西

的關(guān)系

［小題診斷］

1.已知菱形ABC。的邊長為mZABC=60°f則訪歷=()

B.一也

A.—

3

C.^a2

2.已知向量a,b滿足同=1,網(wǎng)=4,且。0=2,則。與》的夾角為（）

c兀

A兀

A6B4

C.1D.1

3.（2018.云南檢測）設(shè)向量a=（—1,2）,b=（m,V）,如果向量a+25與平行，那么

與b的數(shù)量積等于（）

A.B.-2

C.|D:|

4.若向量“與》的夾角為60。，a=(2,0),|a+2例=2小,則血=()

A.小B.1

C.4D.3

5.(2017?高考全國卷UI)已知向量a=(—2,3),b=(3,ni),且a_L5,則/

?易錯通關(guān)?

1.數(shù)量積運(yùn)算律要準(zhǔn)確理解、應(yīng)用，例如，a0=a-c(aWO)不能得出b=c,兩邊不能約

去一個向量.

2.兩個向量的夾角為銳角，則有ab>Q,反之不成立；兩個向量的夾角為鈍角，則有

ab<0,反之不成立.

3.a-Z>=0不能推出a=0或Z>=0,因?yàn)閍5=0時，有可能a_L方.

4.在用⑷=而求向量的模時，一定要把求出的,再進(jìn)行開方.

［小題糾偏］

1.給出下列說法：

①向量b在向量a方向上的投影是向量；

②若。5>0,則a和入的夾角為銳角，若<0,則a和6的夾角為鈍角；

③(ab)c=a(bc)；

④若ab=3則a=Q或6=0.

其中正確的說法有個.

2.(2016?高考北京卷)已知向量a=(l,3),方=(小，1),則a與分夾角的大小為

核心考點(diǎn)?互動探究突破疑難:::通法悟道

考點(diǎn)一平面向量的數(shù)量積的計算

［題組練通］

1.若向量⑷=2sin15。，1=4s向75°,a與早的夾角為30。,則a0等于()

A.小B當(dāng)C.2V5D.1

2.在菱形ABC。中，對角線AC=4,E為CZ)的中點(diǎn)，則矗.n=()

A.8B.10

C.12D.14

3.如圖，BC,是半徑為1的圓0的兩條直徑，BF=2FO,^FD-FE

31

--

-4-4

A.cB.

8D.4

--

-9-9

7/方法技巧，

解決平面向量數(shù)量積問題的常用方法

技巧解讀適合題型

利用定義式a-b=\a\-\b\cos9求解.適用于平面圖形中的向

定義定義式的特點(diǎn)是具有強(qiáng)烈的幾何含義，需要明量數(shù)量積的有關(guān)計算問

法確兩個向量的模及夾角，夾角的求解一般通過

題.

具體的圖形可確定.

利用坐標(biāo)式a,利=制彳2+>1>2解題.

適用于已知相應(yīng)向量的

坐標(biāo)坐標(biāo)式的特點(diǎn)是具有明顯的代數(shù)特征，解題時

坐標(biāo)求解數(shù)量積的有關(guān)

法需要引入直角坐標(biāo)系，明確向量的坐標(biāo)進(jìn)行求

計算問題

解，即向量問題“坐標(biāo)化”.

求較復(fù)雜的向量數(shù)量積的運(yùn)算時，可先利用向適用于直接求解不易，

轉(zhuǎn)化

量數(shù)量積的運(yùn)算律或相關(guān)公式進(jìn)行化簡，然后而轉(zhuǎn)化為其他向量的數(shù)

法

進(jìn)行計算.量積的有關(guān)計算問題

考點(diǎn)二平面向量數(shù)量積的應(yīng)用

［鎖定考向］平面向量的夾角與模的問題是高考中的?？純?nèi)容，題型多為選擇題、填空

題,…筵度適生一,…屬史檔題「歸納起來常見的命題探究魚度有一:…

⑴平面向量的模.（2）平面向量的夾角.（3）平面向量的垂直.

角度一平面向量的模

1.（2017?高考全國卷I）已知向量a"的夾角為60。，⑷=2,|例=1,則|“+2例=.

2.（2018?泰安模擬）已知平面向量a,滿足他|=1,且。與入一a的夾角為120°,則a

的模的取值范圍為.

方法技巧/-----------------------------------

（1）求向量的模：利用數(shù)量積求解長度問題的處理方法有：

①或⑷=yj

?\a±b\=y］（〃土方y(tǒng)=7。2±2〃?J+吩.

③若。=(x,y),則⑷=A/X2+V2.

(2)與模有關(guān)的最值或范圍問題要注意抓住模的幾何意義及數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用.

角度二平面向量的夾角

3.向量a,?滿足|a+臼=2?、龋?a—b>a=O,則a,5的夾角的余弦值為()

A.0B<egD當(dāng)

4.已知a=(l,2),Z>=(l,l),且a與a+肪的夾角為銳角，則實(shí)數(shù)力的取值范圍為.

b方法技巧/

向量夾角問題的2個注意點(diǎn)

(1)切記向量夾角的范圍是［0,TI］.

(2)非零向量a與分夾角為銳角㈡a?歷>0且。與b不共線；非零向量。與分夾角為鈍角臺“仍<0

且a與6不共線.

角度三平面向量的垂直

5.(2017?高考全國卷I)已知向量。=(一1,2),b=(mfl).若向量a+8與〃垂直，則相

6.若平面四邊形A8CD滿足疝+無=0,(AB-AD)-AC=0,則該四邊形一定是()

A.直角梯形B.矩形

C.菱形D.正方形

方法技巧/

兩向量垂直的應(yīng)用：兩非零向量a,b,a±b^ab=0^\a-b\=\a+b\.

I______________________________________________J

［題組練通］

1.(2018?江西八校聯(lián)考)已知兩個非零向量a,6滿足a?(a—Z?)=0,且21al=|臼，則〈a,

b)=()

A.30°B.60°

C.120°D.150°

2.（2018?長沙模擬）若同一平面內(nèi)向量a,b,c兩兩所成的角相等，且⑷=1,忸|=1,|c|

=3,則|a+）+c|等于（）

A.2B.5

C.2或5D.小或小

考點(diǎn)三平面向量數(shù)量積的最值問題

平面向量的數(shù)量積常與最值范圍問題相結(jié)合創(chuàng)新考點(diǎn).該類題目能力要求較高難度大.有

一定的綜合性.

［典例］在等腰梯形A8CD中，已知AB=2,BC=1,N4BC=60。.動點(diǎn)E和

F分別在線段BC和DC上，且前1=4正，DF=^jDC,則嬴的最小值為.

方法技巧/

求解平面向量數(shù)量積最值問題的2個策略

L圖形化策略

所謂圖形化策略，是指解決向量問題時，利用圖形語言翻譯已知條件和所求結(jié)論，借助圖形

思考解決問題.圖形化策略體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合思想，同時，化歸與轉(zhuǎn)化思想和函數(shù)與方程思想

也深蘊(yùn)其中.

利用圖形化的策略方法，各種數(shù)量關(guān)系在圖形中非常明了，能起到事半功倍的作用.如果沒

有圖形的幫助，要用代數(shù)化策略，這樣即使是坐標(biāo)化處理，也可能陷入“僵局”.

2.代數(shù)化策略

所謂代數(shù)化策略，是指解決向量問題時，利用代數(shù)語言翻譯已知條件和所求結(jié)論，借助

代數(shù)運(yùn)算解決所面臨的問題.代數(shù)化策略體現(xiàn)了化歸與轉(zhuǎn)化思想和函數(shù)與方程思想.通過平

面向量基本定理演變而來的代數(shù)運(yùn)算和坐標(biāo)化的代數(shù)運(yùn)算，是解決向量問題的一般方法.

［即時應(yīng)用］

1.（2017?高考全國卷II）已知△ABC是邊長為2的等邊三角形，P為平面ABC內(nèi)一點(diǎn),

則麗?（布+而的最小值是（）

A.-2B.-

4

C.一弓D.—1

2.AABC是直角邊等于4的等腰直角三角形，。是斜邊BC的中點(diǎn)，布=頡+加元，

向量就的終點(diǎn)M在△AC。的內(nèi)部（不含邊界），則贏?施的取值范圍是.

第四節(jié)復(fù)數(shù)

高考

1.理解復(fù)數(shù)的基本概念.

2.理解復(fù)數(shù)相等的充要條件.

3.了解復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義.

4.會進(jìn)行復(fù)數(shù)代數(shù)形式的四則運(yùn)算.

5.了解復(fù)數(shù)代數(shù)形式的加、減運(yùn)算的幾何意義.

主干知識

?教材通關(guān)?

1.復(fù)數(shù)的有關(guān)概念

(1)復(fù)數(shù)的概念：

形如a+6i(a,6dR)的數(shù)叫復(fù)數(shù)，其中°,b分別是它的實(shí)部和虛部.若6=0,貝!Ja+

歷為實(shí)數(shù)；若6W0,則a+歷為虛數(shù)；若a=0且6W0,則a+歷為純虛數(shù).

(2)復(fù)數(shù)相等：a+bi=c+di^a=cJIb=d(a,b,c,dGR).

(3)共軌復(fù)數(shù)：a+歷與c+di共輾<=>a=c,b=—d(a,b,c,dGR).

(4)復(fù)數(shù)的模：

向量OZ的模r叫做復(fù)數(shù)2=。+歷(°,66對的模,記作團(tuán)或|0:+歷|,即|z|=|a+萬|=年層十戶

2.復(fù)數(shù)的幾何意義

一,一對應(yīng)

(1)復(fù)數(shù)z=a+b?------------復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)Z(a,b)(a,bGR).

.—?—?對應(yīng)f

(2)復(fù)數(shù)z=〃+Z?i(a,/?eR)-----------■平面向量OZ.

3.復(fù)數(shù)的運(yùn)算

⑴復(fù)數(shù)的加、減、乘、除運(yùn)算法則

設(shè)zi=a+bi,Z2=c+di(〃，b,c,d￡R),則

①加法：zi+Z2=(。+bi)+(c+di)—(a+c)+(Z?+tZ)i；

②減法：zi-Z2=(〃+bi)-(c+di)—(a-c)+(7?-詼；

③乘法：zi?Z2=(a+bi)?(c+di)=(a。-faZ)+(ad+Z?c)i；

小也、$zi〃+為(a+歷)(c—di)ac+bdbc-ad

④除法：三=口="+力"_力)=^^+^^9+7)0).

⑵復(fù)數(shù)加法的運(yùn)算定律

復(fù)數(shù)的加法滿足交換律、結(jié)合律，即對任何Z1，Z2，Z3^C,有Zi+z2=Z2+zi，(Zl+z2)

+Z3=Z1+(Z2+Z3).

［小題診斷］

1.(2017?高考全國卷ll)(l+i)(2+i)=()

A.1-iB.l+3i

C.3+iD.3+3i

2.已知a,4>GR,i是虛數(shù)單位，若a—i與2+歷互為共朝復(fù)數(shù)，則(a+bi)2=()

A.3+4iB.5+4i

C.3-4iD.5-4i

3.(2018.西安質(zhì)檢)已知復(fù)數(shù)z=9T(i為虛數(shù)單位)，則z的虛部為()

A.-1B.0

C.1D.i

4.已知i為虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)z=(—1—2i)i在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)位于(