新教材蘇教版必修第一冊8 .1 二分法與求方程近似解

第8章函數(shù)應(yīng)用

8.1二分法與求方程近似解

8.1.1函數(shù)的零點

基礎(chǔ)過關(guān)練

題組一函數(shù)的零點與方程的根

1.(2020廣東珠海高三上學(xué)期期末)已知函數(shù)f(x)的圖象是連續(xù)的，且

f(x)=x2+bx+c,b.ceR,則“c<0”是“函數(shù)f(x)有零點”的()

A.充分不必要條件

B.必要不充分條件

C.充要條件

D.既不充分又不必要條件

2

2.函數(shù)f(x)=log2(X-4X+5)的零點為.

3.判斷下列函數(shù)是否存在零點,如果存在,請求出.

(l)f(x)=-X2-4X-4;

⑵f(X)=(『l)(x2-4x+3)；

x-3

(3)f(x)=4x+5;

⑷f(x)=log：；(x+l);

題組二函數(shù)零點(方程的根)所在的區(qū)間

4.(2019江蘇徐州高一上學(xué)期期中考試)函數(shù)f(x)=2"3x的零點所在的區(qū)間是

()

A.(-2,-1)B.(-1,0)

C.(0,1)D.(1,2)

5.(2019江蘇啟東中學(xué)高一上學(xué)期期中考試)函數(shù)f(x)S-log2X的零點所在的區(qū)間

X

是()

A.(0,1)B.(1,2)C.(3,4)D.(4,+8)

6.(2020江蘇南通高一上學(xué)期教學(xué)質(zhì)量調(diào)研)若函數(shù)f(x)=2'-3x2(x(0)的零點為x。,

且x0G(a,a+1),aeZ,則a的值為()

題組三確定函數(shù)的零點個數(shù)

l,x>0,

7.(2019江蘇如皋中學(xué)高一上學(xué)期期中考試)已知符號函數(shù)sgnx=0,x=0,則函數(shù)

,-l,x<0,

f(x)=sgn(lnx)Tnx的零點個數(shù)為()

8.函數(shù)f(x)=3'Tog2(-x)有個零點.

9.函數(shù)f(x)=log2(x-x2+2)的零點個數(shù)為.

10.已知0<a<l,則函數(shù)f(x)=a'Tlogjd的零點個數(shù)為.

11.(2020江西南昌新建一中高一上學(xué)期第二次月考)已知函數(shù)

f(x)=3x2+a,g(x)=2ax+l,aeR.證明：函數(shù)H(x)=f(x)-g(x)恒有兩個不同的零點.

題組四根據(jù)零點（方程根）情況求參數(shù)值或范圍

2x,x<0,

12.（2020江蘇淮安高中校協(xié)作體高一上學(xué)期期中）設(shè)f（x）=

|log2x|,x>0,

f（x）-a=0有三個不同的實數(shù)根,則實數(shù)a的取值范圍是（）

A.0<a<l

C.0<a<l<a<l

13.（多選）（2020山東臨沂羅莊高一上學(xué)期期中）若關(guān)于x的方程ax2-|x|+a=0有4

個不同的實數(shù)解,則實數(shù)a的值可能是（）

1111

14.（2020江蘇連云港高一上學(xué)期期中）已知關(guān)于x的方程3x2-（m+2）x-m+3=0的一

個根在區(qū)間（0,1）上,另一個根在區(qū)間（1,2）上,則實數(shù)m的取值范圍是

15.已知函數(shù)f（x）=ax"+2ax+3a-4在區(qū)間（T,1）上只有一個零點，求實數(shù)a的取值范

圍.

能力提升練

題組一函數(shù)零點(方程的根)的個數(shù)及應(yīng)用

1.(#7)已知函數(shù)f(X)在定義域(-8,0),(0,+8)上的圖象是不間斷的，若f(X)是偶

函數(shù)，且在(0,+8)上是減函數(shù)，f(2)=0,則函數(shù)f(x)的零點()

A.有一個B.有兩個

C.至少有兩個D.無法判斷

2.(2019江蘇宿遷高一上學(xué)期期末，")已知函數(shù)f(x)=||,若關(guān)于x的方程

[f(x)]2+af(x)=0(aeR)有n個不同的實數(shù)根，則n的值不可能是()

3.(多選)(2020江蘇陸慕高級中學(xué)高一上學(xué)期月考,已知集合

A={x|(a2-l)x2+(a+l)x+l=0)中有且僅有一個元素,則實數(shù)a的值為()

C-

3

4.(2018上海交通大學(xué)附屬中學(xué)高一期末,*：)已知定義在R上的偶函數(shù)y=f(x)的

圖象是不間斷的,當(dāng)x>0時，f(x)=lg(x2+3x+2),則函數(shù)f(x)在R上的零點個數(shù)

為

題組二根據(jù)零點(方程根)情況求參數(shù)范圍

5.(*)已知定義在(-8,0)0(0,+8)上的函數(shù)f㈤始,。，若

f(x)+f(-x)=0在定義域上有兩個不同的實數(shù)解,則實數(shù)a的取值范圍為()

C"(

6.(2020四川綿陽高中高三第二次診斷性測試,水)若函數(shù)

f(x)=(2ax-l)2-l0gli(ax+2)在區(qū)間［0*］上恰有一個零點，則實數(shù)a的取值范圍是

()

C.[2,3]D.[2,3)

答+Lxe[-2,0],

7.(2020江西上饒重點中學(xué)高三六校聯(lián)考，")已知函數(shù)f(x)=

2/(x-2),%€(0,+項

若函數(shù)g(x)=f(x)-x-2m+l在區(qū)間［-2,4］內(nèi)有3個零點，則實數(shù)m的取值范圍是

()

A.

B.|-1<m<|

C.|-1<m<；或m=1}

D.卜；VmV；或m=1}

8.(2020江蘇鹽城中學(xué)高一上學(xué)期月考,*：)已知函數(shù)f(x)￥"m'若函數(shù)

g(x)=2f(x)-mx恰有2個不同的零點，則實數(shù)m的取值范圍是.

9.(2020江蘇鹽城射陽中學(xué)高一上學(xué)期聯(lián)合測試,*?)若關(guān)于x的函數(shù)

f(x)=x2+(m-2)x+2m-l在區(qū)間(0,1)內(nèi)有且僅有一個零點，則實數(shù)m的取值范圍

是.

10.(2019江蘇江陰四校高一上學(xué)期期中考試，*已知函數(shù)f(x)=log工等為奇函

數(shù).

(1)求實數(shù)k的值；

(2)設(shè)h(x)=^，證明：函數(shù)y=h(x)在(2,+8)上是減函數(shù)；

⑶若函數(shù)g(x)=f(x)+2x+m,且g(x)在區(qū)間［3,4］上沒有零點,求實數(shù)皿的取值范圍.

11.(2020江蘇南通如皋高一上學(xué)期教學(xué)質(zhì)量調(diào)研,*?)已知函數(shù)f(x)噌渠:'<0

其中m>L且力(引號

(1)求實數(shù)m的值；

(2)若函數(shù)g(x)=f(x)-a有兩個不同的零點x“X2(xKx2),其中a七,竿］，求

Xi+log.1X2的取值范圍.

答案全解全析

第8章函數(shù)應(yīng)用

8.1二分法與求方程近似解

8.1.1函數(shù)的零點

基礎(chǔ)過關(guān)練

1.A若c<0,則△=b2-4c〉0,此時函數(shù)f(x)有零點,則“c〈O”n"函數(shù)f(x)有零點”;

若c>0,取b=2,c=l,則f(x)=x+2x+l=(x+l)2,此時函數(shù)f(x)有零點，則“函數(shù)f(x)有

零點"n/"c〈O”.故“c<0”是“函數(shù)f(x)有零點”的充分不必要條件.

2.答案2

2

解析函數(shù)f(x)=log2(x2-4x+5)的零點即為方程log2(x-4x+5)=0的根，即方程

X2-4X+5=1的根,解得XLX2=2,故函數(shù)的零點為2.

3.解析(1)令-X2-4X-4=0,解得XI=X2=-2,所以函數(shù)f(x)存在零點,且零點為-2.

⑵令⑴1)(x2-4X+3)=O,解得X=1

x-3

所以函數(shù)f(x)存在零點,且零點為1.

(3)令4'+5=0,顯然方程4x+5=0無實數(shù)根,所以函數(shù)f(x)不存在零點.

(4)令log3(x+l)=0,解得x=0,

所以函數(shù)f(x)存在零點,且零點為0.

(5)當(dāng)x<l時，令2x-2=0,解得x=l;

當(dāng)x>l時,令2+log2x=0,解得x=；(舍去)，所以函數(shù)f(x)存在零點，且零點為1.

4.B因為f(-l)=1-3=-蕓0,f(0)=l>0,且函數(shù)f(x)在R上單調(diào)遞增，其圖象在

E-1,0］上是不間斷的,所以函數(shù)f(X)的零點在區(qū)間(-1,o)±.

5.C因為f(3)=2-log23>0,f(4)=|—2=-夫0,且函數(shù)f(x)在(0,+8)上單調(diào)遞

減,其在區(qū)間［3,4］上的圖象是不間斷的,所以函數(shù)f(x)的零點所在的區(qū)間為

(3,4).

6.C當(dāng)x<0時,f(T)=2￡x(-1)2=t>0J(-2)=2—2一/x(-2)2=：-

g1>0,/(—3)=2-3—寺x(-3)2=[-1=-親0,所以x代(-3,-2),所以

a=-3.故選C.

7.C當(dāng)lnx>0,

即x>l時，f(x)=l-lnx,存在零點，零點為e;當(dāng)Inx=0,即x=l時,f(x)=0,即1是f(x)

的零點；當(dāng)Inx<0,即0〈x〈l時,f(x)=-l-lnx,存在零點,零點為士

e

故函數(shù)f(x)有3個零點.

8.答案1

解析因為f(-1)=|>0,/(-2)=-|<0,且函數(shù)f(x)在定義域為增函數(shù),其在區(qū)間

上的圖象是不間斷的，

所以函數(shù)f(x)有且僅有1個零點.

9.答案2

解析令x-x，2=l,

Bpx2-x-l=0,因為△=1+4=5>0,

所以方程有兩個實數(shù)根,所以函數(shù)f(x)有2個零點.

10.答案2

解析求函數(shù)f(x)=ax-|log?x|(0<a<l)的零點個數(shù)，即求函數(shù)y=aX(CKa〈l)和函數(shù)

y=|logaxl(0<a<l)的圖象的交點個數(shù).

畫出函數(shù)y=ax(0<a<l)^y=|log.x|(0〈aG)的大致圖象，如圖所示,

由圖象可知有2個交點，

故0<a<l時,函數(shù)f(x)=a*-|logaxl的零點個數(shù)為2.

11.證明H(x)=f(x)-g(x)=3x2-2ax+a-l.

因為A=4a-12(a-1)M(a2-3a+3)=4(a-|)2+|>0,且H(x)在R上的圖象是不間斷

的，

所以函數(shù)H(x)=f(x)-g(x)恒有兩個不同的零點.

12.C由題意，函數(shù)f(x)的大致圖象如下:

f(x)-a=0有三個不同的實數(shù)根等價于函數(shù)y=f(x)的圖象與y=a有三個不同的交點,

由圖可知，0<aML故選C.

13.BCD在方程ax2-|x|+a=0中，當(dāng)a=0時,方程只有一個解x=0,

?方程ax2Tx|+a=0有4個不同的實數(shù)解，.,.a*。,x*0,

，方程可變?yōu)楣?彳？=|x|+白

a|x|\x\

方程ax2-1x|+a=0有4個不同的實數(shù)解等價于函數(shù)y=|x|+之的圖象和y」有4個不

\x\a

同的交點.

作出函數(shù)y=|x|+上和y」的大致圖象,如圖所示,

易知函數(shù)y=|x|+±的最小值為2,因此當(dāng)工>2,即0<a<；時,

|x|a2

直線y」與函數(shù)y=|x|+9的圖象有4個不同的交點，

a|x|

即原方程有4個不同的實數(shù)解,

所以滿足要求的有B、C、D.故選BCD.

14.答案(2,3)

解析設(shè)函數(shù)f(x)=3x2-(m+2)x-m+3,

因為函數(shù)f(x)的一個零點在區(qū)間(0,1)上，另一個零點在區(qū)間(1,2)上，

f/(O)>0,(-m+3>0,

又因為該函數(shù)圖象開口向上，所以｛/'(1)<04P-2m+4<0,解得2<m<3.

(/(2)>0,>0,

故實數(shù)m的取值范圍是(2,3).

15.解析若a=0,則f(x)=-4,與題意不符，

所以a*0.由題意可知f(x)在(7,1)上是單調(diào)函數(shù),且其在區(qū)間［-1,1］上的圖象是

不間斷的，所以f(TAf⑴=-4X(6a-4)<0,解得a>|,

故實數(shù)a的取值范圍為6,+8).

能力提升練

1.B因為f(x)在(0,+8)上的圖象是不間斷的，且是減函數(shù)，f(2)=0,所以f(x)在

(0,+8)上有且僅有一個零點,為2.

又因為f(x)是偶函數(shù),所以f(x)在(-8,0)上有且僅有一個零點,為-2,

所以函數(shù)f(x)在定義域內(nèi)有兩個零點.

2.A令［f(x)『+af(x)=0,得f(x)=0或f(x)=-a,作出函數(shù)f(x)的大致圖象如圖所

由圖象可知方程f(x)=0的實數(shù)根的個數(shù)是2,方程f(x)=-a的實數(shù)根的個數(shù)可能是

0、2、3、4,所以n的值可能是2、4、5、6,不可能是3,故選A.

3.BC集合A={x|(a-l)x2+(a+1)x+l=

0}中有且僅有一個元素，

方程3-1)/+(a+1)x+l=0有且只有一個實數(shù)根或有兩個相等的實數(shù)根.

當(dāng)a2-l=0,a+l*0,即a=l時,滿足題意；當(dāng)a2-1=0,a+l=0,即a=-l時,不滿足題意,舍

去；

當(dāng)a2-1*0,即a*±l時,需滿足A=(a+1)-4X(a2-1)=0,

解得a=T(舍去)或a=|.：.a-1或a=|.故選BC.

4.答案0

解析由題意知，當(dāng)xNO時，f(x)=lg(x?+3x+2),

令lg(x2+3x+2)=0,即X2+3X+2=1,解得x二^(舍去).

因為函數(shù)y=f(x)是定義在R上的偶函數(shù)且其圖象是不間斷的,所以函數(shù)f(x)在R

上的零點個數(shù)為0.

5.A令g(x)=f(x)+f(-x),

則g(-x)=f(-x)+f(x)=g(x),

又g(x)的定義域為(-8,o)U(0,+8),關(guān)于原點對稱,

:.g(x)為偶函數(shù).

若x>0,則-x<0,

所以g(x)=f(x)+f(-x)=x2+2ax-x+l=x2+(2a-l)x+1.

方程f(x)+f(-x)=0在定義域上有兩個不同的實數(shù)解等價于g(x)=x2+(2a-l)x+1在

x>0時有兩個零點，

M=(2a-l)2-4>0,

則解得a<-1.

［等>0,

6.D由題意得,函數(shù)f(x)在區(qū)間?上有零點的充分條件為f(0)fQ《0,即

(l-log,2)(l-lo43)40,

l-loga2<0,fl-loga2>0,

l-loga3>0^ll-loga3<0,

解得2^a<3.

當(dāng)a=3時，f(x)=(6xT)2-log3(3x+2),

顯然函數(shù)f(x)在區(qū)間?上的圖象是一條不間斷的曲線,且fg)=l-l=o,

f(0)=l-log32>0,

f

Q)=|-log3^=y-log37<0,

所以函數(shù)f(x)在［0,目上有兩個零點,不符合題意，

故實數(shù)a的取值范圍為⑵3),

故選D.

7.D當(dāng)xe［-2,-l］時，f(x)=x+2;當(dāng)xe(-l,O］時，f(x)=-x;當(dāng)O〈x41時，-26-24-1,

此時f(x)=2f(x-2)=2x;

當(dāng)I<x42時,-Kx-240,此時f(x)=2f(x-2)=-2x+4;

當(dāng)2<x<3時，0<x-2<l,此時f(x)=2f(x-2)=4x-8;

當(dāng)3<x44時,l<x-242,此時f(x)=2f(x-2)=-4x+16.

作出函數(shù)f(x)在［-2,4］上的圖象如圖所示.

函數(shù)g(x)=f(x)-x-2m+l在區(qū)間［-2,4］內(nèi)有3個零點,

即函數(shù)y=f(x)的圖象與y=x+2m-l的圖象在區(qū)間［-2,4］內(nèi)有3個不同的交點.由圖

象可得l-2m=-l或0<可得<2,

解得m=l或<m<\故選D.

解析若x=0,則g(0)=0,故x=0是函數(shù)g(x)的一個零點.

若x*o,則令g(x)=o,得r=?=>m,”

2Xlx2-5,x<

即m=2時,顯然g(x)有無窮多個零點,故m*2;

^y=x2-5時,有x<m,

令h(x)=x,-5成,x<m,其大致圖象如圖所示,

觀察h(x)的圖象,當(dāng)x<m時,若函數(shù)只有一個零點,則m應(yīng)在線段NM上,

故h(m)=m2-5-y<0,

解得-24m

當(dāng)m=-2時，令h(x)=O,

則有X2-5+1=0,解得x=±2,不符合題意,

故-2*

9.答案濘或m=6-2V7

解析函數(shù)f(x)=x2+(m-2)x+2m-l在區(qū)間(0,1)內(nèi)有且僅有一個零點等價于方程

f(x)=0在(0,1)內(nèi)有且僅有1個實數(shù)根.

當(dāng)A=0,即(m-2)2-4(2mT)=0時，解得m=6±2迎，

若m=6+2夕,方程f(x)=0的根為x尸X2瞪=號亞=-2-近空(0,1),不符合題意,

舍去；

若m=6-2-77,方程f(x)=0的根為Xi=x2=^=之七,夕=e-2e(0,1),符合題意.

當(dāng)A>0,BP(m-2)2-4(2m-l)>0時,解得m<6-2b或m>6+2近，

由題意可得f(0)f(l)<0,

即(2m-l)(l+m-2+2m-l)<0,

解得:<m<l，

當(dāng)f(0)=0時,此時方程的另一根為x=|空(0,1),不符合題意，舍去;

當(dāng)f(l)=0時,m=|,此時方程的另一根為xqe(0,1),符合題意.

綜上所述,實數(shù)m的取值范圍是"m4|或m=6-2位.

10.解析(1)因為函數(shù)f(x)=loga,等為奇函數(shù),所以f(x)+f(-x)=logi+logi

3X~23X~23

2+kx八

---二0,

-X-2

即1。虱答箸)=】翼4-k2x2