函數性質的應用教案 人教課標版

第四屆全國高中青年數學數師優(yōu)秀課效案

函數性質的應用

參評教師：遼寧省大連市第中學張軍

*im函數性質的應用課型專題課教師大連市第中學數學組張軍

.知識目標：()會用函數性質解決與抽象函數有關的不等式問題；

()會根據題意自己設計條件并解決問題；

教學()能夠比較熟練地綜合運用函數性質解決相關問題。

目標

.能力目標：()著重培養(yǎng)學生自己獲取知識的能力；

()培養(yǎng)學生思維的發(fā)散能力。

.情感目標：通過師生互動、生生互動的教學活動過程，讓學生體會成功的愉悅，培養(yǎng)學生熱愛

數學的態(tài)度，提高學習數學的興趣，樹立學好數學的信心。

教學運用函數性質解與抽象函數有關的不等式問題

重點

教學如何化抽象為具體

難點

教學理解并運用函數的性質

關鍵

教學教學內容師生活動教學設計意圖

過程

實例引入教師演示激趣——引題

課題學生通過觀察一思考一從多媒體展示的實際生活中的問題入手，

引入將沙子勻速地注入一個形得到大致的圖象，教師數學建模，激發(fā)學生求知的欲望，引入課

的容器內，隨著時間的變再利用多媒體演示。題。

化，容器內沙子的高度在不

斷地上升，請思考這一關系通過實例：①認識生活中充滿變量間的依

的大致圖象是怎樣的呢？賴關系；②函數性質的應用是非常廣泛

的；③激發(fā)學生學習興趣，提高發(fā)散思維

能力。

【問題】：設函數y=/(x)

問題教師首先提出問題，學荷株rax

提出在&上單調遞減，解不等生思考后回答，教師板這里，充分體現(xiàn)了教師的主導作用和學生

書解答過程，師生共同的主體作用，因為問題的答案不難得出，

式：f(2x)>f(-x),并說

分析解題思路，歸納解但關鍵是如何想到的。在以后，學生也能

出你的解題依據。此類數學問題的方法。夠借鑒老師分析問題的方法來分析代數

式的特征，不僅授之以“魚”，而且授之

以“漁”。

【推廣】：

若/(%)</(/)，則怎樣

問題反思——深化

學生經過思考、討論后

推廣討論式教學，運用群體的力量和團隊精神

比較Xi,吃的大小呢？回答問題，著重在于條

解決問題，通過給學生思考、探索的空間，

件的利用。

培養(yǎng)學生的合作學習觀念。

知識遷移：函數/(X)是定

學生思考后，到黑板板

義在區(qū)間［-1,3］上的單調書解答過程，并對解題

問題

思路進行闡述，教師進

演化遞減函數，解不等式：變化問題情境，激發(fā)學生探索問題的欲

行點評并引導學生規(guī)范

望，體會解決數學問題的過程中的快樂。

/(2-%)</(2x-3)o解題過程。

【問題:】設y=/(x)是定

學生運用不同解法解決

問題義在R上的偶函數，且直觀一遷移

此問題，教師針對不同

再變先從代數角度解決問題，再從幾何角度，

/(x)在(0,+劃上單調遞方法進行特色點評。

化利用數形結合思想，借助圖象，將抽象的

符號語言轉化為形象、直觀的圖形語言解

增，又"3)=0,則

決問題，使學生通過“角度”改變觀念，

針對“題型”選擇方法。

/(x)<0的解集是。

有關這類數學問題的解題

思想、解題方法是什么呢？

學生思考后作答，教師

問題對于解題方法學生可能比較重視，但對于

需要注意什么問題呢？進行適當的引導、補充。

反思解題思想，學生也許并不在意，教師應進

行適當的引導。

剛才解不等式的時候，都是

把不等式轉化為

通過再次情境的改變，促進學生圍繞“奇

7?(%)<(>)/(無2)來解，那學生思考后回答，每個

偶性”和“合二為一”兩個方向進行思考，

學生都會有自己的想

問題么大家考慮如果遇到同時也為后面自編題在此打下伏筆。

法，教師通過激勵性的

再升

/(玉)+/(尤2)>0,怎樣來點評，促使更多的學生

華

發(fā)表自己的見解。

解決呢？

【問題】：奇函數/(X)在定

問題義域(-1,1)內單調遞減，解發(fā)散——拓展

學生思考后進行回答，

提出教師根據對前一問題的分析，編出題目，

關于。的不等式：教師利用多媒體演示答

案，并進行適當的點評。由學生來完成，一方面激發(fā)學生學習的興

f(l-a)+f(l-a2)<0.

趣，同時通過對條件進行適當的分析，也

為如何自編題對學生做出示例。

請自己編加條件解不等式：

學生根據剛才所學自己

/(3%+1)+/(%-2)>0互助提高

編加條件，并對自己所

提出問題加以解決，驗半命題教學，能使學生的思維再拓展，這

問題證條件正確與否。教師種做法一方面完全符合學生的思維發(fā)展

深化巡視后，找兩名有代表

性的同學，將所編加條規(guī)律，另一方面更能把這樣發(fā)展變成學生

件寫在黑板上，分組解自身自我的需求，而且這種需求變得越來

決。

越強烈。

當你自編了一道題并解出

學生談自己的感受，教自編題能讓大家在明確目標的前提下，通

后，有何感受？師從高度上進行概況。過所學的方方面面的知識，自己來設計解

題的途徑，發(fā)散思維能力能得到很好的訓

練，進一步明確題設條件的用法，進而在

問題學習過程中發(fā)現(xiàn)學習數學的樂趣，體驗數

再反學的美。

思

這堂課都學習了那些內容，

你有什么收獲或者提高

學生進行思考后總結，小結提升

課堂教師進行概況。這堂課里，用到了函數的定義域、值域、

小結單調性和奇偶性等性質，涉及到了分類討

論思想和數形結合思想，其實函數的很多

知識都是貫穿在一起來應用的，希望大家

能夠綜合利用函數知識解決生活和數學

《成才之路》頁，應用練習。

中的一些問題。

布置

作業(yè)

函數性質的應用

板

/(X)遞增、

>=>芯<%2

問題：/(x1)</(x2)>

書

/(X)遞減

>=>芯

/(x)</(x)教師(學生)板演

設12>

思想：轉化思想

計方法：利用函數性質

注意：定義域優(yōu)先

多角度思考問題

嘗試自編題

教案說明

大連第中學張軍

一、授課內容的數學本質與教學目標定位

以函數性質為載體，培養(yǎng)學生獲取新知識能力，信息收集處理的能力，交流協(xié)作的能力,

創(chuàng)新和實踐能力、分析解決問題的能力，進而發(fā)展學生的思維能力。

.函數是描述客觀世界變化規(guī)律的重要數學模型。高中階段不僅把函數看成變量之間的

依賴關系，同時還用集合與對應的語言刻畫函數，函數的思想方法將貫穿高中數學課程的始

終，而函數性質又在函數中起著統(tǒng)領的作用，乃重中之重；

.高中學生在這一年齡段特點是求知欲強，開發(fā)潛力大。他們的觀察力、注意力、感知

能力和思維能力和初中相比都有明顯提高，他們觀察事物更富有目的性，更加全面和深刻，

而且能比較持久地學習、研究理論方面的問題，思維的獨立性和批判性也大大提高。從這些

年齡特征來考慮，應盡力凸顯學生這一時期的發(fā)展水平和發(fā)展可能。函數性質的應用這節(jié)課

蘊含著豐富的思維方法和策略，利用函數性質掌握好解決函數問題的策略不僅有助于學生掌

握高中數學解題的基本思維方法，而且有助于他們自身問題解決能力和數學素質的提高。

.從情感上來看，本節(jié)課由淺入深的安排函數性質的應用，環(huán)環(huán)相扣，能極大的激發(fā)學

生學習的興趣，并隨著問題的逐個自行解決，進而樹立學生學好數學的信心。

二、學習本內容的基礎以及今后有何用處

.本內容是在高中數學人教社版必修講完.函數的單調性和奇偶性之后，安排的一節(jié)專

題研究課，是有關抽象函數性質研究的第一節(jié)課。這節(jié)課承接前面所研究的函數的定義、表

示方法、單調性、奇偶性，是這些內容的深化、提高，并且是在研究完具體初等函數的性質

之后再進行的，從感性認識提高到理性認識。另一方面，可以通過對抽象函數性質的研究的

學習，為后面學習指數函數、對數函數、及數列這種特殊的函數打下基礎，與不等式、求函

數的值域、最值、導數等等都有著緊密的聯(lián)系，同時它對后面的函數的進一步學習在思維上

起著進一步深化、拓展的作用。

.本節(jié)課在函數中是由具體到抽象的一個重要過渡，它對后面利用函數性質的進一步研

究抽象函數問題起著重要的鋪墊、引領作用。

.通過對抽象函數的性質的研究，能夠培養(yǎng)、訓練、提高學生的邏輯思維能力和發(fā)散思

維能力，對其他知識的進一步學習、探索產生良好遷移作用具有奠基性的作用。

.通過對抽象函數性質的研究，能夠對其它學科的學習，比如說物理學中的波形圖、化

學中的無機化學、生物學中的遺傳等知識，使學生在思維上具有正面的積極導向，給予數學

上的基礎性支撐。

.滲透轉化等數學思想方法。從學習過程中感悟轉化思想的作用，化繁為簡、化抽象為

直觀，為今后進一步學習、深化，打下堅實基礎。

三、教學診斷分析

.學習本內容時容易了解的地方：給出函數定義域時，如何利用其求出字母的初步取值

范圍；函數單調性可以把函數值的大小轉化為自變量的大??；函數奇偶性中的奇函數可以去

掉前的負號；數形結合思想中的利用函數圖象便捷、直觀的解決問題；分類討論思想

的應用等等。

.學習本內容時容易誤解的地方：當利用函數單調性把函數值的大?。?（X］）＜/（九2））轉

換為自變量（再與馬）的大小時，須與龍2是否在同一單調區(qū)間，容易產生誤解。

四、本節(jié)課的教法特點以及效果分析

本節(jié)課體現(xiàn)了：

貫穿一條主線一一以轉化思想為主線；

發(fā)揮兩個作用一一教師主導與學生的主體作用的最佳結合；

強化三種意識一一合作意識、探究意識、創(chuàng)新意識；

運用四種方法一一函數與方程、數學結合、化歸與轉化、分類討論；

培養(yǎng)五個能力一一學生獲取新知識能力，、信息收集處理的能力、交流協(xié)作的能力、創(chuàng)新

和實踐能力、分析解決問題的能力。

本節(jié)課在引入階段一開始從將沙子勻速地注入將沙子勻速地流入一個形的容器內入手，

引發(fā)學生從生活中的實際問題入手，在從具體到抽象，由觀察實例上升為描述圖象，再由教

師進行闡述圖象符合函數性質中的單調性的圖象，從而在學生腦海中初步建立數學建模的思

想。這一環(huán)節(jié)的安排時由于數學的一切發(fā)展都不同程度地歸結為現(xiàn)實的需要，因此，創(chuàng)設實

際生活的情境，能夠讓學生切實感受到數學是源于生活的，激