六年級奧數(shù)第22講-綜合行程問題（教）

學科教師輔導(dǎo)講義

學員編號：年級六年級課時數(shù)：3

學員姓名：輔導(dǎo)科目奧數(shù)學科教師

授課主題第22講一—行程問題

授課類型T同步課堂P實戰(zhàn)演練S歸納總結(jié)

①環(huán)形路線上的相遇和追及問題；

教學目標②速度行程問題與比例關(guān)系；

③鐘面上的行程問題。

授課日期及時段

F(Textbook-Based)-同步課堂

知識梳理

△

問題回顧

例1、一條船順水航行48千米，再逆水航行16千米，共用了5小時；這知船順水航行32千米，再逆水航行

24千米，也用5小時。求這條船在靜水中的速度。

【解析】這道題的數(shù)量關(guān)系比較隱蔽，我們條件摘錄整理如下：

順水逆水時間

48千米16千米5小時

32千米24千米

比較條件可知，船順水航行48千米，改為32千米，即少行了48-32=16（千米），那么逆水行程就由16千米

增加到24千米，這就是在相同的時間里，船順水行程是逆水行程的16+8=2倍。所以“逆水航行16千米”，

可轉(zhuǎn)換為“順水航行16X2=32（千米），這樣船5小時一共順水航行48+32=80（千米），船順水速為80+5=16

千米，船逆水速為16+2=8（千米）。船靜水速為（16+8）4-2=12（千米）。

例2、甲、乙二人分別從A、2兩地同時出發(fā)，往返跑步。甲每秒跑3米，乙每秒跑7米。如果他們的第四次

相遇點與第五次相遇點的距離是150米，求A、8兩點間的距離為多少米?

ACFnR

【解析】（法一）畫圖分析知甲、乙速度比為：S甲：SL%:吃=3:7,第四次相遇甲乙共走：4X2—1=7（個

全程），甲走了：3X7=21（份）在C點，第五次相遇甲乙共走：5X2-1=9（個全程），甲走了：3X9=27

（份）在。點，已知C。是150米，所以AB的長度是150+6X（3+7）=250（米）。

（法二）也有不畫圖又比較快的方法：第四次相遇：（2X4-1）X3+20余數(shù)為1則在x的位置，第五次相遇:

（2X5—1）X34-20余數(shù)為7則在7x的位置，尤表示速度基數(shù)7x-lx=6x,6x=15O,

10尤=10x150+6=250（米），即全程AB為250米。

典例分析

考點一：環(huán)型跑道行程問題

例1、如下圖所示，某單位沿著圍墻外面的小路形成一個邊長300米的正方形。甲、乙兩人分別從兩個對角處

沿逆時針方向同時出發(fā)。如果甲每分走90米，乙每分走70米，那么經(jīng)過多少時間甲才能看到乙？

,乙

甲-------

【解析】當甲看到乙的時候，甲和乙在同一條邊上，甲乙兩人之間的距離最多有300米長。

當甲、乙之間的距離等于300米時，即甲追上乙一條邊（300米）需300―（90-70）=15（分），

此時甲走了90x15+300=4.5（條）邊，

所以甲、乙不在同一條邊上，甲看不到乙。但是甲只要再走0.5條邊就可以看到乙了，即甲從出發(fā)走5條邊后

可看到乙，共需300x5+90=16—（分），即16分40秒。

3

例2、甲乙兩名選手在一條河中進行劃船比賽，賽道是河中央的長方形ABCD,其中40=100米，AB=80米,

已知水流從左到右，速度為每秒1米，甲乙兩名選手從A處同時出發(fā)，甲沿順時針方向劃行，乙沿逆時針方

向劃行，己知甲比乙的靜水速度每秒快1米，（AB、邊上視為靜水），兩人第一次相遇在邊上的P點,

4CP=CD,那么在比賽開始的5分鐘內(nèi)，兩人一共相遇幾次？（5次）

------------>--------

BC

(?

P

A----------------------------D

------------>--------

【解析】設(shè)乙的速度為x米/秒，則可列得方程：

80+80+410010080-80+4

1--------1-------------

x+1---x+1+1x+1X

解得：x=3。所以甲的速度為4米/秒。

甲游一圈需要93工秒，乙游一圈需要128』秒。5分鐘內(nèi)，甲游了3圈還多20秒，乙游了2圈還多43^秒。

333

多余的時間不夠合游一圈，所以兩人合游了5圈。所以兩人共相遇了5次。

例3、如圖，在長為490米的環(huán)形跑道上，A、8兩點之間的跑道長50米，甲、乙兩人同時從A、B兩點出

發(fā)反向奔跑.兩人相遇后，乙立刻轉(zhuǎn)身與甲同向奔跑，同時甲把速度提高了25%,乙把速度提高了20%.結(jié)

果當甲跑到點A時，乙恰好跑到了點8.如果以后甲、乙的速度和方向都不變，那么當甲追上乙時，從一開

始算起，甲一共跑了多少米。

【解析】相遇后乙的速度提高20%,跑回8點，即來回路程相同，乙速度變化前后的比為5:6,所以所花時

間的比為6:5。

設(shè)甲在相遇時跑了6單位時間，則相遇后到跑回A點用了5單位時間。設(shè)甲原來每單位時間的速度%,由題

意得：6%+5x%x(l+25%)=490解得：%=40。

從A點到相遇點路程為40x6=240,所以％=(490-50-240)+6=煤。

兩人速度變化后，甲的速度為40x(1+25%)=50,乙的速度為gx(1+20%)=40,從相遇點開始，甲追上乙

時，甲比乙多行一圈，

二甲一共跑了4904-(50-40)X50+240=2690(米)。

注：對于環(huán)形跑道問題，抓住相遇(或追及的)的路程和(或路程差)恰好都是一圈。(這是指同地出發(fā)的情

況，不同地，則注意兩地距離在其中的影響）。

另外，本題涉及量化思想，即將比中的每一份看作一個單位，進一步來說，一個時間單位乘以一個速度單位,

得到一個路程單位。

考點二：鐘面行程問題

例1、某小組在下午6點多開了一個會，剛開會時小張看了一下手表，發(fā)現(xiàn)那時手表的分針和時針垂直。下午

7點之前會就結(jié)束了，散會時小張又看了一下手表，發(fā)現(xiàn)分針與時針仍然垂直，那么這個小組會共開了分

鐘。

【解析】分針每分鐘轉(zhuǎn)工圈，時針每分鐘轉(zhuǎn)」-圈。分針要比時針多轉(zhuǎn)工圈，需要工+（工-二一］=當（分）。

6072022（60720J11

例2、某工廠的一只走時不夠準確的計時鐘需要69分鐘（標準時間）時針與分針才能重合一次。工人每天的

正常工作時間是8小時，在此期間內(nèi)，每工作一小時付給工資4元，而若超出規(guī)定時間加班，則每小時付給工

資6元。如果一個工人照此鐘工作小時，那么他實際上應(yīng)得工資多少元？

【解析】時鐘的一圈有60小格，分針每分鐘走1格，時針每分鐘走上=,格。

6012

時針和分針從一次重合到下一次重合，分針應(yīng)比時針多走一圈，因此需要時間6。/1-上］=煙（分鐘）。

I12J11

于是依題設(shè)可知，計時鐘的3分鐘相當于標準時間的69分鐘。

11

從而用此鐘計時的8小時，實際上應(yīng)該是8+%x69=8丫（小時），

1130

那么工人實際上應(yīng)得的工資為8x4+2x6=34.6元。

30

例3、一個掛鐘每天慢30秒。一個人在3月23日12時校正了掛鐘，到4月2日14時至15時之間，掛鐘的

時針與分針重合在一起時，標準時間應(yīng)該是4月2日時分秒（精確到秒）。

【解析】從3月23日12時到4月2日12時共10天，掛鐘慢了30X104-60=5（分）此時掛鐘顯示11時55

分。

因為時針與分針兩次重合時間為60+［1-二］=孕（分）；

I12J11

所以從標準時間4月2日12時到所求時刻，掛鐘走的時間為5+65』><2=135W（分）；

1111

相當于標準時間135—x60x60x24?135.956（分）Q2時15分57秒

1160x60x24-30

所求時刻為14時15分57秒。

P(Practice-Oriented)一-一實戰(zhàn)演練

實戰(zhàn)演練，

＞課堂狙擊

1、王新從教室去圖書館還書，如果每分鐘走70米，能在圖書館閉館前2分鐘到達，如果每分鐘走50米，就

要超過閉館時間2分鐘，求教室到圖書館的路程有多遠？

【解析】設(shè)從教室去圖書館閉館時所用時間是x分鐘

70(x-2)=50(x+2)

70x-140=50x+100

70x—50龍=100+140

尤=12

70x(12-2)=700(米)。

2、甲、乙二人分別從山頂和山腳同時出發(fā)，沿同一山道行進。兩人的上山速度都是20米/分，下山的速度都

是30米/分。甲到達山腳立即返回，乙到達山頂休息30分鐘后返回，兩人在距山頂480米處再次相遇。山道

長米。

【解析】甲、乙兩人相遇后如果甲繼續(xù)行走480+20=24(分鐘)后可以返回山頂，如果乙不休息，那么這個

時候乙應(yīng)該到達山腳，所以這個時候乙還需要30分鐘到達山腳，也就是距離山腳還有30x30=900(米)，所

以山頂至U山腳的距離為900+24x(20+30)=900+1200=2100(米)。

3、小明在1點多鐘時開始做奧數(shù)題，當他做完題時，發(fā)現(xiàn)還沒到2：30,但此時的時針和分針與開始做題時

正好交換了位置，你知道小明做題用了多長時間，做完題時是幾點嗎？

【解析】在不到L5小時的時間內(nèi)，時針與分針正好交換了一下位置，說明兩針在此時間內(nèi)共轉(zhuǎn)了一圈，則

經(jīng)6。/1+，］=552分鐘。

I12J13

兩針在此時間內(nèi)共轉(zhuǎn)了一圈，所以時針實際轉(zhuǎn)了」一=。圈，所以開始做作業(yè)時分針在時針前工圈，做完

1+121313

作業(yè)時時針在分針前工圈，2點的時候，時針在分針前工圈，所以還要經(jīng)過+小時，即

1361613)I12)143

5竺S分，小明所以做完作業(yè)時是2點5”。分。

143143

4、有一種機器人玩具裝置，配備長、短不同的兩條跑道，其中長跑道長400厘米，短跑道長300厘米，且有200

厘米的公用跑道（如下圖）。機器人甲按逆時針方向以每秒6厘米的速度在長跑道上跑動，機器人乙按順時針方

向以每秒4厘米的速度在短跑道上跑動。如果甲、乙兩個機器人同時從點A出發(fā)，那么當兩個機器人在跑道

上第3迎面相遇時，機器人甲距離出發(fā)點A點多少厘米？

【解析】第一次在耳點相遇，甲、乙共跑了400厘米（見左下圖）。

第二次在星點相遇（要排除甲還沒有第二次上長跑道時可能發(fā)生的相遇事件），甲、乙共跑了700厘米（見右

上圖）。同理，第三次相遇，甲、乙又共跑了700厘米。共用時間（400+700+700）+（6+4）=180（秒），

甲跑了6X180=1080（厘米）,距A點400X3—1080=120（厘米）。

5、一條電車線路的起點站和終點站分別是甲站和乙站，每隔5分鐘有一輛電車從甲站發(fā)出開往乙站，全程要

走15分鐘.有一個人從乙站出發(fā)沿電車線路騎車前往甲站.他出發(fā)的時候，恰好有一輛電車到達乙站.在路

上他又遇到了10輛迎面開來的電車.到達甲站時，恰好又有一輛電車從甲站開出.問他從乙站到甲站用了多

少分鐘？

【解析】先讓學生用分析間隔的方式來解答：

騎車人一共看到12輛車，他出發(fā)時看到的是15分鐘前發(fā)的車，此時第4輛車正從甲發(fā)出.騎車中，甲站發(fā)

出第4到第12輛車，共9輛，有8個5分鐘的間隔，時間是5x8=40（分鐘）.

再引導(dǎo)學生用柳卡的運行圖的方式來分析：

第一步：在平面上畫兩條平行線分別表示甲站與乙站.由于每隔5分鐘有一輛電車從甲站出發(fā)，所以把表示

甲站與乙站的直線等距離劃分，每一小段表示5分鐘.

?~曙~.蠲"“以~承與出58.、健同成或E4

第二步：因為電車走完全程要15分鐘，所以連接圖中的1號點與戶點（注意：這兩點在水平方向上正好有3

個間隔，這表示從甲站到乙站的電車走完全程要15分鐘），然后再分別過等分點作一簇與它平行的平行線表

示從甲站開往乙站的電車.

第三步：從圖中可以看出，要想使乙站出發(fā)的騎車人在途中遇到十輛迎面開來的電車，那么從戶點引出的粗

從圖中可以看出，騎車人正好經(jīng)歷了從尸點到0點這段時間，因此自行車從乙站到甲站用了5x8=40（分鐘）.

對比前一種解法可以看出，采用運行圖來分析要直觀得多！

＞課后反擊

1、小張和小王早晨8點整同時從甲地出發(fā)去乙地，小張開車，速度是每小時60千米.小王步行，速度為每小

時4千米.如果小張到達乙地后停留1小時立即沿原路返回，恰好在10點整遇到正在前往乙地的小王.那么甲、

乙兩地之間的距離是千米.

【解析】因為小張和小王相遇時恰好經(jīng)過了兩個甲地到乙地的距離，而這個過程中小張開車1個小時，小王步

行2個小時，他們一共所走的路程是：60x1+4x2=68（千米），所以甲、乙兩地之間的距離是：68+2=34（千

米）.

2、如下圖，某城市東西路與南北路交會于路口A.甲在路口A南邊560米的B點，乙在路口A.甲向北，乙

向東同時勻速行走.4分鐘后二人距A的距離相等.再繼續(xù)行走24分鐘后，二人距A的距離恰又相等.問：

甲、乙二人的速度各是多少？

【解析】本題總共有兩次距離A相等，第一次：甲到A的距離正好就是乙從A出發(fā)走的路程.那么甲、乙兩

人共走了560米，走了4分鐘，兩人的速度和為：560+4=140（米/分）。第二次：兩人距A的距離又相等，

只能是甲、乙走過了A點，且在A點以北走的路程=乙走的總路程.那么，從第二次甲比乙共多走了560米,

共走了4+24=28（分鐘），兩人的速度差：560+28=20（米/分），甲速+乙速=140,顯然甲速要比乙速要快;

甲速-乙速=20,解這個和差問題，甲速=（140+20）+2=80（米/分），乙速

=140-80=60（米/分）.

A

3、如圖，A、3兩地位于圓形公路一條直徑的兩個端點。一天上午8點甲從A出發(fā)，/

沿順時針方向步行，同時乙從8出發(fā)，騎自行車沿逆時針方向行進。8點40分時乙將（）

自行車放在路邊，自己改為步行。當甲走到自行車停放地點時，就騎上自行車繼續(xù)前進。

結(jié)果在10點的時候兩人同時到達A地。已知兩人步行速度相同，都是每小時5千米，

而甲騎自行車的速度是乙騎車速度的3.5倍，求乙騎車的速度。

【解析】根據(jù)題意，可知乙騎了2小時，步行了&小時。由于甲乙步行速度相同，所以甲應(yīng)步行士小時后騎

333

上自行車，騎了2小時后到達A地。因為甲的路程是乙的路程的2倍，所以乙騎土小時，步行邑小時等于甲

333

0497

騎士小時，步行之小時。而甲騎自行車的速度是乙騎車速度的3.5倍，所以甲騎士小時相當于乙騎」小時。

3333

5X（?,）+（Z/）=型（千米/小時），所以乙騎車的速度是0千米/小時。

333333

4、一個圓周長90厘米，3個點把這個圓周分成三等分，3只爬蟲A,B,C分別在這3個點上。它們同時出

發(fā)，按順時針方向沿著圓周爬行，速度分別是10厘米/秒、5厘米/秒、3厘米/秒，3只爬蟲出發(fā)后多少時間

第一次到達同一位置？

【解析】先來詳細討論一下：

⑴先考慮2與C這兩只爬蟲，什么時候能到達同一位置。

開始時，他們相差30厘米,每秒鐘8能追上C的路程為5-3=2（厘米）；30+（5-3）=15（秒）

因此，15秒后B與C到達同一位置.以后再要到達同一位置，2要追上C一圈，也就是追上90厘米，需要

90+（5-3）=45（秒）。

8與C到達同一位置，出發(fā)后的秒數(shù)是15,60,105,150,195,

⑵再看看A與8什么時候到達同一位置。

第一次是出發(fā)后30+（10-5）=6（秒），以后再要到達同一位置是A追上8一圈，需要90+（10-5）=18（秒）。

A與2到達同一位置，出發(fā)后的秒數(shù)是6,24,42,60,78,96.......

對照兩行列出的秒數(shù)，就知道出發(fā)后60秒3只爬蟲到達同一位置。

5、如圖，長方形的長AD與寬4?的比為5:3,E、尸為邊上的三等分點，某時刻，甲從A點出發(fā)沿長方

形逆時針運動，與此同時，乙、丙分別從E、歹出發(fā)沿長方形順時針運動.甲、乙、丙三人的速度比為4:3:5.他

們出發(fā)后12分鐘，三人所在位置的點的苜己線第一次構(gòu)成長方形中最大的三角形，那么再過多少分鐘，三人所

在位置的點的連線第二次構(gòu)成最大三角形?

AD

E<

F’

BC

【解析】長方形內(nèi)最大的三角形等于長方形面積的一半，這樣的三角形一定有一條邊與長方形的某條邊重合,

并且另一個點恰好在該長方形邊的對邊上。

所以我們只要討論三個人中有兩個人在長方形的頂點上的情況。

將長方形的寬3等分，長5等分后，將長方形的周長分割成16段，設(shè)甲走4段所用的時間為1個單位時間，那

么一個單位時間內(nèi)，乙、丙分別走3段、5段，由于4、3、5兩兩互質(zhì)，所以在非整數(shù)單位時間的時候，甲、

乙、丙三人最多也只能有1個人走了整數(shù)段。所以我們只要考慮在整數(shù)單位時間，三個人運到到頂點的情況。

對于甲的運動進行討論：

時間（單位時間）246810121416...

地點CACACACC

對于乙的運動進行討論:

時間（單位時間）23101118192627....

地點DCBADCBA

對于丙的運動進行討論:

時間（單位時間）23101118192627....

地點CBADCBAD

需要檢驗的時間點有2、3、10、11、……

2個單位時間的時候甲和丙重合無法滿足條件。

3個單位時間的時候甲在AD上，三人第一次構(gòu)成最大三角形.所以一個單位時間相當于4分鐘。

10個單位時間的時候甲、乙、丙分別在C、B、A的位置第二次構(gòu)成最大三角形。

所以再過40分鐘。三人所在位置的點的連線第二次構(gòu)成最大三角形。

6、如圖,學校操場的400米跑道中套著300米小跑道,大跑道與小跑道有200米路程相重.甲以每秒6米的速

度沿大跑道逆時針方向跑，乙以每秒4米的速度沿小跑道順時針方向跑,兩人同時從兩跑道的交點A處出發(fā),當

他們第二次在跑道上相遇時，甲共跑了多少米？

【解析】根據(jù)題意可知，甲、乙只可能在4?右側(cè)的半跑道上相遇.

易知小跑道上左側(cè)的路程為100米,右側(cè)的路程為200米,大跑道上⑷？的左、右兩側(cè)的路程均是200米.

我們將甲、乙的行程狀況分析清楚.

當甲第一次到達3點時，乙還沒有到達B點,所以第一次相遇一定在逆時針的54某處.

而當乙第一次到達3點時，所需時間為200+4=50秒,此時甲跑了6x50=300米,在離B點300-200=100米

處.

乙跑出小跑道到達A點需要100^4=25秒，則甲又跑了6x25=150米在A點左邊(100+150)-200=50米處.

所以當甲再次到達2處時，乙還未到3處，那么甲必定能在3點右邊某處與乙第二次相遇.

從乙再次到達A處開始計算，還需(400-50)+(6+4)=35秒，甲、乙第二次相遇，此時甲共跑了

50+25+35=110秒.

所以，從開始到甲、乙第二次相遇甲共跑了6x110=660米.

直擊賽場.

1、(奧數(shù)網(wǎng)杯)電子玩具車A與2在一條軌道的兩端同時出發(fā)，相向而行。已知A比3的速度快50%,根據(jù)

推算，第2。07頡7次相遇點與第2008.8次相遇點相距58厘米，這條軌道長厘米。

0I--------A1-----?2-----?3-----A4-----5

-----9-----8-----7-----6-----1

【解析】A、B兩車速度比為(1+50%):1=3:2；第2OO72007次相遇點的位置在：3x(2x2OO72007-l)^5(modl0)；

第2OO82008次相遇點的位置在：3x(2*200820°8-1)三3(modl0)所以這條軌道長58^(5-3)x5=145(厘米)。

2、(第五屆“走進美妙的數(shù)學花園”決賽)如圖，甲、乙兩只蝸牛同時從A點出發(fā)，甲沿長方形ABC。逆時

針爬行，乙沿逆時針爬行.若42=10,BC=14,AO=DO=10,且兩只蝸牛的速度相同，則當兩只

蝸牛間的距離第一次達到最大值時，它們所爬過的路程的和為多少？

【解析】很顯然，在這幅地圖上最長的距離是長方形的對角線，如果兩只蝸牛同時處于一條對角線的兩端，

那么這是這兩只蝸牛之間的距離達到最大值.對角線有兩條所以也應(yīng)該分為兩種情況：

情況一；甲在c點，乙在A點，這種情況下乙走了整數(shù)圈，甲走了若干圈又一條短邊，一條長邊，設(shè)乙走了x

圈，甲已走了y圈.則可以列出不定方程：（10+10+14）x=（10+14+10+14）y+10+14?

化簡為34x=48y+24,由于等式右邊是24的倍數(shù)，所以x至少應(yīng)該取12,止匕時y=8,兩只蝸牛共走了816。

情況二：甲在2點，乙在。點，這種情況下乙走了若干圈又20,甲走了若干圈又10,設(shè)兩只蝸牛分別行走了

x圈和y圈，則可以列出不定方程：34x+20=48y+10

化簡為17x+5=24y,x=ll是方程的最小解，此時y=8,兩只蝸牛一共行走了788.

顯然情況二最先發(fā)生，所以當兩只蝸牛間的距離第一次達到最大值時，它們所爬過的路程的和為788。事實上

兩只蝸牛在走過情況二之后各走了14,就變成了情況一的情形，如果在討論兩種情況之前就想到這一點，就

可以少討論一種情況了。

3、（第五屆“走進美妙的數(shù)學花園”決賽）小王8點騎摩托車從甲地出發(fā)前往乙地,8點15追上一個騎車人.小

李開大客車8點15從甲地出發(fā)前往乙地，8點半追上這個騎車人.小張8點多也從甲地開小轎車出發(fā)前往乙

地，速度是小李的L25倍.當他追上騎車人后，速度提高了20%.結(jié)果小王、小李、小張三人一同于9點整

到達乙地.小王、小李、騎車人的速度始終不變.騎車人從甲地出發(fā)時是幾點幾分，小張從甲地出發(fā)時是8

點幾分幾秒？

【解析】不妨設(shè)從甲地到乙地的距離為單位“1”，小王從甲地到乙地一共用了1小時，所以小王的速度為1,

小李從甲地到乙地一共用了45分鐘（即3小時），所以小李的速度為小王追上騎車人時，走了總路程的

43

1x1=1,而小李追上騎車人時，走