(滬教版2021選擇性必修一)高二數(shù)學(xué)專題訓(xùn)練專題06空間距離的向量求法重難點(diǎn)專練(原卷版+解析)

專題06空間距離的向量求法重難點(diǎn)專練（原卷版）錯(cuò)誤率：___________易錯(cuò)題號(hào)：___________一、填空題1．(2023·上海市奉賢區(qū)奉城高級(jí)中學(xué)高二月考）已知平面經(jīng)過點(diǎn)，且的法向量，則到平面的距離為___________.2．(2023·上海·閔行中學(xué)高二期中）在三棱錐中，設(shè)向量，，，則頂點(diǎn)到底面的距離為______．3．(2023·上海市七寶中學(xué)高二期中）在長(zhǎng)方體中，若，，則點(diǎn)到平面的距離為_______.4．(2023·上海普陀·二模）在四棱錐中，設(shè)向量，，，則頂點(diǎn)到底面的距離為_________5．(2023·上海交大附中高二期中）在正方體中，，則異面直線AB和的距離為___________.6．(2023·上海大學(xué)附屬南翔高級(jí)中學(xué)高二期中）已知正方體的棱長(zhǎng)為6cm，則點(diǎn)到平面的距離等于______________.二、解答題7．(2023·上海奉賢區(qū)致遠(yuǎn)高級(jí)中學(xué)高二期中）如圖，在長(zhǎng)方體中，T為上一點(diǎn)，已知．（1）求直線與平面所成角的大?。ㄓ梅慈呛瘮?shù)表示）；（2）求點(diǎn)到平面的距離．8．(2023·上?！じ呷驴迹┤鐖D，空間幾何體由兩部分構(gòu)成，上部是一個(gè)底面半徑為1，高為2的圓錐，下部是一個(gè)底面半徑為1，高為2的圓柱，圓錐和圓柱的軸在同一直線上，圓錐的下底面與圓柱的上底面重合，點(diǎn)P是圓錐的頂點(diǎn)，AB是圓柱下底面的一條直徑，AA1、BB1是圓柱的兩條母線，C是弧AB的中點(diǎn).（1）求異面直線PA1與BC所成的角的大小；（2）求點(diǎn)B1到平面PAC的距離.9．(2023·上海·閔行中學(xué)高二期末）如圖，已知正方體的邊長(zhǎng)為2，E是線段的中點(diǎn).（1）證明：平面；（2）若P是線段上的動(dòng)點(diǎn)，求點(diǎn)P到平面的距離的取值范圍.10．(2023·上海市實(shí)驗(yàn)學(xué)校高二期中）如圖，在四棱錐中，底面ABCD是平行四邊形，PG⊥平面ABCD，垂足為G，G在AD上，且，，，，E是BC的中點(diǎn).（1）求異面直線GE與PC所成的角的余弦值；（2）求點(diǎn)D到平面PBG的距離；（3）若T點(diǎn)是側(cè)棱PB上一動(dòng)點(diǎn)，設(shè)CT與平面PBG所成的角為，求的取值范圍.11．(2023·上海體育學(xué)院附屬金山亭林中學(xué)高二期末）如圖所示的正四棱柱的底面邊長(zhǎng)為1，側(cè)棱，點(diǎn)在棱上，且．（1）當(dāng)時(shí)，求三棱錐的體積；（2）當(dāng)異面直線與所成角的大小為時(shí)，求的值；（3）是否存在使得點(diǎn)到平面的距離為？若存在，求出的值；若不存在請(qǐng)說明理由．12．(2023·上海·復(fù)旦附中高二期中）在棱長(zhǎng)為2的正方體中，點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)F是CD上的動(dòng)點(diǎn).（1）試確定點(diǎn)F的位置，使得平面；（2）若F是CD的中點(diǎn)，求二面角的大??；（3）若F是CD的中點(diǎn)，求到面的距離.13．(2023·上?！じ呷驴迹┤鐖D，在直三棱柱中，，，點(diǎn)P?Q分別為?BC的中點(diǎn)，與底面ABC所成的角為.（1）求異面直線BP與所成角的大?。ńY(jié)果用反三角函數(shù)表示）；（2）求點(diǎn)C與平面的距離.14．(2023·上?！じ呷驴迹┤鐖D，在四棱錐中，底面為直角梯形，，，，平面，，．（1）求點(diǎn)到平面的距離；（2）求二面角的平面角的余弦值．15．(2023·上海·復(fù)旦附中高三開學(xué)考試）如圖所示，是棱長(zhǎng)為a的正方體，M是棱長(zhǎng)的中點(diǎn)，N是棱的中點(diǎn).（1）求直線AN與平面所成角的大??；（2）求到平面ANC的距離.16．(2023·上?！の挥袑W(xué)高二期中）在棱長(zhǎng)為的正方體中，E?F分別是與AB的中點(diǎn).(1)求與截面所成角的大??；(2)求點(diǎn)B到截面的距離.17．(2023·上海市文來中學(xué)高二期中）如圖：正四棱柱中，底面邊長(zhǎng)為2，與底面ABCD所成角的大小為，M是的中點(diǎn)，N是BD上的一動(dòng)點(diǎn)，設(shè).(1)當(dāng)時(shí)，證明：與平面平行；(2)若點(diǎn)N到平面BCM的距離為d，試用表示d，并求出d的取值范圍.18．(2023·上海市徐匯中學(xué)高二期中）如圖，底面為矩形的直棱柱滿足：，.(1)設(shè)為棱上的動(dòng)點(diǎn)，求M到的最短距離(2)設(shè)、分別為棱、上的動(dòng)點(diǎn)，判斷：三棱錐的體積是否為定值，若是，則求出定值；若不是，請(qǐng)舉例說明.19．(2023·上海市洋涇中學(xué)高二月考）如圖，是邊長(zhǎng)為4的正三角形，點(diǎn)是所在平面外一點(diǎn)，且平面，為的中點(diǎn).(1)求證：平面；(2)求直線和平面所成角的大?。?3)求點(diǎn)A到平面的距離.20．(2023·上海市建平中學(xué)高二月考）如圖，已知四邊形是正方形，平面．(1)求點(diǎn)D到平面的距離；(2)在線段上是否存在點(diǎn)E，使平面？若存在，求的值；若不存在，說明理由．專題06空間距離的向量求法重難點(diǎn)專練（解析版）錯(cuò)誤率：___________易錯(cuò)題號(hào)：___________一、填空題1．(2023·上海市奉賢區(qū)奉城高級(jí)中學(xué)高二月考）已知平面經(jīng)過點(diǎn)，且的法向量，則到平面的距離為___________.【標(biāo)準(zhǔn)答案】求出在法向量方向的投影，投影的絕對(duì)值即為距離．【詳解詳析】由已知，則在法向量方向的投影為，所以到平面的距離為．故答案為：．2．(2023·上?！らh行中學(xué)高二期中）在三棱錐中，設(shè)向量，，，則頂點(diǎn)到底面的距離為______．【標(biāo)準(zhǔn)答案】【思路指引】求出平面的一個(gè)法向量，利用點(diǎn)到平面的距離公式即可求解.【詳解詳析】因?yàn)?，，設(shè)平面的一個(gè)法向量，由，令，則，，所以，因?yàn)?，所以點(diǎn)到底面的距離為，故答案為：.3．(2023·上海市七寶中學(xué)高二期中）在長(zhǎng)方體中，若，，則點(diǎn)到平面的距離為_______.【標(biāo)準(zhǔn)答案】【思路指引】以為原點(diǎn)，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法，即可求解到平面的距離【詳解詳析】以為原點(diǎn)，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則,所以，設(shè)平面的法向量為，則，取，得，所以到平面的距離.故答案為：．【名師指路】本題主要考查了點(diǎn)到平面的距離的求法，其中解答中熟記空間向量在立體幾何中的應(yīng)用，合理利用空間向量運(yùn)算是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．4．(2023·上海普陀·二模）在四棱錐中，設(shè)向量，，，則頂點(diǎn)到底面的距離為_________【標(biāo)準(zhǔn)答案】2；【思路指引】根據(jù)法向量的求法求得平面的法向量，利用點(diǎn)到面的距離的向量求解公式直接求得結(jié)果.【詳解詳析】設(shè)平面的法向量則，令，則，點(diǎn)到底面的距離：本題正確結(jié)果：【名師指路】本題考查點(diǎn)到面的距離的向量求法，關(guān)鍵是能夠準(zhǔn)確求解出平面的法向量，考查學(xué)生對(duì)于點(diǎn)到面距離公式掌握的熟練程度.5．(2023·上海交大附中高二期中）在正方體中，，則異面直線AB和的距離為___________.【標(biāo)準(zhǔn)答案】【思路指引】如圖建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量求解即可【詳解詳析】如圖，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以為軸建立空間直角坐標(biāo)系，由，則，設(shè)是異面直線AB和的公垂線的一個(gè)方向向量，則，令，則，所以異面直線AB和的距離為，故答案為：6．(2023·上海大學(xué)附屬南翔高級(jí)中學(xué)高二期中）已知正方體的棱長(zhǎng)為6cm，則點(diǎn)到平面的距離等于______________.【標(biāo)準(zhǔn)答案】【思路指引】如圖建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求點(diǎn)到平面的距離.【詳解詳析】解：如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，∴，，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，，令，則，∴點(diǎn)到平面的距離.故答案為：.二、解答題7．(2023·上海奉賢區(qū)致遠(yuǎn)高級(jí)中學(xué)高二期中）如圖，在長(zhǎng)方體中，T為上一點(diǎn)，已知．（1）求直線與平面所成角的大?。ㄓ梅慈呛瘮?shù)表示）；（2）求點(diǎn)到平面的距離．【標(biāo)準(zhǔn)答案】（1）（或）；（2）．方法一（幾何法）：（1）連結(jié)，由已知可得直線與平面所成的角即為，解三角形可求得直線與平面所成角的大小.（2）運(yùn)用等體積法可求得點(diǎn)到平面的距離.方法二（向量法）：（1）如圖，以為原點(diǎn)，、、分別為、、軸，建立空間直角坐標(biāo)系.運(yùn)用線面角的向量求解方法可求得直線與平面所成角的大小.（2）由點(diǎn)到面的距離的向量方法可求得點(diǎn)到平面的距離.【詳解詳析】方法一：（1）連結(jié)，在長(zhǎng)方體中，因?yàn)槠矫?，即平面，所以直線與平面所成的角即為，在中，由，，可得，又，故，所以直線與平面所成角的大小為.（2）由已知可得，，所以.又.設(shè)點(diǎn)到平面的距離為.在長(zhǎng)方體中，因?yàn)槠矫?，即平面，再由得，所以?即點(diǎn)到平面的距離為.方法二：（1）如圖，以為原點(diǎn)，、、分別為、、軸，建立空間直角坐標(biāo)系.由已知可得(2，0，0)、(2，4，0)、(0，4，0)、(0，0，0)、(0，0，2)，故，又平面的一個(gè)法向量，設(shè)直線與平面所成角的大小為，則，注意到，故，所以直線與平面所成角的大小為.（2）注意到(0，4，6)，(2，0，6)，及(0，0，2)，(0，4，0)，故，，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，由已知，得，即，所以，可取，所以點(diǎn)到平面的距離為.即點(diǎn)到平面的距離為.【名師指路】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：利用法向量求解空間角和距離的關(guān)鍵在于“四破”：第一，破“建系關(guān)”，構(gòu)建恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系；第二，破“求坐標(biāo)關(guān)”，準(zhǔn)確求解相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)；第三，破“求法向量關(guān)”，求出平面的法向量；第四，破“應(yīng)用公式關(guān)”.8．(2023·上?！じ呷驴迹┤鐖D，空間幾何體由兩部分構(gòu)成，上部是一個(gè)底面半徑為1，高為2的圓錐，下部是一個(gè)底面半徑為1，高為2的圓柱，圓錐和圓柱的軸在同一直線上，圓錐的下底面與圓柱的上底面重合，點(diǎn)P是圓錐的頂點(diǎn)，AB是圓柱下底面的一條直徑，AA1、BB1是圓柱的兩條母線，C是弧AB的中點(diǎn).（1）求異面直線PA1與BC所成的角的大小；（2）求點(diǎn)B1到平面PAC的距離.【標(biāo)準(zhǔn)答案】（1）；（2）.【思路指引】（1）以為原點(diǎn)，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求出異面直線與所成的角的大小即可（2）求出平面的法向量，利用向量法求出點(diǎn)到平面的距離【詳解詳析】（1）根據(jù)題意可得平面,C是弧AB的中點(diǎn),則則以為原點(diǎn)，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖則，，，，，，，異面直線與所成的角的大小為．（2），，，，，設(shè)平面的法向量，則，取，得，點(diǎn)到平面的距離為：．【名師指路】方法點(diǎn)睛：向量法求解空間幾何問題的步驟：建、設(shè)、求、算、取1、建：建立空間直角坐標(biāo)系，以三條互相垂直的直線的交點(diǎn)為原點(diǎn)，沒有三條垂線時(shí)需做輔助線；建立右手直角坐標(biāo)系，盡可能的使得較多的關(guān)鍵點(diǎn)落在坐標(biāo)軸或坐標(biāo)平面內(nèi).2、設(shè)：設(shè)出所需的點(diǎn)的坐標(biāo)，得出所需的向量坐標(biāo).3、求：求出所需平面的法向量4、算：運(yùn)用向量的數(shù)量積運(yùn)算，驗(yàn)證平行、垂直，利用線面角公式求線面角，或求出兩個(gè)平面的法向量的夾角的余弦值5、取：根據(jù)題意，或二面角的范圍，得出答案.9．(2023·上?！らh行中學(xué)高二期末）如圖，已知正方體的邊長(zhǎng)為2，E是線段的中點(diǎn).（1）證明：平面；（2）若P是線段上的動(dòng)點(diǎn)，求點(diǎn)P到平面的距離的取值范圍.【標(biāo)準(zhǔn)答案】(1)見解析（2）[，]【思路指引】（1）由ABCD是正方形，可得BD⊥AC，再結(jié)合AA1⊥BD，利用線面垂直的判定定理即可證明BD⊥平面AA1C1C；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)P（a，2，0）（0≤a≤2），求出平面B1DE的一個(gè)法向量，得到點(diǎn)P與平面B1DE的距離，再求出取值范圍即可．【詳解詳析】（1）因?yàn)锳BCD是正方形，所以BD⊥AC，因?yàn)锳A1⊥平面ABCD，BD?平面ABCD，所以AA1⊥BD，因?yàn)锳C∩AA1＝A，AC，AA1?平面AA1C1C，所以BD⊥平面AA1C1C；（2）如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則D（0，0，0），E（2，1，0），B1（2，2，2），設(shè)P（a，2，0）（0≤a≤2），則（a，2，0），（2，1，0），（2，2，2），設(shè)平面B1DE的法向量為（x，y，z），由即，則令x＝1，則y＝﹣2，z＝1，則（1，﹣2，1）設(shè)點(diǎn)P與平面B1DE的距離為h，所以h（4﹣a）∈[，]，所以點(diǎn)P與平面B1DE的距離的取值范圍是[，]．10．(2023·上海市實(shí)驗(yàn)學(xué)校高二期中）如圖，在四棱錐中，底面ABCD是平行四邊形，PG⊥平面ABCD，垂足為G，G在AD上，且，，，，E是BC的中點(diǎn).（1）求異面直線GE與PC所成的角的余弦值；（2）求點(diǎn)D到平面PBG的距離；（3）若T點(diǎn)是側(cè)棱PB上一動(dòng)點(diǎn)，設(shè)CT與平面PBG所成的角為，求的取值范圍.【標(biāo)準(zhǔn)答案】（1）；（2）；（3）.【思路指引】（1）建立合適的空間直角坐標(biāo)系，求出所需點(diǎn)的坐標(biāo)和直線的方向向量，然后利用向量的夾角公式求解即可；（2）求出平面的一個(gè)法向量和的坐標(biāo)，然后利用點(diǎn)到直線的距離公式求解即可；（3）設(shè)，求出直線的方向向量與平面的法向量，得到的表達(dá)式，然后求出的取值范圍．【詳解詳析】解：（1）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示，則，0，，，2，，，0，，，1，，所以，則，所以異面直線與所成的角的余弦值為；（2）平面的一個(gè)法向量為，又，所以點(diǎn)到平面的距離為；（3）設(shè)，則，故，，所以，因?yàn)?，又，，所以，則，所以，故．11．(2023·上海體育學(xué)院附屬金山亭林中學(xué)高二期末）如圖所示的正四棱柱的底面邊長(zhǎng)為1，側(cè)棱，點(diǎn)在棱上，且．（1）當(dāng)時(shí)，求三棱錐的體積；（2）當(dāng)異面直線與所成角的大小為時(shí)，求的值；（3）是否存在使得點(diǎn)到平面的距離為？若存在，求出的值；若不存在請(qǐng)說明理由．【標(biāo)準(zhǔn)答案】（1）；（2）；（3）【思路指引】（1）正四棱柱中，平面，可得；（2）以為原點(diǎn)，射線、、作軸、軸、軸的正半軸，建立空間直角坐標(biāo)系，可得，，利用空間向量夾角余弦公式列方程求解即可；（3）利用向量公式求點(diǎn)到平面的距離，即可求得的值.【詳解詳析】（1）由，得，又正四棱柱，則平面，則.（2）以為原點(diǎn)，射線、、作軸、軸、軸的正半軸，建立空間直角坐標(biāo)系（如圖），則，，，，即，又異面直線與所成角的大小為，則,化簡(jiǎn)整理得，又，即.（3），，，，，設(shè)平面的法向量，則，所以，令，，，所以平面的法向量，，則點(diǎn)到平面的距離，解得：所以存在，使得點(diǎn)到平面的距離為.12．(2023·上?！?fù)旦附中高二期中）在棱長(zhǎng)為2的正方體中，點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)F是CD上的動(dòng)點(diǎn).（1）試確定點(diǎn)F的位置，使得平面；（2）若F是CD的中點(diǎn)，求二面角的大??；（3）若F是CD的中點(diǎn)，求到面的距離.【標(biāo)準(zhǔn)答案】（1）F為中點(diǎn)；（2）；（3）2.【思路指引】（1）建立空間直角坐標(biāo)系，利用線面垂直計(jì)算即得；（2）利用向量法，求兩個(gè)平面的法向量，再利用向量夾角公式即求；（3）利用向量法，利用點(diǎn)到平面距離的公式易求.【詳解詳析】（1）如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則設(shè)，則要使平面，則由得∴即，此時(shí)，∴平面，∴F是CD的中點(diǎn)時(shí)平面.（2）設(shè)平面的法向量為，又所以，∴，令，，設(shè)平面的法向量為，則可取，∴，∴二面角的大小為；（3）因?yàn)镕是CD的中點(diǎn)，由上知平面的法向量為又，∴到面的距離為.13．(2023·上海·高三月考）如圖，在直三棱柱中，，，點(diǎn)P?Q分別為?BC的中點(diǎn)，與底面ABC所成的角為.（1）求異面直線BP與所成角的大?。ńY(jié)果用反三角函數(shù)表示）；（2）求點(diǎn)C與平面的距離.【標(biāo)準(zhǔn)答案】（1）；（2）.【思路指引】（1）由已知求得，以B為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以BC、BA、所在直線為x、y、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，求出，的坐標(biāo)，由兩向量所成角的余弦值求解異面直線PB與所成角的大??；（2）求出平面的法向量及，由向量法求點(diǎn)C與平面的距離．【詳解詳析】（1）因?yàn)槠矫鍭BC，所以為與底面ABC所成的角，即，所以.如圖所示建立直角坐標(biāo)系，則，，，，，則，，，所以異面直線BP與所成的角為.（2）設(shè)平面AQC的法向量為，由（1）知，，，由，解得，取，得.又因?yàn)?，所以點(diǎn)C與平面的距離.14．(2023·上海·高三月考）如圖，在四棱錐中，底面為直角梯形，，，，平面，，．（1）求點(diǎn)到平面的距離；（2）求二面角的平面角的余弦值．【標(biāo)準(zhǔn)答案】（1）（2）【思路指引】（1）建立空間直角坐標(biāo)系，計(jì)算平面PBC的法向量，由點(diǎn)面距離的向量公式即得解；（2）計(jì)算平面PCD的法向量，結(jié)合（1）中平面PBC的法向量，利用二面角的向量公式即得解【詳解詳析】（1）由題意，平面，，，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線為軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系則P（0，0，1），B（1，0，0），C（1，2，0），D（0，3，0），設(shè)平面PBC的一個(gè)法向量為=（x，y，z），=(1，0，﹣1)，=(0，2，0)，=(﹣1，1，0)，則，取x=1，得=(1，0，1)，∴點(diǎn)D到平面PBC的距離．（2）由（1）可得平面PBC的一個(gè)法向量為=(1，0，1)，設(shè)平面PCD的一個(gè)法向量為，，=(﹣1，1，0)，則，取，得，設(shè)二面角的平面角為，由圖得二面角為鈍角故15．(2023·上?！?fù)旦附中高三開學(xué)考試）如圖所示，是棱長(zhǎng)為a的正方體，M是棱長(zhǎng)的中點(diǎn)，N是棱的中點(diǎn).（1）求直線AN與平面所成角的大??；（2）求到平面ANC的距離.【標(biāo)準(zhǔn)答案】（1）；（2）.【思路指引】（1）以為原點(diǎn)，所在直線分別為軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用公式即可求出答案；（2）設(shè)平面ANC的一個(gè)法向量為，利用公式即可求出答案.【詳解詳析】（1）以為原點(diǎn)，所在直線分別為軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，所以，，在正方體中，因?yàn)槊?，面，所以，又因?yàn)?，，所以面，所以為面的一個(gè)法向量，設(shè)直線AN與平面所成角為，則，所以直線AN與平面所成角為；（2）設(shè)平面ANC的一個(gè)法向量為，則，即，取，則，所以，因?yàn)椋?，所以到平面ANC的距離.16．(2023·上?！の挥袑W(xué)高二期中）在棱長(zhǎng)為的正方體中，E?F分別是與AB的中點(diǎn).(1)求與截面所成角的大小；(2)求點(diǎn)B到截面的距離.【標(biāo)準(zhǔn)答案】(1)(2)【思路指引】（1）采用建系法，求出平面的法向量，，設(shè)直線與平面所成角的大小為，利用即可求解，我們也可以構(gòu)造如圖所示的線面角，再利用解直角三角形求出角的大小.（2）求出，設(shè)與與法向量所成夾角為，利用即可求解；我們也可以利用等積法求出此距離.(1)法一：以為軸，為軸，為軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，設(shè)平面的法向量為，，，，則，即，令，則，，設(shè)直線與平面所成角的大小為，則，即.法2：如圖，連接，取的中點(diǎn)為，連接，則，而，故、為等腰三角形，故，，而又，故平面，而平面，故平面平面.過作，交于，因?yàn)槠矫?，平面平面，故平面，故為與截面所成角.在中，，而，故，故.(2)法1：設(shè)與法向量所成夾角為，則點(diǎn)B到截面的距離，故點(diǎn)B到截面的距離為.法2：如圖連接，設(shè)到平面的距離為，由（1）可得的面積為，而，所以，故.17．(2023·上海市文來中學(xué)高二期中）如圖：正四棱柱中，底面邊長(zhǎng)為2，與底面ABCD所成角的大小為，M是的中點(diǎn)，N是BD上的一動(dòng)點(diǎn)，設(shè).(1)當(dāng)時(shí)，證明：與平面平行；(2)若點(diǎn)N到平面BCM的距離為d，試用表示d，并求出d的取值范圍.【標(biāo)準(zhǔn)答案】(1)證明見解析(2)，．【思路指引】（1）連接，由中位線定理得，再根據(jù)線面平行的判定可得證；（2）由平面，得為直線與底面ABCD所成角，求得，以D為原點(diǎn)，以為坐標(biāo)軸建立空間直角坐標(biāo)系如下圖所示，運(yùn)用點(diǎn)到面的距離的向量求解方法可求得N到平面BCM的距離為，根據(jù)的范圍，可求得的范圍．(1)證明：連接，由得N是BD的中點(diǎn)，又M是的中點(diǎn)，所以，又面，面，所以面.(2)解：因?yàn)槠矫?，所以為直線與底面ABCD所成角，即，所以，所以以D為原點(diǎn)，以為坐標(biāo)軸建立空間直角坐標(biāo)系如下圖所示，則，所以，，又即，所以，設(shè)平面BCM的法向量為，則，即，令，得，設(shè)MN與平面BCM所成的角為，則，所以N到平面BCM的距離為，所以，所以．18．(202