(滬教版2021選擇性必修一)高二數(shù)學(xué)專題訓(xùn)練第2章圓錐曲線單元綜合提優(yōu)專練(原卷版+解析)

第2章圓錐曲線單元綜合提優(yōu)專練（原卷版）錯誤率：___________易錯題號：___________一、單選題1．過拋物線的焦點作一條直線交拋物線于、，則為A． B． C． D．2．(2023·上海市第五十四中學(xué)高二月考）若點O和點分別是雙曲線的中心和左焦點,點P為雙曲線右支上的任意一點,則的取值范圍為（）A．[3-,） B．[3+,） C．[,） D．[,）3．(2023·上?！じ裰轮袑W(xué)高三月考）設(shè)直線l與拋物線相交于A，B兩點，與圓相切于點M，且M為線段AB的中點.若這樣的直線l恰有4條，則r的取值范圍是A． B． C． D．4．(2023·上?！じ呷龑ｎ}練習(xí)）從點向圓引切線，則切線長的最小值A(chǔ)． B．5 C． D．5．(2023·上?！じ呷龑ｎ}練習(xí)）已知圓和直線，則是圓和直線相交的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件6．已知曲線：與曲線：恰好有兩個不同的公共點，則實數(shù)的取值范圍是（）A． B．C． D．7．在平面直角坐標(biāo)系中，定義為兩點AB的“切比雪夫距離”，又設(shè)點P及上任意一點Q,稱的最小值為點P到直線的“切比雪夫距離”，記作,給出下列三個命題：①對任意三點A、B、C，都有②已知點P(2,1)和直線,則③定點動點P滿足則點P的軌跡與直線(為常數(shù))有且僅有2個公共點.其中真命題的個數(shù)是（）A．0 B．1 C．2 D．38．雙紐線最早于1694年被瑞士數(shù)學(xué)家雅各布·伯努利用來描述他所發(fā)現(xiàn)的曲線.在平面直角坐標(biāo)系中,把到定點,距離之積等于（）的點的軌跡稱為雙紐線C.已知點是雙紐線C上一點,下列說法中正確的有（）①雙紐線C關(guān)于原點O中心對稱；②；③雙紐線C上滿足的點P有兩個；④的最大值為.A．①② B．①②④ C．②③④ D．①③9．方程為的曲線，給出下列四個結(jié)論：①關(guān)于軸對稱；②關(guān)于坐標(biāo)原點對稱；③關(guān)于軸對稱；④，；以上結(jié)論正確的個數(shù)是A．1 B．2 C．3 D．410．設(shè)直線系，，對于下列四個命題：（1）中所有直線均經(jīng)過一個定點；（2）存在定點不在中的任意一條直線上；（3）對于任意整數(shù)，，存在正邊形，其所有邊均在中的直線上；（4）中的直線所能圍成的正三角形面積都相等；其中真命題的是（）A．（2）（3） B．（1）（4） C．（2）（3）（4） D．（1）（2）二、填空題11．(2023·上海市松江二中高二月考）已知橢圓（）的左、右焦點為、，以為頂點，為焦點作拋物線交橢圓于，且，則拋物線的準(zhǔn)線方程是________12．(2023·上?！の挥袑W(xué)高二期末）若圓被直線所截得的弦長為，則________13．(2023·上?！らh行中學(xué)高二期末）已知點在拋物線上，過點的直線交拋物線于，兩點，若直線，的斜率分別為，，則等于___________.14．(2023·上海市實驗學(xué)校高二期末）已知橢圓內(nèi)有一點，弦過點，則弦中點的軌跡方程是__________.15．(2023·上海中學(xué)高二期末）直線與拋物線交于、兩點，為坐標(biāo)原點，直線、的斜率之積為，以線段的中點為圓心，為半徑的圓與直線交于、兩點，，則的最小值為______．16．(2023·上海市張堰中學(xué)高三月考）拋物線有一條重要性質(zhì)：從焦點發(fā)出的光線，經(jīng)過拋物線上的一點反射后.反射光線平行于拋物線的軸.已知拋物線，平行于軸的光線在拋物線上點處反射后經(jīng)過拋物線的焦點，在拋物線上點處再次反射，又沿平行于軸方向射出，則兩平行光線間的最小距離為___________.17．方程表示一個圓，則m的取值范圍是_______18．(2023·上海崇明·二模）在平面直角坐標(biāo)系中，過點作圓的兩條切線，切點分別為，．若，則實數(shù)的值等于____________．19．(2023·上海市奉賢中學(xué)高二月考）定義點到曲線的距離為該點與曲線上所有點之間距離的最小值，則點到曲線距離為___________.20．(2023·上海市楊浦高級中學(xué)高二期末）已知橢圓：，為短軸頂點，橢圓上兩個不同點滿足，則直線恒過的定點的橫坐標(biāo)為______________．三、解答題21．(2023·上海·高三專題練習(xí)）（1）動直線與拋物線相交于點，動點的坐標(biāo)是，求線段中點的軌跡的方程；（2）過點的直線交上述軌跡于兩點，點坐標(biāo)是，若的面積為，求直線的傾斜角的值.22．如圖，圓錐的展開側(cè)面圖是一個半圓，、是底面圓的兩條互相垂直的直徑，為母線的中點，已知過與的平面與圓錐側(cè)面的交線是以為頂點、為對稱軸的拋物線的一部分．（1）證明：圓錐的母線與底面所成的角為；（2）若圓錐的側(cè)面積為，求拋物線焦點到準(zhǔn)線的距離．23．(2023·上?！?fù)旦附中青浦分校高二月考）已知雙曲線C：的離心率為，且經(jīng)過.（1）求雙曲線C的方程；（2）若過點的直線交雙曲線C于x軸下方不同的兩點P?Q，設(shè)P?Q中點為M，求三角形面積的取值范圍.24．(2023·上?！とA師大二附中高三月考）已知，如圖，曲線由曲線和曲線組成，其中點為曲線所在圓錐曲線的焦點，點，為曲線所在圓錐曲線的焦點（1）若，求曲線的方程；（2）如圖，作斜率為正數(shù)的直線平行于曲線的漸近線，交曲線于點，求弦的中點的軌跡方程；（3）對于（1）中的曲線，若直線過點交曲線于點，求面積的最大值25．(2023·上海市金山中學(xué)高三期中）已知直線l：與橢圓C：交于A、B兩點（如圖所示），且在直線l的上方．(1)求常數(shù)t的取值范圍；(2)若直線PA、PB的斜率分別為k1、k2，求k1+k2的值；(3)若△APB的面積最大，求∠APB的大小，26．(2023·上海市松江二中高二月考）已知橢圓的焦距與長軸的比值為，其短軸的下端點在拋物線的準(zhǔn)線上.(1)求橢圓的方程;(2)設(shè)為坐標(biāo)原點，是直線上的動點，為橢圓的右焦點，過點作的垂線與以為直徑的圓，相交于兩點，與橢圓相交于兩點，①若，求圓的方程;②設(shè)與四邊形的面積分別為，若，求的取值范圍.27．動圓過定點，且與直線相切，其中，設(shè)圓心的軌跡為．（1）求軌跡的方程；（2）設(shè)直線交軌跡于不同的兩個點、，當(dāng)時，直線過定點，請求出定點坐標(biāo)；（3）設(shè)軌跡上的兩個定點、，分別過點、作傾斜角互補的兩條直線、分別與軌跡交于、兩點，求證：直線的斜率為定值．28．設(shè)點是拋物線上異于原點的一點，過點作斜率為、的兩條直線分別交于、兩點（、、三點互不相同）．（1）已知點，求的最小值；（2）若，直線的斜率是，求的值；（3）若，當(dāng)時，點的縱坐標(biāo)的取值范圍．29．(2023·上海市延安中學(xué)高二期末）已知A、B為圓O：與y軸的交點（A在B的上方），過點的直線l交圓O于M、N兩點.（1）若，求直線與直線的夾角；（2）若M、N都不與A、B重合時，是否存在定直線m，使得直線與的交點恒在直線m上?若存在，求出直線m的方程，若不存在，說明理由.30．(2023·上海黃浦·三模）已知直線交拋物線于兩點.（1）設(shè)直線與軸的交點為，若，求實數(shù)的值；（2）若點在拋物線上，且關(guān)于直線對稱，求證：四點共圓：（3）記為拋物線的焦點，過拋物線上的點作準(zhǔn)線的垂線，垂足分別為點，若的面積是的面積的兩倍，求線段中點的軌跡方程.第2章圓錐曲線單元綜合提優(yōu)專練（解析版）錯誤率：___________易錯題號：___________一、單選題1．過拋物線的焦點作一條直線交拋物線于、，則為A． B． C． D．【標(biāo)準(zhǔn)答案】B【思路指引】設(shè)直線的方程為，將該直線方程與拋物線方程聯(lián)立，列出韋達(dá)定理，由此可得出的值.【詳解詳析】拋物線的焦點坐標(biāo)為，設(shè)直線的方程為，將直線的方程與拋物線的方程聯(lián)立，消去得，由韋達(dá)定理得，由于點、均在拋物線上，則，得，因此，.故選B.【名師指路】本題考查拋物線焦點弦所在直線的性質(zhì)，一般將直線方程與拋物線方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理法求解，考查運算求解能力，屬于中等題.2．(2023·上海市第五十四中學(xué)高二月考）若點O和點分別是雙曲線的中心和左焦點,點P為雙曲線右支上的任意一點,則的取值范圍為（）A．[3-,） B．[3+,） C．[,） D．[,）【標(biāo)準(zhǔn)答案】B【詳解詳析】由題意可得,,故.設(shè),則.

關(guān)于

對稱,故

在上是增函數(shù),當(dāng)時有最小值為,無最大值,故的取值范圍為,

故選B.3．(2023·上海·格致中學(xué)高三月考）設(shè)直線l與拋物線相交于A，B兩點，與圓相切于點M，且M為線段AB的中點.若這樣的直線l恰有4條，則r的取值范圍是A． B． C． D．【標(biāo)準(zhǔn)答案】D【詳解詳析】試題分析：設(shè)，，，當(dāng)斜率存在時，設(shè)斜率為，則，相減得：，因為直線與圓相切，所以，即，的軌跡是直線，代入拋物線得：，所以，又在圓上，代入得：，所以，因為直線恰好有四條，所以，所以，即時直線恰好有兩條，當(dāng)直線斜率不存在時，直線有兩條，所以直線恰有條時，故選D．考點：1．直線和圓的位置關(guān)系；2．直線和拋物線的位置關(guān)系．【方法點晴】本題主要考查的是直線與圓錐曲線的位置關(guān)系，以及直線與圓的相切問題，屬于中檔題．解題時一定要注意分析條件，根據(jù)條件首先求出中點的軌跡方程，這里主要考查的是點差法，問題轉(zhuǎn)化為與圓有交點，從而當(dāng)直線斜率存在時，半徑大于且小于有兩條，當(dāng)直線斜率不存在時，也有兩條符合條件，故需要．4．(2023·上?！じ呷龑ｎ}練習(xí)）從點向圓引切線，則切線長的最小值A(chǔ)． B．5 C． D．【標(biāo)準(zhǔn)答案】A【思路指引】設(shè)切線長為,則再利用二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)求函數(shù)的最小值得解.【詳解詳析】設(shè)切線長為,則,.故選:A.【名師指路】本題主要考查圓的切線問題,考查直線和圓的位置關(guān)系,意在考查學(xué)生對這些知識的掌握水平和分析推理能力.5．(2023·上海·高三專題練習(xí)）已知圓和直線，則是圓和直線相交的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【標(biāo)準(zhǔn)答案】A【思路指引】由圓和直線相交，解出的范圍，結(jié)合選項判斷即可．【詳解詳析】圓和直線相交，即圓心到的距離小于半徑，，解得則是圓和直線相交的充分不必要條件故選：A【名師指路】本題考查充分必要條件的判斷，考查直線與圓的位置關(guān)系，屬于中檔題．6．已知曲線：與曲線：恰好有兩個不同的公共點，則實數(shù)的取值范圍是（）A． B．C． D．【標(biāo)準(zhǔn)答案】C【思路指引】利用絕對值的幾何意義，由，可得時，，時，，則可得曲線：與曲線：必交于點，再無其它交點，把代入方程，得，分類討論，可得結(jié)論【詳解詳析】解：由，可得時，，時，，所以曲線：與曲線：必交于點，為了使曲線：與曲線：恰好有兩個不同的公共點，則將代入方程，得，當(dāng)時，滿足題意，因為曲線：與曲線：恰好有兩個不同的公共點，所以，且是方程的根，所以，即時，方程兩根異號，滿足題意，綜上，的取值范圍為，故選：C【名師指路】此題考查曲線的交點問題，考查分析問題的能力，考查分類思想，屬于中檔題7．在平面直角坐標(biāo)系中，定義為兩點AB的“切比雪夫距離”，又設(shè)點P及上任意一點Q,稱的最小值為點P到直線的“切比雪夫距離”，記作,給出下列三個命題：①對任意三點A、B、C，都有②已知點P(2,1)和直線,則③定點動點P滿足則點P的軌跡與直線(為常數(shù))有且僅有2個公共點.其中真命題的個數(shù)是（）A．0 B．1 C．2 D．3【標(biāo)準(zhǔn)答案】C【思路指引】①討論三點共線和不共線，結(jié)合圖象與新定義即可判斷；②設(shè)點直線一點，且，可得，討論即可得出即可判斷；③討論點在坐標(biāo)軸和各個象限的情況，求得軌跡方程，即可判斷．【詳解詳析】解：①對任意三點、、，若它們共線，設(shè)，、，、，，如圖，結(jié)合三角形的相似可得,,分別為,,或,,，則；若,或,對調(diào)，可得；若它們不共線，且三角形中為銳角或鈍角，如圖，由矩形或矩形，；則對任意的三點，，，都有；故①正確；②設(shè)點直線一點，且，可得，由，解得，即有，當(dāng)時，取得最小值；由，解得或，即有，的范圍是，無最值，綜上可得，，兩點的“切比雪夫距離”的最小值為，故②錯誤；③定點、，動點滿足，可得不軸上，在線段間成立，可得，解得，由對稱性可得也成立，即有兩點滿足條件；若在第一象限內(nèi)，滿足即為，為射線，由對稱性可得在第二象限、第三象限和第四象限也有一條射線，則點的軌跡與直線為常數(shù)）有且僅有2個公共點，故③正確；真命題的個數(shù)是2，故選：C．【名師指路】本題考查新定義的理解和運用，考查數(shù)形結(jié)合思想方法，以及運算能力和推理能力，屬于難題．8．雙紐線最早于1694年被瑞士數(shù)學(xué)家雅各布·伯努利用來描述他所發(fā)現(xiàn)的曲線.在平面直角坐標(biāo)系中,把到定點,距離之積等于（）的點的軌跡稱為雙紐線C.已知點是雙紐線C上一點,下列說法中正確的有（）①雙紐線C關(guān)于原點O中心對稱；②；③雙紐線C上滿足的點P有兩個；④的最大值為.A．①② B．①②④ C．②③④ D．①③【標(biāo)準(zhǔn)答案】B【思路指引】對①,設(shè)動點,把關(guān)于原點對稱的點代入軌跡方程,顯然成立；對②,根據(jù)的面積范圍證明即可.對③,易得若則在軸上,再根據(jù)的軌跡方程求解即可.對④,根據(jù)題中所給的定點,距離之積等于,再畫圖利用余弦定理分析中的邊長關(guān)系,進(jìn)而利用三角形三邊的關(guān)系證明即可.【詳解詳析】對①,設(shè)動點,由題可得的軌跡方程,把關(guān)于原點對稱的點代入軌跡方程顯然成立.故①正確；對②,因為,故.又,所以,即,故.故②正確；對③,若則在的中垂線即軸上.故此時,代入，可得,即,僅有一個.故③錯誤；對④,因為,故,即,因為,故.即,所以.又,當(dāng)且僅當(dāng)共線時取等號.故,即,解得.故④正確.故①②④正確.故選：B【名師指路】本題主要考查了動點軌跡方程的性質(zhì)判定,因為該方程較復(fù)雜,故在作不出圖像時,需要根據(jù)題意求出動點的方程進(jìn)行對稱性的分析,同時需要結(jié)合解三角形的方法對所給信息進(jìn)行辨析.屬于難題.9．方程為的曲線，給出下列四個結(jié)論：①關(guān)于軸對稱；②關(guān)于坐標(biāo)原點對稱；③關(guān)于軸對稱；④，；以上結(jié)論正確的個數(shù)是A．1 B．2 C．3 D．4【標(biāo)準(zhǔn)答案】B【思路指引】①中，用代替，可判定曲線關(guān)于軸對稱；②中，用代替，用代替，可判定曲線不關(guān)于原點對稱；③中，用代替，可判定曲線不關(guān)于軸對稱；④中，化簡方程和，得出不等式，即可求解.【詳解詳析】由題意，方程，對于①中，用代替，可得方程，所以方程表示的曲線關(guān)于軸對稱；對于②中，用代替，用代替，可得方程，所以方程表示的曲線不關(guān)于原點對稱；對于③中，用代替，可得方程，所以方程表示的曲線不關(guān)于軸對稱；對于④中，方程，可化為，可得，解得，又由，即，解得.綜上可得①④是正確的.故選：B.【名師指路】本題主要考查了曲線與方程為背景下的命題的真假判定，其中解答中熟練應(yīng)用曲線的對稱性和函數(shù)的基本性質(zhì)，得出不等式關(guān)系式是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運算能力，屬于中檔試題.10．設(shè)直線系，，對于下列四個命題：（1）中所有直線均經(jīng)過一個定點；（2）存在定點不在中的任意一條直線上；（3）對于任意整數(shù)，，存在正邊形，其所有邊均在中的直線上；（4）中的直線所能圍成的正三角形面積都相等；其中真命題的是（）A．（2）（3） B．（1）（4） C．（2）（3）（4） D．（1）（2）【標(biāo)準(zhǔn)答案】A【思路指引】首先發(fā)現(xiàn)直線系表示圓的切線集合，再根據(jù)切線的性質(zhì)判斷（1）（3）（4），以及觀察得到點不在任何一條直線上，判斷選項.【詳解詳析】因為點到直線系中每條直線的距離，直線系表示圓的切線集合.（1）由于直線系表示圓的所有切線，其中存在兩條切線平行，所有中所有直線均經(jīng)過一個定點不可能，故（1）不正確；（2）存在定點不在中的任意一條直線上，觀察知點符合條件，故（2）正確；（3）由于圓的所有外切正多邊形的邊都是圓的切線，所以對于任意整數(shù)，存在正變形，其所有邊均在的直線上，故（3）正確；（4）如下圖，中的直線所能圍成的正三角形有兩類，一類如，一類是,顯然這兩類三角形的面積不相等，故（4）不正確.故選：A【名師指路】本題考查含參直線方程，距離公式，軌跡問題的綜合應(yīng)用，重點考查轉(zhuǎn)化與變形，分析問題的能力，屬于偏難習(xí)題，本題的關(guān)鍵是觀察點到直線系中每條直線的距離，直線系表示圓的切線集合，再判斷選項就比較容易.二、填空題11．(2023·上海市松江二中高二月考）已知橢圓（）的左、右焦點為、，以為頂點，為焦點作拋物線交橢圓于，且，則拋物線的準(zhǔn)線方程是________【標(biāo)準(zhǔn)答案】【思路指引】先設(shè)出橢圓的左右焦點坐標(biāo)，進(jìn)而可得拋物線的方程，設(shè)出直線的方程并與拋物線聯(lián)立，求出點的坐標(biāo)，由此可得，進(jìn)而可以求出，的長度，再由橢圓的定義即可求解．【詳解詳析】解：設(shè)，，則拋物線，直線，聯(lián)立方程組，解得，，所以點的坐標(biāo)為，所以，又，所以所以，所以，則，所以拋物線的準(zhǔn)線方程為：，故答案為：．12．(2023·上?！の挥袑W(xué)高二期末）若圓被直線所截得的弦長為，則________【標(biāo)準(zhǔn)答案】【思路指引】求出圓心到直線的距離，由圓的半徑、弦心距、弦長的一半構(gòu)成的直角三角形可得答案.【詳解詳析】圓心，半徑為1，圓心到直線的距離為，解得，，因為，所以，解得，符合題意.故答案為：.【名師指路】本題考查了直線和圓的位置關(guān)系，關(guān)鍵點是利用由圓的半徑、弦心距、弦長的一半構(gòu)成的直角三角形解題，判斷直線和圓的位置關(guān)系有①幾何法，就是利用圓心到直線的距離和半徑大??；②代數(shù)法，就是利用圓的方程和直線方程聯(lián)立后的判別式求解.13．(2023·上海·閔行中學(xué)高二期末）已知點在拋物線上，過點的直線交拋物線于，兩點，若直線，的斜率分別為，，則等于___________.【標(biāo)準(zhǔn)答案】【思路指引】由題意將的坐標(biāo)代入拋物線的方程可得的值，進(jìn)而求出拋物線的方程，設(shè)出直線的方程并與拋物線方程聯(lián)立求出兩根之和及兩根之積，求出直線，的斜率之積，化簡可得定值.【詳解詳析】由題意將的坐標(biāo)代入拋物線的方程可得，解得，所以拋物線的方程為；由題意可得直線的斜率不為0，所以設(shè)直線的方程為：，設(shè)，，，，聯(lián)立直線與拋物線的方程：，整理可得：，則，，由題意可得，所以．故答案為：.【名師指路】方法點睛：探索圓錐曲線的定值問題常見方法有兩種：①從特殊入手，先根據(jù)特殊位置和數(shù)值求出定值，再證明這個值與變量無關(guān)；②直接推理、計算，并在計算推理的過程中消去變量，從而得到定值.14．(2023·上海市實驗學(xué)校高二期末）已知橢圓內(nèi)有一點，弦過點，則弦中點的軌跡方程是__________.【標(biāo)準(zhǔn)答案】【思路指引】設(shè)，用點差法表示出直線的斜率，再利用可得結(jié)論．【詳解詳析】設(shè)，中點，則，相減得，斜率存在時，∴，又是中點，且直線過點，所以，化簡得，斜率不存在時，方程為，中點為適合上述方程．∴點的軌跡方程是．故答案為：．【名師指路】方法點睛：本題考查橢圓弦中點問題，解題方法是“點差法”，即設(shè)弦兩端點坐標(biāo)為，代入橢圓方程后相減，變形可得弦所在直線斜率與弦中點坐標(biāo)之間的關(guān)系．這種方法在其他圓錐曲線也適用．15．(2023·上海中學(xué)高二期末）直線與拋物線交于、兩點，為坐標(biāo)原點，直線、的斜率之積為，以線段的中點為圓心，為半徑的圓與直線交于、兩點，，則的最小值為______．【標(biāo)準(zhǔn)答案】【思路指引】設(shè)直線，與拋物線聯(lián)立方程，得韋達(dá)定理與，代入直線與拋物線表示出與，然后根據(jù)，利用數(shù)量積代入求解出，從而表示出圓心的坐標(biāo)，根據(jù)平行四邊形的四邊平方和等于對角線平方和，代入列式，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解最小值.【詳解詳析】設(shè)直線的方程為，，，由得，所以，得，，所以，，因為直線、的斜率之積為，所以，即，所以，所以，所以直線的方程為，，從而圓心為，由平行四邊形的四邊平方和等于對角線平方和（用向量法易證），得，所以，所以當(dāng)時，的最小值為．故答案為：【名師指路】解決直線與拋物線的綜合問題時，要注意：（1）注意觀察應(yīng)用題設(shè)中的每一個條件，明確確定直線、拋物線的條件；（2）強化有關(guān)直線與拋物線聯(lián)立得出一元二次方程后的運算能力，重視根與系數(shù)之間的關(guān)系、弦長、斜率、向量的數(shù)量積、三角形的面積等問題．16．(2023·上海市張堰中學(xué)高三月考）拋物線有一條重要性質(zhì)：從焦點發(fā)出的光線，經(jīng)過拋物線上的一點反射后.反射光線平行于拋物線的軸.已知拋物線，平行于軸的光線在拋物線上點處反射后經(jīng)過拋物線的焦點，在拋物線上點處再次反射，又沿平行于軸方向射出，則兩平行光線間的最小距離為___________.【標(biāo)準(zhǔn)答案】【思路指引】作出圖像，設(shè)，題中問題即為求的最小值，設(shè)直線，聯(lián)立，用韋達(dá)定理表示即可得解.【詳解詳析】根據(jù)題意作出圖像，如圖所示，設(shè)，題中問題即為求的最小值.設(shè)，由，得，所以.所以，當(dāng)時，最小為2.故答案為：2.17．方程表示一個圓，則m的取值范圍是_______【標(biāo)準(zhǔn)答案】【思路指引】把圓的一般方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，可得實數(shù)m的取值范圍．【詳解詳析】方程，即表示圓，，求得，則實數(shù)m的取值范圍為，故答案為：【名師指路】結(jié)論點睛：本題主要考查圓的普通方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，考查二元二次方程是圓的方程的條件，考查配方法，屬于基礎(chǔ)題．對于二元二次方程，可通過配方法配方成，當(dāng)時，表示點；當(dāng)時，表示圓.18．(2023·上海崇明·二模）在平面直角坐標(biāo)系中，過點作圓的兩條切線，切點分別為，．若，則實數(shù)的值等于____________．【標(biāo)準(zhǔn)答案】4．【思路指引】取中點，設(shè)，則利用斜率公式轉(zhuǎn)化條件得，再結(jié)合圓的切線性質(zhì)得，即得，最后根據(jù)三點共線求結(jié)果．【詳解詳析】由得，圓心為，設(shè)，取中點，由題意得，因為所以，則因此，從而三點關(guān)系，即得.故答案為：4.【名師指路】關(guān)鍵點點睛：本題的關(guān)鍵在于利用斜率關(guān)系轉(zhuǎn)化為三點共線問題求解．19．(2023·上海市奉賢中學(xué)高二月考）定義點到曲線的距離為該點與曲線上所有點之間距離的最小值，則點到曲線距離為___________.【標(biāo)準(zhǔn)答案】2【思路指引】設(shè)出曲線上任意一點，利用兩點間距離公式表達(dá)出，利用基本不等式求出最小值.【詳解詳析】當(dāng)時，顯然不成立，故，此時，設(shè)曲線任意一點，則，其中，當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立，此時即為最小值.故答案為：220．(2023·上海市楊浦高級中學(xué)高二期末）已知橢圓：，為短軸頂點，橢圓上兩個不同點滿足，則直線恒過的定點的橫坐標(biāo)為______________．【標(biāo)準(zhǔn)答案】0【思路指引】設(shè)直線PQ的方程為：，與橢圓聯(lián)立，求得韋達(dá)定理，又，則，代入化簡可以得到參數(shù)t滿足的方程，解得t的值，即可求得定點，從而解得定點的橫坐標(biāo).【詳解詳析】設(shè)，，，直線PQ的方程為：，由題意知k必然存在，聯(lián)立，化簡得，由韋達(dá)定理知，，又，則，即，代入韋達(dá)定理，化簡得，解得或（舍）；所以過定點，定點的橫坐標(biāo)為0，同理，根據(jù)對稱性可得，當(dāng)時，定點的橫坐標(biāo)為0，故答案為：0【名師指路】方法點睛：求直線過定點，需要求得直線方程，根據(jù)斜率和截距的關(guān)系，判斷定點的值，在求解過程中，常常聯(lián)立直線與圓錐曲線方程，通過韋達(dá)定理代入條件化簡來求得參數(shù)間的關(guān)系，從而求得結(jié)果.三、解答題21．(2023·上?！じ呷龑ｎ}練習(xí)）（1）動直線與拋物線相交于點，動點的坐標(biāo)是，求線段中點的軌跡的方程；（2）過點的直線交上述軌跡于兩點，點坐標(biāo)是，若的面積為，求直線的傾斜角的值.【標(biāo)準(zhǔn)答案】（1）；（2）或.【思路指引】（1）由題意得點的坐標(biāo)，表示出中點的坐標(biāo)，消參即可得；（2）判斷直線斜率不存在的情況，然后設(shè)出直線方程，聯(lián)立消元得一元二次方程，寫出韋達(dá)定理，求出弦長與點到直線的距離，代入面積公式計算即可求出直線的斜率.【詳解詳析】（1）解：設(shè)點的坐標(biāo)為，由點的坐標(biāo)為，點的坐標(biāo)為，得中點坐標(biāo)為，所以軌跡的方程為，即；（2）當(dāng)直線斜率不存在時，此時直線方程為，得，所以，不符合題意；設(shè)直線的方程為，因與拋物線有兩個交點，故，得，代入，得，故恒成立.記這個方程的兩實根為，則..又點到直線的距離.∴的面積為.由，解得，∴.∴或【名師指路】解決直線與圓錐曲線的綜合問題時，要注意：（1）注意觀察應(yīng)用題設(shè)中的每一個條件，明確確定直線、圓錐曲線的條件；（2）強化有關(guān)直線與圓錐曲線聯(lián)立得出一元二次方程后的運算能力，重視根與系數(shù)之間的關(guān)系、弦長、斜率、三角形的面積等問題．22．如圖，圓錐的展開側(cè)面圖是一個半圓，、是底面圓的兩條互相垂直的直徑，為母線的中點，已知過與的平面與圓錐側(cè)面的交線是以為頂點、為對稱軸的拋物線的一部分．（1）證明：圓錐的母線與底面所成的角為；（2）若圓錐的側(cè)面積為，求拋物線焦點到準(zhǔn)線的距離．【標(biāo)準(zhǔn)答案】（1）答案見解析（2）【思路指引】（1）設(shè)底面圓的半徑為,圓錐的母線,因為圓錐的側(cè)面展開圖扇形弧長與圓錐的底面圓的周長相等,列出底面半徑和關(guān)系式,即可證明:圓錐的母線與底面所成的角為.（2）因為圓錐的側(cè)面積為,即可求得其母線長.由⑴可知,可得.在平面建立坐標(biāo)系,以原點,為軸正方向,設(shè)拋物線方程,代入即可求得,進(jìn)而拋物線焦點到準(zhǔn)線的距離.【詳解詳析】（1）設(shè)底面圓的半徑為,圓錐的母線圓錐的側(cè)面展開圖扇形弧長與圓錐的底面圓的周長相等可得由題意可知:底面圓中故:圓錐的母線與底面所成的角為（2）圓錐的側(cè)面積為可得,故:可得中,為的中點,可得在平面建立坐標(biāo)系,以原點,為軸正方向.如圖:設(shè)拋物線方程代入可得根據(jù)拋物線性質(zhì)可知,拋物線焦點到準(zhǔn)線的距離為.拋物線焦點到準(zhǔn)線的距離．【名師指路】本題考查了線面夾角和拋物線相關(guān)知識.利用解析幾何思想,通過建立坐標(biāo)系,寫出拋物線方程,研究曲線方程來求解相關(guān)的量,著重考查了推理與運算能力,屬于中檔試題.23．(2023·上?！?fù)旦附中青浦分校高二月考）已知雙曲線C：的離心率為，且經(jīng)過.（1）求雙曲線C的方程；（2）若過點的直線交雙曲線C于x軸下方不同的兩點P?Q，設(shè)P?Q中點為M，求三角形面積的取值范圍.【標(biāo)準(zhǔn)答案】（1）；（2）.【思路指引】（1）由離心率和點的坐標(biāo)求得a，b，寫出雙曲線方程；（2）設(shè)直線的方程為與雙曲線C方程聯(lián)立，由韋達(dá)定理求出中點坐標(biāo)，根據(jù)其條件求得m的范圍，求出的面積表達(dá)式，根據(jù)單調(diào)性求得取值范圍.【詳解詳析】（1）由題題意，得，解得.所以，雙曲線C的方程為.（2）設(shè)直線的方程為與雙曲線C方程聯(lián)立：，消元得設(shè)P?Q兩點的縱坐標(biāo)為，則：，解得.設(shè)點M的縱坐標(biāo)為，由題點M為的中點，即所以，易知表達(dá)式在上單調(diào)遞減，故三角形面積的取值范圍為.24．(2023·上?！とA師大二附中高三月考）已知，如圖，曲線由曲線和曲線組成，其中點為曲線所在圓錐曲線的焦點，點，為曲線所在圓錐曲線的焦點（1）若，求曲線的方程；（2）如圖，作斜率為正數(shù)的直線平行于曲線的漸近線，交曲線于點，求弦的中點的軌跡方程；（3）對于（1）中的曲線，若直線過點交曲線于點，求面積的最大值【標(biāo)準(zhǔn)答案】（1）和；（2）；（3）．【思路指引】（1）由題意可得，解方程組求出的值，從而可求出曲線的方程；（2）設(shè)直線，與曲線的方程聯(lián)立成方程組，消去，利用根與系的關(guān)系結(jié)合中點坐標(biāo)公式可得答案；（3）由題意設(shè)直線為，與的方程聯(lián)立方程組，消去，利用根與系的關(guān)系，設(shè)，從而可求出，然后表示出面積，利用基本不等式可求得結(jié)果【詳解詳析】解：（1）因為，所以，解得所以曲線的方程為和；（2）曲線的漸近線為，如圖，設(shè)直線則又有數(shù)形結(jié)合知設(shè)點，則所以，，所以，即點在線段上；（3）由（1）可知，和點設(shè)直線為，化為，，設(shè)，所以所以，令所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立所以.25．(2023·上海市金山中學(xué)高三期中）已知直線l：與橢圓C：交于A、B兩點（如圖所示），且在直線l的上方．（1）求常數(shù)t的取值范圍；（2）若直線PA、PB的斜率分別為k1、k2，求k1+k2的值；（3）若△APB的面積最大，求∠APB的大小，【標(biāo)準(zhǔn)答案】（1）（2）（3）【思路指引】（1）由題可得，再由直線方程與橢圓方程聯(lián)立，利用直線與橢圓的位置關(guān)系即求；（2）利用韋達(dá)定理及斜率公式計算即得；（3）利用弦長公式、三角形面積公式及基本不等式即得.（1）由題可知，∴，由得，，∴得，∴.（2）設(shè)，則，又，∴又，∴.（3）∵，點P到直線AB的距離為，∴，當(dāng)且僅當(dāng)即時等號成立，此時，∴，又，∴∠APB=26．(2023·上海市松江二中高二月考）已知橢圓的焦距與長軸的比值為，其短軸的下端點在拋物線的準(zhǔn)線上.（1）求橢圓的方程;（2）設(shè)為坐標(biāo)原點，是直線上的動點，為橢圓的右焦點，過點作的垂線與以為直徑的圓，相交于兩點，與橢圓相交于兩點，①若，求圓的方程;②設(shè)與四邊形的面積分別為，若，求的取值范圍.【標(biāo)準(zhǔn)答案】（1）（2）①，②【思路指引】（1）由橢圓以及拋物線的性質(zhì)，可求得b的值，結(jié)合離心率可求得a，得到橢圓方程；（2）①用待定系數(shù)法求出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；②設(shè)出M(2，t)，求出直線方程，與橢圓方程聯(lián)立，消去y，得到關(guān)于x的一元二次方程，結(jié)合韋達(dá)定理，由弦長公式，求出弦長AB，這樣就可用t表示S2的函數(shù)，進(jìn)而就可把表示為t的函數(shù)，結(jié)合基本不等式，可求出函數(shù)的值域，即可求出的取值范圍.（1）短軸的下端點在拋物線的準(zhǔn)線上，又，（2）①由(1)知，設(shè)，則的圓心坐標(biāo)為的方程為當(dāng)時，所在直線方程為此時與題意不符，所以所以設(shè)所在直線方程為又圓的半徑由解得所以圓的方程為②當(dāng)時，由①知所在直線方程為與橢圓方程聯(lián)立，消去，得，則△所以因為所以當(dāng)且僅當(dāng)t=0時取等號.又因為，所以.當(dāng)t=0時，直線PQ的方程是x=1，，，所以，，所以.綜上的取值范圍是.27．動圓過定點，且與直線相切，其中，設(shè)圓心的軌跡為．（1）求軌跡的方程；（2）設(shè)直線交軌跡于不同的兩個點、，當(dāng)時，直線過定點，請求出定點坐標(biāo)；（3）設(shè)軌跡上的兩個定點、，分別過點、作傾斜角互補的兩條直線、分別與軌跡交于、兩點，求證：直線的斜率為定值．【標(biāo)準(zhǔn)答案】（1）；（2）；（3），證明見解析．【思路指引】（1）利用拋物線的定義可知軌跡為拋物線，確定該拋物線的焦點和準(zhǔn)線方程，即可得出軌跡的方程；（2）設(shè)直線的方程為，將直線的方程與拋物線的方程聯(lián)立，列出韋達(dá)定理，求出的值，即可得出直線所過定點的坐標(biāo)；（3）設(shè)點、，根據(jù)可得出，再利用直線的斜率公式可證得結(jié)論成立.【詳解詳析】（1）由題意可知，圓心到點的距離等于圓心到直線的距離，所以，點的軌跡是以點為焦點，以直線為準(zhǔn)線的拋物線，因此，軌跡的方程為；（2）若直線垂直于軸，則直線與拋物線只有一個交點，不合乎題意.設(shè)直線的方程為，聯(lián)立，消去可得，由韋達(dá)定理可得，，解得，所以，直線的方程為，因此，直線過定點；（3）設(shè)點、，則，同理可得，，由于直線、的傾斜角互補，則，可得，所以，，因此，直線的斜率為（定值）.【名師指路】方法點睛：求解直線過定點問題常用方法如下：（1）“特殊探路，一般證明”：即先通過特殊情況確定定點，再轉(zhuǎn)化為有方向、有目的的一般性證明；（2）“一般推理，特殊求解”：即設(shè)出定點坐標(biāo)，根據(jù)題設(shè)條件選擇參數(shù)，建立一個直線系或曲線的方程，再根據(jù)參數(shù)的任意性得到一個關(guān)于定點坐標(biāo)的方程組，以這個方程組的解為坐標(biāo)的點即為所求點；（3）求證直線過定點，常利用直線的點斜式方程或截距式來證明.28．設(shè)點是拋物線上異于原點的一點，過點作斜率為、的兩條直線分別交于、兩點（、、三點互不相同）．（1）已知點，求的最小值；（2）若，直線的斜率是，求的值；（3）若，當(dāng)時，點的縱坐標(biāo)的取值范圍．【標(biāo)準(zhǔn)答案】（1）（2）（3）或【思路指引】（1）因為,設(shè),則,由兩點間距離公式可求得:,即可得出的最小值;（2）因為,所以,設(shè)的直線方程:,將與聯(lián)立方程組,消掉,通過韋達(dá)定理,將點坐標(biāo)用表示同理可得到坐標(biāo).即可求得直線的斜率是,進(jìn)而求得答案;（3）因為,故.、兩點拋物線上,可得,,即可求得向量和.由,可得到關(guān)于和方程,將方程可以看作關(guān)于的一元二次方程,因為且,,故此方程有實根,,即可求得點的縱坐標(biāo)的取值范圍.【詳解詳析】（1）在,設(shè),則由兩點間距離公式可求得:令,(當(dāng)即取等號)的最小值.（2）,,故則的直線方程:將與聯(lián)立方程組,消掉則:,得:化簡為:.由韋達(dá)定理可得:解得:,可得:,故同理可得:直線的斜率是故:即的值為.（3）,,故,在、兩點拋物線上,,,故整理可得:、、三點互不相同,故:,可得:即:此方程可以看作關(guān)于的一元二次方程,且,,故此方程有兩個不相等的實