2024年遼寧省燈塔市第一初級中學九年級中考第一次模擬數(shù)學試卷

第1頁（共1頁）2024年遼寧省燈塔市第一初級中學九年級中考第一次模擬數(shù)學試卷一、選擇題：（本題共10小題，每小題3分，共30分）1．（3分）若將遼河的標準水位記為0米，則下列水位記錄最接近標準水位的是（）A．米 B．米 C．0.5米 D．1米2．（3分）截至2023年6月11日17時，全國冬小麥收獲2.39億畝，進度過七成半，將239000000用科學記數(shù)法表示應為（）A．23.9×107 B．2.39×108 C．2.39×109 D．0.239×1093．（3分）中國“二十四節(jié)氣”已被正式列入聯(lián)合國教科文組織人類非物質(zhì)文化遺產(chǎn)代表作品錄，下列四幅作品分別代表“立春”、“谷雨”、“白露”、“大雪”，其中是中心對稱圖形的是（）A． B． C． D．4．（3分）下列運算正確的是（）A． B． C．5a2+a3＝6a3 D．（﹣3a2）3＝﹣9a45．（3分）隨著教育部“雙減”政策的深入，某校開發(fā)了豐富多彩的課后托管課程，并于開學初進行了學生自主選課活動．小明和小王分別打算從以下四個特色課程中選擇一個參加：A．競技乒乓；B．圍棋博弈：C．名著閱讀：D．街舞少年．則小明和小王選擇同一個課程的概率為（）A． B． C． D．6．（3分）下列說法正確的是（）A．檢測“神舟十八號”載人飛船零件的質(zhì)量，應采用抽樣調(diào)查 B．任意畫一個三角形，其外角和是180°是必然事件 C．數(shù)據(jù)6，5，8，9的中位數(shù)是7 D．甲、乙兩組數(shù)據(jù)的方差分別是s甲2＝0.3，s乙2＝0.9，則乙組數(shù)據(jù)比甲組數(shù)據(jù)穩(wěn)定7．（3分）如圖，以正五邊形ABCDE的邊DE為邊作正方形EDFG，延長AE交FG于點H，則∠EHF的度數(shù)為（）A．104° B．106° C．108° D．110°8．（3分）《九章算術(shù)》中記載：“今有共買羊，人出五，不足四十五；人出八，盈十八，人數(shù)，羊價各幾何？”其大意是：今有人合伙買羊，若每人出5錢，還差45錢；若每人出8錢，還多18錢，問合伙人數(shù)，羊價各是多少？設(shè)人數(shù)為x人，羊價為y錢，則可列方程組（）A． B． C． D．9．（3分）如圖，在平面直角坐標系xOy中，菱形OABC的頂點A的坐標為（0，2），頂點B，C在第一象限，且點C的縱坐標為1，則點B的坐標為（）A．（2，3） B．（，3） C．（，2） D．（，3）10．（3分）如圖，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4．連接AC，按下列方法作圖；以點C為圓心，適當長為半徑畫?。謩e交CA，CD于點E，F(xiàn)；分別以點E，F(xiàn)為圓心，大于的長為半徑畫弧，兩弧交于點G；連接CG交AD于點H，則S△ACH的面積是（）A． B． C．1 D．二、填空題：（本題共5小題，每小題3分，共15分）11．（3分）分解因式：3a3﹣6a2+3a＝．12．（3分）函數(shù)y＝的自變量x的取值范圍是．13．（3分）如圖，網(wǎng)格中的每個小正方形的邊長都是1，△ABC的頂點都在格點上，則∠ACB的正切值是．14．（3分）如圖，正方形ABCD的頂點C、D在函數(shù)y＝（k≠0）的圖象上，已知點A的坐標為（，3），點C的橫坐標為4，則k的值為.15．（3分）如圖，拋物線y＝﹣x2+2x+3與x軸交于A，B兩點，與y軸交于點C，點D是第一象限的拋物線上的一個動點，過點D作DE∥AB，與第二象限的拋物線交于點E，點C和點F關(guān)于直線DE對稱，當CF＝DE時，點D的橫坐標為．三、解答題：（本題共8小題，共75分）16．（10分）（1）計算：cos60°﹣（）﹣2﹣|2|+（2024﹣π）0．（2）先化簡再求值（x+1），再從1，2，3中選取一個適當?shù)臄?shù)代入求值．17．（8分）某中學組織學生去福利院慰問，在準備禮品時發(fā)現(xiàn)，購買1個甲禮品比購買1個乙禮品多花40元，并且花費600元購買甲禮品和花費360元購買乙禮品的數(shù)量相等．（1）求甲、乙兩種禮品的單價各為多少元？（2）學校準備購買甲、乙兩種禮品共30個送給福利院的老人，要求購買禮品的總費用不超過2000元，那么最多可購買多少個甲禮品？18．（8分）為增強學生的社會實踐能力，促進學生全面發(fā)展，某校計劃建立小記者站，有20名學生報名參加選拔．報名的學生需參加采訪、寫作、攝影三項測試，每項測試均由七位評委打分（滿分100分），取平均分作為該項的測試成績，再將采訪、寫作、攝影三項的測試成績按4：4：2的比例計算出每人的總評成績．小悅、小涵的三項測試成績和總評成績?nèi)绫?，這20名學生的總評成績頻數(shù)分布直方圖（每組含最小值，不含最大值）如圖．選手測試成績/分總評成績/分采訪寫作攝影小悅83728078小涵8684▲▲（1）在攝影測試中，七位評委給小涵打出的分數(shù)如下：67，72，68，69，74，69，71．這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是分，眾數(shù)是分，平均數(shù)是分；（2）請你計算小涵的總評成績；（3）學校決定根據(jù)總評成績擇優(yōu)選拔12名小記者．試分析小悅、小涵能否入選，并說明理由．19．（8分）隨著電視劇《乘風踏浪》的熱播，拍攝地興城古城成為網(wǎng)紅打卡新地標．五一假期，小麗騎自行車前往古城旅游打卡，小麗與古城的距離y（m）與騎行時間x（min）之間的關(guān)系如圖所示．（1）當10?x?20時，求小麗騎行過程中y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；（2）小麗出發(fā)5分鐘時，曉東也從同一地點出發(fā)，并勻速騎行前往古城打卡，當曉東騎行10分鐘時，追上了小麗，求曉東騎行的速度．20．（8分）如圖1是一款訂書機，其平面示意圖如圖2所示，其主體部分矩形ABCD由支撐桿GE垂直固定于底座MN上，其中BC＝2cm，GE＝1.5cm，壓桿CF＝6cm，∠FCD＝150°，使用過程中矩形ABCD可以繞點E旋轉(zhuǎn)．（1）訂書機不使用時，如圖2，AB∥MN，求壓桿端點F到底座MN的距離；（2）使用過程中，當點B落在底座MN上時，如圖3，測得∠GBE＝15°，求壓桿端點F到底座MN的高度．（參考數(shù)據(jù)：sin15°≈0.26，cos15°≈0.97，結(jié)果精確到0.1cm）21．（9分）如圖1，AB是⊙O的直徑，點D在AB的延長線上，點C，E是⊙O上的兩點，CE＝CB，∠BCD＝∠CAE，延長AE交BC的延長線于點F．（1）求證：CD是⊙O的切線；（2）若BD＝2，CD＝4，求直徑AB的長；（3）如圖2，在（2）的條件下，連接OF，求tan∠BOF的值．22．（12分）實踐操作在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝3，現(xiàn)將紙片折疊，點D的對應點記為點P，折痕為EF（點E、F是折痕與矩形的邊的交點），再將紙片還原．初步思考（1）若點P落在矩形ABCD的邊AB上（如圖①）．當點P與點A重合時，∠DEF＝°；當點E與點A重合時，∠DEF＝°；深入探究（2）當點E在AB上，點F在DC上時（如圖②），求證：四邊形DEPF為菱形，并直接寫出當時的菱形EPFD的邊長．拓展延伸（3）若點F與點C重合，點E在AD上，射線BA與射線FP交于點M（如圖③）．在折疊過程中，是否存在使得線段AM與線段DE的長度相等的情況？若存在，請求出線段AE的長度；若不存在，請說明理由．23．（12分）在平面直角坐標系中，對“縱橫值”給出如下定義：點A（x，y）是函數(shù)圖象上任意一點，縱坐標y與橫坐標x的差“y﹣x”稱為點A的“縱橫值”．函數(shù)圖象上所有點的“縱橫值”中的最大值稱為函數(shù)的“最優(yōu)縱橫值”．例如：點A（1，3）在函數(shù)y＝2x+1圖象上，點A的“縱橫值”為3﹣1＝2，函數(shù)y＝2x+1圖象上所有點的“縱橫值”可以表示為y﹣x＝2x+1﹣x＝x+1，當3?x?6時，x+1的最大值為6+1＝7，所以函數(shù)y＝2x+1（3?x?6）的“最優(yōu)縱橫值”為7．根據(jù)定義，解答下列問題：（1）①點B（﹣6，2）的“縱橫值”為；②函數(shù)的“最優(yōu)縱橫值”為；（2）若二次函數(shù)y＝﹣x2+bx+c的頂點在直線上，且最優(yōu)縱橫值為5，求c的值；（3）若二次函數(shù)y＝﹣（x﹣h）2+k的頂點在直線y＝x+9上，當﹣1?x?4時，二次函數(shù)的最優(yōu)縱橫值為7求h的值．參考答案與試題解析一、選擇題：（本題共10小題，每小題3分，共30分）1．（3分）若將遼河的標準水位記為0米，則下列水位記錄最接近標準水位的是（）A．米 B．米 C．0.5米 D．1米【解答】解：，∵，∴上列水位記錄最接近標準水位的是米，故選：B．2．（3分）截至2023年6月11日17時，全國冬小麥收獲2.39億畝，進度過七成半，將239000000用科學記數(shù)法表示應為（）A．23.9×107 B．2.39×108 C．2.39×109 D．0.239×109【解答】解：239000000＝2.39×108，故選：B．3．（3分）中國“二十四節(jié)氣”已被正式列入聯(lián)合國教科文組織人類非物質(zhì)文化遺產(chǎn)代表作品錄，下列四幅作品分別代表“立春”、“谷雨”、“白露”、“大雪”，其中是中心對稱圖形的是（）A． B． C． D．【解答】解：選項D能找到這樣的一個點，使圖形繞某一點旋轉(zhuǎn)180°后與原來的圖形重合，所以是中心對稱圖形；選項A、B、C均不能找到這樣的一個點，使圖形繞某一點旋轉(zhuǎn)180°后與原來的圖形重合，所以不是中心對稱圖形，故選：D．4．（3分）下列運算正確的是（）A． B． C．5a2+a3＝6a3 D．（﹣3a2）3＝﹣9a4【解答】解：A．∵，∴此選項的計算正確，故此選項符合題意；B．∵，∴此選項的計算錯誤，故此選項不符合題意；C．∵5a2，a3不是同類二次根式，不能合并，∴此選項的計算錯誤，故此選項不符合題意；D．∵（﹣3a2）3＝﹣27a6，∴此選項的計算錯誤，故此選項不符合題意；故選：A．5．（3分）隨著教育部“雙減”政策的深入，某校開發(fā)了豐富多彩的課后托管課程，并于開學初進行了學生自主選課活動．小明和小王分別打算從以下四個特色課程中選擇一個參加：A．競技乒乓；B．圍棋博弈：C．名著閱讀：D．街舞少年．則小明和小王選擇同一個課程的概率為（）A． B． C． D．【解答】解：畫樹狀圖如下：共有16種等可能的結(jié)果，其中小明和小王選擇同一個課程的結(jié)果有4種，∴小明和小王選擇同一個課程的概率為．故選：C．6．（3分）下列說法正確的是（）A．檢測“神舟十八號”載人飛船零件的質(zhì)量，應采用抽樣調(diào)查 B．任意畫一個三角形，其外角和是180°是必然事件 C．數(shù)據(jù)6，5，8，9的中位數(shù)是7 D．甲、乙兩組數(shù)據(jù)的方差分別是s甲2＝0.3，s乙2＝0.9，則乙組數(shù)據(jù)比甲組數(shù)據(jù)穩(wěn)定【解答】解：A、檢測“神舟十八號”載人飛船零件的質(zhì)量，應采用全面調(diào)查，故該項不正確，不符合題意；B、任意畫一個三角形，其外角和是180°是不可能事件，故該項不正確，不符合題意；C、數(shù)據(jù)6，5，8，9的中位數(shù)是7，故該項正確，符合題意；D、甲、乙兩組數(shù)據(jù)的方差分別是s甲2＝0.3，s乙2＝0.9，則甲組數(shù)據(jù)乙甲組數(shù)據(jù)穩(wěn)定，故該項不正確，不符合題意；故選：C．7．（3分）如圖，以正五邊形ABCDE的邊DE為邊作正方形EDFG，延長AE交FG于點H，則∠EHF的度數(shù)為（）A．104° B．106° C．108° D．110°【解答】解：正五邊形ABCDE的外角∠DEH＝360°÷5＝72°，∵四邊形EDFG為正方形，∴DE∥FG，∴∠DEH+∠EHF＝180°，∴∠EHF＝180°﹣72°＝108°，故選：C．8．（3分）《九章算術(shù)》中記載：“今有共買羊，人出五，不足四十五；人出八，盈十八，人數(shù)，羊價各幾何？”其大意是：今有人合伙買羊，若每人出5錢，還差45錢；若每人出8錢，還多18錢，問合伙人數(shù)，羊價各是多少？設(shè)人數(shù)為x人，羊價為y錢，則可列方程組（）A． B． C． D．【解答】解：根據(jù)題意，得，故選：B．9．（3分）如圖，在平面直角坐標系xOy中，菱形OABC的頂點A的坐標為（0，2），頂點B，C在第一象限，且點C的縱坐標為1，則點B的坐標為（）A．（2，3） B．（，3） C．（，2） D．（，3）【解答】解：延長BC交x軸于H，∵菱形OABC的頂點A的坐標為（0，2），∴OA＝OC＝BC＝2，AO∥BC，∴∠BHO＝∠AOH＝90°，∵點C的縱坐標為1，∴CH＝1，BH＝3，∴OH＝＝＝，∴點B（，3），故選：D．10．（3分）如圖，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4．連接AC，按下列方法作圖；以點C為圓心，適當長為半徑畫?。謩e交CA，CD于點E，F(xiàn)；分別以點E，F(xiàn)為圓心，大于的長為半徑畫弧，兩弧交于點G；連接CG交AD于點H，則S△ACH的面積是（）A． B． C．1 D．【解答】解：過H點作HM⊥AC于M，如圖，由作法得CH平分∠ACD，∵HM⊥AC，HD⊥CD，∴HM＝HD，∵AB＝3，BC＝4．在Rt△ABC中，根據(jù)勾股定理得：，在Rt△CHD和Rt△CHM中，，∴Rt△CHD≌Rt△CHM（HL），∴CD＝CM＝3，∴AM＝AC﹣CM＝5﹣3＝2，設(shè)DH＝t，則AH＝4﹣t，HM＝t，在Rt△AHM中，t2+22＝（4﹣t）2，解得t＝1.5，即HD＝1.5，∴HM＝1.5，，故選：A．二、填空題：（本題共5小題，每小題3分，共15分）11．（3分）分解因式：3a3﹣6a2+3a＝3a（a﹣1）2．【解答】解：3a3﹣6a2+3a＝3a（a2﹣2a+1）＝3a（a﹣1）2．故答案為：3a（a﹣1）2．12．（3分）函數(shù)y＝的自變量x的取值范圍是x≥2且x≠3．【解答】解：由題意得，，解得x≥2且x≠3，故答案為x≥2且x≠3．13．（3分）如圖，網(wǎng)格中的每個小正方形的邊長都是1，△ABC的頂點都在格點上，則∠ACB的正切值是3．【解答】解：過點A作BC的垂線，垂足為M，由勾股定理得，AM＝，CM＝．在Rt△ACM中，tan∠ACB＝＝．故答案為：3．14．（3分）如圖，正方形ABCD的頂點C、D在函數(shù)y＝（k≠0）的圖象上，已知點A的坐標為（，3），點C的橫坐標為4，則k的值為6.【解答】解：連接AC，BD交于點J．設(shè)C（4，m），∵四邊形ABCD是正方形，∴AJ＝JC，∵A（﹣，3），C（4，m），∴J（，），∵點D是由點A繞點J順時針旋轉(zhuǎn)90°得到D，可得D（，），∵C，D都在y＝的圖象上，∴4m＝?，解得m＝或﹣，∴C（4，），∴k＝6．故答案為：6．15．（3分）如圖，拋物線y＝﹣x2+2x+3與x軸交于A，B兩點，與y軸交于點C，點D是第一象限的拋物線上的一個動點，過點D作DE∥AB，與第二象限的拋物線交于點E，點C和點F關(guān)于直線DE對稱，當CF＝DE時，點D的橫坐標為．【解答】解：由題意，∵拋物線為y＝﹣x2+2x+3，∴當x＝0時，y＝3；當y＝0時，x＝3或﹣1．∴A（﹣1，0），B（3，0），C（0，3）．∵點D是第一象限的拋物線上的一個動點，∴可設(shè)D為（t，﹣t2+2t+3）．對稱軸是直線x＝﹣＝1，∴D關(guān)于直線x＝1的對稱點E為（2﹣t，﹣t2+2t+3）．∵D在第一象限，E在第二象限，∴．∴2＜t＜3．∵C、F關(guān)于DE對稱，∴CF＝2（3+t2﹣2t﹣3）＝2（t2﹣2t）．又DE＝t﹣（2﹣t）＝2t﹣2，且CF＝DE，∴2（t2﹣2t）＝2t﹣2．∴t2﹣3t+1＝0．∴t＝或t＝（舍去）．∴D的橫坐標為：．三、解答題：（本題共8小題，共75分）16．（10分）（1）計算：cos60°﹣（）﹣2﹣|2|+（2024﹣π）0．（2）先化簡再求值（x+1），再從1，2，3中選取一個適當?shù)臄?shù)代入求值．【解答】解：（1）cos60°﹣（）﹣2﹣|2|+（2024﹣π）0＝×﹣﹣（﹣2）+1＝﹣﹣+2+1＝1﹣；（2）（x+1）＝?＝＝＝，當x＝1或x＝2時，原分式無意義，∴x＝3，當x＝3時，原式＝＝5．17．（8分）某中學組織學生去福利院慰問，在準備禮品時發(fā)現(xiàn)，購買1個甲禮品比購買1個乙禮品多花40元，并且花費600元購買甲禮品和花費360元購買乙禮品的數(shù)量相等．（1）求甲、乙兩種禮品的單價各為多少元？（2）學校準備購買甲、乙兩種禮品共30個送給福利院的老人，要求購買禮品的總費用不超過2000元，那么最多可購買多少個甲禮品？【解答】解：（1）設(shè)購買一個乙禮品需要x元，根據(jù)題意得：＝，解得：x＝60，經(jīng)檢驗x＝60是原方程的根，∴x+40＝100．答：甲禮品100元，乙禮品60元；（2）設(shè)總費用不超過2000元，可購買m個甲禮品，則購買乙禮品（30﹣m）個，根據(jù)題意得：100m+60（30﹣m）≤2000，解得：m≤5．答：最多可購買5個甲禮品．18．（8分）為增強學生的社會實踐能力，促進學生全面發(fā)展，某校計劃建立小記者站，有20名學生報名參加選拔．報名的學生需參加采訪、寫作、攝影三項測試，每項測試均由七位評委打分（滿分100分），取平均分作為該項的測試成績，再將采訪、寫作、攝影三項的測試成績按4：4：2的比例計算出每人的總評成績．小悅、小涵的三項測試成績和總評成績?nèi)绫?，這20名學生的總評成績頻數(shù)分布直方圖（每組含最小值，不含最大值）如圖．選手測試成績/分總評成績/分采訪寫作攝影小悅83728078小涵8684▲▲（1）在攝影測試中，七位評委給小涵打出的分數(shù)如下：67，72，68，69，74，69，71．這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是69分，眾數(shù)是69分，平均數(shù)是70分；（2）請你計算小涵的總評成績；（3）學校決定根據(jù)總評成績擇優(yōu)選拔12名小記者．試分析小悅、小涵能否入選，并說明理由．【解答】解：（1）七位評委給小涵打出的分數(shù)從小到大排列為：67，68，69，69，71，72，74，所以這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是69（分），眾數(shù)是69（分），平均數(shù)是＝70（分）；故答案為：69，69，70；（2）＝82（分），答：小涵的總評成績?yōu)?2分；（3）不能判斷小悅能否入選，但是小涵能入選，理由：由20名學生的總評成績頻數(shù)分布直方圖可知，小于80分的有10人，因為小悅78分、小涵82分，所以不能判斷小悅能否入選，但是小涵能入選．19．（8分）隨著電視劇《乘風踏浪》的熱播，拍攝地興城古城成為網(wǎng)紅打卡新地標．五一假期，小麗騎自行車前往古城旅游打卡，小麗與古城的距離y（m）與騎行時間x（min）之間的關(guān)系如圖所示．（1）當10?x?20時，求小麗騎行過程中y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；（2）小麗出發(fā)5分鐘時，曉東也從同一地點出發(fā)，并勻速騎行前往古城打卡，當曉東騎行10分鐘時，追上了小麗，求曉東騎行的速度．【解答】解：（1）當10?x?20時，設(shè)y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為y＝kx+b（k、b為常數(shù)，且k≠0）．將坐標（10，2000）和（20，0）分別代入y＝kx+b，得，解得，∴當10?x?20時，小麗騎行過程中y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為y＝﹣200x+4000（10?x?20）．（2）由題意可知，當小麗騎行15分鐘時被曉東追上．當x＝15時，得y＝﹣200×15+4000＝1000，此時二人騎行的路程為5000﹣1000＝4000（m），4000÷10＝400（m/min），∴曉東騎行的速度是400m/min．20．（8分）如圖1是一款訂書機，其平面示意圖如圖2所示，其主體部分矩形ABCD由支撐桿GE垂直固定于底座MN上，其中BC＝2cm，GE＝1.5cm，壓桿CF＝6cm，∠FCD＝150°，使用過程中矩形ABCD可以繞點E旋轉(zhuǎn)．（1）訂書機不使用時，如圖2，AB∥MN，求壓桿端點F到底座MN的距離；（2）使用過程中，當點B落在底座MN上時，如圖3，測得∠GBE＝15°，求壓桿端點F到底座MN的高度．（參考數(shù)據(jù)：sin15°≈0.26，cos15°≈0.97，結(jié)果精確到0.1cm）【解答】解：（1）如圖2，過點F作FP⊥MN于點P，過點C作CQ⊥FP于點Q，則PQ＝BC+EG＝3.5cm，在Rt△CFG中，CF＝6cm，∠FCQ＝180°﹣150°＝30°，∴FQ＝CF＝3cm，∴FP＝FQ+QP＝6.5cm，即壓桿端點F到底座MN的距離為6.5cm；（2）如圖3，過點F作FP⊥MN于點P，過點C作CQ⊥FP于點Q，過點C作CK⊥MN于點K，在Rt△BCK中，BC＝2cm，∠BCK＝∠ABM＝15°，∴CK＝cos15°?BC≈1.94（cm），在Rt△CFQ中，CF＝6cm，∠FCQ＝360°﹣150°﹣90°﹣90°﹣15°＝15°，∴FQ＝sin15°?CF≈1.56（cm），∴FP＝FQ+PQ≈3.5（cm），即壓桿端點F到底座MN的高度約為3.5cm．21．（9分）如圖1，AB是⊙O的直徑，點D在AB的延長線上，點C，E是⊙O上的兩點，CE＝CB，∠BCD＝∠CAE，延長AE交BC的延長線于點F．（1）求證：CD是⊙O的切線；（2）若BD＝2，CD＝4，求直徑AB的長；（3）如圖2，在（2）的條件下，連接OF，求tan∠BOF的值．【解答】（1）證明：連接OC，如圖所示，∵AB是⊙O的直徑，∴∠ACB＝90°，∴∠CAD+∠ABC＝90°，∵CE＝CB，∴∠CAE＝∠CAB，∵∠BCD＝∠CAE，∴∠CAB＝∠BCD，∵OB＝OC，∴∠OBC＝∠OCB，∴∠OCB+∠BCD＝90°，∴∠OCD＝90°，∵OC是半徑，∴CD是⊙O的切線；（2）解：∵∠BCD＝∠CAD，∠ADC＝∠CDB，∴△DCB∽△DAC，∴＝，∴＝，∴AD＝8，∴AB＝AD﹣BD＝8﹣2＝6；（3）解：過F作FK⊥AD于K，如圖：由（2）得△DCB∽△DAC，AB＝6，∴＝＝＝，∴AC＝2BC，設(shè)BC＝x，則AC＝2x，∵AC2+BC2＝AB2，∴（2x）2+x2＝62，解得x＝（負值已舍去），∴BC＝，AC＝，∵∠COB＝2∠CAB＝∠EAB，∴OC∥AF，∵AO＝BO，∴CF＝BC＝，∴BF＝，∵2S△FAB＝BF?AC＝AB?FK，∴FK＝＝＝，在Rt△BFK中，BK＝＝，∴OK＝OB﹣BK＝3﹣＝，在Rt△FOK中，tan∠BOF＝＝＝8，答：tan∠BOF的值是8．22．（12分）實踐操作在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝3，現(xiàn)將紙片折疊，點D的對應點記為點P，折痕為EF（點E、F是折痕與矩形的邊的交點），再將紙片還原．初步思考（1）若點P落在矩形ABCD的邊AB上（如圖①）．當點P與點A重合時，∠DEF＝90°；當點E與點A重合時，∠DEF＝45°；深入探究（2）當點E在AB上，點F在DC上時（如圖②），求證：四邊形DEPF為菱形，并直接寫出當時的菱形EPFD的邊長．拓展延伸（3）若點F與點C重合，點E在AD上，射線BA與射線FP交于點M（如圖③）．在折疊過程中，是否存在使得線段AM與線段DE的長度相等的情況？若存在，請求出線段AE的長度；若不存在，請說明理由．【解答】初步思考（1）當點P與點A重合時，如圖1，∴EF是AD的中垂線，∴∠DEF＝90°，當點E與點A重合時，如圖2，此時∠DEF＝∠DAB＝45°，故答案為：90，45；深入探究（2）當點E在AB上，點F在DC上時，如圖3，∵EF是PD的中垂線，∴DO＝PO，EF⊥PD，∵四邊形ABCD是矩形，∴DC∥AB，∴∠FDO＝∠EPO，∵∠DOF＝∠EOP，∴△DOF≌△POE（ASA），∴DF＝PE，∵DF∥PE，∴四邊形DEPF是平行四邊形，∵EF⊥PD，∴?DEPF為菱形，當AP＝時，設(shè)菱形的邊長為x，則AE＝﹣x，DE＝x，在Rt△ADE中，由勾股定理得：AD2+AE2＝DE2，∴32+（﹣x）2＝x2，∴x＝，∴時的菱形