【單元測試】第二十二章四邊形(綜合能力拔高卷)(原卷版+解析)

滬教版八年級數(shù)學(xué)下冊【單元測試】第二十二章四邊形（綜合能力拔高卷）（考試時間：90分鐘試卷滿分：100分）學(xué)校:___________姓名：___________班級：___________考號：___________本卷題型精選核心重難易錯典題，具備舉一反三之效，覆蓋面積廣，可充分考查學(xué)生雙基綜合能力！單選題：本題共10個小題，每小題2分，共20分。在每小題給出的四個選項中只有一項是符合題目要求的。1．（2022·天津·八年級期末）若一個多邊形的每一個外角都等于，則這個多邊形的邊數(shù)是（

）A．6 B．7 C．8 D．92．（2021·山東沂南·八年級期中）若n邊形每個內(nèi)角都為156°，那么n等于（

）A．8 B．12 C．15 D．163．（2022·全國·八年級單元測試）如圖，把長方形沿EF對折，若，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．4．（2022·廣東茂南·八年級期末）如圖，在矩形ABCD中，對角線AC，BD交于點O，下列條件：①AC⊥BD，②AB=BC，③∠ACB=45°，④OA=OB．上述條件能使矩形ABCD是正方形的是（

）A．①②③④ B．①②③ C．②③④ D．①③④5．（2021·北京·101中學(xué)八年級期中）如圖，在正方形ABCD中，對角線AC與BD相交于點O，E為BC上一點，CE＝6，F(xiàn)為DE的中點．若OF的長為1，則△CEF的周長為（

）A．14 B．16 C．18 D．126．（2021·全國·八年級單元測試）如圖，在中，對角線相交于點O，點E，F(xiàn)分別是的中點，連接，若，則的長為（

）A．10 B．8 C．6 D．47．（2022·上海松江·八年級期末）如圖，在等腰梯形中，，，，交于點．下列判斷正確的是（）A．向量和向量是相等向量 B．向量和向量相反向量C．向量和向量是平行向量 D．向量與向量的和向量是零向量8．（2022·上海浦東新·八年級期中）已知向量和都是單位向量，則下列等式成立的是（

）A．； B．； C．； D．．9．（2021·重慶·八年級期末）如圖，在正方形ABCD中，E為CD邊上一點，將△AED沿著AE翻折得到△AEF，點D的對應(yīng)點F恰好落在對角線AC上，連接BF．若EF＝2，則BF2＝（

）A．4＋4 B．6＋4 C．12 D．8＋410．（2021·山東萊州·八年級期中）如圖，在矩形紙片中，，．將矩形紙片沿折疊，使點與重合．有下列語句：①四邊形是菱形；②；③；④．其中正確的有（

）A．個 B．個 C．個 D．個二、填空題：本題共8個小題，每題3分，共24分。11．（2021·浙江·嵊州市三界鎮(zhèn)中學(xué)八年級期中）已知一個正多邊形的一個外角為36°，則該多邊形的邊數(shù)為______邊．12．（2022·上海市文來中學(xué)八年級期中）已知梯形ABCD中，，，，，則此梯形的面積是_______．13．（2021·全國·八年級單元測試）如果一個正多邊形的每個內(nèi)角為，則這個正多邊形的邊數(shù)是___________．14．（2022·上海寶山·八年級期中）在平行四邊形中，如果，，那么__________，__________．（用、表示）15．（2021·福建省莆田市中山中學(xué)八年級期中）如圖，菱形的對角線交于點O，，點E是邊的中點，連接，則__________．16．（2022·全國·八年級單元測試）如圖，在梯形中，，，，、分別是、的中點，是直線上的一點，則的最小值為______.17．（2022·上海浦東新·八年級期末）如圖，已知梯形ABCD，AD∥BC，BC=2AD，如果，，那么=_____（用，表示）．18．（2022·湖南常德·八年級期末）如圖，已知長方形紙片，點E，F(xiàn)分別在邊，上，連接．將對折，點B落在直線上的點處，得折痕，對折，點A落在直線上的點處，得折痕，則圖中與互余的角是________（只需填寫三個角）．三、解答題：本題共7個小題，19-23每題7分，24小題9分，25每題12分，共56分。19．（2021·廣東海珠·八年級期末）已知：如圖，PC平分∠APB，CM⊥PA于M，CN⊥PB于N，D、E分別是邊PA和PB上的點，且CD＝CE．求證：∠APB+∠DCE＝180°．20．（2021·上?！ぐ四昙壠谀┮阎谂c中，，點在同一直線上，射線分別平分．(1)如圖1，試說明的理由；(2)如圖2，當交于點G時，設(shè)，求與的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；(3)當時，求的度數(shù)．21．（2021·福建省莆田市中山中學(xué)八年級期中）如圖，在等腰三角形中，，點D是中點，點E是的中點，過點A作交的延長線于點F，連接．(1)試判斷四邊形的形狀，并加以證明；(2)若，，求四邊形的面積．22．（2021·全國·八年級期中）如圖1，在等腰三角形ABC中，∠A＝120°，AB＝AC，點D、E分別在邊AB、AC上，AD＝AE，連接BE點M、N、P分別為DE、BE、BC的中點．（1）圖1中，觀察猜想線段M、NP的數(shù)量關(guān)系是，∠MNP的大小為；（2）把△ADE繞點A順時針方向旋轉(zhuǎn)到如圖2所示的位置，連接MP、BD、CE，判斷△MMP的形狀，并說明理由；（3）把△ADE繞點A在平面內(nèi)自由旋轉(zhuǎn)，若AD＝1，AB＝3，請求出△MNP面積的最大值．23．（2022·山東桓臺·八年級期末）已知在四邊形中，，分別是邊，的中點．(1)如圖1，若，，，．求的長；(2)如圖2，若．求證：．24．（2022·上海靜安·八年級期末）如圖,在梯形ABCD中,AD∥BC,點E在邊BC上,DE∥AB,設(shè).(1)用向量表示下列向量:;(2)求作:(保留作圖痕跡，寫出結(jié)果，不要求寫作法)25．（2021·湖南岳陽·八年級期末）如圖，四邊形是菱形，對角線，相交于點，，點是射線上一動點，將線段繞點逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到線段，連接，．（1）如圖1，當點在菱形內(nèi)部或邊上時，求證：；（2）如圖2，當點在菱形外部時，①試判斷與的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；②求證：；（3）如圖3，當點在線段的延長線上時，連接、，若，，求四邊形的面積．滬教版八年級數(shù)學(xué)下冊【單元測試】第二十二章四邊形（綜合能力拔高卷）（考試時間：90分鐘試卷滿分：100分）學(xué)校:___________姓名：___________班級：___________考號：___________本卷題型精選核心重難易錯典題，具備舉一反三之效，覆蓋面積廣，可充分考查學(xué)生雙基綜合能力！單選題：本題共10個小題，每小題2分，共20分。在每小題給出的四個選項中只有一項是符合題目要求的。1．（2022·天津·八年級期末）若一個多邊形的每一個外角都等于，則這個多邊形的邊數(shù)是（

）A．6 B．7 C．8 D．9【答案】D【分析】根據(jù)多邊形的外角和為360°，進行計算求解即可．【詳解】解：∵多邊形的外角和為360°∴多邊形的邊數(shù)為故選D．【點睛】本題考查了多邊形的外角和．解題的關(guān)鍵在于明確多邊形的外角和為360°．2．（2021·山東沂南·八年級期中）若n邊形每個內(nèi)角都為156°，那么n等于（

）A．8 B．12 C．15 D．16【答案】C【分析】首先求得外角的度數(shù)，然后利用多邊形的外角和是360度，列式計算即可求解．【詳解】解：由題意可知：n邊形每個外角的度數(shù)是：180°-156°=24°，則n=360°÷24°=15．故選：C．【點睛】本題考查了多邊形的外角與內(nèi)角，熟記多邊形的外角和定理是關(guān)鍵．3．（2022·全國·八年級單元測試）如圖，把長方形沿EF對折，若，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)折疊的性質(zhì)及∠1＝50°可求出∠BFE的度數(shù)，再由平行線的性質(zhì)即可得到∠AEF的度數(shù)．【詳解】解：根據(jù)折疊以及∠1＝50°，得∠BFE＝∠BFG＝（180°﹣∠1）＝65°．∵AD∥BC，∴∠AEF＝180°﹣∠BFE＝115°．故選：B．【點睛】本題考查的是平行線的性質(zhì)及圖形翻折變換的性質(zhì)，折疊是一種對稱變換，它屬于軸對稱，折疊前后圖形的形狀和大小不變，位置變化，對應(yīng)邊和對應(yīng)角相等．4．（2022·廣東茂南·八年級期末）如圖，在矩形ABCD中，對角線AC，BD交于點O，下列條件：①AC⊥BD，②AB=BC，③∠ACB=45°，④OA=OB．上述條件能使矩形ABCD是正方形的是（

）A．①②③④ B．①②③ C．②③④ D．①③④【答案】B【分析】根據(jù)矩形的性質(zhì)及正方形的判定來添加合適的條件．【詳解】解：①添加AC⊥BD，根據(jù)對角線互相垂直的矩形是正方形，故添加AC⊥BD，能使矩形ABCD成為正方形；②添加AB=BC，根據(jù)有一組鄰邊相等的矩形是正方形，故添加AB=BC，能使矩形ABCD成為正方形；③添加∠ACB=45°，∵∠ABC=90°，∴∠ACB=B∠AC=45°，∴AB=BC，根據(jù)有一組鄰邊相等的矩形是正方形，故添加∠ACB=45°，能使矩形ABCD成為正方形；④∵矩形ABCD中，∴AC=BD，則AO=BO，故添加OA=OB，不能使矩形ABCD成為正方形；綜上，①②③符合題意，故選：B．【點睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，正方形的判定的應(yīng)用，能熟記正方形的判定定理是解此題的關(guān)鍵．要使矩形成為正方形，可根據(jù)正方形的判定定理：（1）有一組鄰邊相等的矩形是正方形，（2）對角線互相垂直的矩形是正方形．5．（2021·北京·101中學(xué)八年級期中）如圖，在正方形ABCD中，對角線AC與BD相交于點O，E為BC上一點，CE＝6，F(xiàn)為DE的中點．若OF的長為1，則△CEF的周長為（

）A．14 B．16 C．18 D．12【答案】B【分析】根據(jù)中位線的性質(zhì)及直角三角形斜邊上中線的性質(zhì)可得：，結(jié)合圖形得出的周長為，再由中位線的性質(zhì)得出，在中，利用勾股定理確定，即可得出結(jié)論．【詳解】解：在正方形ABCD中，，，，∵F為DE的中點，O為BD的中點，∴OF為的中位線且CF為斜邊上的中線，∴，∴的周長為，∵，∴，∵，∴，∴，在中，，，，∴，∴的周長為，故選：B．【點睛】題目主要考查正方形的性質(zhì)，三角形中位線的性質(zhì)，勾股定理，直角三角形斜邊中線的性質(zhì)等，理解題意，熟練掌握運用各個知識點是解題關(guān)鍵．6．（2021·全國·八年級單元測試）如圖，在中，對角線相交于點O，點E，F(xiàn)分別是的中點，連接，若，則的長為（

）A．10 B．8 C．6 D．4【答案】B【分析】根據(jù)已知條件可以得到是的中位線，則，再利用平行四邊形的性質(zhì)得出即可．【詳解】解：∵點E，F(xiàn)分別是AB，AO的中點，∴是的中位線，∴，又∵EF=2，∴OB=4，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴．故選：B．【點睛】本題考查了三角形的中位線，平行四邊形的性質(zhì)，熟練掌握三角形中位線的判定定理及性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．7．（2022·上海松江·八年級期末）如圖，在等腰梯形中，，，，交于點．下列判斷正確的是（）A．向量和向量是相等向量 B．向量和向量相反向量C．向量和向量是平行向量 D．向量與向量的和向量是零向量【答案】C【分析】根據(jù)等腰梯形的性質(zhì)和共線平面向量的定義作答．【詳解】解：A、由于向量和向量的方向不同，所以它們不是相等向量，故本選項不符合題意．B、由于||≠|(zhì)|，所以向量和向量不是相反向量，故本選項不符合題意．C、因為AD∥BC即AD∥EC，所以向量和向量是平行向量，故本選項符合題意．D、+＝2≠，故本選項不符合題意．故選：C．【點睛】本題主要考查了等腰梯形的性質(zhì)和平面向量，注意：平面向量既有方向又有大?。?．（2022·上海浦東新·八年級期中）已知向量和都是單位向量，則下列等式成立的是（

）A．； B．； C．； D．．【答案】D【分析】模長為1的向量稱為單位向量，它的方向是不確定的，所以只有D選項符合題意.【詳解】解：∵向量和都是單位向量，但它們的方向不確定，∴A、B、C不正確，D正確.故選D.【點睛】本題考查了單位向量的意義，同時也考查了向量的相等與和差計算，掌握單位向量的意義是解答本題的關(guān)鍵.9．（2021·重慶·八年級期末）如圖，在正方形ABCD中，E為CD邊上一點，將△AED沿著AE翻折得到△AEF，點D的對應(yīng)點F恰好落在對角線AC上，連接BF．若EF＝2，則BF2＝（

）A．4＋4 B．6＋4 C．12 D．8＋4【答案】D【分析】點F作FG⊥BC交于G點，設(shè)正方形的邊長為x，則ACx，由折疊可知，DE＝EF，AD＝AF，∠D＝∠EFA＝90°，可得DE＝2，EC＝x﹣2，ACx，在Rt△EFC中，由勾股定理可得（x﹣2）2＝4+（x﹣x）2，解得x，即為正方形的邊長為22，再求出FC＝2，由∠ACB＝45°，可求FG＝CG，BG2，在Rt△BFG中，由勾股定理可得BF2＝（2）2+2＝8+4．【詳解】解：過點F作FG⊥BC交于G點，由折疊可知，DE＝EF，AD＝AF，∠D＝∠EFA＝90°，設(shè)正方形的邊長為x，∵EF＝2，∴DE＝2，EC＝x﹣2，ACx，在Rt△EFC中，EC2＝FE2+FC2，∴（x﹣2）2＝4+（﹣x）2，解得x＝22，∴FC＝x﹣x＝2，∵∠ACB＝45°，∴FG＝CG，∴BG2，在Rt△BFG中，BF2＝BG2+GF2＝（2）2+2＝8+4，故選：D．【點睛】本題考查正方形的性質(zhì)，翻折的性質(zhì)，熟練掌握翻折的性質(zhì)，靈活應(yīng)用勾股定理是解題的關(guān)鍵．10．（2021·山東萊州·八年級期中）如圖，在矩形紙片中，，．將矩形紙片沿折疊，使點與重合．有下列語句：①四邊形是菱形；②；③；④．其中正確的有（

）A．個 B．個 C．個 D．個【答案】C【分析】根據(jù)折疊的性質(zhì)及矩形的性質(zhì)可得BH=DH=GD=BG，即可判定①正確；若設(shè)AG=x，則BG=DG=8-x，在Rt△AGB中由勾股定理建立方程可求得x，即AG的長，因此可判定②；連接BD，利用菱形的面積相等，可求得GH的長，從而可判定③；根據(jù)對②的判定可確定∠ABG是否為30°即可判定④．【詳解】解：根據(jù)折疊的性質(zhì)得：BH=DH，BG=GD，∠BHG=∠DHG，∠BGH=∠DGH∵四邊形ABCD是矩形∴AD∥BC，AD=BC=8，∠A=90°∴∠DGH=∠BHG∴∠DGH=∠DHG∴GD=DH∴BH=DH=GD=BG∴四邊形是菱形即①正確設(shè)AG=x，則BG=GD=8-x在Rt△AGB中，由勾股定理建立方程得：解得：即AG的長故②正確如圖，連接BD在Rt△ABD中，由勾股定理得：∵，GD=AD-AG=∴∴GH=7.5故③正確∵BG=GD=∴∵∠A=90°∴∠ABG≠30°即∠AGB≠60°∵∠BGH=∠DGH∴∠BGH+∠DGH≠120°從而∠BGH≠60°即④不正確故正確的有3個故選：C．【點睛】本題是矩形的折疊問題，有一定的綜合性質(zhì)，考查了矩形的性質(zhì)，菱形的判定與性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，勾股定理，解一元一次方程等知識，熟練掌握并靈活運用這些知識是解決本題的前提．二、填空題：本題共8個小題，每題3分，共24分。11．（2021·浙江·嵊州市三界鎮(zhèn)中學(xué)八年級期中）已知一個正多邊形的一個外角為36°，則該多邊形的邊數(shù)為______邊．【答案】十##10【分析】因為多邊形的外角和是360°，正多邊形的每個外角都是36°，把外角和除以正多邊形每個外角的度數(shù)就等于多邊形的邊數(shù)．【詳解】解：360°÷36°=10，所以這個正多邊形是正十邊形．故填：十【點睛】本題考查了多邊形的外角和定理．解題的關(guān)鍵是知道多邊形外角和等于360°．12．（2022·上海市文來中學(xué)八年級期中）已知梯形ABCD中，，，，，則此梯形的面積是_______．【答案】3【分析】易證梯形ABCD是等腰梯形，分別求出梯形的高，上底DC的長，利用梯形的面積公式計算即可．【詳解】解：過點D作，過點C作，垂足分別為E、F．∴四邊形CDEF為矩形，∴，∵∠B=∠C，∠AED=∠BFC=90°，∴（AAS），∴，∵，，∴為等腰直角三角形，∴．∵，∴，∴，∴，∴，∴．故答案為：3【點睛】本題考查了梯形的面積公式運用，能夠證明四邊形ABCD是等腰梯形得到AE=BF是解題的關(guān)鍵．13．（2021·全國·八年級單元測試）如果一個正多邊形的每個內(nèi)角為，則這個正多邊形的邊數(shù)是___________．【答案】12【分析】首先根據(jù)內(nèi)角度數(shù)計算出外角度數(shù)，再用外角和除以外角度數(shù)即可．【詳解】解：∵一個正多邊形的每個內(nèi)角為∴它的外角為，，故答案為：12．【點睛】此題主要考查了多邊形的內(nèi)角與外角，關(guān)鍵是掌握內(nèi)角與外角互為鄰補角．14．（2022·上海寶山·八年級期中）在平行四邊形中，如果，，那么__________，__________．（用、表示）【答案】

【分析】根據(jù)向量的性質(zhì)求解即可．【詳解】解：∵，∴，故答案為：，．【點睛】本題考查了向量的問題，掌握向量的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．15．（2021·福建省莆田市中山中學(xué)八年級期中）如圖，菱形的對角線交于點O，，點E是邊的中點，連接，則__________．【答案】2.5【分析】根據(jù)菱形的性質(zhì)：對角線互相垂直，利用勾股定理求出BC，再利用直角三角形斜邊的中線的性質(zhì)OE＝BC，即可求出OE的長．【詳解】解：∵四邊形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，OC＝AC＝3cm，OB＝BD＝3cm，在Rt△BOC中，BC＝＝5cm，∵點E是BC邊的中點，∴OE＝BC＝2.5cm，故答案為：2.5．【點睛】此題主要考查了菱形的性質(zhì)、勾股定理的運用以及直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半等知識，得出OE＝BC是解題關(guān)鍵．16．（2022·全國·八年級單元測試）如圖，在梯形中，，，，、分別是、的中點，是直線上的一點，則的最小值為______.【答案】【分析】連接AC，交MN于P，連接DP，此時的最小，然后根據(jù)題意可知，梯形為等腰梯形，從而判斷出直線MN即為梯形的對稱軸，由此可知此時，即的最小值為AC的長，根據(jù)已知條件求出∠CAB=90°，∠BCA=30°，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)和勾股定理即可求出AC.【詳解】解：連接AC，交MN于P，連接DP，此時的最小，理由如下∵梯形中，，∴梯形為等腰梯形，∴∠DCB=∠B，∠ADC=∠BAD∵、分別是、的中點，∴直線MN即為梯形的對稱軸由對稱可知：DP=AP∴此時，根據(jù)兩點之間，線段最短，即可得：此時的最小且最小值為AC的長，∵，∠B＋∠BAD=180°∴∠DCB=∠B=60°，∠ADC=∠BAD=120°∵∴∠DAC=∠DCA=∴∠CAB=∠BAD－∠DAC=90°，∠BCA=∠DCB－∠DCA=30°在Rt△CAB中，BC=2AB=2，根據(jù)勾股定理可得：AC=故答案為【點睛】此題考查的是等腰梯形的性質(zhì)、軸對稱的性質(zhì)和最短路徑問題,掌握最短路徑的畫法及原理是解決此題的關(guān)鍵.17．（2022·上海浦東新·八年級期末）如圖，已知梯形ABCD，AD∥BC，BC=2AD，如果，，那么=_____（用，表示）．【答案】【詳解】解：∵梯形ABCD，AD∥BC，BC=2AD，=，∴=2=2，∵，∴=+=2+．故答案為2+．18．（2022·湖南常德·八年級期末）如圖，已知長方形紙片，點E，F(xiàn)分別在邊，上，連接．將對折，點B落在直線上的點處，得折痕，對折，點A落在直線上的點處，得折痕，則圖中與互余的角是________（只需填寫三個角）．【答案】∠B′EM，∠MEB，∠A′NE【分析】由折疊的性質(zhì)得到∠MB′E=∠B=90°，∠NA′E=∠A=90°，∠MEB=∠MEB′，∠AEN=∠A′EN，再由平角的定義得到NE與ME垂直，根據(jù)同角（等角）的余角相等，即可在圖中找出與∠B′ME互余的角．【詳解】解：由折疊及長方形ABCD可得：∠MB′E=∠B=90°，∠NA′E=∠A=90°，∠MEB=∠MEB′，∠AEN=∠A′EN，∵∠MEB+∠MEB′+∠AEN+∠A′EN=180°，∴∠MEB+∠AEN=∠MEB′+∠A′EN=90°，則圖中與∠B′ME互余的角是∠B′EM，∠MEB，∠A′NE．故答案為：∠B′EM，∠MEB，∠A′NE．【點睛】本題考查了余角和補角，以及翻折變換，熟練掌握圖形折疊的性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．三、解答題：本題共7個小題，19-23每題7分，24小題9分，25每題12分，共56分。19．（2021·廣東海珠·八年級期末）已知：如圖，PC平分∠APB，CM⊥PA于M，CN⊥PB于N，D、E分別是邊PA和PB上的點，且CD＝CE．求證：∠APB+∠DCE＝180°．【答案】見詳解．【分析】根據(jù)PC平分∠APB，CM⊥PA于M，CN⊥PB于N，得出CM=CN，∠PMC=90°，∠PNC=90°，得出∠MPN+∠MCN=180°，再證Rt△MCD≌Rt△NCE（HL），得出∠MCD=∠NCE即可．【詳解】解：∵PC平分∠APB，CM⊥PA于M，CN⊥PB于N，∴CM=CN，∠PMC=90°，∠PNC=90°，∴∠MPN+∠MCN=360°-∠PMC-∠PNC=360°-90°-90°=180°，在Rt△MCD和Rt△NCE中，，∴Rt△MCD≌Rt△NCE（HL），∴∠MCD=∠NCE，∴∠APB+∠DCE=∠APB+∠DCN+∠NCE=∠APB+∠DCN+∠MCD=∠APB+∠MCN=180°．【點睛】本題考查角平分線性質(zhì)，三角形全等判定與性質(zhì)，四邊形內(nèi)角和，掌握角平分線性質(zhì)，三角形全等判定與性質(zhì)，四邊形內(nèi)角和是解題關(guān)鍵．20．（2021·上?！ぐ四昙壠谀┮阎谂c中，，點在同一直線上，射線分別平分．(1)如圖1，試說明的理由；(2)如圖2，當交于點G時，設(shè)，求與的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；(3)當時，求的度數(shù)．【答案】(1)理由見解析(2)，理由見解析(3)【分析】（1），，可知，進而可說明；（2）如圖1所示，連接并延長至點K，分別平分，則設(shè)，為的外角，，同理，，得；又由（1）中證明可知，，進而可得到結(jié)果；（3）如圖2所示，過點C作，則，，可得，由（1）中證明可得，在中，，即，進而可得到結(jié)果．【詳解】解：(1)證明：又在和中．(2)解：．理由如下：如圖1所示，連接并延長至點K分別平分則設(shè)為的外角同理可得即．又由（1）中證明可知由三角形內(nèi)角和公式可得即．(3)解：當時，如圖2所示，過點C作，則，即由（1）中證明可得在中，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理有即即即，解得：故．【點睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、三角形的外角性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理、平行線的性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)等知識，連接并延長，利用三角形外角性質(zhì)證得是解題的關(guān)鍵．21．（2021·福建省莆田市中山中學(xué)八年級期中）如圖，在等腰三角形中，，點D是中點，點E是的中點，過點A作交的延長線于點F，連接．(1)試判斷四邊形的形狀，并加以證明；(2)若，，求四邊形的面積．【答案】(1)矩形，見解析(2)120【分析】（1）由平行線的性質(zhì)可知，根據(jù)題意可推出，即易證，得出．根據(jù)等腰三角形“三線合一”的性質(zhì)可推出，，即，，從而即可推出四邊形ADCF為矩形；（2）由點D是BC中點，可求出．在中，利用勾股定理可求出AD的長，最后利用矩形的面積公式計算即可．【詳解】(1)解：∵，∴．∵點E是AD的中點，∴．∵，∴，∴．∵為等腰三角形，點D是BC中點，∴，，∴，．∵，即，∴四邊形ADCF為矩形．(2)∵，，∴．∵，∴在中，，∴．【點睛】本題考查平行線的性質(zhì)，三角形全等的判定和性質(zhì)，矩形的判定，等腰三角形的性質(zhì)以及勾股定理．掌握三角形全等的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．22．（2021·全國·八年級期中）如圖1，在等腰三角形ABC中，∠A＝120°，AB＝AC，點D、E分別在邊AB、AC上，AD＝AE，連接BE點M、N、P分別為DE、BE、BC的中點．（1）圖1中，觀察猜想線段M、NP的數(shù)量關(guān)系是，∠MNP的大小為；（2）把△ADE繞點A順時針方向旋轉(zhuǎn)到如圖2所示的位置，連接MP、BD、CE，判斷△MMP的形狀，并說明理由；（3）把△ADE繞點A在平面內(nèi)自由旋轉(zhuǎn)，若AD＝1，AB＝3，請求出△MNP面積的最大值．【答案】（1）相等，；（2）等邊三角形，理由見解析；（3）【分析】（1）先證明由，，得，再由三角形的中位線定理得與的數(shù)量關(guān)系，由平行線性質(zhì)得的大??；（2）先證明得，再由三角形的中位線定理得，由平行線性質(zhì)得，再根據(jù)等邊三角形的判定定理得結(jié)論；（3）由，得，再由等邊三角形的面積公式得的面積關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式，再由函數(shù)性質(zhì)求得最大值便可．【詳解】解：（1），，，點、、分別為、、的中點，，，，，，，，，，，故答案為：；；（2）是等邊三角形．理由如下：由旋轉(zhuǎn)可得，，又，，，，，點、、分別為、、的中點．，，，，，，，，，，是等邊三角形；（3）根據(jù)題意得，，即，，的面積，的面積的最大值為．【點睛】本題是三角形的一個綜合題，主要考查了等邊三角形的判定，三角形的中位線定理，全等三角形的性質(zhì)與判定，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是證明三角形全等和運用三角形中位線定理使已知與未知聯(lián)系起來．23．（2022·山東桓臺·八年級期末）已知在四邊形中，，分別是邊，的中點．(1)如圖1，若，，，．求的長；(2)如圖2，若．求證：．【答案】(1)5(2)證明見解析【分析】（1）如圖1，取的中點，連接，，可知分別是的中位線，且，在中，由勾股定理可求的長．（2）如圖2，取的中點，連接，，可知分別是的中位線，且，在中，由勾股定理得，將，代入即可證明．【詳解】(1)解：如圖1，取的中點，連接，∵，，∴分別是的中位線∴，，，∴，，，∴∴在中，由勾股定理得∴的長為5．(2)證明：如圖2，取的中點，連接，∵，，∴分別是的中位線∴，，，∴，∵∴在中，由勾股定理得∴∴．【點睛】本題考查了中位線，勾股定理．解題的關(guān)鍵在于靈活運用中位線的性質(zhì)求解．24．（2022·上海靜安·八年級期末）如圖,在梯形ABCD中,AD∥BC,點E在邊BC上,DE∥AB,設(shè).(1)用向量表示下列向量:;(2)求作:(保留作圖痕跡，寫出結(jié)果，不要求寫作法)【答案】（1），（2）見解析.【分析】（1）AD∥BC，