2025屆新高考數(shù)學沖刺精準復習 橢圓的方程與性質(zhì)

2025屆新高考數(shù)學沖刺精準復習橢圓的方程與性質(zhì)01課前自學02課堂導學目錄【課時目標】掌握橢圓的定義、標準方程及簡單幾何性質(zhì)；了解橢圓

的簡單應用.【考情概述】橢圓是新高考考查的重點內(nèi)容之一，難度相對較大，在

選擇題、填空題、解答題中都可以考查，小題常考數(shù)形結(jié)合思想，側(cè)重

于幾何性質(zhì)的應用，大題?？冀馕鏊枷?，側(cè)重于坐標運算.

知識梳理1.橢圓的定義

平面內(nèi)與兩個定點

F

1，

F

2的距離的和等于

（大于｜

F

1

F

2｜）

的點的軌跡叫做橢圓.這兩個定點叫做橢圓的

?，兩焦點間的距

離叫做橢圓的

?.常數(shù)焦點焦距2.集合

P

＝{

M

｜｜

MF

1｜＋｜

MF

2｜＝2

a

}，｜

F

1

F

2｜＝2

c

，其中

a

，

c

為常數(shù)，且

a

＞0，

c

＞0.（1）

當2

a

＞｜

F

1

F

2｜時，點

M

的軌跡為

?；（2）

當2

a

＝｜

F

1

F

2｜時，點

M

的軌跡為

?；（3）

當2

a

＜｜

F

1

F

2｜時，點

M

的軌跡

?.橢圓線段

F

1

F

2

不存在3.橢圓的標準方程和幾何性質(zhì)標準方程圖形

性

質(zhì)范圍－

a

≤

x

≤

a

－

b

≤

y

≤

b

－

b

≤

x

≤

b

－

a

≤

y

≤

a

對稱性對稱軸：

；對稱中心：

?坐標軸原點標準方程圖形

性

質(zhì)頂點

A

1（－

a

，0），

A

2（

a

，0）

B

1（0，－

b

），

B

2（0，

b

）

A

1（0，－

a

），

A

2（0，

a

）

B

1（－

b

，0），

B

2（

b

，0）離心率

e

＝

，

e

∈（0，1）

a

，

b

，

c

的關系

c

2＝

a

2－

b

2

常用結(jié)論

（1）

點

P

（

x

0，

y

0）在橢圓內(nèi)?

?；（2）

點

P

（

x

0，

y

0）在橢圓上?

?；（3）

點

P

（

x

0，

y

0）在橢圓外?

?.

回歸課本1.判斷：

（3）

（RA選一P112定義改編）橢圓的離心率

e

越接近于1，橢圓就越

圓.

（

?

）（4）

（RA選一P114例7改編）若直線

l

與橢圓只有一個交點，則直線

l

與橢圓相切.

（

√

）?√?√

C

D

A.若｜

PF

1｜＝｜

PF

2｜，則∠

PF

1

F

2＝30°D.滿足△

F

1

PF

2是直角三角形的點

P

有4個ABC

6

（6，12）

考點一

橢圓的定義及應用例1（1）

在平面內(nèi)，

F

1，

F

2是兩個定點，

M

是一個動點，則“｜

MF

1｜＋｜

MF

2｜為定值”是“點

M

的軌跡是以

F

1，

F

2為焦點的橢

圓”的（

B

）A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件B解：由“點

M

的軌跡是以

F

1，

F

2為焦點的橢圓”可推出“｜

MF

1｜

＋｜

MF

2｜為定值”，反之不成立.所以“｜

MF

1｜＋｜

MF

2｜為定

值”是“點

M

的軌跡是以

F

1，

F

2為焦點的橢圓”的必要不充分條件.（2）

一動圓與圓

x

2＋

y

2＋6

x

＋5＝0外切，同時與圓

x

2＋

y

2－6

x

－91

＝0內(nèi)切，則動圓圓心的軌跡方程為

?.

總結(jié)提煉

1.橢圓定義的應用主要有：求橢圓的標準方程、求焦點三角形的周

長、面積及求弦長、最值和離心率等.2.通常將定義和余弦定理結(jié)合使用求解關于焦點三角形的周長和面積

問題.[對點訓練]

總結(jié)提煉

利用待定系數(shù)法要先定形（焦點位置），再定量，即首先確定焦

點所在位置，然后根據(jù)條件建立關于

a

，

b

的方程組.如果焦點位置不

確定，可設橢圓方程為

mx

2＋

ny

2＝1（

m

＞0，

n

＞0，

m

≠

n

）的形式.[對點訓練]3.已知橢圓

C

的左、右焦點分別為

F

1（－1，0），

F

2（1，0），過焦

點

F

2的直線與橢圓

C

交于

A

，

B

兩點.若｜

AF

2｜＝2｜

F

2

B

｜，｜

AB

｜

＝｜

BF

1｜，則橢圓

C

的方程為（

B

）B

B考點三

橢圓的幾何性質(zhì)考向1

橢圓的離心率問題

C

D

D[對點訓練]

B

考向2

與橢圓有關的最值或范圍問題例4（1）

我國自主研發(fā)的“嫦娥四號”探測器成功著陸月球，并通

過“鵲橋”中繼衛(wèi)星傳回了月球背面影像圖.假設“嫦娥四號”在月球

附近一點

P

變軌進入以月球球心

F

為一個焦點的橢圓軌道繞月飛行，其

軌道的離心率為

e

，設月球的半徑為

R

，“嫦娥四號”到月球表面最近

的距離為

r

，則“嫦娥四號”到月球表面最遠的