2025屆新高考數(shù)學(xué)沖刺精準(zhǔn)復(fù)習(xí)空間向量與立體幾何

2025屆新高考數(shù)學(xué)沖刺精準(zhǔn)復(fù)習(xí)空間向量與立體幾何01課前自學(xué)02課堂導(dǎo)學(xué)目錄【課時(shí)目標(biāo)】理解直線的方向向量及平面的法向量，能用向量的語言

表述線線、線面、面面的平行和垂直關(guān)系；能用向量方法證明立體幾何

中有關(guān)線面位置關(guān)系的一些簡單定理.【考情概述】在新高考涉及立體幾何的解答題中，第一問多為證明線

線、線面、面面的平行與垂直，可建系應(yīng)用空間向量法解決，也可不建

系利用立體幾何的初步相關(guān)定理解決，多為基礎(chǔ)題.1.直線的方向向量和平面的法向量（1）

直線的方向向量直線

l

上的向量

e

（

e

≠0）以及與

e

共線的非零向量叫做直線

l

的

?

?.（2）

平面的法向量如果表示非零向量

n

的有向線段所在直線垂直于平面α，那么稱向量

n

平面α，記作

，此時(shí)，我們把向量

n

叫做平面α

的

.

方向

向量垂直于n

⊥α

法向量

知識梳理2.空間位置關(guān)系的向量表示位置關(guān)系向量表示直線

l

1，

l

2的方向向量分別為

n

1，

n

2

l

1∥

l

2

n

1∥

n

2?

?

l

1⊥

l

2

n

1⊥

n

2?

?直線

l

的方向向量為

n

，平面α的法

向量為

m

l

∥α

n

⊥

m

?

?

l

⊥α

n

∥

m

?

?平面α，β的法向量分別為

n

，

m

α∥β

n

∥

m

?

n

＝λ

m

α⊥β

n

⊥

m

?

?n

1＝λ

n

2

n

1·

n

2＝0

n

·

m

＝0

n

＝λ

m

n

·

m

＝0

常用結(jié)論1.用向量法證明空間的線、面垂直關(guān)系的關(guān)鍵是確定直線的方向向量和

平面的法向量，然后把證明線、面的垂直關(guān)系轉(zhuǎn)化為向量間的關(guān)系.2.用向量知識證明立體幾何問題，仍離不開立體幾何中的定理.比如

用直線的方向向量與平面的法向量來證明線面平行，仍需強(qiáng)調(diào)直線

在平面外.回歸課本1.判斷：（1）

（RA選一P29練習(xí)第1題（1））零向量不能作為直線的方向向量

和平面的法向量.

（

√

）（2）

（RA選一P4定義改編）若兩條直線平行，則它們的方向向量的方

向相同或相反.

（

√

）（3）

（RA選一P31定義改編）直線

a

的方向向量和平面α的法向量平

行，則

a

∥α.

（

?

）（4）

（RA選一P32定義改編）若兩平面的法向量垂直，則兩平面垂直.

（

√

）√√?√2.（RA選一P29定義改編）向量

m

是直線

l

的方向向量，向量

n

是平面α

的法向量，“

m

⊥

n

”是“

l

∥α”的（

B

）A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分又不必要條件B3.（RA選一P28例1改編）已知點(diǎn)

A

（1，0，0），

B

（0，1，0），

C

（0，0，1），則下列向量是平面

ABC

的法向量的為（

C

）A.（－1，1，1）B.（1，－1，1）C4.（多選）（RA選一P28例1改編）已知空間中三點(diǎn)

A

（0，1，0），

B

（2，2，0），

C

（－1，3，1），則下列說法正確的是（

ACD

）D.平面

ABC

的一個法向量是（1，－2，5）ACD

（1）

AE

∥平面

BCF

；證明：如圖，取

BC

的中點(diǎn)

H

，連接

OH

，則

OH

∥

BD

.

又四邊形

ABCD

為正方形，所以

AC

⊥

BD

.

所以

OH

⊥

AC

.

（2）

CF

⊥平面

AEF

.

證明：如圖，取

BC

的中點(diǎn)

H

，連接

OH

，則

OH

∥

BD

.

又四邊形

ABCD

為正方形，所以

AC

⊥

BD

.

所以

OH

⊥

AC

.

總結(jié)提煉

1.利用向量法證明平行問題（1）

線線平行：方向向量平行.（2）

線面平行：平面外的直線的方向向量與平面的法向量垂直.（3）

面面平行：兩平面的法向量平行.2.利用向量法證明垂直問題的類型及常用方法線線垂直證明兩直線的方向向量互相垂直，即證兩方向向量的數(shù)量積為零線面垂直直線的方向向量與平面的法向量共線，或利用線面垂直的判定定理轉(zhuǎn)化為證明線線垂直面面垂直兩個平面的法向量垂直，或利用面面垂直的判定定理轉(zhuǎn)化為證明線面垂直考點(diǎn)二

利用空間向量求距離問題

A.①②④B.②③④C.①④D.①②③D[對點(diǎn)訓(xùn)練]

B

考點(diǎn)三

利用空間向量解決有關(guān)位置關(guān)系的探索問題例3如圖，在多面體

ABCC

1

B

1

N

中，

BC

⊥平面

ABB

1

N

，四邊形

ABB

1

N

為直角梯形，∠

BAN

＝∠

ABB

1＝90°，

AN

＝

AB

＝

BC

＝4，

BB

1＝

8，

M

為

AB

的中點(diǎn).在線段

CB

上是否存在一點(diǎn)

P

，使得

MP

∥平面

CNB

1？若存在，求

BP

的長；若不存在，請說明理由.

2.如圖，正方形

ADEF

所在平面和等腰梯形

ABCD

所在平面互相垂直，

BC

＝4，

AB

＝

AD

＝2.（1）

求證：

AC

⊥

BF

.

[對點(diǎn)訓(xùn)練]

對接高考（2023·新課標(biāo)Ⅰ卷節(jié)選）如圖，在正四棱柱

ABCD

－

A

1

B

1

C

1

D

1中，

AB

＝2，

AA

1＝4.點(diǎn)

A

2，