備戰(zhàn)2024年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)5.1三角函數(shù)的定義(精練)(原卷版+解析)

5.1三角函數(shù)的定義（精練）（提升版）題組一題組一扇形的弧長與面積1．（2022.河南省）已知直線將圓分為，兩部分，且部分的面積小于部分的面積，若在圓內(nèi)任取一點(diǎn)，則該點(diǎn)落在部分的概率為（

）A． B． C． D．2．（2022浙江省金麗衢）如圖，點(diǎn)P是半徑為2的圓O上一點(diǎn)，現(xiàn)將如圖放置的邊長為2的正方形（頂點(diǎn)A與P重合）沿圓周逆時(shí)針滾動(dòng).若從點(diǎn)A離開圓周的這一刻開始，正方形滾動(dòng)至使點(diǎn)A再次回到圓周上為止，稱為正方形滾動(dòng)了一輪，則當(dāng)點(diǎn)A第一次回到點(diǎn)P的位置時(shí)，正方形滾動(dòng)了________輪，此時(shí)點(diǎn)A走過的路徑的長度為___________.3．（2022湖南?。┮阎獮檎襟w表面上的一動(dòng)點(diǎn)，且滿足，則動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)軌跡的周長為__________.4．（四川省南充市2022屆高考適應(yīng)性考試（二診）理科數(shù)學(xué)試題）已知正方體的棱長為為體對角線的三等分點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)在三角形內(nèi)，且三角形的面積，則點(diǎn)的軌跡長度為___________.5．（河北省張家口市2022屆高三第一次模擬數(shù)學(xué)試題）(多選）已知正方體的棱長為1，點(diǎn)P是線段上（不含端點(diǎn)）的任意一點(diǎn)，點(diǎn)E是線段的中點(diǎn)，點(diǎn)F是平面內(nèi)一點(diǎn)，則下面結(jié)論中正確的有（

）A．平面B．以為球心?為半徑的球面與該正方體側(cè)面的交線長是C．的最小值是D．的最小值是題組二題組二三角函數(shù)的定義1．（2022·全國·高三專題練習(xí)（文））已知角的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊與軸的非負(fù)半軸重合，且為終邊上一點(diǎn)，則(

)A． B． C． D．2．（2022·全國·模擬預(yù)測）已知是第二象限角，終邊與單位圓交于點(diǎn)，若，則（

）A． B． C． D．3．（2022·全國·模擬預(yù)測）若將角的終邊繞原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后與單位圓的交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，則的值為（

）A． B． C． D．4．（2022·全國·高三專題練習(xí)（文））已知角的頂點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)重合，始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，角終邊上有一點(diǎn)，為銳角，且，則（

）A． B． C． D．5（2022·四川省高縣中學(xué)校）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，角的頂點(diǎn)為O，始邊為軸非負(fù)半軸，若點(diǎn)是角終邊上的一點(diǎn)，則角的值是（

）A． B．C． D．6．（2022·河南·高三階段練習(xí)（文））已知銳角的終邊上一點(diǎn)的坐標(biāo)為，則＝（

）A．40° B．45° C．50° D．55°7．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知點(diǎn)為角終邊上一點(diǎn)，且，則（

）A．2 B． C．3 D．8．（2022·全國·高三專題練習(xí)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，角與角均以為始邊，終邊分別是射線和射線，且射線和射線關(guān)于軸對稱，射線與單位圓的交點(diǎn)為，則的值是（

）A． B． C． D．題組三題組三判斷三角函數(shù)值的正負(fù)1．（2022·全國·高三專題練習(xí)）若為第一象限角，則，，，中必定為正值的有（

）A．0個(gè) B．1個(gè) C．2個(gè) D．3個(gè)2．（2022·湖南師大附中一模）已知，，則角所在的象限是（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知，則的終邊在（

）A．第一象限 B．第二象限 C．三象限 D．第四象限4．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知點(diǎn)在第三象限，則的取值范圍是（

）．A． B．C． D．5．（2022·全國·高三專題練習(xí)）函數(shù)的值域是（）A． B． C． D．6．（2022·山西呂梁）（多選）若，則角θ的取值范圍可能為（

）A． B． C． D．7．（2022·江蘇·南京市第二十九中學(xué)）如果，那么角所在的象限是______.8．（2022上海市）i為虛數(shù)單位，對應(yīng)的點(diǎn)在第二象限，則是第_____象限的角.題組四題組四三角函數(shù)線1．（2020·全國·高三專題練習(xí)）比較大小，正確的是（）．A． B．C． D．2．（2022·河北保定）（多選）下列說法正確的是（

）A．的值與的值相等B．的值比的值大C．的值為正數(shù)D．關(guān)于x的不等式的解集為3．（2022·上海·高三專題練習(xí)）已知，對任意，總存在實(shí)數(shù)，使得，則的最小值是___4．（2022·全國·高三專題練習(xí)）函數(shù)y＝lg(2sinx－1)＋的定義域?yàn)開_________________.5.1三角函數(shù)的定義（精練）（提升版）題組一題組一扇形的弧長與面積1．（2022.河南省）已知直線將圓分為，兩部分，且部分的面積小于部分的面積，若在圓內(nèi)任取一點(diǎn)，則該點(diǎn)落在部分的概率為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】設(shè)直線與圓交于，兩點(diǎn)，由圓可知，圓心的坐標(biāo)為，半徑為.圓面積為．因?yàn)閳A心到直線的距離為，所以，又，所以，從而扇形的面積為，所以部分的面積為，故在圓內(nèi)任取一點(diǎn)，則該點(diǎn)落在部分的概率.故選：B．2．（2022浙江省金麗衢）如圖，點(diǎn)P是半徑為2的圓O上一點(diǎn)，現(xiàn)將如圖放置的邊長為2的正方形（頂點(diǎn)A與P重合）沿圓周逆時(shí)針滾動(dòng).若從點(diǎn)A離開圓周的這一刻開始，正方形滾動(dòng)至使點(diǎn)A再次回到圓周上為止，稱為正方形滾動(dòng)了一輪，則當(dāng)點(diǎn)A第一次回到點(diǎn)P的位置時(shí)，正方形滾動(dòng)了________輪，此時(shí)點(diǎn)A走過的路徑的長度為___________.【答案】

3

【解析】正方形滾動(dòng)一輪，圓周上依次出現(xiàn)的正方形頂點(diǎn)為，頂點(diǎn)兩次回到點(diǎn)P時(shí)，正方形頂點(diǎn)將圓周正好分成六等分，由4和6的最小公倍數(shù)：，所以到點(diǎn)A首次與P重合時(shí)，正方形滾動(dòng)了3輪.這一輪中，點(diǎn)A路徑是圓心角為，半徑分別為2，，2的三段弧，故路徑長，∴點(diǎn)A與P重合時(shí)總路徑長為.故答案為：3，.3．（2022湖南?。┮阎獮檎襟w表面上的一動(dòng)點(diǎn)，且滿足，則動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)軌跡的周長為__________.【答案】【解析】由可知，正方體表面上到點(diǎn)A距離最遠(yuǎn)的點(diǎn)為，所以P點(diǎn)只可能在面，面，面上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)P在面上運(yùn)動(dòng)時(shí)，如圖示，建立平面直角坐標(biāo)系，則,設(shè)，由得：，即，即P點(diǎn)在平面ABCD內(nèi)的軌跡是以E（4,0）為圓心，以為半徑的一段圓弧，因?yàn)?故,所以P點(diǎn)在面ABCD內(nèi)的軌跡的長即為同理，P點(diǎn)在面內(nèi)情況亦為；P點(diǎn)在面上時(shí)，因?yàn)椋?所以，所以此時(shí)P點(diǎn)軌跡為以B為圓心，2為半徑的圓弧，其長為，綜上述，P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)軌跡的周長為，故答案為：.4．（四川省南充市2022屆高考適應(yīng)性考試（二診）理科數(shù)學(xué)試題）已知正方體的棱長為為體對角線的三等分點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)在三角形內(nèi)，且三角形的面積，則點(diǎn)的軌跡長度為___________.【答案】【解析】因?yàn)檎襟w的棱長為，所以，所以，設(shè)到的距離為，由，得，平面，平面，，又，，平面，，同理可證，又，面，點(diǎn)在所在平面的軌跡是以為半徑的圓，內(nèi)切圓的半徑為，該圓一部分位于三角形外，如圖有，解得，，圓在三角形內(nèi)的圓弧為圓周長的一半，，故答案為：.5．（河北省張家口市2022屆高三第一次模擬數(shù)學(xué)試題）(多選）已知正方體的棱長為1，點(diǎn)P是線段上（不含端點(diǎn)）的任意一點(diǎn)，點(diǎn)E是線段的中點(diǎn)，點(diǎn)F是平面內(nèi)一點(diǎn)，則下面結(jié)論中正確的有（

）A．平面B．以為球心?為半徑的球面與該正方體側(cè)面的交線長是C．的最小值是D．的最小值是【答案】ABD【解析】對于A選項(xiàng)：因?yàn)槠矫婕礊槠矫?，又因?yàn)?，且平面，平面，所以平面，故A正確；對于B選項(xiàng)：該球面與側(cè)面的交線為弧，是以為圓心，圓心角為的弧，所以弧長為，故B正確；對于C，D選項(xiàng)：將沿翻折到與在同一平面且點(diǎn)，D在直線的異側(cè)，作于點(diǎn)G，交于P.由兩點(diǎn)之間，直線最短.可得G、F重合時(shí)，最小.此時(shí)，設(shè)，則,所以.在中，,所以，則的最小值是，故C不正確，D正確.故選:ABD.題組二題組二三角函數(shù)的定義1．（2022·全國·高三專題練習(xí)（文））已知角的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊與軸的非負(fù)半軸重合，且為終邊上一點(diǎn)，則(

)A． B． C． D．【答案】C【解析】由三角函數(shù)定義可知，，解得或(舍去)，則.選：C.2．（2022·全國·模擬預(yù)測）已知是第二象限角，終邊與單位圓交于點(diǎn)，若，則（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】根據(jù)三角函數(shù)定義知，由得，所以，所以或.又是第二象限角，所以，所以，即，故選C.3．（2022·全國·模擬預(yù)測）若將角的終邊繞原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后與單位圓的交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由題意可得，則，從而有.故選：A4．（2022·全國·高三專題練習(xí)（文））已知角的頂點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)重合，始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，角終邊上有一點(diǎn)，為銳角，且，則（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因?yàn)榻墙K邊上有一點(diǎn)，所以，又因?yàn)闉殇J角，且，所以，所以，故選：C5（2022·四川省高縣中學(xué)校）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，角的頂點(diǎn)為O，始邊為軸非負(fù)半軸，若點(diǎn)是角終邊上的一點(diǎn)，則角的值是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】由，，可得點(diǎn)在第一象限，又，所以，．故選：B．6．（2022·河南·高三階段練習(xí)（文））已知銳角的終邊上一點(diǎn)的坐標(biāo)為，則＝（

）A．40° B．45° C．50° D．55°【答案】C【解析】因?yàn)殇J角的終邊上一點(diǎn)的坐標(biāo)為，且，，從而有點(diǎn)的坐標(biāo)為，所以．故選：C．7．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知點(diǎn)為角終邊上一點(diǎn)，且，則（

）A．2 B． C．3 D．【答案】D【解析】，即.又因?yàn)?，解?故選：D8．（2022·全國·高三專題練習(xí)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，角與角均以為始邊，終邊分別是射線和射線，且射線和射線關(guān)于軸對稱，射線與單位圓的交點(diǎn)為，則的值是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由任意角的三角函數(shù)的定義可得，，，因，且射線和射線關(guān)于軸對稱，則射線OB與單位圓的交點(diǎn)為，于是得，，因此，，所以的值是.故選：D題組三題組三判斷三角函數(shù)值的正負(fù)1．（2022·全國·高三專題練習(xí)）若為第一象限角，則，，，中必定為正值的有（

）A．0個(gè) B．1個(gè) C．2個(gè) D．3個(gè)【答案】B【解析】因?yàn)闉榈谝幌笙藿?，所以為第一或二象限角，可得：，而符?hào)不確定，又為第一或三象限角，，可以是正數(shù)，也可以是負(fù)數(shù)，它們的符號(hào)均不確定綜上所述，必定為正值的只有一個(gè)故選：．2．（2022·湖南師大附中一模）已知，，則角所在的象限是（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】C【解析】因?yàn)?，所以；因?yàn)?，所?所以，，所以是第三象限角.故選：C.3．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知，則的終邊在（

）A．第一象限 B．第二象限 C．三象限 D．第四象限【答案】D【解析】：由，平方得：，則，即，則或，，即有或，，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，位于第二象限，，，，不成立，當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，位于第四象限，，，成立.∴角的終邊在第四象限.故選：D.4．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知點(diǎn)在第三象限，則的取值范圍是（

）．A． B．C． D．【答案】D【解析】在第三象限，，，，，．故選：D.5．（2022·全國·高三專題練習(xí)）函數(shù)的值域是（）A． B． C． D．【答案】C【解析】由題意可知：角的終邊不能落在坐標(biāo)軸上，當(dāng)角終邊在第一象限時(shí)，當(dāng)角終邊在第二象限時(shí)，當(dāng)角終邊在第三象限時(shí)，當(dāng)角終邊在第四象限時(shí)，因此函數(shù)的值域?yàn)?，故選C.6．（2022·山西呂梁）（多選）若，則角θ的取值范圍可能為（

）A． B． C． D．【答案】BD【解析】依題意，，則，即，由給定選項(xiàng)知，角終邊不在坐標(biāo)軸上，從而有與異號(hào)，為第二象限角或第四象限角，若為第二象限角，則，，，若為第四象限角，則，，.故選：BD7．（2022·江蘇·南京市第二十九中學(xué)）如果，那么角所在的象限是______.【答案】第二或第四象限【解析】因?yàn)?，則，即，所以，所以，即；解得，或，；所以角在第二或第四象限.故答案為：第二或第四象限.8．（2022上海市）i為虛數(shù)單位，對應(yīng)的點(diǎn)在第二象限，則是第_____象限的角.【答案】一、三【解析】對應(yīng)的點(diǎn)在第二象限，，，解得，當(dāng)時(shí)，為第一象限角，當(dāng)時(shí)，為第三象限角，綜上可得：θ是第一、三象限的角．故答案為：一、三題組四題組四三角函數(shù)線1．（2020·全國·高三專題練習(xí)）比較大小，正確的是（）．A． B．C． D．【答案】B【解析】因?yàn)椋裕?，，由，所以，．綜上，，故選B．2．（2022·河北保定）（多選）下列說法正確的是（

）A．的值與的值相等B．的值比的值大C．的值為正數(shù)D．關(guān)于x的不等式的解集為【答案】ABC【解析】對于選項(xiàng)A，由可知選項(xiàng)A正確；對于選項(xiàng)B，由及正弦函數(shù)的單調(diào)性可知B選項(xiàng)正確；對于選項(xiàng)C，由，，，可知C選項(xiàng)正確；對于選項(xiàng)D，由余弦函數(shù)的圖象及，可知關(guān)于x的不等式的解集為，故D選項(xiàng)錯(cuò)誤．故選：ABC.3．（2022·上?！じ呷龑ｎ}練習(xí)）已知，對任意，總存在實(shí)數(shù)，使得，則的最小值是___【答案】【解析】在單位圓中分析，由題意，的終邊要落在圖中陰影部分區(qū)域（其中），必存在某個(gè)正整數(shù)，使得終邊在OB的下面，而再加上，即跨越