高中數(shù)學講義-直線的參數(shù)方程

直線的參數(shù)方程

目錄

教材內(nèi)容解析........................................................................................1

學情分析............................................................................................1

教學方法與教學手段.................................................................................2

教學目標...........................................................................................2

教學重點............................................................................................2

教學難點............................................................................................2

教學過程............................................................................................2

課題引入....................................................................................2

二.直線的參數(shù)方程（直線的參數(shù)的發(fā)現(xiàn)與確定）................................................3

三.參數(shù)f的幾何意義..........................................................................3

四.直線參數(shù)方程的應用........................................................................4

五.本課小結..................................................................................8

六.作業(yè)......................................................................................8

教材：人教版普通高中課程標準實驗教科書《教學》（A版）選修4—4坐標條與參數(shù)方程P35-P39,

分兩節(jié)課完成，本教案是第一節(jié)課，內(nèi)京主要在P35~P37.

教材內(nèi)容解析

本節(jié)內(nèi)容是人教A版選修4—4第二講第三部分的內(nèi)容.直線是學生最熟悉的幾何圖形，在教

材《必修2》中學生已經(jīng)學習了直線的五種方程.教科書先引導學生回顧了用傾斜角的正切表示的直

線的點斜式方程，這是為推導直線的參數(shù)方程做準備，從代數(shù)變換的角度看，教材P35的直線參

數(shù)方程F=*°+'c°sa，。為參數(shù)）就是點斜式的變形.在提出“如何建立直線的參數(shù)方程？”后，教

y=%+fsina.

材引導學生借助向量工具探究直線的參數(shù)方程.這一過程，教師引導學生通過類比、聯(lián)想的思想方

法，將直線和單位方向向量聯(lián)系起來，引入恰當?shù)膮?shù)，從而建立直線的參數(shù)方程.

學情分析

學生對事物的認識多是從直觀到抽象，從感性到理性.而對事物的理解多以自己的經(jīng)驗為基礎

來建構或解釋現(xiàn)象，而并不是把知識從外界直接搬到記憶中.高二學生的學習過程更是如此.

之前圓錐曲線的參數(shù)方程學生已經(jīng)熟悉，也能夠理解各種曲線的參數(shù)的幾何意義，但是直線的

參數(shù)方程還能否用角作為參數(shù)呢？這是完全不同的，應該選擇那個量作為直線的參數(shù)呢?需要引入

”方向向量的概念”，之前的必修教材從未學習過，所以，在講本節(jié)課之前，提前對方向向量的知

識作了補充學習，為本節(jié)課的學習提前進行知識儲備.

教學方法與教學手段

教學方法：啟發(fā)探究式（教師設問引導，學生自主探究、合作解決）.

教學手段：多媒體輔助教學（利用計算機和實物投影輔助教學）.

教學目標

1.利用直線的單位方向向量推導直線的參數(shù)方程，體會直線的普通方程與參數(shù)方程的聯(lián)系；

2.理解并掌握直線的參數(shù)方程中參數(shù)f的幾何意義；

3.通過直線參數(shù)方程的探究，體會參數(shù)的形成過程，培養(yǎng)嚴密地思考和嚴謹推理的習慣；

4.在學習過程中滲透類比、歸納、推理的數(shù)學思想方法，以及引領學生體會“根據(jù)幾何性質

選取恰當?shù)膮?shù)，建立參數(shù)方程”的幾何問題代數(shù)化的解析思想.

教學重點

1.分析直線的幾何條件，選擇恰當?shù)膮?shù)寫出直線的參數(shù)方程；

2.直線的參數(shù)方程中參數(shù)f的幾何意義.

教學難點

1.直線的參數(shù)方程中參數(shù)f的幾何意義；

2.直線參數(shù)方程中參數(shù)f的幾何意義的初步應用.

教學過程

一.課題引入

問題L已知直線/：x+y-l=O與拋物線y=V交于A,8兩點，求M（T,2）到A,8兩點的距離

之積.

解：解析法

?x+y—1=°_（?左門在六上兒l八mi4,t3+\/5.—1+A/53>/5

由〈，可知兩交點坐標分別為4----------,--------）,8（---------,--------x）

y=x22222

所以4HM=J（_1—Z1^）2+（2_1^）2,J（_i-Zl^）2+（2?1^）2

=J（3-6.（3+石）=2.

【設計意圖】

通過幾何法求解距南，讓學生真切感受“計算過程”的繁瑣，為引入本節(jié)課題做鋪墊,

問題2.有沒有比這種方法更簡便的算法？接著引入本節(jié)課題“直線的參數(shù)方程”.

二.直線的參數(shù)方程（直線的參數(shù)的發(fā)現(xiàn)與確定）

探究1.一般地，設直線/經(jīng)過點用0（%,%），且傾斜角為a,動點M（x,y）為直線上任意一點，

直線/的單位方向向量記作e=（cosa,sina）,ae[0,不），那么

M.M//e,因此根據(jù)共線向量的充要條件可知，存在實數(shù)/,使得「

MQM=te,—/

即（I-%,y-%）=Kcosa,sina）,于是，有/?/M

尸f=‘cos"為參數(shù)）/

y-y0=tsina/疏

因此，把上面的方程叫做經(jīng)過點“。（%治）,傾斜角為a的直線/的O/"

參數(shù)方程.//

直線參數(shù)方程的文字表述：直線上任意動點的縱橫坐標等于定點相應坐標加上參數(shù)乘以傾斜

角的正余弦.

注意：直線上的任意一個點都唯一對應一個參數(shù)J

【設計意圖】

通過教呼引導和啟發(fā)，由學生自己獨立或在小組合作的基礎上，借助直線的單住方向向量建.立

起直線/的參數(shù)方程，這是本節(jié)課的其中一個重點和關鍵.

探究3.參數(shù)/的符號又有什么意義呢？

當0<a<萬時，sina>0,所以直線/的單位方向向量e的方向總是向上的.

（1）若￡>0,由/=2二%=y—%>ony>%，可知點”在點上方，則M。"的方向向上;

sina

(2)若f<0,由/=^^包?=>y-%<0=>y<%,可知點M在點M()下方，則的方向向下；

sina

(3)若f=0,則、=%，從而點M點A/。重合.

【設計意圖】

引導學生思考討論后獲取共投，直線的參數(shù)/具有兩點意義：符號決定了動點相對于定點的往

置，絕對值表示動點到定點的距青，為后面參數(shù)的應用做鋪墊，

問題3.如果直線水平放置，那么直線上的定點和動點的關系可以和我們學過的那個知識聯(lián)系

起來？

【設計意圖】

回顧教輔概念，理解教物上的任意一點對應一個賣教，皮的生標的絕對值刖好是對應的點到原

點的距.離.

問題4.數(shù)軸是怎樣建立的？數(shù)軸上任意一點的坐標的幾何意義是什么？

—i~NT周—

BO%

X1X2

規(guī)定了原點、單位長度和正方向的直線叫數(shù)軸。

己知數(shù)軸上兩點A,B的坐標分別為乙，XB，則線段AB的中點坐標為土磬，A,8兩點間

的距離為|的=,-斌.

類似地，有向直線類似于x軸，則A,3兩點間的距離為|4邳=以-端，線段A3的中點對應

的參數(shù)為5.

2

【設計意圖】

教材中在有向直線上確定兩點間的距離，以及兩點對應的參教，有些同學不能立刻理解，而用

教軸上兩點間的距離以及線段中點的生標來類比，就可以幫助學生很好的理斛，這里類比思維起到

了重要作用.

四.直線參數(shù)方程的應用

例1.已知直線/過點M(-1,2),傾斜角為3萬，寫出直線/的參數(shù)方程.

4

解：因為直線/過點M(-l,2),且/的傾斜角為3萬，

所以它的參數(shù)方程為

1o

x=-\-----1,

2口為參數(shù)）

尸2+2

2

變式1.已知直線/過點M(T,2),斜率為-1,寫出直線/的參數(shù)方程.

解：因為直線/過點”(-1,2),且/的斜率為-1,

所以它的傾斜角為2萬，從而直線的參數(shù)方程為

4

x=-\------1,

2。為參數(shù)）

y=2CH--V--2-1.

.2

變式2.已知直線/過點M(-1,2),斜率為-1,且與拋物線y=V交于A,8兩點.求線段AB的長

和點M(-1,2)到A,8兩點的距離之積.

解：解法一(解析法)：

因為直線/過點M(-1,2),且/的斜率為-1,

所以它的普通方程為y-2=-(x+l),即x+y-1=0

由y；1=°可知兩交點坐標分別為人(土在，/叵

y=x22

-1+V53-V5

22

解法二(參數(shù)法(一))：

,V2

將直線/的參數(shù)方程a為參數(shù))代入拋物線方程得

>=2+丁.

/+"-2=0

解之得『受叵53叵

所以由參數(shù)/的幾何意義得|AB|=|MA|+|"M=H+N|=W，

|網(wǎng).|網(wǎng)=葉冏=|%|=2

解法三（參數(shù)法（二））：

1o

x=-l---1,

將直線/的參數(shù)方程2（r為參數(shù)）代入拋物線方程得

y=2cH--V-21.

2

產(chǎn)+"—2=0

t\+t--V2

所以由韋達定理可知2

t^2=—2

所以由參數(shù)/的幾何意義得

|=|MA|+|M8|=，|+\t2\=\t]-t2\=4%=M，

|剛.|四.小團=陶=2

【設計意圖】

這是教材中的一道例題，做了適當?shù)母膭樱兂蓛蓚€問題求解，這樣安排便于學生更家易熟悉

直線的參數(shù)方程，其次在變式2中，設計了三種方法求解，第一種剛好就是課題引入前的引例讓

學生在自主解答的過程中去感受和體會引入?yún)⒔痰膬?yōu)越性，斛折法家易想，但是不家易算，參數(shù)法

的引入就使問題的計算趨.于簡單化，這也是引入?yún)⒔谭匠痰哪康乃?

例題小結：

（1）體會參數(shù)法在解決幾何問題時的方便性;

(2)數(shù)軸任意一點對應的坐標x相當于直線上任意一點對應的參數(shù)f；

(3)數(shù)軸上任意兩點為，-之間的距離是|百一百=&,+%)2-4%%,直線上任意兩點間的距離

剛好等于A，B兩點對應的參數(shù)之差的絕對值|4卻=/7=而+32-4他?

22

練習.經(jīng)過點M(2,l)作直線/,交橢圓上+上=1于A,3兩點.如果點M恰好為線段的中點,

164

求直線/的方程.

解：解法一：點差法

設4(”),B(x2,y2),則由題意可知

%1+x2=4,

j+%=2.

又因為點A(X1,yJ,BQ2,%)在橢圓上，則有

/2

V+史一

1

'-22221

/1640?——?y一％=0=—一%___j_

、_2

V必2164一2

I164

因此，直線/的方程為y=-；x+2.

解法二：參數(shù)法

設過點M(2,1)的直線/的參數(shù)方程為

x=2+Ecosa,

(/為參數(shù))，將其代入橢圓方程整理得

y=l+/sina.

(3sin2(2+l)r2+4(cos+2sina)t-8=0

_4(cosa+2sina)

所以

3sin2(7+1

因為點"(2,D為線段AB的中點，所以空=°,即

cosa+2sina=0

于是直線/的斜率為&=t