《電路理論基礎》學習指導(李曉濱)-第9章

第9章正弦電流電路的分析9.1內容提要9.2重點、難點9.3典型例題9.4習題解答9.1內容提要1.阻抗與導納1)不含獨立源二端網絡N0的阻抗Z正弦電流電路中，圖9-1所示不含獨立源二端網絡N0的阻抗定義為或Z=|Z|∠φZ=R+jX式中，|Z|是阻抗Z的模；φZ是阻抗Z的輻角，稱為阻抗角；R是阻抗Z的實部，稱為網絡N0的等效電阻；X是阻抗Z的虛部，稱為網絡N0的等效電抗。Z、|Z|、R、X的單位均為歐姆。圖9-12)不含獨立源二端網絡N0的導納Y

正弦電流電路中，圖9-1所示不含獨立源二端網絡N0的導納定義為或Y=|Y|∠φY=G+jB

式中，|Y|是導納Y的模;φY稱為導納角;G稱為網絡N0的等效電導；B稱為網絡N0的等效電納。Y、|Y|、G、B的單位均為西門子。3)阻抗Z與導納Y的關系對同一個二端網絡，有4)二端網絡N0的端口特性即對二端網絡N0，假設其阻抗角φZ>0，那么端口電壓超前于端電流，稱網絡N0呈感性；假設φZ<0，那么端電流超前于端口電壓，稱網絡N0呈容性；假設φZ=0，那么端口電流與電壓同相，稱網絡N0呈電阻性。5)R、L、C元件的阻抗和導納電阻元件：

電感元件：

電容元件：

2.正弦電流電路的相量分析法1)相量模型正弦電流電路中，將各電流和電壓用相量表示，電阻、電感、電容元件的參數用阻抗表示，所得到的電路圖稱為正弦電流電路的相量模型。2)相量分析法的一般步驟用相量法分析正弦電流電路的一般步驟為：由電路的時域模型畫出相量模型；求解相量模型，得到所求電流和電壓的相量；根據正弦量與其相量的對應關系得到所求的正弦電流和電壓。電阻電路的各種分析方法均可用于求解相量模型，例如串并聯電路的分析方法、等效變換的方法、節(jié)點法、網孔法、戴維南定理、疊加定理等等。3)串聯電路分析圖9-2所示電路為n個阻抗的串聯，端口等效阻抗為Z=Z1+Z2+…+Zn，分壓公式為。圖9-2圖9-3(a)所示是RLC串聯電路的相量模型。端口等效阻抗為。各元件電壓相量為，。令，稱為電抗電壓相量。端口電壓為。以端電流相量為參考相量，各電壓和電流的相量圖如圖9-3(b)、(c)所示。其中，圖9-3(b)為端口性質為感性的情況，圖9-3(c)為端口性質為容性的情況。在這兩個相量圖中，、、構成直角三角形，稱為電壓三角形。電壓有效值的關系為。圖9-34)并聯電路分析圖9-4所示為n個導納相并聯，端口等效導納為Y=Y1+Y2+…+Yn，分流公式為。假設是兩個阻抗并聯，那么有

圖9-4圖9-5(a)所示是RLC并聯電路的相量模型，端口等效導納為。各元件電流相量為，。令，稱為電抗電流相量。端電流為。以端口電壓相量為參考相量，各電流和電壓的相量圖如圖9-5(b)、(c)所示。其中，圖9-5(b)為端口性質為容性的情況，圖9-5(c)為端口性質為感性的情況。在這兩個相量圖中，、、構成直角三角形，稱為電流三角形。電流有效值的關系為。圖9-5

3.正弦電流電路的功率圖9-6所示為正弦電流電路中任一個二端網絡N，設其端口電壓和電流分別為 ， 。圖9-61)瞬時功率圖9-6所示網絡N吸收的瞬時功率為

式中，φ=θu-θi是端口電壓與端電流的相位差。假設N是不含獨立源的二端網絡，那么φ是其阻抗角。2)平均功率平均功率又稱為有功功率，簡稱功率，記為P，單位為瓦(W)。圖9-6所示網絡N吸收的平均功率為P=UIcosφ。電阻元件吸收的平均功率為P=UI=RI2=U2/R。式中，U、I分別為電阻的電壓、電流有效值。電感元件和電容元件的平均功率為零。3)視在功率視在功率記為S，單位為伏安(VA)或千伏安(kVA)。圖9-6所示網絡N的視在功率為S=UI。4)功率因數不含獨立源二端網絡的平均功率與視在功率之比稱為該二端網絡的功率因數，記為λ，即。其中，φ是該二端電路的阻抗角，又稱為功率因數角。對感性負載，可采用并電容的方法提高負載總的功率因數。5)無功功率無功功率記為Q，單位為無功伏安，簡稱乏(var)。圖9-6所示網絡N的無功功率為Q=UIsinφ。電阻元件吸收的無功功率為Q=UIsin0=0，電感元件吸收的無功功率為，電容元件吸收的無功功率為。6)功率三角形圖9-6所示網絡N的視在功率S=UI，平均功率P=UIcosφ，無功功率Q=UIsinφ，構成了一個直角三角形，稱為功率三角形。7)復功率圖9-6所示網絡N吸收的復功率定義為。其中，是端口電壓相量;是端電流相量的共軛復數。

由特勒根定理可證明復功率是守恒的。復功率守恒包含有功功率守恒和無功功率守恒兩局部。8)最大功率傳輸條件當負載阻抗與含源二端網絡等效阻抗共軛時，負載可獲得最大功率。這一條件稱為負載與含源二端網絡之間的阻抗共軛匹配，或稱為最大功率匹配。

*4.三相電路1)三相電源對稱三相電源是3個頻率相同、振幅相同、相位依次相差120°的正弦電壓源，分別稱為A相、B相、C相電源。時間函數表達式為2)星形連接的三相電源圖9-7所示為星形連接的三相電源，各線電壓和相電壓的關系為°，°，°。即線電壓的有效值Ul是相電壓有效值Up的倍。圖9-73)三角形連接的三相電源圖9-8所示為三角形連接的三相電源，在這種結構中，線電壓等于相電壓。4)三相電路的結構三相負載與三相電源連接，構成三相電路。根據電源及負載采取的連接方式，可分為Y-Y、Y-△、△-Y及△-△四種連接方式的三相電路。三相供電制分為三相三線制和三相四線制。Y-Y連接的電路中，假設電源中性點與負載中性點之間接有中線，那么為三相四線制；其余沒有中線的情況，為三相三線制。圖9-85)對稱Y-Y三相電路圖9-9所示為對稱Y-Y三相電路。該電路中，可求得，三個相電流是對稱三相電流，中線電流 ，(中線可省去)。計算時，可畫出一相計算電路進行計算。圖9-96)對稱三角形三相負載圖9-10所示為對稱三角形三相負載，假設將其接到對稱三相電源，并忽略端線阻抗，那么負載的相電壓等于電源的線電壓，可求得三個相電流為對稱三相電流。線電流與相電流的關系為°，°，°。線電流的有效值Il是相電流有效值Ip的倍。圖9-107)對稱三相負載的平均功率

式中，Up、Ip分別為負載的相電壓和相電流有效值;Ul、Il分別為負載的線電壓和線電流有效值;φ為每相負載的阻抗角。9.2重點、難點1.阻抗與導納阻抗與導納是正弦電流電路中的重要概念。要理解阻抗的含義：阻抗的模等于不含獨立源二端電路的端口電壓與電流有效值之比，阻抗角等于該電壓與電流的相位差。阻抗或導納全面地反映了正弦電流電路中不含獨立源二端電路的端口特性。

要熟記R、L、C的阻抗和導納，理解正弦電流電路中R、L、C的特性。熟練掌握二端電路阻抗的求解方法：對于RLC元件的串并聯二端電路，用串并聯公式求端口阻抗或導納；對于一般的不含獨立源的二端電路，求出其端口VAR，再根據定義求得阻抗或導納。應掌握根據阻抗或導納判斷二端電路是容性負載或感性負載的方法，能根據阻抗或導納畫出二端電路的串聯或并聯等效相量模型。2.相量分析法相量分析法是求解正弦電流電路的根本方法，應重點掌握電路的相量模型概念及相量模型的求解方法，掌握相量分析法的步驟及參考正弦量(參考相量)的概念。相量方程的求解涉及到復數的運算，計算復雜。正弦電流電路中各變量之間不僅有有效值的關系，還有相位的關系，關系復雜。這些復雜性是本章的難點，可以適當借助于相量圖以幫助思考和計算。正弦量的瞬時表達式與其相量之間有對應關系，但不能直接畫等號，這是易錯之處。

3.RLC元件的串聯電路和并聯電路

RLC元件串聯電路的電壓三角形及并聯電路的電流三角形是本章重點之一。應熟練掌握RLC串聯電路的電壓相量圖及電壓三角形、RLC并聯電路的電流相量圖及電流三角形，并利用這些關系解RLC元件的串并聯電路。4.正弦電流電路的功率正弦電流電路的功率較復雜，這局部內容的重點是平均功率及功率因數的概念和計算。要注意平均功率的計算公式為P=UIcosφ，即二端電路的平均功率不僅與端電流和電壓的有效值有關，還與電壓和電流的相位差有關。對于僅含RLC元件的二端電路，總的平均功率等于各電阻平均功率之和。因此計算僅含RLC元件的二端電路的平均功率時，除了可用以上公式之外，也可用電阻功率求和的方法。對某些電路，后一種方法比前一種方法更簡便。正弦電流電路的最大功率傳輸條件在電子工程領域有較重要的應用。9.3典型例題【例9-1】圖9-11所示電路為正弦穩(wěn)態(tài)電路中不含獨立源的二端電路。, 。(1)求該二端電路的阻抗和導納，并確定其是感性還是容性；(2)求串聯、并聯等效電路。圖9-11解(1)由于阻抗角為-75°，為負數，因此該二端電路是容性的。(2)由于Z=16.67∠-75°=(4.31-j16.10)Ω，因此串聯等效電路由電阻和電容構成，其中又由于Y=0.06∠75°=(0.0155+j0.0580)S，因此并聯等效電路由電導和電容構成，其中串、并聯等效電路分別如圖9-12(a)、(b)所示。圖9-12【解題指南與點評】本例題不含獨立源二端電路的端口電壓和電流，根據定義可求得該電路的阻抗和導納。由于阻抗角為負，可判斷該電路端口呈容性。由阻抗可得串聯等效電路，由導納可得并聯等效電路。串聯和并聯等效電路中都包含電阻和電容?！纠?-2】電路如圖9-13所示，當正弦電源角頻率ω為多大時，該二端電路呈現純電阻性？圖9-13解當該二端電路的阻抗或導納為實數時，呈現純電阻性。由于從端口看，電容與另一支路并聯，因此采用導納進行計算比較簡便。R、L串聯支路的導納為端口輸入導納為令Y的虛部為零，得解得

當時，上式ω有正實數解，為

【解題指南與點評】本例題說明電路的阻抗及導納與頻率有關。此題解題思路是求出電路的端口阻抗或導納，令阻抗或導納的虛部為零(阻抗角或導納角為零)，從而解得使電路端口呈電阻性的頻率條件。解題時先分析了一下，從端口來看，電路是并聯結構，故采用導納計算較簡便?！纠?-3】正弦穩(wěn)態(tài)電路如圖9-14所示，圖中各交流電壓表的讀數:V的讀數為25V，V1的讀數為15V，V3的讀數為100V，求電壓表V2的讀數。圖9-14解電路的相量模型如圖9-15(a)所示。由題可知，電阻電壓有效值U1=15V，電源電壓有效值U=25V。設電抗元件總電壓有效值為UX，那么由于串聯電路中電感電壓和電容電壓反相，因此有UX=|U2-U3|由串聯電路電壓三角形關系可得即(U2-U3)=±20解得U2的兩個解分別為U2a=20+U3=20+100=120VU2b=-20+U3=-20+100=80V兩個解所對應的相量圖分別如圖9-15(b)、(c)所示。圖9-15【解題指南與點評】本例題是RLC串聯電路，用電壓三角形的關系解題較簡便。首先利用電壓三角形得出電抗電壓的有效值，而電路的總電抗可能是感性的，也可能是容性的，即所求電感電壓可能比電容電壓大，也可能比它小，因此此題有兩個解。注意在串聯電路中，電感電壓與電容電壓反相?！纠?-4】正弦電流電路如圖9-16所示。圖中各交流電流表的讀數:A1的讀數為1A，A2的讀數為4A，A3的讀數為5A。(1)求電流表A的讀數。(2)假設正弦電壓源us的幅值不變，其角頻率降為原頻率的1/2，再求A的讀數。圖9-16解該電路的相量模型如圖9-17(a)所示。圖9-17(1)由并聯電路的電流三角形，可得因此電流表A的讀數為1.414A。相量圖如圖9-17(b)所示。(2)設電源原角頻率為ω1，變化后的角頻率為ω2，那么有

此時，I1與以前相同，而I2和I3分別為I2應為原值的2倍，即8A；I3應為原值的一半，即2.5A。此時因而此時電流表A的讀數為5.59A。相量圖如圖9-17(c)所示?！窘忸}指南與點評】本例題是RLC并聯電路，用電流三角形的關系解題較簡便。當電源頻率變小時，電感的阻抗變小，電流增大；電容的阻抗變大，電流變小。此時該RLC并聯電路由原來的容性變?yōu)楦行??！纠?-5】圖9-18所示電路，有關電壓和電流有效值為U=100V，IL=10A，IC=15A，滯后45°，求R、和ωL的值。圖9-18解此題所求為各元件參數，假設設法求出各元件電壓和電流的有效值，那么元件參數可求得?？山柚嗔繄D幫助思考。令作為參考相量，即，作出各電流相量，如圖9-19(a)所示。由KCL方程得即IR=5A，且超前于90°。圖9-19考慮到與同相位，且超前45°，可作出電壓相量圖，如圖9-19(b)所示。由該圖可得

可求得各元件參數為【解題指南與點評】本例題是電路的某些電流或電壓，求元件參數。由于正弦電流電路各電流、電壓變量間存在有效值的關系和相位的關系，而所給條件一局部是有效值、一局部是相位，因此各種關系顯得較復雜，使解這類題的難度較大。解這類題可畫出相量圖幫助思考，畫相量圖時要充分利用條件及RLC元件的伏安特性，并注意各變量間的相位關系?！纠?-6】圖9-20所示正弦電流電路中，，，，R=5kΩ,L=5H,C=2μF用疊加法求i1和i2。圖9-20解該電路的相量模型如圖9-21(a)所示，其中圖9-21用疊加法求解。當單獨作用時，電路如圖9-21(b)所示，求得當單獨作用時，電路如圖9-21(c)所示，求得當單獨作用時，電路如圖9-21(d)所示。在該電路中，R、L、C并聯，電壓源用短路線代替，R、L、C中均無電流，故有由疊加定理，得【解題指南與點評】本例題用疊加法解正弦電流電路的相量模型。由于待求量是兩個電壓源的電流，因此將某電壓源置零時，取代該電壓源支路的短路線應清楚地畫出來，以便求出該支路的電流?！纠?-7】對照上題的圖9-20所示正弦電流電路，采用網孔法求i1和i2。解該電路的相量模型如圖9-22所示。網孔方程為圖9-22代入上題數據，得解得于是【解題指南與點評】本例題采用網孔法解正弦電流電路的相量模型。列網孔方程的方法與第3章介紹的網孔法相同?！纠?-8】電路如圖9-23所示，用節(jié)點法求和。圖9-23解節(jié)點編號如圖9-23所示，將③號節(jié)點作為參考節(jié)點。5Ω電阻與受控源的串聯可轉化為受控電流源和電阻的并聯(圖略)。節(jié)點方程為控制電流為將代入節(jié)點方程，整理后得解得【解題指南與點評】本例題用節(jié)點法解正弦電流電路的相量模型。列方程前先對電路作了簡化，將電阻與受控電壓源的串聯轉化為受控電流源和電阻的并聯。求出各節(jié)點電壓后，再回到原電路求各支路電流。【例9-9】二端電路如圖9-24所示，求其戴維南等效相量模型。圖9-24解可先將最左邊兩條并聯支路作為一個二端電路化簡，該二端電路如圖9-25(a)所示。由該圖得由上式解得圖9-25(a)的端口伏安關系為于是原電路圖可化簡為圖9-25(b)電路。圖9-25令圖9-25(b)中電源為零，得戴維南等效阻抗為Zeq=(1-j1)+j2=(1+j1)Ω令圖9-25(b)中端口電流為零，得其開路電壓為那么原電路的戴維南等效相量模型如圖9-25(c)所示?！窘忸}指南與點評】本例題最左邊的兩條并聯支路可看做該電路內部的一個二端電路，它含有受控源，但結構并不復雜，采用端口伏安關系法較易得到它的等效電路。將這一內部二端電路化簡后，原二端電路就變得簡單，其戴維南等效相量模型就容易求得。【例9-10】正弦電流電路如圖9-26所示，:us=4cos(1000t+45°)V，R1=R2=1Ω，L1=L2=1mH，C=1mF。(1)求負載1吸收的平均功率和無功功率；(2)求a、b右邊二端電路吸收的平均功率、無功功率、視在功率及該二端電路的功率因數；(3)求負載2吸收的平均功率和無功功率。圖9-26解該電路的相量模型如圖9-27所示。圖9-27(1)負載1的平均功率及無功功率為P1=I2R1=12×1=1WQ1=I2ωL=12×1=1var(2)ab右邊二端電路總的平均功率、無功功率及視在功率為該二端網絡的功率因數為(3)由平均功率及無功功率守恒，因此得負載2的平均功率和無功功率為P2=P-P1=2-1=1WQ2=Q-Q1=2-1=1var【解題指南與點評】本例題的負載1僅由電阻和電感構成，該負載的平均功率即電阻的平均功率，無功功率即電感的無功功率。根據ab端的電流和電壓，可算出右邊二端電路的各種功率和功率因數，再由平均功率及無功功率守恒，可進一步求得負載2的平均功率及無功功率。【例9-11】電路如圖9-28所示，其中Z1和Z2分別為負載1和負載2的阻抗，ZL=RL+jXL，為傳輸線阻抗。：負載1吸收的平均功率為8kW，其功率因數為0.8(超前)；負載2吸收的視在功率為20kVA，其功率因數為0.6(滯后)；RL=0.05Ω，XL=0.5Ω，=250∠0°V。(1)求兩個負載并聯后的功率因數；(2)求兩個負載并聯后的視在功率、電流有效值I及傳輸線上的平均功率損耗；(3)假設電源頻率f=50Hz，將一電容與Z1及Z2并聯，假設Z1及Z2的功率和功率因數仍為題目所給的條件，希望Z1、Z2及電容并聯后的功率因數提高到1，求該電容值，在這種情況下重新計算第(2)問。圖9-28解(1)cosφ1=0.8(超前)，故Z1的阻抗角為φ1=-arccos0.8=-36.87°P1=S1cosφ1=8000W，故又cosφ2=0.6(滯后)，S2=20kVA，得φ2=arccos0.6=53.13°P2=S2cosφ2=20000cos53.13°=12000WQ2=S2sinφ2=20000×sin53.13°=16000var

Z1與Z2并聯后總的復功率為并聯后總的功率因數為cosφ=cos26.57°=0.89(滯后)(2)由可得兩個負載并聯后的視在功率由于S=UI，因此傳輸線上損耗的功率為(3)并電容后功率因數為1，即Z1、Z2及電容的無功功率之和為零QC+Q1+Q2=0QC=－(Q1+Q2)=－10000var由于QC=-UIC=-U2ωC，因此即應并聯509.3μF的電容。并聯后總的復功率擅此時電流為線路上損耗的平均功率為

【解題指南與點評】本例題先求出兩個負載各自的平均功率和無功功率，求和得兩個負載并聯后的總平均功率和無功功率，從而得到負載的總復功率、功率因數及電流有效值。計算提高功率因數所需的并聯電容值時，從計算該電容的無功功率入手?！?例9-12】對稱三相電源如圖9-29所示。電源線電壓有效值UL=380V，負載阻抗Z1=-j12Ω，Z2=3+j4Ω，求兩個電流表的讀數及三相負載吸收的平均功率。圖9-29解三個Z1構成對稱三角形連接的負載，電流表A1為該負載的線電流。流過每相Z1的相電流有效值Ip1為

該三項負載的線電流為即電流表A1的讀數為54.85A。三個Z2構成對稱星形連接的三相負載，由于該負載的三個相電流是對稱三相電流，因此中線電流為零，即A2表的讀數為0。三相負載的平均功率為各相負載平均功率之和。由于Z1為純電抗元件，因此其平均功率為零。電源相電壓有效值為Z2相電流為三相Z2吸收的總的平均功率為9.4習題解答9-1正弦電流電路如圖9-30所示，N0內部不含獨立源，假設端電流i和端口電壓u分別為以下幾種情況，求各種情況時N0的阻抗和導納。(1)u=150cos(8000πt+20°)V，i=3sin(8000πt+38°)A;(2)u=20cos(1000πt+60°)V，i=10cos(1000πt+15°)mA;(3)?！銏D9-30解(1)(2)

(3)9-2一個電感線圈的繞線電阻為700Ω，電感量為64mH。它與一個3.3kΩ的電阻串聯后接到一個頻率為5kHz，電壓有效值為10V的正弦交流電壓源兩端。計算電路中的電流及電感線圈兩端電壓的有效值。解電路如圖9-31所示。圖9-31電流有效值為

電感線圈兩端電壓的有效值為9-3一個電感與一個2.7kΩ的電阻串聯后接到一個正弦交流電壓源(U=100mV，f=250kHz)上，測得電阻的電壓有效值為40.5mV，計算電感的大小。解電路如圖9-32所示。根據RLC串聯電路電壓三角形的關系，有圖9-32電流有效值為9-4正弦電流電路如圖9-33所示，R=120Ω，C=3.3μF，。求i及電阻電壓、電容電壓的有效值。圖9-33解電路的相量模型如圖9-34所示。圖9-349-5正弦電流電路如圖9-35所示，L=20mH，C=2μF，R=200Ω，正弦電源電壓的有效值為15V，頻率為600Hz。假設以電源電壓為參考正弦量，求電路中電流相量及各元件電壓的有效值。圖9-35解電路的相量模型如圖9-36所示。圖9-36各元件電壓有效值為UR=I×200=14.4VUL=I×75.4=5.43VUC=I×132.63=9.55V9-6正弦電流電路如圖9-37所示，R=100Ω，L=20mH，C=10μF，正弦電源電壓有效值為35V，頻率500Hz。假設以電源電壓為參考正弦量，求電流i的相量及各元件的電流有效值。圖9-37解電路的相量模型如圖9-38所示。圖9-38各支路電流的有效值為

9-7正弦電流電路如圖9-39所示，Z1=70.7∠45°Ω,Z2=92.4∠330°Ω，Z3=67∠60°Ω，=100∠0°V，求并畫出電源電壓和電流的相量圖。圖9-39解相量圖如圖9-40所示。圖9-409-8正弦電流電路如圖9-41所示，Z1=1606∠51°Ω,Z2=977∠-33°Ω，Z3=953∠-19°Ω，=33∠0°V，計算電路總的阻抗及。圖9-41解總阻抗Z為9-9正弦電流電路如圖9-42所示，圖中第一只電壓表讀數為30V，第二只電壓表讀數為60V。求電路的端電壓有效值，并作出相量圖。圖9-42解電路的相量模型如圖9-43所示。以作為參考相量，電壓相量圖也示于圖9-43中。由電壓三角形可求得電路的端電壓有效值為圖9-439-10正弦電流電路如圖9-44所示，圖中各電壓表讀數分別為：第一個15V，第二個80V，第三個100V。求電路的端電壓有效值，并作出相量圖。圖9-44解電路的相量模型如圖9-45所示。以作為參考相量，電壓相量圖也示于圖9-45中。由電壓三角形可求得電路的端電壓有效值為圖9-459-11正弦電流電路如圖9-46所示，求總電流表的讀數。各并聯支路中電流表的讀數分別為：第一個5A，第二個20A，第三個25A。圖9-46解由RLC并聯電路的電流三角形可求得總電流的有效值(即總電流表的讀數)為9-12正弦電流電路如圖9-47所示，°)V，R=110Ω，C1=20μF，C2=80μF，L=1H。求電路中各電流表的讀數和電路的入端阻抗。圖9-47解

電感和兩個電容串聯支路的總阻抗為

等效入端阻抗

Z=R+R∥j0=R=110Ω由于電感和兩個電容串聯支路的總阻抗為零，相當于短路，該支路電壓為零，因此第二個電流表的讀數為I2=0第一個電流表的讀數為9-13圖9-48電路中，U=8V，Z3=1-j0.5Ω，Z1=1+j1Ω，Z2=3-j1Ω。求電流、及電路入端阻抗和導納。圖9-48解令為參考相量，即=8∠0°V。等效入端阻抗為等效入端導納為端電流為利用并聯電路的分流公式，得9-14正弦電流電路如圖9-49所示，us=64cos(8000t)V,求uo(t)。圖9-49解9-15正弦電流電路如圖9-50所示，調整電容使電流ig與正弦電壓us同相。問：(1)當us=250cos(1000t)V時，電容值為多少微法？(2)當C取(1)中所得值時，求ig的表達式。圖9-50解電容和電阻并聯后的等效阻抗為

電源右邊電路的總阻抗為

要ig與us同相，需Z的阻抗角為零，即Z的虛部為零。令Im(Z)=0，得將ω=1000rad/s，L=5H，R=12.5kΩ代入上式，求得電容C的兩個根為C1=0.16μF，C2=0.04μF假設取C=C1=0.16μF，那么并假設取C=C2=0.04μF，那么9-16正弦電流電路如圖9-51所示，其中，io=0.1sin(ωt+81.87°)A，us=50cos(ωt-45°)V，求ω的值。圖9-51解

電源右邊電路的等效阻抗為又有比較可得解以上方程并舍去負根，得ω=5000rad/s。9-17正弦電流電路如圖9-52所示，其中Z1=(1kΩ+j2.7kΩ)，Z2=(790Ω-j1.6kΩ)，電源提供的總電流的有效值為15mA，用分流原理計算兩支路的電流有效值。圖9-52解設總電流i為參考正弦量，那么=15∠0°mA。由分流原理得電流有效值為I1=12.71mA，I2=20.57mA9-18計算圖9-53電路中Z3和Z4并聯的等效阻抗。圖9-53解ω=2πf=2π×1000=2000πrad/sZ3和Z4并聯的等效阻抗為9-19在上題所示電路中，求L2和C2上的電壓有效值。解該電路的相量模型如圖9-54所示，圖中標出了各電壓和電流的參考方向。圖9-54令為參考相量，即=45∠0°V，上題已求出ω及Z=Z3∥Z4。由分流公式，得L2和C2上的電壓有效值分別為9-20求圖9-55所示電路總的等效阻抗。圖9-55解總的等效阻抗為9-21求圖9-56電路從a、b兩端看進去的等效導納。用極坐標和直角坐標兩種形式表示。圖9-56解端口等效阻抗為端口等效導納為9-22求圖9-57電路從a、b兩端看進去的等效阻抗，用極坐標和直角坐標兩種形式表示。圖9-57解端口等效阻抗為9-23圖9-58所示正弦電流電路中，us=75cos(5000t)V，用分壓的概念求uo(t)。圖9-58解用相量法解題，由條件，有

利用串聯電路的分壓公式，得uo的相量為uo的瞬時表達式為uo=50cos(5000t-106.26°)V

9-24圖9-59電路中，

=60∠0°V，=5∠－90°A,求

和Z。圖9-59解在電路中標出各電壓和電流的參考方向，如圖9-60所示。圖9-60由條件解得

可見，電流為9.49∠71.57°A,阻抗Z為7.91∠－18.43°Ω。9-25圖9-61電路中，Is=10A，ω=5000rad/s，R1=R2=10Ω，C=10μF，μ=0.5。求各支路電流，并作出相量圖。圖9-61解在電路中標出各電流參考方向，如圖9-62(a)所示。圖9-62令為參考相量,那么根據節(jié)點KCL及右邊網孔的KVL列出方程，并將上式代入，得代入數據，整理得解得兩個支路的電流為各電流的關系為，電流相量圖示于圖9-62(b)中。9-26用網孔法求圖9-63電路中的電流。圖9-63解標出各網孔電流參考方向，如圖9-64所示。列出網孔電流方程為圖9-64整理得求得即9-27圖9-65所示正弦電流電路中，us1=10cos(5000t+53.13°)V，us2=8cos(5000t-90°)V，用節(jié)點法求uo(t)。圖9-65解將電壓源與阻抗的串聯支路轉換為電流源與阻抗的并聯(圖略)，可列出節(jié)點方程為代入數據，整理得

解得

uo的瞬時表達式為uo=12cos(5000t)V9-28圖9-66所示正弦電流電路中，is=5cos(8×105t)A，求uo(t)。圖9-66解電路的相量模型如圖9-67所示。圖9-67采用節(jié)點法解相量模型，節(jié)點電壓方程為整理得解得

uo的瞬時表達式為uo=42.9cos(8×105t-59°)mV9-29圖9-68為正弦電流電路中的一個二端網絡，us=247.49cos(1000t+45°)V，求該二端網絡的戴維南等效相量模型。圖9-68解該二端電路的相量模型如圖9-69(a)所示。兩條并聯支路的阻抗為由分壓公式求得開路電壓為令內部電壓源為零，求得端口等效阻抗為該二端電路的戴維南等效相量模型如圖9-69(b)所示。其中:

圖9-699-30求圖9-70所示二端網絡的諾頓等效相量模型。圖9-70解將該二端網絡的端口短接，如圖9-71(a)所示，求短路電流。由分流公式得將該二端網絡內部電源置零，如圖9-71(b)所示，求等效阻抗。原電路的諾頓等效相量模型如圖9-71(c)所示。其中:

圖9-719-31求圖9-72所示二端網絡的戴維南等效相量模型。圖9-72解設端電壓和電流參考方向如圖9-73(a)所示，采用節(jié)點法求端口VAR。設電流，節(jié)點方程為整理得解得

由以上VAR可得戴維南等效相量模型如圖9-73(b)所示。其中：圖9-739-32一個RL串聯電路，端口電壓有效值為50V，端電流有效值為100mA，電壓與電流的相位差為25°，計算電路的視在功率、平均功率和無功功率。解視在功率：S=UI=50×0.1=5VA平均功率：P=UIcosφ=50×0.1×cos25°=4.53W無功功率：Q=UIsinφ=50×0.1×sin25°=2.11var9-33一個平均功率為2kW的發(fā)熱元件，由220V的正弦交流電源供電，求：(1)元件的電阻值；(2)元件上流過的電流有效值；(3)該元件消耗瞬時功率的峰值。解這是一個電阻元件。由得電阻為由P=UI得電流有效值為瞬時功率p=ui，由于u與i同相，因此最大瞬時功率為9-34一個電壓有效值為50V，頻率為400Hz的正弦交流電壓源給一個由25μF電容和4.7Ω電阻串聯組成的負載供電，求負載的視在功率、平均功率和無功功率。解電路如圖9-74所示。電源電壓有效值Us=50V，角頻率負載阻抗為圖9-74端電流有效值為從而，視在功率為S=UI=50×3.01=150.5VA平均功率為P=I2R=3.012×4.7=42.58W無功功率為9-35一個電壓有效值為24V，頻率為400Hz的正弦交流電壓源，接有一個功率因數為0.65(滯后)的負載，該負載吸收的平均功率為4kW，求連接導線上的電流有效值?，F采用并電容的方法提高功率因數，假設要將功率因數調整為0.85(滯后)，求所需的電容值，并求此時電源導線上的電流有效值。解電路及電流和電壓的相量圖如圖9-75所示。圖9-75未并電容前，由P=UIcosφ得負載電流有效值為負載阻抗角為φ=arccos0.65=49.46°并電容后，端電流有效值為總的阻抗角為φ′=arccos0.85=31.79°由圖9-75所示相量圖可知

由求得所需并聯電容值為

綜上可知，未并電容前，電源導線上的電流有效值為256.41A，并上1517.94μF的電容后，導線上的電流有效值為196.08A。9-36正弦電流電路如圖9-76所示，is=30cos(100t)mA，求電路中負載的平均功率、無功功率和視在功率。圖9-76解電路的相量模型如圖9-77所示。圖9-77負載的平均功率為負載的無功功率為負載的視在功率為

9-37正弦電流電路如圖9-78所示，其中三個負載的阻抗分別為Z1=(240+j70)Ω、Z2=(160-j120)Ω、Z3=(30－j40)Ω。求：(1)各負載的功率因數；(2)從電壓源看進去的復合負載的功率因數。圖9-78解負載1的阻抗角為功率因數為cosφ1=0.96(滯后)負載2的阻抗角為

功率因數為cosφ2=0.8(超前)負載3的阻抗角為功率因數為cosφ3=0.6