小學(xué)奧數(shù)匯編教材 第一講 數(shù)論綜合（一）

特級教師小學(xué)奧數(shù)匯編教材

第一講數(shù)論綜合（一）

【專題知識點概述】

在近幾年的北京重點中學(xué)小升初分班考試中，數(shù)論題目的分值大都超過了

行程問題，占據(jù)了考試內(nèi)容最顯著的地位！數(shù)論題目靈活多變，能較充分考察

你思維的開拓性、方法技巧的綜合運用能力、創(chuàng)新及細(xì)心程度，易于分開學(xué)生

層次。數(shù)論問題按知識體系大體可分為：整除問題、余數(shù)問題、奇偶問題、質(zhì)

數(shù)合數(shù)、約數(shù)倍數(shù)，這幾大板塊我們在之前的學(xué)習(xí)中已經(jīng)都接觸過了，但它們

并不是數(shù)論的全部，細(xì)心的你會發(fā)現(xiàn)在數(shù)論這個大家族中還有一些“特別身影”,

它們也是幫你解決數(shù)論問題的法寶。比如最大最小問題、關(guān)于取整運算、尾數(shù)

問題、二進(jìn)制應(yīng)用、一些特殊變形問題等。

（【授課批注】

涉及知識點多、解題過程比較復(fù)雜的整數(shù)綜合題，以及基本依靠數(shù)論手段求解的其他類型

、問題.

【習(xí)題精講】

【例1】（難度等級※※※）

從1開始由小到大按順序取自然數(shù)，第一次取一個數(shù)，第二次取兩個數(shù)，第三次取三個數(shù),

以后繼續(xù)按照每次取一個、兩個、三個的方式重復(fù)進(jìn)行，第（）次取的數(shù)之和為573。

【分析與解】

573/3=191所以三個數(shù)分別是190、191,192

因為3次是取6個數(shù)，我們用192+6=32

那么也就是說，192是32個3次，就是取到192是96次。

【例2】（難度等級派※※）

小明寫自然數(shù)從1到N,所寫下的數(shù)字之和是28035,則N=?

【分析與解】

解法一

000001002003004005006007008009

010011012013014015016017018019

990991992993994995996997998999

共有1000個數(shù)字.

個位的1有100個

個位的2有100個

個位的3有100個

個位珠9有100個

同理.十位的1、2、3、……9分別有100

百位的1、2、3、...9有100

所以1至999各位數(shù)的和是

(1+2+3+.......+9)*100*3=13500

1000到1999的個位、十位、百位數(shù)的和也是(1+2+3+.......+9)*100*3=13500

千位有1000個1,他們的和是1000?

還有2000,2001,2002,2003,2004,2005,2006各位數(shù)字的和是35

全部相加是13500+13500+1000+35=28035

解法二：

(0、1999),(1、1998),(3,1997).......(999,1000)?

這樣配共1000對。每對的和都有1+9+9+9=28

另外2000,2001,2002,2003,2004,2005,2006各位數(shù)字的和是35

所以(1+9+9+9)*1000+35=28035

【例】（難度等級派※※）

31234567

891011121314

15161718192021

22232425262728

29303132333435

36373839404142

995996997998999100010001

從1到1001的所有自然數(shù)按格式排列，用一個正方形框子框出九個數(shù)，要使這九個數(shù)的和

等于(1)1995,(2)2529,(3)1998問能否辦到？若能辦到，請你寫出正方形框里的最大

數(shù)和最小數(shù)。

【分析與解】

用一個正方形框子框出的9個數(shù)的和必定是框子中間的數(shù)的9倍。

(1)因為1995不是9的倍數(shù)，所以9個數(shù)的和為1995不可能。

(2)25294-9=281

又281+7=40.......余1即281在所有數(shù)的排列中，它排在左邊第一列上，所以不可能以它為

中心構(gòu)成一個9個數(shù)的正方形框。

(3)19984-9=2222224-7=31.......余5

框中最大數(shù)是222+1+7=230

框中最小數(shù)是222-1-7=214

【例4】(難度等級派※※)

如果四個兩位質(zhì)數(shù)a,b,c,d兩兩不同，并且滿足，等式a+b=c+d.那么，

(Da+b的最小可能值是多少？

(2)a+b的最大可能值是多少？

【分析與解】

兩位的質(zhì)數(shù)有11,13,17,19,23,29,3I,37,41,43,47,53,59,6I,

67,71,73,79,83,89,97.

可得出,最小為11+19=13+17=30,最大為97+71=89+79=168.

所以滿足條件的a+b最小可能值為30,最大可能值為168.

【例5】(難度等級派※※※)

如果某整數(shù)同時具備如下3條性質(zhì)：

①這個數(shù)與1的差是質(zhì)數(shù)；

②這個數(shù)除以2所得的商也是質(zhì)數(shù)；

③這個數(shù)除以9所得的余數(shù)是5.

那么我們稱這個整數(shù)為幸運數(shù).求出所有的兩位幸運數(shù).

【分析與解】

條件①也就是這個數(shù)與1的差是2或奇數(shù)，這個數(shù)只能是3或者偶數(shù)，再根據(jù)條件③，除

以9余5,在兩位的偶數(shù)中只有14,32,50,68,86這5個數(shù)滿足條件.

其中86與50不符合①，32與68不符合②，三個條件都符合的只有14.

所以兩位幸運數(shù)只有14.

【例6】（難度等級※※※）

圖中兩個圓只有一個公共點A,大圓直徑48厘米，小圓直徑30厘彳/\

米.兩只甲蟲同時從A出發(fā)，按箭頭所指的方向以相同的速度分別!）

爬了幾圈時，兩只甲蟲首次相距最遠(yuǎn)？

【分析與解】

圓內(nèi)的任意兩點，以直徑兩端點得距離最遠(yuǎn).如果沿小圓爬行的甲蟲爬到A點，沿大圓爬

行的甲蟲恰好爬到B點，兩甲蟲的距離便最遠(yuǎn).

小圓周長為〃X30=307r,大圓周長為4871,一半便是2471,30與24的最小公倍數(shù)時

120.1204-30=4.1204-24=5.

所以小圓上甲蟲爬了4圈時，大圓上甲蟲爬了5個!圓周長，即爬到了過A的直徑另一點

2

B.這時兩只甲蟲相距最遠(yuǎn).

【例7］（難度等級派※※）

有8個盒子，各盒內(nèi)分別裝有奶糖9,17,24,28,30,31,33,44塊.甲先取走一盒，其

余各盒被乙、丙、丁3人所取走.已知乙、丙取到的糖的塊數(shù)相同且為丁的2倍.問：甲取

走的一盒中有多少塊奶糖？

【分析與解】

我們知道乙、丙、丁三人取走的七盒中，糖的塊數(shù)是丁所取糖塊數(shù)的5倍.

八盒糖總塊數(shù)為9+17+24+28+30+31+33+44=216.

從216減去5的倍數(shù)，所得差的個位數(shù)字只能是1或6.

觀察各盒糖的塊數(shù)發(fā)現(xiàn)，沒有個位數(shù)字是6的，只有一個個位數(shù)字是1的數(shù)31.

因此甲取走的一盒中有3I塊奶糖.

【例8】(難度等級派※※※)

用a,b,c,d,e分別代表五進(jìn)制中五個互不相同的數(shù)字，如果(ade)5,(adc)5,(aad)5

是由小到大排列的連續(xù)正整數(shù)，那么(cde)5所表示的整數(shù)寫成十進(jìn)制的表示是多少？

【分析與解】

注意(adc)5+(1)5=(aab)5,第二位改變了，也就是說求和過程個位有進(jìn)位，則b=0,而c=(10)

5-(1)5=(4)5,則c=4.

而(ade)5+(1)5=(adc)5,所以e+仁c,則e=3.

又d+仁口，所以d=1,a=2.

2

刃么，(cde)5為(413)5=4X5+1X5+3=108.

即(cde)5所表示的整數(shù)寫成十進(jìn)制的表示是108.

【例9】(難度等級※派※)||y|

1961—211

將自然數(shù)按從小到大的順序排列成螺旋形，2處拐一個彎，在3處拐I!,!

185—4—312

第二個彎，在5處拐第三個彎…，問拐第20個彎的地方是哪個數(shù)。n_16_15_14-13

【分析與解】

拐彎的序數(shù)01234567......

拐彎處的數(shù)12357101317......

下面一列數(shù)中，相鄰兩數(shù)的差是1、1、2、2、3、3、4、4、……第20個拐彎處的數(shù)是1+2

X(1+2+.......+10)=111

【例10](難度等級派※※※)

31

17

把連續(xù)奇數(shù)1、3、5、7……,按右邊的方法排列。問：數(shù)199515

1

k2919133,,,,d

792325

在哪條射線上？是這射線的第幾個數(shù)？5

11

21

【分析與解】27

1995是第(1995+1)+2=998個奇數(shù)，因為周期數(shù)是8,9984-8=124.......6,所以數(shù)1995在射

線C上，且是第124X2+2=250個數(shù)。

【例11］（難度等級派※※※）

一個正整數(shù)，如果用7進(jìn)制表示為茄Z如果用5進(jìn)制表示為赤，請用10進(jìn)制表示這個

數(shù).

【分析與解】

解：由題意知：0Va,cW4,0WbW4,設(shè)這個正整數(shù)為n,則

n=Mc=aX72+bX7+c,n="a=cX52+bX5+a

.".49a+7b+c=25c+5b+a

48a+2b-24c=0b=12（c-2a）

,,.12|b,

又?.?0WbW4

/?b=0,

.\c=2a

:.當(dāng)a=1,c=2時，n=51

當(dāng)a=2,c=4時，n=102

【例12］（難度等級派※※※）

甲、乙兩個三位數(shù)的乘積是一個五位數(shù)，這個五位數(shù)的后四位是1031。如果甲數(shù)的數(shù)字和

是10,乙數(shù)的數(shù)字和是8,那么甲、乙兩數(shù)和是多少？

【分析與解】

方法一：很顯然，這道題的突破口是在個位數(shù)上

乘積的尾數(shù)是1,只有1X1,3X7或者9X9兩種可能，

如果是1X1,根據(jù)1031判斷，甲數(shù)和乙數(shù)的十位為。和3,1和2,4和9,5和8,6和

7.很容易試出這些均不成立。

根據(jù)乙的數(shù)字和是8,判斷只有3X7這種可能

假設(shè)乙的個位數(shù)是7,則只能是107。根據(jù)乘積的尾數(shù)判斷，甲的十位數(shù)應(yīng)該是3。（因為這

個數(shù)乘以7的乘積加上個位數(shù)進(jìn)位2,得3）

所以甲就是433

433X107=46331不合題意。

所以乙的個位數(shù)只能是3,甲的個位數(shù)只能是7。

所以甲有以下情況，127217307三種情況

根據(jù)上述方法很容易判斷出甲是217,乙是143

方法二:根據(jù)棄九法得知，乘積是3031=31X7X11X13,適當(dāng)組合可得知兩數(shù)為31X7=217,

11X13=143,和為360.

【例13］（難度等級派※※※※）

有43位同學(xué)，他們身上帶的錢數(shù)從8分到5角，錢數(shù)各不相同，每個同學(xué)都把身上全部的

錢各自買了畫片。畫邊有兩種：3分錢一張的，和5非錢一張的。每人盡可能多賣5分錢一

張的畫片。問，他們能買的3分錢畫片的總數(shù)是多少張？

【分析與解】

43人的錢從8分到5角各不相同，說明這些人身上的錢分別是：

8分,9分,...，49分,50分.

下面分情況討論：

8=3*1+5*1（意思是3分錢一張,5分前一張）

9=3*3+5*0

10=3*0+5*2

11=3*2+5*1

12=3*4+5*0

13=8+5=3*1+5*2.

50=3*0+5*10.

說明：

當(dāng)錢除以5余1的時候，可以買2張3分的；有8個人.

當(dāng)錢除以5余2的時候，可以買4張3分的；有8個人.

當(dāng)錢除以5余3的時候，可以買1張3分的；有9個人.

當(dāng)錢除以5余4的時候，可以買3張3分的；有9個人.

當(dāng)錢除以5整除的時候，可以買0張3分的.有9個人.

所以一共買了

2*8+4*8+1*9+3*9=84張3分的.

【例14］（難度等級派※※※※）

對于由1~5組成的無重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)，如果它的首位數(shù)字不是1,那么可以進(jìn)行如下

的一次置換操作：記首位數(shù)字為k,則將數(shù)字k與第k位上的數(shù)字對換.例如，24513

可以進(jìn)行兩次置換：24513—42513—12543.可以進(jìn)行4次置換的五位數(shù)有多少個？

【分析與解】

經(jīng)過4次置換后最后結(jié)果必為12345,所以可進(jìn)行4次置換的五位數(shù)可由12345進(jìn)行4次首

位與其他位的調(diào)換得到，規(guī)則為從首位上調(diào)換出的數(shù)不能再與首位調(diào)換，那么這樣的調(diào)換

方法共有4X3X2X1=24種，即可進(jìn)行4次置換的五位數(shù)有24個。

【例15］（難度等級派※※※※）

有4個不同的數(shù)字共可組成18個不同的4位數(shù)。將這18個不同的4位數(shù)由小到大排成一排，

其中第一個是一個完全平方數(shù)，倒數(shù)第二個也是完全平方數(shù)。那么這18個數(shù)的平均數(shù)是多

少？

【分析與解】

如果是4個非。數(shù)字則應(yīng)該能組成4X3X2X1=24個不同的4位數(shù)，而實際只能組成18個

不同的4位數(shù)，則4個數(shù)字中必然有0。因為完全平方數(shù)的個位數(shù)只能為1,4,5,6,9（0

必須成對出現(xiàn)），所以剩下的3個數(shù)字必有兩個是這5個中的2個，若最小的數(shù)字是4,5,

6的話，只有9604和4096為完全平方數(shù)，但4096并不是這4個數(shù)字所組成的最小的四位

數(shù)，不滿足題意，所以最小數(shù)字為1,此時1089和9801這兩個四位數(shù)滿足題意。因此這4

個數(shù)字為0、1、8、9,所能組成的四位數(shù)千位為1、8、9的均有6個，所以這18個四位數(shù)

千位上之和為1X6+8X6+9X6=108,同理，個位百位十位上的數(shù)字之和均為

72,所以這18個四位數(shù)之和為108X1000+72X100+72X10+72=115992,其平均數(shù)為6444

【例16］（難度等級派※※※※）

有些三位數(shù)，如果它本身增加3,那么新的三位數(shù)的各位數(shù)字的和就減少到原來三位數(shù)的

求所有這樣的三位數(shù).

3

【分析與解】

設(shè)這個三位數(shù)為詼，數(shù)字和為a+b+c,如果沒有進(jìn)位，那么詼+3=ab(c+3),顯然數(shù)

字和增加了3,不滿足，所以一定有進(jìn)位，

----------------------1

貝寸abc+3=a(b+l)(c+3—10),數(shù)字和為0+(b+1)+(c+3—10)=—(a+b+c),貝Ua+b+c=9,

而c+3必須有進(jìn)位，所以c只能為7,8,9.

一一驗，如下表：

c的值189

a+b的值210

a的值211—

b的值010—

—

abc的值207117108

驗證當(dāng)十位進(jìn)位及十位、個位均進(jìn)位時不滿足.

所以，原來的三位數(shù)為207,117或108.

【例17](難度等級派※※※※)

有1、A、B、C四個整數(shù)，滿足A+B+C=2001,而且1<A<BVC。這四個整數(shù)兩兩求和得

到六個和，把這六個數(shù)按從大到小排列起來，恰好構(gòu)成一個等差數(shù)列。請問：A、B、C分別

是多少？

【分析與解】

滿足條件的情況有兩種：

(j)l+A<l+B<l+C<A+B<A+C<B+C.

(2)1+A<1+B<A+B<1+C<A+C<B+C.

先看①：

差A(yù)-ljtB-1差C-1

1+C<A+B<A+C91+A<1+B<1+C<A+B91+B<1+C<A+B<A+C<B+C9

所以有(A—1):(B-1):(C-1)=2:3:4,又A+B+C=2001,

所以(A—1)+(2—1)+(C—1)=2001—3=1998,得A=445,8=667,C=889;

再看②

差A(yù)—1差5—1差C-1

1+CvA+C1+C<3+C1+3<A+5<1+C<A+C<5+C所*以有

(A-1):(B-1):(C-1)=1:2:4,又A+5+C=2001,

3

所以(A—1)+(2-1)+(C—1)=2001—3=1998,得4=—,不符合題意；

7

所以A=445,B=667,C=889?

【例18](難度等級派※※※※)

在一個國家里，國王要建N個城市，在城市之間建N-1條道路，使得從每個城市都能到達(dá)另

一個城市(每條道路連接兩個城市，道路不相交，不穿過其它城市)且一個城市到另一個城市

最短路線分別為1,2,3,…，"(Nr。若(1)N=6；(2)N=2006；國王的要求能否辦

2

到？

【分析與解】

(1)N=6時，可以按如下的方法設(shè)計道路。

設(shè)A,B,C,D,E,F為六個城市，從C引出三條道路，分別通向A,B,D,長度分別為1,2,5。

從。再引出兩條道路，分別通向E,F,長度分別為4,8?此時即可滿足要求，所以N=6時，

國王的要求可以辦到。

(2)根據(jù)在N個城市之間建N-1條道路可知，從一個城市到另一個城市只有唯一的路線。

把城市A染成紅色，若城市3與A之間的路程為偶數(shù)，則8也染上紅色，否則染上黃色，

這樣可以把所有城市均染成紅色或黃色，并且兩城市同色時，它們之間的路程為偶數(shù)，否

則它們之間的路程為奇數(shù)。

設(shè)有％個城市染成紅色，y個城市染成黃色，則由一個紅色城市與一個黃色城市配對可配成

xy對，所以在所有的路程中有xy個奇數(shù)。

N(N-DN(N—1)1

若二----^是偶數(shù)，則1,2,3,…，—--------^中有一半是奇數(shù)，所以有xy=—N(NT)。

224

222

又因為x+y=N,則N=N-4xy=(x+y)-4xy=(x-y)。

N(N—V)N(N—D11

若二----^是奇數(shù)，則1,2,3,…，----------中有一[―N(N-1)+1]個奇數(shù)，所以有xy二

2222

111122

—[―N(N-1)+1]=—N(N-1)+—o又因為x+y=N,則N=N2-4xy+2=(x+y)-4xy=(x-y)+2

2242

2

,即N-2=(x-y)o

因此，如果題目中的要求可以實現(xiàn)，則N或N-2是完全平方數(shù)，由于2006和2004都不是

完全平方數(shù)，所以國王的要求不能辦到。

【例19](難度等級派※※※)

有13個不同自然數(shù)，它們的和是100.問其中偶數(shù)最多有多少個?最少有多少個？

【分析與解】

13個整數(shù)的和為100,即偶數(shù)，那么奇數(shù)個數(shù)一定為偶數(shù)個，則奇數(shù)最少為2個，最多為

12個；對應(yīng)的偶數(shù)最多有11個，最少有1個.

但是我們必須驗證看是否有實例符合.

當(dāng)有11個不同的偶數(shù)，2個不同的奇數(shù)時，11個不同的偶數(shù)和最小為

2+4+6+8+10+12+14+16+18+20+22=132,而2個不同的奇數(shù)和最小為1+3=4,它們的和最小

為132+4=136,顯然不滿足；

當(dāng)有9個不同的偶數(shù),4個不同的奇數(shù)時,9個不同的偶數(shù)和最小為2+4+6+8+10+12+14+16+18

=90,而4個不同的奇數(shù)和最小為1+3+5+7=16,還是大于100,仍然不滿足；

當(dāng)有7個不同的偶數(shù),6個不同的奇數(shù)時,7個不同的偶數(shù)和最小為2+4+6+8+10+12+14=56,

6個不同的奇數(shù)和為1+3+5+7+9+11=36,滿足，如2,4,6,8,10,12,22,1,3,5,7,

9,11的和即為100.

類似的可知，最少有5個不同的偶數(shù)，8個不同的奇數(shù)，有2,4,8,10,16,1,3,5,7,

9,11,13,15滿足.

所以，滿足題意的13個數(shù)中，偶數(shù)最多有7個，最少有5個.

【例20](難度等級派※※※)

圖中，第1行將1到100的自然數(shù)依從小到大排列；第2行有99個自然數(shù)，第1個是第1

行第1個自然數(shù)和第2個自然數(shù)的和，……，第k個是第1行第k個自然數(shù)和第k+1個自

然數(shù)的和，；從第2行起，根據(jù)第2行的規(guī)律