條件概率與全概率公式講義-高三數(shù)學一輪復習

條件概率與全概率公式 1．條件概率（一）定義一般地，設，為兩個事件，且，稱為在事件發(fā)生的條件下，事件發(fā)生的條件概率．讀作發(fā)生的條件下發(fā)生的概率．注意：（1）條件概率中“”后面就是條件；（2）若，表示條件不可能發(fā)生，此時用條件概率公式計算就沒有意義了，所以條件概率計算必須在的情況下進行．（二）性質（1）條件概率具有概率的性質，任何事件的條件概率都在和1之間，即．（2）必然事件的條件概率為1，不可能事件的條件概率為．（3）如果與互斥，則．注意：（1）如果知道事件發(fā)生會影響事件發(fā)生的概率，那么；（2）已知發(fā)生，在此條件下發(fā)生，相當于發(fā)生，要求，相當于把看作新的基本事件空間計算發(fā)生的概率，即．（三）計算方法（1）利用定義計算：先分別計算概率和，然后代入公式即可．（2）借助古典概型計算概率的公式：先求事件包含的基本事件數(shù)，再在事件發(fā)生的條件下求事件包含的基本事件數(shù)，則．2．相互獨立與條件概率的關系（一）相互獨立事件的概念及性質（1）相互獨立事件的概念對于兩個事件，，如果，則意味著事件的發(fā)生不影響事件發(fā)生的概率．設，根據(jù)條件概率的計算公式，，從而．由此我們可得：設，為兩個事件，若，則稱事件與事件相互獨立．（2）概率的乘法公式由條件概率的定義，對于任意兩個事件與，若，則．我們稱上式為概率的乘法公式．（3）相互獨立事件的性質如果事件，互相獨立，那么與，與，與也都相互獨立．（4）兩個事件的相互獨立性的推廣兩個事件的相互獨立性可以推廣到個事件的相互獨立性，即若事件，，…，相互獨立，則這個事件同時發(fā)生的概率．（二）事件的獨立性（1）事件與相互獨立的充要條件是．（2）當時，與獨立的充要條件是．（3）如果，與獨立，則成立．3．全概率公式（一）全概率公式（由因求果）（1）；（2）定理若樣本空間中的事件，，…，滿足：①任意兩個事件均互斥，即，，；②；③，.則對中的任意事件，都有，且.證明：如下圖所示，因為事件中有且只有一個與事件B同時發(fā)生，其中互斥，即，顯然也互不相容.所以由概率的加法公式和概率的乘法公式得：即得到全概率公式：中的已知條件后，將所研究事件的試驗結果視為，而導致事件發(fā)生的若干不同的假設情況也可以理解為各種原因視為，而且只有發(fā)生了才有事件的發(fā)生，那么全概率公式做出了由因求果的推斷.（2）關鍵點：什么樣的問題適用于這個公式？所研究的事件試驗前提或前一步驟試驗有多種可能，在這多種可能中均有所研究的事件發(fā)生，這時要求所研究事件的概率就可用全概率公式.合理選擇，易求.（二）貝葉斯公式（執(zhí)果求因）(1)一般地，當且時，有(2)定理若樣本空間中的事件滿足：①任意兩個事件均互斥，即，，；②；③，.則對中的任意概率非零的事件，都有，且注：（1）在理論研究和實際中還會遇到一類問題，這就是需要根據(jù)試驗發(fā)生的結果尋找原因，看看導致這一試驗結果的各種可能的原因中哪個起主要作用，發(fā)生的各種原因可能性的大小，稱之為后驗概率.（2）貝葉斯公式充分體現(xiàn)了，，，，，之間的轉關系，即，，之間的內(nèi)在聯(lián)系．考點一條件概率1、一個袋中有個黑球和個白球，如果不放回地抽取兩個球，記事件“第一次抽到黑球”為；事件“第二次抽到黑球”為.（1）分別求事件，，發(fā)生的概率；（2）求．2、現(xiàn)有個節(jié)目準備參加比賽，其中個舞蹈節(jié)目，個語言類節(jié)目，如果不放回地依次抽取2個節(jié)目，求：（1）第次抽到舞蹈節(jié)目的概率；（2）第次和第次都抽到舞蹈節(jié)目的概率；（3）在第次抽到舞蹈節(jié)目的條件下，第次抽到舞蹈節(jié)目的概率．3、在一個袋子中裝有個球，設有個紅球，個黃球，個黑球，個白球，從中依次摸個球，求在第一個球是紅球的條件下，第二個球是黃球或黑球的概率．4、根據(jù)以往數(shù)據(jù)統(tǒng)計,某酒店一商務房間天有客人入住的概率為，連續(xù)天有客人入住的概率為,在該房間第一天有客人入住的條件下,求第二天也有客人入住的概率．5、從、、、、、、、、中不放回地依次取個數(shù)，事件為“第一次取到的是奇數(shù)”，為“第二次取到的是3的整數(shù)倍”，求在的條件下發(fā)生的概率.6、某人一周晚上值班次，在已知他周日一定值班的條件下，求他在周六晚上或周五晚上值班的概率．考點二相互獨立與條件概率的關系1、判斷下列各對事件是否是相互獨立事件．（1）甲組名男生，名女生；乙組名男生，名女生．現(xiàn)從甲、乙兩組中各選名同學參加演講比賽，“從甲組中選出名男生”與“從乙組中選出名女生”；（2）容器內(nèi)盛有個白乒乓球和個黃乒乓球，“從個球中任意取出個，取出的是白球”與“從剩下的個球中任意取出個，取出的還是白球”；（3）擲一顆骰子一次，“出現(xiàn)偶數(shù)點”與“出現(xiàn)點或點”．2、面對某種流感病毒，各國醫(yī)療科研機構都在研究疫苗，現(xiàn)有，，三個獨立的研究機構在一定的時期內(nèi)能研制出疫苗的概率分別是，，.求：（1）他們都研制出疫苗的概率；（2）他們都失敗的概率；（3）他們能夠研制出疫苗的概率．3、在一段線路中并聯(lián)著個自動控制的常開開關，只要其中個開關能夠閉合，線路就能正常工作．假定在某段時間內(nèi)每個開關能夠閉合的概率都是，計算在這段時間內(nèi)線路正常工作的概率．4、在同一時間內(nèi)，甲、乙兩個氣象臺獨立預報天氣準確的概率分別為和.在同一時間內(nèi)，求：（1）甲、乙兩個氣象臺同時預報天氣準確的概率；（2）至少有一個氣象臺預報準確的概率．5、一個家庭中有若干個小孩，假定生男孩和生女孩是等可能的，令＝{一個家庭中既有男孩又有女孩}，＝{一個家庭中最多有一個女孩}．對下述兩種情形，討論與的獨立性：（1）家庭中有兩個小孩；（2）家庭中有三個小孩．考點三全概率公式1、甲箱的產(chǎn)品中有個正品和個次品，乙箱的產(chǎn)品中有個正品和個次品．(1)從甲箱中任取個產(chǎn)品，求這個產(chǎn)品都是次品的概率；(2)若從甲箱中任取個產(chǎn)品放入乙箱中，然后再從乙箱中任取一個產(chǎn)品，求取出的這個產(chǎn)品是正品的概率．2、一項血液化驗用來鑒別是否患有某種疾?。诨加写朔N疾病的人群中，通過化驗有的人呈陽性反應，而健康的人通過化驗也會有的人呈陽性反應．某地區(qū)此種病的患者僅占人口的．若某人化驗結果為陽性，問此人確實患有此病的概率是多大？3、假定具有癥狀的疾病有，，三種，現(xiàn)從份患有疾病，，的病歷卡中統(tǒng)計得到下列數(shù)字：疾病人數(shù)出現(xiàn)癥狀人數(shù)試問當一個具有中癥狀的病人前來要求診斷時，他患有疾病的可能性是多少？在沒有別的資料可依據(jù)的診斷手段情況下，診斷該病人患有這三種疾病中哪一種較合適？4、某小組有名射手，其中一、二、三、四級射手分別有、、、名．又若選一、二、三、四級射手參加比賽，則在比賽中射中目標的概率分別為、、、，今隨機選一人參加比賽，求該小組在比賽中射中目標的概率．5、袋中有