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文檔簡(jiǎn)介
函數(shù)的單調(diào)性
一、教材分析
《函數(shù)的單調(diào)性》系人教版高中數(shù)學(xué)必修一的內(nèi)容,該內(nèi)容包括函數(shù)的單調(diào)性的
定義與判斷及其證明。在學(xué)習(xí)函數(shù)時(shí),借助圖像的直觀性研究了一些函數(shù)的增減性.這
節(jié)內(nèi)容是有關(guān)內(nèi)容的深化、延伸和提高.這節(jié)通過(guò)對(duì)具體函數(shù)圖像的歸納和抽象,概
括出函數(shù)在某個(gè)區(qū)間上是增函數(shù)或減函數(shù)的準(zhǔn)確含義,明確指出函數(shù)的增減性是相對(duì)
于某個(gè)區(qū)間來(lái)說(shuō)的.教材中判斷函數(shù)的增減性,既有從圖像上進(jìn)行觀察的直觀方法,
又有根據(jù)其定義進(jìn)行邏輯推理的嚴(yán)格方法,最后將兩種方法統(tǒng)一起來(lái),形成根據(jù)觀察
圖像得出猜測(cè)結(jié)論,進(jìn)而用推理證明猜測(cè)的體系.函數(shù)的單調(diào)性是函數(shù)眾多性質(zhì)中的
重要性質(zhì)之一,函數(shù)的單調(diào)性一節(jié)中的知識(shí)是前一節(jié)內(nèi)容函數(shù)的概念和圖像知識(shí)的延
續(xù),它和后面的函數(shù)奇偶性,合稱為函數(shù)的簡(jiǎn)單性質(zhì),是今后研究指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函
數(shù)、幕函數(shù)及其他函數(shù)單調(diào)性的理論根底;在解決函數(shù)值域、定義域、不等式、比擬
兩數(shù)大小等具體問(wèn)題中均需用到函數(shù)的單調(diào)性;同時(shí)在這一節(jié)中利用函數(shù)圖象來(lái)研究
函數(shù)性質(zhì)的數(shù)形結(jié)合思想將貫穿于我們整個(gè)高中數(shù)學(xué)教學(xué)。
二、學(xué)情與教法分析:
按現(xiàn)行新教材結(jié)構(gòu)體系,學(xué)生只學(xué)過(guò)一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù),所以對(duì)
函數(shù)的單調(diào)性研究也只能限于這幾種函數(shù)。依據(jù)現(xiàn)有認(rèn)知結(jié)構(gòu),學(xué)生只能根據(jù)函數(shù)的
圖象觀察出"隨著自變量的增大,函數(shù)值增大'’的變化趨勢(shì),而不能用符號(hào)語(yǔ)言進(jìn)行
嚴(yán)密的代數(shù)證明,只能依據(jù)形的直觀性進(jìn)行感性判斷而不能進(jìn)行“思辯”的理性認(rèn)識(shí)。
所以在教學(xué)中要找準(zhǔn)學(xué)生學(xué)習(xí)思維的"最近開展區(qū)”進(jìn)行有意義的建構(gòu)教學(xué)。在教學(xué)
過(guò)程中,要注意學(xué)生第一次接觸代數(shù)形式的證明,為使學(xué)生能迅速掌握代數(shù)證明的格
式,要注意讓學(xué)生在內(nèi)容上緊扣定義貫穿整個(gè)學(xué)習(xí)過(guò)程,在形式上要從有意識(shí)的模仿
逐漸過(guò)渡到獨(dú)立的證明。
三、教學(xué)目標(biāo)與教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)
依據(jù)課程標(biāo)準(zhǔn)的具體要求以及基于教材內(nèi)容的具體分析,制定本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)
為:
1.通過(guò)函數(shù)單調(diào)性的學(xué)習(xí),讓學(xué)生通過(guò)自主探究活動(dòng),體會(huì)數(shù)學(xué)概念的形成過(guò)程
的真諦,學(xué)會(huì)運(yùn)用函數(shù)圖像理解和研究函數(shù)的性質(zhì);
2.理解并掌握函數(shù)的單調(diào)性及其幾何意義,掌握用定義證明函數(shù)的單調(diào)性的步
驟,會(huì)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,提高應(yīng)用知識(shí)解決問(wèn)題的能力;
3.能夠用函數(shù)的性質(zhì)解決生活中簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題,使學(xué)生感受到學(xué)習(xí)單調(diào)性的必
要性與重要性,增強(qiáng)學(xué)生學(xué)習(xí)函數(shù)的緊迫感,激發(fā)其積極性。
在本節(jié)課的教學(xué)中以函數(shù)的單調(diào)性的概念為線,它始終貫穿于教師的整個(gè)課堂
教學(xué)過(guò)程和學(xué)生的學(xué)習(xí)過(guò)程;利用函數(shù)的單調(diào)性的定義證明簡(jiǎn)單函數(shù)的單調(diào)性是對(duì)函
數(shù)單調(diào)性概念的深層理解,且“取值、作差與變形、判斷、結(jié)論"過(guò)程學(xué)生不易掌握。
所以對(duì)教學(xué)的重點(diǎn)、難點(diǎn)確定如下:
教學(xué)重點(diǎn):函數(shù)的單調(diào)性的判斷與證明;
教學(xué)難點(diǎn):增、減函數(shù)形式化定義的形成及利用函數(shù)單調(diào)性的定義證明簡(jiǎn)單函數(shù)的單調(diào)
性。
四、教學(xué)過(guò)程一知識(shí)點(diǎn)教學(xué)
〔一1、函數(shù)的單調(diào)性
1.增函數(shù)、減函數(shù)的概念
一般地,設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)锳,區(qū)間D三A如果對(duì)于D內(nèi)的任意兩個(gè)自變量的值
XI、X2,當(dāng)X1<X2時(shí),都有f(Xi)<f(X2),那么就說(shuō)f(x)在區(qū)間。上是增函數(shù)。
如果對(duì)于。內(nèi)的任意兩個(gè)自變量的值XI、X2,當(dāng)X1<X2時(shí),都有f(Xi)>f(X2),那么就說(shuō)
f(x)在區(qū)間。上是減函數(shù)。
知識(shí)點(diǎn)詮釋:
(1)屬于定義域A內(nèi)某個(gè)區(qū)間上;
(2)任意兩個(gè)自變量芭,&且X,</;
(3)都有/(X)</(%)(鄴(西)>/(£));
(4)圖象特征:在單調(diào)區(qū)間上增函數(shù)的圖象從左向右是上升的,減函數(shù)的圖象從左向右
是下降的。
2.單調(diào)性與單調(diào)區(qū)間
[1]單調(diào)區(qū)間的定義
如果函數(shù)f(x)在區(qū)間。上是增函數(shù)或減函數(shù),那么就說(shuō)函數(shù)f(x)在區(qū)間。上具有單調(diào)
性,。稱為函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間.
函數(shù)的單調(diào)性是函數(shù)在某個(gè)區(qū)間上的性質(zhì).
知識(shí)點(diǎn)詮釋:
①單調(diào)區(qū)間與定義域的關(guān)系一一單調(diào)區(qū)間可以是整個(gè)定義域,也可以是定義域的真子集;
②單調(diào)性是通過(guò)函數(shù)值變化與自變量的變化方向是否一致來(lái)描述函數(shù)性質(zhì)的;
③不能隨意合并兩個(gè)單調(diào)區(qū)間;
④有的函數(shù)不具有單調(diào)性.
(2)解析式,如何判斷一個(gè)函數(shù)在所給區(qū)間上的單調(diào)性?
3.證明函數(shù)單調(diào)性的步驟
(1)“々是,(X)定義域內(nèi)一個(gè)區(qū)間上的任意兩個(gè)量,且芭</;
(2)變形.作差變形〔變形方法:因式分解、配方、有理化等〕或作商變形;
(3)定號(hào).判斷差的正負(fù)或商與1的大小關(guān)系;
(4)得出結(jié)論.
4.函數(shù)單調(diào)性的判斷方法
(1)定義法:根據(jù)增函數(shù)、減函數(shù)的定義,按照"取值一變形一判斷符號(hào)一下結(jié)論“進(jìn)
行判斷。
(2)圖象法:就是畫出函數(shù)的圖象,根據(jù)圖象的上升或下降趨勢(shì),判斷函數(shù)的單調(diào)性。
(3)直接法:就是對(duì)我們所熟悉的函數(shù),如一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)等,直接
寫出它們的單調(diào)區(qū)間。
(4)記住幾條重要的常用結(jié)論
①假設(shè)/(X)是增函數(shù),則-/(x)為減函數(shù);假設(shè)/(x)是減函數(shù),則-/(x)為增函數(shù);
②假設(shè)/(%)和g(x)均為增〔或減〕函數(shù),則在/(%)和g(x)的公共定義域上
/(x)+g(x)為增〔或減)函數(shù);
③假設(shè)/(X)>o且f(x)為增函數(shù),則函數(shù)為增函數(shù),為減函數(shù);假設(shè)
/(x)
/(%)>0且/(X)為減函數(shù),則函數(shù)J府為減函數(shù),7缶為增函數(shù)。
5.復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的判斷
討論復(fù)合函數(shù)y=f[g(x)]的單調(diào)性時(shí)要注意:既要把握復(fù)合過(guò)程,又要掌握根本函數(shù)
的單調(diào)性。一般需要先求定義域,再把復(fù)雜的函數(shù)正確地分解為兩個(gè)簡(jiǎn)單的初等函數(shù)的復(fù)合,
然后分別判斷它們的單調(diào)性,再用復(fù)合法則:
[1]假設(shè)"=g(x),y=/(")在所討論的區(qū)間上都是增函數(shù)或都是減函數(shù),則
y=/[g(x)]為增函數(shù);
〔2〕假設(shè)“=g(x),y=./"(〃)在所討論的區(qū)間上一個(gè)是增函數(shù),另一個(gè)是減函數(shù),則
>"[g(切為減函數(shù)。
列表如下:
u=g(x)y=/(?)y=/[g(x)]
增增增
增減減
減增減
減減增
復(fù)合函數(shù)單調(diào)性可簡(jiǎn)記為"同增異減",即內(nèi)外函數(shù)的單調(diào)性相同時(shí)遞增;單調(diào)性相異
時(shí)遞減。
因此判斷復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可按以下步驟操作:
[1]將復(fù)合函數(shù)分解成根本初等函數(shù):y=/(〃),〃=g(x);
(2)分別確定各個(gè)函數(shù)的定義域;
〔3〕分別確定分解成的兩個(gè)根本初等函數(shù)的單調(diào)區(qū)間。
假設(shè)兩個(gè)根本初等函數(shù)在對(duì)應(yīng)的區(qū)間上的單調(diào)性是同增或同減,則),=/[g(切為增函
數(shù);假設(shè)為一增一減或一減一增,則y=/[g(x)]為減函數(shù)。
知識(shí)點(diǎn)詮釋:
(1)單調(diào)區(qū)間必須在定義域內(nèi);
[2]要確定內(nèi)層函數(shù)〃=g(x)的值域,否則就無(wú)法確定了(“)的單調(diào)性。
〔3〕假設(shè)/(x)>0,且在定義域上/(x)是增函數(shù),則
>1且〃GM)都是增函數(shù)。
6.利用函數(shù)單調(diào)性求函數(shù)最值時(shí)應(yīng)先判斷函數(shù)的單調(diào)性,再求最值
常用到下面的結(jié)論:
(1)如果函數(shù)y=/(x)在區(qū)間(名目上是增函數(shù),在區(qū)間[0,c)上是減函數(shù),則函數(shù)
y=/(%)(%ea,c)在尤=b處有最大值f(b)。
(2)如果函數(shù)y=/(x)在區(qū)間(a,々上是減函數(shù),在區(qū)間[8,c)上是增函數(shù),則函數(shù)
y=/(x)(xea,c)在x=b處有最小值/(勿。
假設(shè)函數(shù)),=/(幻在[a,句上是嚴(yán)格單調(diào)函數(shù),則函數(shù)y=/(x)在[?;厣弦欢ㄓ凶?/p>
大、最小值。
〔3〕假設(shè)函數(shù)y=/(x)在區(qū)間[a,々上是單調(diào)遞增函數(shù),則y=/(x)的最大值是
f(b),最小值是/(a)。
(4)假設(shè)函數(shù)y=/(x)在區(qū)間卜,3上是單調(diào)遞減函數(shù),則丁=/。)的最大值是
/⑷,最小值是『3)。
7.利用函數(shù)單調(diào)性求參數(shù)的范圍
假設(shè)函數(shù)的單調(diào)性,求參數(shù)。的取值范圍問(wèn)題,可利用函數(shù)單調(diào)性,先列出關(guān)于參數(shù)。
的不等式,利用下面的結(jié)論求解。
⑴a>f[x)在[m,n]上恒成立oa>/(x)在[m,n]上的最大值。
(2)a<f(x)在[m,ri\上恒成立=a<f(x)在[in,n\上的最小值。
實(shí)際上將含參數(shù)問(wèn)題轉(zhuǎn)化成為恒成立問(wèn)題,進(jìn)而轉(zhuǎn)化為求函數(shù)在其定義域上的最大值和
最小值問(wèn)題。
〔二〕、根本初等函數(shù)的單調(diào)性
1.正比例函數(shù)y=kx(kwO)
當(dāng)k>0時(shí),函數(shù)y="在定義域R是增函數(shù);當(dāng)k<0時(shí),函數(shù)y="在定義域R是
減函數(shù).
2.一次函數(shù)y=kx+b(k,0)
當(dāng)k>0時(shí),函數(shù)y=在定義域R是增函數(shù);當(dāng)k<0時(shí),函數(shù)y=Ax+b在定義
域R是減函數(shù).
3.反比例函數(shù)>=&(b0)
X
當(dāng)%>0時(shí),函數(shù)y=:的單調(diào)遞減區(qū)間是(—,0),(0,+8),不存在單調(diào)增區(qū)間;
當(dāng)%<0時(shí),函數(shù)y=:的單調(diào)遞增區(qū)間是(-8,0),(0,-+W),不存在單調(diào)減區(qū)間.
4二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a^0)
hh
假設(shè)a>0,在區(qū)間(―8,_2],函數(shù)是減函數(shù);在區(qū)間+8),函數(shù)是增函數(shù);
2a2a
hh
假設(shè)a<0,在區(qū)間(-oo,_=],函數(shù)是增函數(shù);在區(qū)間[一二,+oo),函數(shù)是減函數(shù).
2a2a
〔三〕、典型例題
1.類型一:函數(shù)的單調(diào)性的證明
例1.:函數(shù)/(x)=x+,
X
[1]討論/(X)的單調(diào)性.
〔2〕試作出f(x)的圖象.
[思路點(diǎn)撥]此題考查對(duì)單調(diào)性定義的理解,在現(xiàn)階段,定義是證明單調(diào)性的唯一途徑。
[解析]〔1〕設(shè)XI,X2是實(shí)數(shù)集R上的任意實(shí)數(shù),且X1<X2,則
f(xl)-f(x2)=x1+—-(X,+-)
X|X2
11
=(X]_X,)+(-------)
XlX2
X-X
/x2lL
=(x,-x2)+^——
X!X2
=(X]-x2)(l----)
、/X|X2-1\
=(Xj-X2)(-L--)
■X1X2
①當(dāng)王<T時(shí),Xi-X2<0,1<X1X2
YY—1YY—1
—>0,故(x「X2>(^—)<0,即f(Xi)-f(X2)<0
X|X2X,X2
,X1<X2時(shí)有f(Xi)<f(X2)
;.f(X)=X+L在區(qū)間(-8,-1)上是增函數(shù).
X
②當(dāng)-1<X1<X2<O;.Xi-X2<0,O<X1X2<1
,.O<X1X2<1~-<0
X1X2
故(X|-~-)>0,即f(Xl)-f(X2)>0
XIX2
,X1<X2時(shí)有f(Xl)>f(X2)
.?.f(x)=x+,在區(qū)間(T,0)上是減函數(shù).
X
同理:函數(shù)f(x)=x+L在區(qū)間(0,1)是減函數(shù)函數(shù)f(x)=x+,在區(qū)間。,+8)是
XX
增函數(shù).
[總結(jié)升華]
(1)證明函數(shù)單調(diào)性要求使用定義;
(2)如何比擬兩個(gè)量的大???(作差)
⑶如何判斷一個(gè)式子的符號(hào)?(對(duì)差適當(dāng)變形)
[舉一反三]:
[變式1]證明函數(shù)/(X)=-+5在[1,4W)上是增函數(shù).
[解析]此題考查對(duì)單調(diào)性定義的理解,在現(xiàn)階段,定義是證明單調(diào)性的唯一途徑.
證明:設(shè)xi,X2是區(qū)間[1,+8)上的任意實(shí)數(shù),且X1<X2,貝!]
9191
f(xJ_f(X2)=X;+--X2---7
22
z22、X2-X.
=(x,--x2-)+-2,,
X]x2
區(qū)T)a一志)
z22\X;X2-1
=(…)5
X]工2
,與VZ.'.X14-X>0,X1
.;%、WG[1,-H?)2-X2<O,XjX2+1>0,x}x2-1>0.
<0,即/a)</(w)
???/(X)=V+J在[1,+00)上是增函數(shù)。
2.類型二:求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間
例2.判斷以下函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(l)y=x2-3|x|+2;(2)y=|x-1|+J(X-2)2
[思路點(diǎn)撥]對(duì)x進(jìn)行討論,把絕對(duì)值和根號(hào)去掉,畫出函數(shù)圖象。
[答案]⑴f(x)在[oo,-|上遞減,在[[,()]上遞增,在[0,方上遞減,在|,+°°)上
遞增.
(2)f(x)在(-8,1]上遞減,在[2,+00)上遞增.
[解析](1)由圖象對(duì)稱性,畫出草圖
,f(x)在上遞減,在上遞增,在[0,|]上遞減,在;,+8)上遞增.
-2x+3(x<1)
⑵y=|x-l|+|龍一2|=1(l<x<2)
2x-3(x>2)
.?圖象為
;.f(x)在(-8,1]上遞減,在[2,+oo)上遞增.
[舉一反三]:
[變式1]求以下函數(shù)的單調(diào)區(qū)間:
(l)y=|x+l|;(2)y=—;(3)y=[;(4]y=|x2-2x-3|.
2x-lx2
[答案]〔1〕函數(shù)的減區(qū)間為(-8,-1],函數(shù)的增區(qū)間為(-1,+OO);(2)
在1―上為減函數(shù);〔寸y=g單調(diào)增區(qū)間為:(-8,0),單調(diào)減區(qū)間為
(0,+8);單調(diào)減區(qū)間是〔-8,-1),〔1,3〕;單調(diào)增區(qū)間是[-1,1),(3,+8〕
x+l(x>-l)
[解析]⑴“=<畫出函數(shù)圖象,
-x-l(x<-1)
.函數(shù)的減區(qū)間為(一8,—1],函數(shù)的增區(qū)間為(-1,+OO);
(2)定義域?yàn)樵O(shè)u=2x—l,y=:,
其中u=2x-l為增函數(shù),y=L在(-8,0)與(0,+8)為減函數(shù),則
U
y=丁二在[-g,上為減函數(shù);
2x-lV2八2J
(3)定義域?yàn)?-8,0)U(0,+oo),y=二單調(diào)增區(qū)間為:(-OO,0),單調(diào)減區(qū)間為(0,
X
+8)。
(4)先畫出y=x2-2x-3,然后把x軸下方的局部關(guān)于x軸對(duì)稱上去,就得到了所求函
數(shù)的圖象,如以下圖
所以y=|x2-2x-3|的單調(diào)減區(qū)間是(-co,-1),〔1,3〕;單調(diào)增區(qū)間是[-1,1],
〔3,+8〕。
[總結(jié)升華]
(1)數(shù)形結(jié)合利用圖象判斷函數(shù)單調(diào)區(qū)間;
〔2〕關(guān)于二次函數(shù)單調(diào)區(qū)間問(wèn)題,單調(diào)性變化的點(diǎn)與對(duì)稱軸相關(guān).
〔3〕復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性分析:先求函數(shù)的定義域;再將復(fù)合函數(shù)分解為內(nèi)、外層函數(shù);
利用函數(shù)的單調(diào)性解決.關(guān)注:內(nèi)外層函數(shù)同向變化=復(fù)合函數(shù)為增函數(shù);內(nèi)外層函數(shù)反向
變化n復(fù)合函數(shù)為減函數(shù).
3.類型三:?jiǎn)握{(diào)性的應(yīng)用(比擬函數(shù)值的大小,求函數(shù)值域,求函數(shù)的最大值或最小值)
例3.函數(shù)/(%)是定義域?yàn)镽的單調(diào)增函數(shù).
[1]比擬/(1+2)與/(2a)的大??;
(2)假設(shè)/(/)>/(a+6),求實(shí)數(shù)。的取值范圍.
[思路點(diǎn)撥]抽象函數(shù)求字母取值范圍的題目,最終一定要變形成f(x)>/(y)的形式,
再依據(jù)函數(shù)/(%)的單調(diào)性把f符號(hào)脫掉得到關(guān)于字母的不等式再求解。
[答案]⑴f(a2+2)>f(2a);[2]a>3或。<-2.
[解析]〔1〕因?yàn)?+2-2。=3-1)2+1>0,所以"+2〉2a,由,/(x)是單調(diào)增
函數(shù),所以/(。2+2)〉/(2。).
(2)因?yàn)?(x)是單調(diào)增函數(shù),且/(/)>/(。+6),所以標(biāo)>。+6,解得a>3或
a<—2.
例4.求以下函數(shù)的值域:
(l)y=鋁;l)xe[5,10];2)xG(-3,-2)U(-2,1);
(2)y=d-x1+2尢+8;
(3)y=4x+<3x-1-2;
(4)y=x+V1-2x.
【思路點(diǎn)撥](1)可應(yīng)用函數(shù)的單調(diào)性;(2)中函數(shù)為二次函數(shù)開方,可先求出二次函數(shù)值域;
(3)由單調(diào)性求值域,此題也可換元解決;(4)單調(diào)性無(wú)法確定,經(jīng)換元后將之轉(zhuǎn)化為熟悉二
次函數(shù)情形,問(wèn)題得到解決,需注意此時(shí)t的范圍.
[答案]⑴1],2]u(7,+?));⑵[0,3];(3);[4]
(-8』.
[解析K1)y=2("+2)二5=旦+2可看作是由丁=0左移2個(gè)單位,再上移2個(gè)
x+2x+2x
單位得到,如圖
2)ye(-oo,/(l))u(/(-3),+a))BP(-oo,1)u(7,+oo);
222
my=J-Ol)2+9,v(x-1)>0,.-.-(x-1)<0,/.0<-(x-l)+9<9,.\JG[0,3].
/
⑶?.?3x-lN0,r.x2g,經(jīng)觀察知y在[;,+8)上單增,二yN/(;)=-|
“一|,+00
[2][[
(4)令Jl-2x=JN0/.y=—/-+/=--/2+r+-=--(Z-l)2+1,/.ye(-oo,ll.
2222'」
[舉一反三]:
[變式l"(x)=-12x+5,當(dāng)/(%)的定義域?yàn)橐韵聟^(qū)間時(shí),求函數(shù)的最大值和最小
值.
〔1〕[0,3];[2][-1,1];⑶[3,+8〕.
[答案]⑴在區(qū)間[0,3]上,當(dāng)x=2時(shí),f(x)min=-7;當(dāng)x=0時(shí),f(x)1rax=5.
(2)在區(qū)間卜1,1]上,當(dāng)x=l時(shí),/(x)min=一4;當(dāng)x=—1時(shí),,初皿=20.
[3]在區(qū)間[3,+8]上,當(dāng)》=3時(shí),/(x)min=-4;在這個(gè)區(qū)間上無(wú)最大值.
[總結(jié)升華]:由本例可知,作出二次函數(shù)的圖象后,利用圖象的形象直觀很容易確定
二次函數(shù)在閉區(qū)間上的單調(diào)性,由單調(diào)性不難求出二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值.因此,確定
二次函數(shù)在所給的閉區(qū)間上的單調(diào)性是求二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最大〔小〕值的關(guān)鍵。
4.類型四:利用函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)的取值范圍
例5.函數(shù)/。)=4/-肛+5在區(qū)間[-2,物)是增函數(shù),求加及了⑴的取值范圍.
[答案]m4-16;/(1)>25.
[解析]..對(duì)稱軸X=丁是決定/(X)單調(diào)性的關(guān)鍵,聯(lián)系圖象可知
O
只需一■W—2根《-16.
8
又/(I)=4一m+5=9—〃z,,即9一相N25.
[舉一反三]:
[變式1]函數(shù)/(X)=爐+4ox+2在(-OO,6)內(nèi)單調(diào)遞減,則a的取值范圍是〔〕.
A.tz>3B.a<3C.a>-3D.a<-3
[答案]D
[變式2]函數(shù)〃幻=/_2公-3在區(qū)間[1,2]上單調(diào),則〔〕.
A.?G(-CO,1]B.?G[2,+OO)C.?G[1,2]D.?G(-OO,1]U[2,+OO)
[答案]D
【穩(wěn)固練習(xí)】
1.定義域R上的函數(shù)/(x)對(duì)任意兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)。力,總有/憶)一.八‘〉0,則
a-b
必有()
A.函數(shù)/(x)先增后減B.函數(shù)/(x)先減后增
C.函數(shù)/(x)是R上的增函數(shù)D.函數(shù)/(x)是R上的減函數(shù)
2.在區(qū)間(-8,0)上為增函數(shù)的是()
A.y=1B.y=―--I-2C.y——x2—2x—lD.y=1+x2
\-x
3.函數(shù)/(x)=—x(x—2)的一個(gè)單調(diào)遞減區(qū)間可以是()
A.[-2,0]B.[0,2]C.[1,3]D.[0,+0°)
4.假設(shè)函數(shù)八劃=/+23-l)x+2在區(qū)間(YO,4]上是減函數(shù),則實(shí)數(shù)。的取值范
圍是()
A.a>3B.a<3C.a>-3D.a<-3
5.函數(shù)y=Jx+1—Jx-1的值域?yàn)?)
A.(-8,5/^JB.^0,V2jC.|V2,+oojD.[0,+oo)
6.設(shè)a>0,函數(shù)/(X)=G:2+AX+C的圖象關(guān)于直線x=l對(duì)稱,則
/⑴,/(夜),/(百)之間的大小關(guān)系是()
A./(l)</(V2)</(73)B./(V3)</(V2)</(1)
C./⑴</(&)</(后)D./(72)</(73)</(1)
7.函數(shù)y的單調(diào)區(qū)間是.
8.函數(shù)y=2x+Jx+l的值域是一.
9.假設(shè)函數(shù)/(x)=2/+px+3在(一81]上是減函數(shù),[1,+8)是增函數(shù),則
P=t.
10.一次函數(shù)y=(攵+l)x+攵在R上是增函數(shù),且其圖象與無(wú)軸的正半軸相交,則攵的
取值范圍是.
11.函數(shù)/(x)=ax2+bx+c(aH0)是(-oo,0)上的減函數(shù),且/(x)的最小值為正數(shù),
則/(?的解析式可以為.(只要寫出一個(gè)符合題意的解析式即可,不
必考慮所有可能情形)
12.設(shè)aeR,判斷函數(shù)/(x)=(a+2)x+3(xeR)的單調(diào)性,并寫出單調(diào)區(qū)間.
13.函數(shù)/(幻的定義域?yàn)?—1,1),且同時(shí)滿足以下條件:(1)/(幻是奇函數(shù);(2)/(幻
在定義域上單調(diào)遞減;(3)/(1-幻+/(1-優(yōu))<0,求。的取值范圍.
14.函數(shù)/(%)=幺+2奴+2,xw[-5,5].
①當(dāng)。=一1時(shí),求函數(shù)的最大值和最小值;
②求實(shí)數(shù)。的取值范圍,使丁=/。)在區(qū)間[-5,5]上是單調(diào)函數(shù)。
【答案與解析】
1.【答案】C.
【解析】由"")一"")>0知,當(dāng)時(shí),/(a)>/(。),當(dāng)a<b時(shí),/(?)<f(b),
a-b
所以/(x)在R上單調(diào)
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