高中數(shù)學-圓錐曲線試題(含答案)

高考圓錐曲線試題精選

一、選擇題：（每小題5分，計50分）

22

1、（2008海南、寧夏文）雙曲線★一耳"=1的焦距為（）

A.3應(yīng)B.4夜C.3逐D.4G

T2

2.（2004全國卷I文、理）橢圓一+/=1的兩個焦點為Fi、F2.過FI作垂直于X軸的

4

直線與橢圓相交，一個交點為P，則|理|=（）

6/T7

A.—B.v3C.-D.4

22

3.（2006遼寧文）方程2/-5工+2=0的兩個根可分別作為（）

A.一橢圓和一雙曲線的離心率B.兩拋物線的離心率

C.一橢圓和一拋物線的離心率D.兩橢圓的離心率

4.（2006四川文、理）直線y=x-3與拋物線V=4x交于A、B兩點，過A、B兩點向

拋物線的準線作垂線，垂足分別為P、Q,則梯形APQB的面積為（）

（A）48.（B）56（C）64（D）72.

22

5.（2007福建理）以雙曲線^--上=1的右焦點為圓心，且與其漸近線相切的圓的方程是（）

916

:

A-10x+9=0B.s+y--10x4-16=0

C.x：+y：+10x+16=gD.x-+y-+10x+9=C

6.（2004全國卷IV理）已知橢圓的中心在原點，離心率e=,，且它的一個焦點與拋物線

2

y2=_4x的焦點重合，則此橢圓方程為（）

2222o7

XyXV2121

A.---F--=IB.----1----=IC.----Fy=ID.---Fy=I

438624

7.（2005湖北文、理）雙曲線二-二=l（"加HO）離心率為2,有一個焦點與拋物線=4x的

mn

焦點重合，則me的值為（）

x216y2

8.（2008重慶文）若雙曲線-----4=1的左焦點在拋物線y?=2px的準線上，則p的值為（

3p-

（A）2（B）3（C）4（D）4也

2222

9.（2002北京文）已知橢圓”1+J=1和雙曲線工■-當=1有公共的焦點，那么

3/5n-2m23n2

雙曲線的漸近線方程是（）

“4屈4屈c4?行

A.x=±---yBD.V=±----XC,x=±——yD.V=±——X

2244

10.（2003春招北京文、理）在同一坐標系中，方程—+2=1與℃+=0（4>/>>0）的曲

線大致是（）

二、填空題：（每小

題5分，計20分）

11.（2005上海文）D

若橢圓長軸長與短

軸長之比為2,它的一個焦點是（2后,0）,則橢圓的標準方程是.

12.（2008江西文）已知雙曲線=一4=1（0＞0/＞0）的兩條漸近線方程為y^±—x,

ab3

若頂點到漸近線的距離為1,則雙曲線方程為.

22

13.（2007上海文）以雙曲線上--？一=1的中心為頂點，且以該雙曲線的右焦點為焦點的

45

拋物線方程是.

14.（2008天津理）已知圓C的圓心與拋物線V=4%的焦點關(guān)于直線y=x對稱.直線

4x—3y—2=0與圓C相交于A,B兩點,且1Aq=6，則圓C的方程為.

三、解答題：（15—18題各13分，19、20題各14分）

22

15.（2006北樂文）橢圓C:—+表"=1（。＞。＞0）的兩個焦點為F?R,點P在橢圓C上，且

414

PFt1FtF2,\PFt|=-,|PF2|=y.（I）求橢圓C的方程；

（II）若直線/過圓x2+y2+4x-2y=0的圓心M,交橢圓C于兩點，且A、B關(guān)于點M對稱，求直線/

的方程..

16.（2005重慶文）已知中心在原點的雙曲線C的右焦點為（2,0）,右頂點為（6,0）

（1）求雙曲線C的方程；（2）若直線/:y=Zx+正與雙曲線C恒有兩個不同的

交點A和B,且5晨方＞2（其中。為原點）.求k的取值范圍.

17.（2007安徽文）設(shè)尸是拋物線的焦點.

（1）過點尸（0,-4）作拋物線G的切線，求切線方程：

（II）設(shè)4、8為拋物線G上異于原點的兩點，且滿意豆.麗=0,延長4尺跖分別交拋物線G于點

C,D,求四邊形4靦面積的最小值.

18.（2008遼寧文）在平面直角坐標系xOy中，點P到兩點（0,-百），（0,百）的距離之和等于

4,設(shè)點P的軌跡為C.（I）寫出C的方程；

（□）設(shè)直線y=Ax+l與C交于48兩點.k為何值時。AJ.08?此時網(wǎng)的值是多少？

19.（2002廣東、河南、江蘇）A、B是雙曲線x2-^=l上的兩點，點N（l,2）是線段AB的中點

（1）求直線AB的方程；

（2）假如線段AB的垂直平分線與雙曲線相交于C、D兩點，那么A、B、C、D四點是否共圓？為什

么？

20.（2007福建理）如圖，已知點F（1,0）,直線I:x=-l,P為平面上的動點，過P作直線I的

垂線，垂足為點Q，且麗,?麗=萬而。⑴求動點P的軌跡C的方程；

（2）過點F的直線交軌跡C于A、B兩點，交直線I于點M,,v

已知MA=；.；AF，求的值。

“圓錐曲線與方程”單元測試（參考答案）

一、選擇題：（每小題5分，計50分）

題號12345678910

答案DCAAAAACDA

二、填空題：（每小題5分，計20分）

11.—+^-=1；12.工-空=1.13./-12%.14,x2+（y-l）2^10.

802044-------------------------

三、解答題：（15—18題各13分，19、20題各14分）

15..解：（I）因為點P在橢圓C上，所以2a=|「耳|+歸閭=6,a=3.

在RtAPFR中，|片尸21=北桃『-閥廣=2后,故橢圓的半焦距c=右，

22

從而分=/一/=4,所以橢圓C的方程為j+J=：L

94

（II）解法一:設(shè)A,B的坐標分別為（xi,yD、（X2,y2）?

已知圓的方程為（x+2）2+（y-l）2=5,所以圓心M的坐標為（-2,1）.

從而可設(shè)直線/的方程為y=k(x+2)+l,

代入橢圓C的方程得(4+9A2)x2+(36/c2+18k)x+36k2+36k-27=0.

X+X

斗丁上er,.?l2IS/：2+9Z4

因為4,B關(guān)于點M對稱.，所以」----=----------=-2.

24+9d

QQ

解得&=］,所以直線/的方程為y=］（x+2）+1,

即8x-9y+25=0.（經(jīng)檢驗，所求直線方程符合題意）

（II）解法二：已知圓的方程為（x+2）2+（y-l）2=5,所以圓心M的坐標為（-2,1）.

設(shè)A,8的坐標分別為（xi,yi）,（X2,yz）.由題意X1HX2且

2222

…=1，①事”②

由①-②得（-f），+%）+（%-%）（%+必）=o③

94

因為A、B關(guān)于點M對稱，所以Xi+X2=—4,力+丫2:2,

代入③得之二"■=§,即直線/的斜率為所以直線/的方程為丫-1=9（x+2）,

占一々999

即8x—9y+25=0.（經(jīng)檢驗，所求直線方程符合題意.）

22

16.解：（I）設(shè)雙曲線方程x為二一y彳二1（。>0,人>0）.

ab

2

由己知得。=JIc=2,再由+〃=2、得〃=1.故雙曲線C的方程為鼻■—/=1.

2

22

（II）將y=代入?一>2=1得（］-3k）x-6V2^-9=0.

l-3k2/0,

由直線/與雙曲線交于不同的兩點得4廣

A=（6y/2k）2+36（1-3:2）=36（1-A:?）>0.

即％2*!且爐<].①

3

6以-9

設(shè)44，%），仇4，兀），則XA+X&=l-3k2，XaXb-1—3/

由。4OB>2得以4+yAya>2,

2

而*內(nèi)8+yAyB=xAxB+(%4+^2)(kxB+V2)=(k+l)x4xfl+近k(x人+)+2

八-9信，6叵kc31+7

=u/j22+1)-------+Y2k--+2=-z-.

l-3)t721—313k1

四上2>2,即-3>+9>o,解此不等式得l<r<3.②

342—13A:2-13

由①、②得-<Zr2<1.

3

故k的取值范圍為（一1,一千）口（三』）.

17.解：（I）設(shè)切點Q（x0,今）.由），=5，知拋物線在Q點處的切線斜率為自，

2,2

故所求切線方程為^一￡=/。一%）,即y=/x—字.

2

因為點P（0,-4）在切線上，所以一4=一手,4=16,/=±4.所以切線方程為丫=±2『4.

（11）設(shè)4（不，%）,。*2，乃）.由題設(shè)知，直線AC的斜率k存在，由對稱性，不妨設(shè)k>0.

因直線AC過焦點F（0,1）,所以直線4c的方程為y=kx+l.

\y=kx+\,.

點A,C的坐標滿意方程組《，消去y,得――4kx-4=0,

[x-=4%

—_+x,=4k,

由根與系數(shù)的關(guān)系知《12

[x}x2—-4.

-4)2+(y-%)2=Jl+TJ(X|+w)2-4X]%2=4(1+k2).

因為AC，8。，所以BO的斜率為從而8。的方程y=」x+l.

同理可求得忸￡>|=4(1+(-；)2)=

SABCO=||^C||BD|==8(^+2+-1)>32.

乙KK

當k=l時，等號成立.所以，四邊形ABCD面積的最小值為32.

18.解：(I)設(shè)P(x,y),由橢圓定義可知，點P的軌跡C是以(0,—g),(0,行)為焦點,

長半軸為2的橢圓.它的短半軸8=廳乙帚'=1,故曲線C的方程為f+?=l.

L+￡=1

(II)設(shè)4如必)，BQ2,y2),其坐標滿意4-

[y=kx+\.

2k

消去y并整理得(公+4)/+2丘一3=0,故%+々=一產(chǎn)一,%3?

kL+4F+4

OA±OB,即％入2+,必=0.而%%=22%%2++々)+1，

3J三

于是7

K十4A~+4Ar+4k+4

所以左=±；時，xxx2+y1y2=0,故OA_LO3.

1412

當女=±]時，王+冗2=孑行，x\x2=_py

17

22

\AB\=\l(x2-x])+(y2-yi)=J(1+/2)(”X])2,

3

-T-.\2/\2A4".4x34X13

而((入2-九i)=(x+x\)-4XjX=—y+4x-^-

22172

所以|A用=*L

19.解：(1)依題意，可設(shè)直線方程為y=k(x—1)+2

2

代入x‘一]=1,整理得(2—k)X2—2k(2—k)x—(2—k)2—2=0①

9b(9—1,)

記A(xi,yJ,B(X2,y，，則也、X2是方程①的兩個不同的實數(shù)根，所以2—1?」0,且x】+x2=

由N(l,2)是AB中點得g(xi+x2)=1

k(2—k)=2—k)解得k=l,所易知AB的方程為y=x+l.

(2)將k=l代入方程①得x?-2x—3=0,解出xi=-1,X2=3,由y=x+l得yi=0,y?=4

即A、B的坐標分別為(一1,0)和(3,4)

由CD垂直平分AB,得直線CD的方程為y=—(X—1)+2,即y=3-x,代入雙曲線方程，整理,

得X2+6X-11=0②

記C(X3,y3),D(X4,yJ,以及CD中點為M(x。,y°),則X3、1是方程②的兩個的實數(shù)根,所以

==

X3-FX.I-6,X3X，i=-11,從而Xo=5(X3+x《)=-3,yo3-x0=6

2

ICDI=yj(X3—x)；+(y：,—y>=(2(XLx>—y/21(x:1+x4)—4x：tx-i-4y/10

22