高中數(shù)學(xué)-三角函數(shù)

第一常：三角直數(shù)

1.1.1佞題前

1、角的有關(guān)概念：

角的定義：

角可以看成平面內(nèi)一條射線繞著端點(diǎn)從一個位置旋轉(zhuǎn)到另一個位置所形成的圖形.

角的分類：

'負(fù)角：按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)形成的角

\正角：按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)形成的角

、零角：射線沒有任何旋轉(zhuǎn)形成的角

圖4-3

2、象限角的概念：

.①定義：若將角頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合，角的始邊與X軸的非負(fù)半軸重合，那么角的終邊（端點(diǎn)除外）在第幾

象限，我們就說這個角是第幾象限角.

所有與角a終邊相同的角，連同。在內(nèi)，可構(gòu)成一個集合S={?|萬=。+左，360°,

左2力，即任一與角。終邊相同的角，都可以表示成角。與整個周角的和.

CC

例、已知a角是第三象限角，則2。，土各是第幾象限角？

2

1.1.2弧度制

1、弧度制

.長度等于半徑的弧所對的圓心角叫做1弧度的角；1弧度記做Irad.在運(yùn)算中，常常將rad單位省略.

2、弧度制的性質(zhì)：

加2勿與

一=乃；------27t.

①半圓所對的圓心角為r②整圓所對的圓心角為八

③正角的弧度數(shù)是一個正數(shù).④負(fù)角的弧度數(shù)是一個負(fù)數(shù).

⑤零角的弧度數(shù)是零.⑥角a的弧度數(shù)的絕對值|a|=r

3、弧長公式

-I-r-\a\

弧長等于弧所對應(yīng)的圓心角（的弧度數(shù)）的絕對值與半徑的積.

1.2/佞度角的三角施政

1、三角函數(shù)定義

在直角坐標(biāo)系中，設(shè)a是一個任意角，a終邊上任意一點(diǎn)P（除了原點(diǎn)）的坐標(biāo)為（x,y）,它與原

點(diǎn)的距離為r（r=J|x『+|y|2=&2+寸〉0）,那么

(1)比值上叫做a的正弦,記作sina，即sina=—

rr

xx

(2)比值二叫做a的余弦，記作cosa,即cosa=一

rr

v

(3)比值上叫做a的正切，記作tana,即tan=—

XX

Yx

(4)比值上叫做a的余切，記作cota，即cota=一

2.三角函數(shù)的定義域、值域

函數(shù)定義域值域

y=sinaR[-1,1]

y=cosaR[-1,1]

71

y=tana{o|aw耳+左萬/sZ}R

例、求函數(shù)y=a@+等］的值域

cosx|tanx|

誘導(dǎo)公式

sin(2氏〃+a)=sina(keZ)

cos(2^+a)=cosa(攵eZ)

tan(2ki+a)=tana(keZ)

5、三角函數(shù)線的定義：

設(shè)任意角a的頂點(diǎn)在原點(diǎn)。，始邊與x軸非負(fù)半軸重合，終邊與單位圓相交與點(diǎn)P(x,y),

過P作x軸的垂線，垂足為M；過點(diǎn)A(1,O)作單位圓的切線，它與角a的終邊或其反向延

長線交與點(diǎn)T.

由四個圖看出：

當(dāng)角a的終邊不在坐標(biāo)軸上時(shí),有向線段于是有

yycosa=-=-=x=OM,tana=^=-^-=—=AT

sina=—=—=y=MP,

r1xOMOA

我們就分別稱有向線段MROM,AT為正弦線、余弦線、正切線。

1.2.2同角三角商數(shù)的基基裝系

1、由三角函數(shù)的定義，我們可以得到以下關(guān)系：

(1)商數(shù)關(guān)系：tana=?吧(2)平方關(guān)系：sin2?+con2a=1

cona

12

2、已知sina=—，并且a是第二象限角(若沒告訴你哪個象限？)，求cosa,tana,cota.

1.3璘導(dǎo)智興

1、誘導(dǎo)公式(一)

sin(360%+a)=sinacos(360°k+a)=cosatan(360%+a)=tana

誘導(dǎo)公式(二)

sin(1800+a)=-sinacos(1800+a)=-coscrtan(1800+a)=tana

誘導(dǎo)公式(三)

sin(—a)=-sinorcos(-a)=cosatan(-a)=-tana

誘導(dǎo)公式（四）

sin（兀一a）二sinacos(7i-a)=-cosatan(兀-a)=一tana

誘導(dǎo)公式（五）

sin（--a）=cosacos(^-a)=sina

誘導(dǎo)公式（六）

sin（—+a）=cosacosg+a)=-sina

./c、/、兀、11%\

sin(24-cr)cos(/r+a)cos(—+a)cos(----a)

例、化簡：----------------------Z--------《——

9萬

COS(TF-a)sin(3乃-a)sin(-a-萬)sin(+a)

2

例、已知sin(a+〃)=3,且sinacosav0,求名訶。―%)+3tan(3萬_^2的值

54cos(a—3")

.^an(^^^sin

cos^^8?sin(90

1.4.1余殖商般的國家

1、

正弦函數(shù)y=sinx的圖象和余弦函數(shù)y=cosx的圖象分別叫做正弦曲線和余弦曲線.

2、用五點(diǎn)法作正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的簡圖(描點(diǎn)法)：

正弦函數(shù)丫=51”，xC［O,2n］的圖象中，五個關(guān)鍵點(diǎn)是:(0,0)(-,1)U,0)(—,-1)(2^,0)

22

余弦函數(shù)y=c°sxxC五個點(diǎn)關(guān)鍵是哪幾個？(0,1)年。)")旁，。)(2.1)

3、別利用函數(shù)的圖象和三角函數(shù)線兩種方法，求滿足下列條件的x的集合：

(l)sinx>-;(2)cosx<—,(0<x<—).

222

1.4.2正弦、余盤商敷的膛質(zhì)

1、奇偶性：y=cosx是偶函數(shù)y=sinx是奇函數(shù)。

2、單調(diào)性

正弦函數(shù)在每一個閉區(qū)間［一2yr+24"，n2+2攵不］(4￡Z)上都是增函數(shù)，其值從一1增大到1；

22

TT34

在每一個閉區(qū)間［一+24〃，一+2A〃］(*CZ)上都是減函數(shù)，其值從1減小到一1.

22

余弦函數(shù)在每一個閉區(qū)間［(24-1)萬,2/萬］(AGZ)上都是增函數(shù)，其值從一1增加到1；

在每一個閉區(qū)間［2左不，(24+1)”］JeZ)上都是減函數(shù)，其值從1減小到一1.

3、有關(guān)對稱軸

觀察正、余弦函數(shù)的圖形，可知

71

y=sinx的對稱軸為x=攵萬H——keZy=cosx的對稱軸為x=Z;rk￡Z

4、判斷下列函數(shù)的奇偶性

l+sinx-cosx2

⑴/(x)=(2)/(x)=lg(sinx+Vl+sinx);

1+sinx+cosx

1.4.3正切商政的倏質(zhì)與BB家

1、正切函數(shù)丁=tanx的定義域是什么？%|xw2+&萬,kwz

2

3、正切函數(shù)的性質(zhì)(1)定義域：(%&樂&￡zb

(2)值域：R觀察：當(dāng)x從小于氏+8女匕)，%--->加+殳時(shí)，tanx---->+oo

當(dāng)x從大于彳+.卜ez)，x---->萬+立時(shí)，tanx---->—8。

(3)周期性：T=/r；

(4)奇偶性：由tan(-x)=-tanx知，正切函數(shù)是奇函數(shù)；

(5)單調(diào)性：在開區(qū)間卜^+而微+版?卜ez內(nèi)，函數(shù)單調(diào)遞增。

例、求函數(shù)y=tan(3x-。1的定義域、值域，指出它的周期性、奇偶性、單調(diào)性，

1.5函數(shù)了學(xué)曲佃吧初次X),的0B家

1、函數(shù)y=Asin(wx+(p),(A>0,w>0)的圖像可以看作是先把y=sinx的圖像上所有的點(diǎn)向左((p〉0)

或向右((p<0)平移|<pl個單位，再把所得各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短(W>1)或伸長(O〈W〈I)到原來的L倍(縱坐

CO

標(biāo)不變)，再把所得各點(diǎn)的縱坐標(biāo)伸長(A>1)或縮短(0<A〈l)到原來的A倍，(橫坐標(biāo)不變)。即：平移

變換一周期變換一振幅變換。

2、⑴函數(shù)y=sin2x圖像向右平移行個單位所得圖像的函數(shù)表達(dá)式為y=sin2(x-119

⑵函數(shù)y=3cos(x+個)圖像向左平移g個單位所得圖像的函數(shù)表達(dá)式為y=3cos(x+2)

⑶函數(shù)y=21oga2x圖像向左平移3個單位所得圖像的函數(shù)表達(dá)式y(tǒng)=21og“2(x+3)

⑷函數(shù)y=2tan(2x+g)圖像向右平移3個單位所得圖像的函數(shù)表達(dá)式為y=