高中數(shù)學(xué) 函數(shù)的最值素材 新人教版

根據(jù)條件確定函數(shù)的參數(shù)是否存在

X+ax+h

例已知函數(shù)/(X)=l0g3—上,是否存在實(shí)數(shù)。、b、C,使/(X)同時(shí)滿(mǎn)足下

'X+CX+1

列三個(gè)條件：(1)定義域?yàn)镽的奇函數(shù)；(2)在［1,+8)上是增函數(shù)；(3)最大值是1.若存

在，求出a、b、c；若不存在，說(shuō)明理由.

分析：本題是解決存在性的問(wèn)題，首先假設(shè)三個(gè)參數(shù)%b.c存在，然后用三個(gè)已給條

件逐一確定a、b、c的值.

解：/(%)是奇函數(shù)n/(0)=0=>log3b=O,:.b=\.

2i2t

▽?zhuān)?、\iX--ax+\X+ax+\

又/(一幻=~f(X),即Bn10g-----------=-10g=----------，

3x—CX+13X+ex+1

.X2+1-axX2+1+CX/2ix222/2八222

■?-----------=-...............<=>(X"+1)-ax=(廠+1)—c

x2+l-cx/+1+QX

，Q?=c?=>〃=c或。=-c,但Q=C時(shí)，f(x)=0,不合題意；故。=一(:.這時(shí)

/(x)=logJ”；-cx+1在」,+8)上是增函數(shù),且最大值是1.

'X+CX+1

設(shè)“(x)=±￡±l在1,+8)上是增函數(shù)，且最大值是3.

XICXI1

，/.(2x-c)(x2+ex+1)-(2x+c)(x2-cx+1)2c(x2-1)2c(x+l)(x-l)

,**〃(X)=5o=7T=55-

(X+CX+1)(x+c尤+1/(廠+cx+l/

,當(dāng)x>1時(shí)/一1>o=>/(x)>o,故c>0；又當(dāng)尤<一1時(shí)，ur(x)>0；當(dāng)不￡(一1,1)時(shí)，

u(x)<0；

故c>0,又當(dāng)x<-l時(shí)，ur(x)>0,當(dāng)/￡(一1』)時(shí)，ur(x)<0.

所以〃(%)在(一00,-1)1^1,+00)是增函數(shù)，在(一1，1)上是減函數(shù).

又,.,工〉1時(shí)，x2-cx+l<x2+cx+l,〃(x)<1,.二x=-1時(shí)”(%)最大值為3.

，+,+=3,c=1,，=一1.經(jīng)驗(yàn)證:。二一1,/?=l,c=1時(shí)，/(x)符合題設(shè)條件，所

1-C+1

以存在滿(mǎn)足條件的。、b、c,即。二一1,匕=l,c=1.

說(shuō)明：此題是綜合性較強(qiáng)的存在性問(wèn)題，對(duì)于拓寬思路，開(kāi)闊視野很有指導(dǎo)意義.

此題若用相等方法解決是十分繁雜的，甚至無(wú)技可施.若用求導(dǎo)數(shù)的方法解決就迎刃

而解.

因此用導(dǎo)數(shù)法解決有關(guān)單調(diào)性和最值問(wèn)題是很重要的數(shù)學(xué)方法.切不可忘記.

供水站建在何處使水管費(fèi)最少

例有甲、乙兩個(gè)工廠，甲廠位于一直線(xiàn)河岸的岸邊A處，乙廠與甲廠在河的同側(cè)，

乙廠位于離河岸40km的B處，乙廠到河岸的垂足。與A相距50km,兩廠要在此岸邊合建

一個(gè)供水站C,從供水站到甲廠和乙廠的水管費(fèi)用分別為每千米34元和5a元，間供水站C

建在岸邊何處才能使水管費(fèi)用最省？

分析：根據(jù)題設(shè)條件作出圖形，分析各已知條件之間的關(guān)系，借助圖形的特征，合理

選擇這些條件間的聯(lián)系方式，適當(dāng)選定變?cè)瑯?gòu)造相應(yīng)的函數(shù)關(guān)系，通過(guò)求導(dǎo)的方法或其他

方法求出函數(shù)的最小值，可確定點(diǎn)C的位置.

解：解法一：根據(jù)題意知，只有點(diǎn)C在線(xiàn)段4。上某一適當(dāng)位置，才能使總運(yùn)費(fèi)最省，

設(shè)C點(diǎn)距。點(diǎn)xkm,則

8。=40,AC=50-X,BC=^BD2+CD2=Vx2+402又設(shè)總的水管費(fèi)用為y

元，依題意有

y=3a(50-x)+5aylx2+402(0<x<50).

y'^-3a+-7J^=.令y'=0,解得x=30.

在(0,50)上，y只有一個(gè)極值點(diǎn)，根據(jù)實(shí)際問(wèn)題的意義，

函數(shù)在x=30(km)處取得最小值,此時(shí)AC=50—x=20(km).

二供水站建在4、。之間距甲廠20km處，可使水管費(fèi)用最省.

4071

解法二：設(shè)則BC=——,CD=40-cote,(0<6<一).

sin62

AC=50-40cot。.

設(shè)總的水管費(fèi)用為/的)，依題意，有

405-3cos/9

/(^)=3o(50-40-cot0)+5a--=150〃+40。?一：-----

（5-3cos6）'?sin（9—（5—3cos。）?（sin0）'

/'(。)=40-

sin2。

..3-5cos6

二40a----：——

sin26?

3

令/'（。）=0，得cos6=g.

3

根據(jù)問(wèn)題的實(shí)際意義，當(dāng)cos0=-時(shí)，函數(shù)取得最小值，此時(shí)

5

43

sin9=—,;.cot6=—AC=50—40cot6=20(km),即供水站建在A、。之間距甲廠

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20km處，可使水管費(fèi)用最省.

說(shuō)明：解決實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題關(guān)犍在于建立數(shù)學(xué)模型和目標(biāo)函數(shù).把“問(wèn)題情景”譯為數(shù)

學(xué)語(yǔ)言，找出問(wèn)題的主要關(guān)系，并把問(wèn)題的主要關(guān)系近似化、形式化，抽象成數(shù)學(xué)問(wèn)題，再

劃歸為常規(guī)問(wèn)題，選擇合適的數(shù)學(xué)方法求解.對(duì)于這類(lèi)問(wèn)題，學(xué)生往往忽視了數(shù)學(xué)語(yǔ)言和普

通語(yǔ)言的理解與轉(zhuǎn)換，從而造成了解決應(yīng)用問(wèn)題的最大思維障礙.

運(yùn)算不過(guò)關(guān)，得不到正確的答案，對(duì)數(shù)學(xué)思想方法不理解或理解不透徹，則找不到正

確的解題思路，在此正需要我們依據(jù)問(wèn)題本身提供的信息，利用所謂的動(dòng)態(tài)思維，去尋求有

利于問(wèn)題解決的變換途徑和方法，并從中進(jìn)行一番選擇.

利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值

例求下列函數(shù)的最值：

1.f(x)=3X-X3,(-V3<x<3)；

2.f(x)=sin2x-x,(-■—x—)；

a2b2

3.f(x)=---F----,(0<x<l,a〉〉0)

x1-x

4.f(x)=x+yll-x2.

分析：函數(shù)/(x)在給定區(qū)間上連續(xù)可導(dǎo)，必有最大值和最小值，因此，在求閉區(qū)間[a,U

上函數(shù)的最值時(shí)，只需求出函數(shù)/(x)在開(kāi)區(qū)間(a力)內(nèi)的極值，然后與端點(diǎn)處函數(shù)值進(jìn)行

比較即可.

解：1.f'(x)=3-3x2,令r(x)=0,得了=±1,

.../⑴=2,/(-1)=-2?又/(—百)=0,/(3)=-18.

???[/Wlmax=2,[/(x)]inin=-18.

7T

2.fr(x)=2cos2x-l,令/'(x)=0，得x=±—，

6

[6)26<26

7171

a222

af'(\川_b-x-a(\-x)

x2(1-x)2x2(l-x)2

令/'（X）=O,即/%2一°2（］—x）2=0,解得x=——

a+b

當(dāng)0Vx<一3一時(shí)，/'（x）<0,當(dāng)，一C%<1時(shí)，fr（x）>0.

a+ha+b

函數(shù)/（X）在點(diǎn)X=，一處取得極小值，也是最小值為

a+Z?

a22

=(?+Z>).BP[/(x)]min=(?+^).

a+h

4.函數(shù)定義域?yàn)?14x41,當(dāng)xe（—1,1）時(shí)，

/（x）=l-^

Vl-x

令/（幻=0,解得％=號(hào)，%=V2,

又/（-i）=-i,/（i）=i,/.［/（x）u=V2,［y（x）］min=-i.

說(shuō)明：對(duì)于閉區(qū)間［。,以上的連續(xù)函數(shù)，如果在相應(yīng)開(kāi)區(qū)間（a,b）內(nèi)可導(dǎo)，求［a,b］上最

值可簡(jiǎn)化過(guò)程，即直接將極值點(diǎn)與端點(diǎn)的函數(shù)值比較，即可判定最大（或最?。┑暮瘮?shù)值,

就是最大（或最?。┲?解決這類(lèi)問(wèn)題，運(yùn)算欠準(zhǔn)確是普遍存在的--個(gè)突出問(wèn)題，反映出運(yùn)

算能力上的差距.運(yùn)算的準(zhǔn)確要依靠運(yùn)算方法的合理與簡(jiǎn)捷，需要有效的檢驗(yàn)手段，只有全

方位的“綜合治理”才能在堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)上形成運(yùn)算能力，解決運(yùn)算不準(zhǔn)確的弊病.

求兩變量乘積的最大值

例已知x、y為正實(shí)數(shù)，且滿(mǎn)足關(guān)系式——2x+4V=0,求的最大值.

分析：題中有兩個(gè)變量/和y,首先應(yīng)選擇一個(gè)主要變量，將x、y表示為某?變量（x

或），或其它變量）的函數(shù)關(guān)系，實(shí)現(xiàn)問(wèn)題的轉(zhuǎn)化，同時(shí)根據(jù)題設(shè)條件確定變量的取值范圍，

再利用導(dǎo)數(shù)（或均值不等式等）求函數(shù)的最大值.

解：解法一：4y2=2X-X2,Vy>0,/.y=—A/2X-X2,

x?y=-xyllx-x1

2

x>0

由解得0<xK2.

2x-x2>0

設(shè)f(x)=xy=xyjlx-x2(fi<x<2).

x(3-2x)

2,2x一尤.

3

令/'(x)=0，得x=］或x=。(舍).

，/(1)=孚，又,(2)=0，?,?函數(shù)/(x)的最大值為

即x-y的最大值為迪.