2023年有理數(shù)相關(guān)能力提高及競賽訓(xùn)練試題

有理數(shù)相關(guān)能力提高及競賽訓(xùn)練練習數(shù)形結(jié)合談數(shù)軸一、閱讀與思考數(shù)學(xué)是研究數(shù)和形的學(xué)科，在數(shù)學(xué)里數(shù)和形是有密切聯(lián)系的。我們常用代數(shù)的方法來解決幾何問題；反過來，也借助于幾何圖形來解決代數(shù)問題，尋找解題思緒，這種數(shù)與形之間的互相作用叫數(shù)形結(jié)合，是一種重要的數(shù)學(xué)思想。運用數(shù)形結(jié)合思想解題的關(guān)鍵是建立數(shù)與形之間的聯(lián)系，現(xiàn)階段數(shù)軸是數(shù)形結(jié)合的有力工具，重要體現(xiàn)在以下幾個方面：1、運用數(shù)軸能形象地表達有理數(shù)；2、運用數(shù)軸能直觀地解釋相反數(shù)；3、運用數(shù)軸比較有理數(shù)的大小；4、運用數(shù)軸解決與絕對值相關(guān)的問題。二、知識點反饋1、運用數(shù)軸能形象地表達有理數(shù)；例1：已知有理數(shù)在數(shù)軸上原點的右方，有理數(shù)在原點的左方，那么（）A．B．C．D．拓廣訓(xùn)練：1、如圖為數(shù)軸上的兩點表達的有理數(shù)，在中，負數(shù)的個數(shù)有（）（“祖沖之杯”邀請賽試題）A．1B．2C．3D．43、把滿足中的整數(shù)表達在數(shù)軸上，并用不等號連接。2、運用數(shù)軸能直觀地解釋相反數(shù)；例2：假如數(shù)軸上點A到原點的距離為3，點B到原點的距離為5，那么A、B兩點的距離為。拓廣訓(xùn)練：1、在數(shù)軸上表達數(shù)的點到原點的距離為3，則2、已知數(shù)軸上有A、B兩點，A、B之間的距離為1，點A與原點O的距離為3，那么所有滿足條件的點B與原點O的距離之和等于。（北京市“迎春杯”競賽題）3、運用數(shù)軸比較有理數(shù)的大?。焕?：已知且，那么有理數(shù)的大小關(guān)系是。（用“”號連接）（北京市“迎春杯”競賽題）拓廣訓(xùn)練：若且，比較的大小，并用“”號連接。例4：已知比較與4的大小拓廣訓(xùn)練：1、已知，試討論與3的大小2、已知兩數(shù)，假如比大，試判斷與的大小4、運用數(shù)軸解決與絕對值相關(guān)的問題。例5：有理數(shù)在數(shù)軸上的位置如圖所示，式子化簡結(jié)果為（）A．B．C．D．拓廣訓(xùn)練：1、有理數(shù)在數(shù)軸上的位置如圖所示，則化簡的結(jié)果為。2、已知，在數(shù)軸上給出關(guān)于的四種情況如圖所示，則成立的是。①②③④3、已知有理數(shù)在數(shù)軸上的相應(yīng)的位置如下圖：則化簡后的結(jié)果是（）（湖北省初中數(shù)學(xué)競賽選撥賽試題）A．B．C．D．三、培優(yōu)訓(xùn)練1、已知是有理數(shù)，且，那以的值是（）A．B．C．或D．或10A2B5C2、（07樂山）如圖，數(shù)軸上一動點向左移動2個單位長度到達點，再向右移動5個單位長度到達點．若點表達的數(shù)為1，則點10A2B5CＡ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．3、如圖，數(shù)軸上標出若干個點，每相鄰兩點相距1個單位，點A、B、C、D相應(yīng)的數(shù)分別是整數(shù)且，那么數(shù)軸的原點應(yīng)是（）A．A點B．B點C．C點D．D點4、數(shù)所相應(yīng)的點A，B，C，D在數(shù)軸上的位置如圖所示，那么與的大小關(guān)系是（）A．B．C．D．不擬定的5、不相等的有理數(shù)在數(shù)軸上相應(yīng)點分別為A，B，C，若，那么點B（）A．在A、C點右邊B．在A、C點左邊C．在A、C點之間D．以上均有也許6、設(shè)，則下面四個結(jié)論中對的的是（）（全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽題）A．沒有最小值B．只一個使取最小值C．有限個（不止一個）使取最小值D．有無窮多個使取最小值7、在數(shù)軸上，點A，B分別表達和，則線段AB的中點所表達的數(shù)是。8、若，則使成立的的取值范圍是。9、是有理數(shù)，則的最小值是。10、已知為有理數(shù)，在數(shù)軸上的位置如圖所示：且求的值。11、（南京市中考題）(1)閱讀下面材料：點A、B在數(shù)軸上分別表達實數(shù)，A、B兩點這間的距離表達為，當A、B兩點中有一點在原點時，不妨設(shè)點A在原點，如圖1，；當A、B兩點都不在原點時，①如圖2，點A、B都在原點的右邊；②如圖3，點A、B都在原點的左邊；③如圖4，點A、B在原點的兩邊。綜上，數(shù)軸上A、B兩點之間的距離。（2）回答下列問題：①數(shù)軸上表達2和5兩點之間的距離是，數(shù)軸上表達-2和-5的兩點之間的距離是，數(shù)軸上表達1和-3的兩點之間的距離是；②數(shù)軸上表達和-1的兩點A和B之間的距離是，假如，那么為；③當代數(shù)式取最小值時，相應(yīng)的的取值范圍是；④求的最小值。聚焦絕對值一、閱讀與思考絕對值是初中代數(shù)中的一個重要概念，引入絕對值概念之后，對有理數(shù)、相反數(shù)以及后續(xù)要學(xué)習的算術(shù)根可以有進一步的理解；絕對值又是初中代數(shù)中一個基本概念，在求代數(shù)式的值、代數(shù)式的化簡、解方程與解不等式時，經(jīng)常碰到具有絕對值符號的問題，理解、掌握絕對值概念應(yīng)注意以下幾個方面：1、脫去絕值符號是解絕對值問題的切入點。脫去絕對值符號常用到相關(guān)法則、分類討論、數(shù)形結(jié)合等知識方法。去絕對值符號法則：2、恰本地運用絕對值的幾何意義從數(shù)軸上看表達數(shù)的點到原點的距離；表達數(shù)、數(shù)的兩點間的距離。3、靈活運用絕對值的基本性質(zhì)①②③④⑤⑥二、知識點反饋1、去絕對值符號法則例1：已知且那么。拓廣訓(xùn)練：1、已知且，那么。（北京市“迎春杯”競賽題）2、若，且，那么的值是（）A．3或13B．13或-13C．3或-3D．-3或-132、恰本地運用絕對值的幾何意義例2：的最小值是（）A．2B．0C．1D．-1解法1、分類討論當時，；當時，；當時。比較可知，的最小值是2，故選A。解法2、由絕對值的幾何意義知表達數(shù)所相應(yīng)的點與數(shù)1所相應(yīng)的點之間的距離；表達數(shù)所相應(yīng)的點與數(shù)-1所相應(yīng)的點之間的距離；的最小值是指點到1與-1兩點距離和的最小值。如圖易知當時，的值最小，最小值是2故選A。拓廣訓(xùn)練：已知的最小值是，的最大值為，求的值。三、培優(yōu)訓(xùn)練1、如圖，有理數(shù)在數(shù)軸上的位置如圖所示：則在中，負數(shù)共有（）（湖北省荊州市競賽題）A．3個B．1個C．4個D．2個2、若是有理數(shù)，則一定是（）A．零B．非負數(shù)C．正數(shù)D．負數(shù)3、假如，那么的取值范圍是（）A．B．C．D．4、是有理數(shù)，假如，那么對于結(jié)論（1）一定不是負數(shù)；（2）也許是負數(shù)，其中（）（第15屆江蘇省競賽題）A．只有（1）對的B．只有（2）對的C．（1）（2）都對的D．（1）（2）都不對的5、已知，則化簡所得的結(jié)果為（）A．B．C．D．6、已知，那么的最大值等于（）A．1B．5C．8D．97、已知都不等于零，且，根據(jù)的不同取值，有（）A．唯一擬定的值B．3種不同的值C．4種不同的值D．8種不同的值8、滿足成立的條件是（）（湖北省黃岡市競賽題）A．B．C．D．9、若，則代數(shù)式的值為。10、若，則的值等于。11、已知是非零有理數(shù)，且，求的值。12、已知是有理數(shù)，，且，求的值。13、閱讀下列材料并解決有關(guān)問題：我們知道，現(xiàn)在我們可以用這一個結(jié)論來化簡具有絕對值的代數(shù)式，如化簡代數(shù)式時，可令和，分別求得（稱分別為與的零點值）。在有理數(shù)范圍內(nèi)，零點值和可將全體有理數(shù)提成不反復(fù)且不漏掉的如下3種情況：（1）當時，原式=;（2）當時，原式=；（3）當時，原式=。綜上討論，原式=通過以上閱讀，請你解決以下問題：分別求出和的零點值；（2）化簡代數(shù)式14、（1）當取何值時，有最小值？這個最小值是多少？（2）當取何值時，有最大值？這個最大值是多少？（3）求的最小值。（4）求的最小值。15、某公共汽車運營線路AB段上有A、D、C、B四個汽車站，如圖，現(xiàn)在要在AB段上修建一個加油站M，為了使加油站選址合理，規(guī)定A，B，C，D四個汽車站到加油站M的路程總和最小，試分析加油站M在何處選址最佳？16、先閱讀下面的材料，然后解答問題：在一條直線上有依次排列的臺機床在工作，我們要設(shè)立一個零件供應(yīng)站P，使這臺機床到供應(yīng)站P的距離總和最小，要解決這個問題，先“退”到比較簡樸的情形：①②如圖①，假如直線上有2臺機床（甲、乙）時,很明顯P設(shè)在和之間的任何地方都行,由于甲和乙分別到P的距離之和等于到的距離.如圖②,假如直線上有3臺機床(甲、乙、丙)時，不難判斷，P設(shè)在中間一臺機床處最合適，由于假如P放在處，甲和丙分別到P的距離之和恰好為到的距離；而假如P放在別處，例如D處，那么甲和丙分別到P的距離之和仍是到的距離，可是乙還得走從到D近段距離，這是多余來的，因此P放在處是最佳選擇。不難知道，假如直線上有4臺機床，P應(yīng)設(shè)在第2臺與第3臺之間的任何地方；有5臺機床，P應(yīng)設(shè)在第3臺位置。問題（1）：有機床時，P應(yīng)設(shè)在何處？問題（2）根據(jù)問題（1）的結(jié)論，求的最小值。有理數(shù)的運算一、閱讀與思考在小學(xué)里我們已學(xué)會根據(jù)四則運算法則對整數(shù)和分數(shù)進行計算，當引進負數(shù)概念后，數(shù)集擴大到了有理數(shù)范圍，我們又學(xué)習了有理數(shù)的計算，有理數(shù)的計算與算術(shù)數(shù)的計算有很大的不同：一方面，有理數(shù)計算每一步要擬定符號；另一方面，代數(shù)與算術(shù)不同的是“字母代數(shù)”，所以有理數(shù)的計算很多是字母運算，也就是通常說的符號演算。數(shù)學(xué)競賽中的計算通常與推理相結(jié)合，這不僅規(guī)定我們能對的地算出結(jié)果，并且要善于觀測問題的結(jié)構(gòu)特點，將推理與計算相結(jié)合，靈活選用算法和技巧，提高計算的速成度，有理數(shù)的計算常用的技巧與方法有：1、運用運算律；2、以符代數(shù)；3、裂項相消；4、分解相約；5、巧用公式等。二、知識點反饋1、運用運算律：加法運算律乘法運算律例1：計算：解：原式=拓廣訓(xùn)練：1、計算（1）（2）例2：計算：解：原式=拓廣訓(xùn)練：計算：2、裂項相消（1）；（2）；（3）（4）例3、計算解：原式===拓廣訓(xùn)練：1、計算：3、以符代數(shù)例4：計算：解：分析：令=，則原式=拓廣訓(xùn)練：1、計算：4、分解相約例5：計算：解：原式===三、培優(yōu)訓(xùn)練1、是最大的負整數(shù)，是絕對值最小的有理數(shù)，則=。2、計算：（1）=；（2）=。3、若與互為相反數(shù)，則=。4、計算：=。5、計算：=。6、這四個數(shù)由小到大的排列順序是。7、（2023“五羊杯”）計算：=（）A．3140B．628C．1000D．12008、（2023“希望杯”）等于（）A．B．C．D．9、（2023“五羊杯”）計算：=（）A．B．C．D．10、（2023鄂州中考）為了求的值，可令S＝，則2S＝，因此2S-S＝，所以＝仿照以上推理計算出的值是（）A、B、C、D、11、都是正數(shù)，假如，，那么的大小關(guān)系是（）A．B．C．D．不擬定12、設(shè)三個互不相等的有理數(shù)，既可表達為的形式，又可表達為的形式，求的值（“希望杯”邀請賽試題）13、計算（1）（2023年第二十屆“五羊杯”競賽題）（2）（北京市“迎春杯”競賽題）14、已知互為相反數(shù)，互為負倒數(shù)，的絕對值等于，求的值15、已知，求的值（2023，香港競賽）16、（2023，無錫中考）圖1是由若干