2023-2024學年河南省信陽高級中北湖校區(qū)學高一（下）月考數(shù)學試卷（二）（含答案）

第=page11頁，共=sectionpages11頁2023-2024學年河南省信陽高級中北湖校區(qū)學高一（下）月考數(shù)學試卷（二）一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.下列結(jié)論正確的是(

)A.底面是正方形的棱錐是正四棱錐

B.繞直角三角形的一條邊所在直線旋轉(zhuǎn)一周得到的幾何體是圓錐

C.有兩個面是四邊形且相互平行，其余四個面都是等腰梯形的幾何體是四棱臺

D.棱臺的所有側(cè)棱所在直線必交于一點2.設(shè)a,b,cA.(a?b)c=(b?c)a 3.下列概率模型，其中屬于古典概型的是(

)A.在平面直角坐標系內(nèi)，從橫坐標和縱坐標都是整數(shù)的所有點中任取一點

B.某射手射擊一次，可能命中0環(huán)，1環(huán)，2環(huán)，…，10環(huán)

C.某小組有男生5人，女生3人，從中任選1人做演講

D.一只使用中的燈泡壽命長短4.如圖，一個水平放置的平面圖形的直觀圖A′B′C′D′是邊長為2的菱形，且O′D′=2，則原平面圖形的周長為(

)A.42+4

B.46+45.下列命題中是真命題的有(

)A.一組數(shù)據(jù)2，1，4，3，5，3的平均數(shù)、眾數(shù)、中位數(shù)相同

B.有A、B、C三種個體按3：1：2的比例分層抽樣調(diào)查，如果抽取的A個體數(shù)為9，則樣本容量為30

C.若甲組數(shù)據(jù)的方差為5，乙組數(shù)據(jù)為5，6，9，10，5，則這兩組數(shù)據(jù)中較穩(wěn)定的是甲

D.一組數(shù)1，2，2，2，3，3，3，4，5，6的80%分位數(shù)為46.甲、乙兩人對同一個靶各射擊一次，設(shè)事件A=“甲擊中靶”，事件B=“乙擊中靶”，事件E=“靶未被擊中”，事件F=“靶被擊中”，事件G=“恰一人擊中靶”，對下列關(guān)系式(A?表示A的對立事件，B?表示B的對立事件)：①E=A?B?，②F=AB，③F=A+B，④G=A+B，⑤G=AA.3 B.4 C.5 D.67.祖暅，又名祖暅之，是我國南北朝時期的數(shù)學家、天文學家祖沖之的兒子.他在《級術(shù)》中提出“冪勢既同，則積不容異”的結(jié)論，其中“冪”是面積.“勢”是高，意思就是：夾在兩個平行平面間的兩個幾何體，被平行于這兩個平行平面的任一平面所截，如果截得的兩個截面的面積總相等，那么這兩個幾何體的體積相等(如圖①).這一原理主要應(yīng)用于計算一些復雜幾何體的體積，若某藝術(shù)品如圖②所示，高為40cm，底面為邊長20cm的正三角形挖去以底邊為直徑的圓(如圖③)，則該藝術(shù)品的體積為(

)

A.(10003?10003π)cm3 8.如圖所示，在三棱柱ABC?A1B1C1中，若點E，F(xiàn)分別滿足AE=23AB,AF=2A.19：8

B.2：1

C.17：10

D.16：11二、多選題：本題共4小題，共20分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。9.已知復數(shù)z=3+4i，則(

)A.z的共軛復數(shù)是3?4i

B.z2對應(yīng)的點在第二象限

C.z?=iz

D.若復數(shù)z0滿足|10.已知α，β是兩個不同的平面，m，n是兩條不同的直線，則下列說法中正確的是(

)A.如果m⊥n，m⊥α，n⊥β，那么α⊥β

B.如果m?α，α/?/β，那么m//β

C.如果α∩β=l，m/?/α，那么m/?/l

D.如果m⊥n，m⊥α，n/?/β，那么α⊥β11.已知△ABC內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，O為△ABC的重心，cosA=15，AO=2，則(

)A.AO=14AB+14AC B.AB?AC12.正方體ABCD?A1B1C1D1的棱長為a，E在棱A1A.側(cè)面AA1D1D中不存在直線與DE垂直

B.平面A1DE與平面ABCD所成二面角為π4

C.E運動到A1B1的中點時，A1C上存在點P

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13.福利彩票“雙色球”中紅色球由編號為01，02，…，33的33個個體組成，某彩民利用下面的隨機數(shù)表(下表是隨機數(shù)表的第一行和第二行)選取6個紅色球，選取方法是從隨機數(shù)表中第1行的第6列和第7列數(shù)字開始，由左到右依次選取兩個數(shù)字，則選出來的第3個紅色球的編號為______．49?54?43?54?82?17?37?93?23?28?87?35?20?56?43?84?26?34?91?6457?24?55?06?88?77?04?74?47?67?21?76?33?50?25?83?92?12?06?7614.已知e1，e2為平面內(nèi)向量的一組基底，a=2e1+λe2，b15.已知S，A，B，C是球O表面上的點，SA⊥平面ABC,AB⊥BC,AB=1,BC=2，若球O的體積為4π3，則SA=16.如圖所示，某旅游景區(qū)的B，C景點相距2km，測得觀光塔AD的塔底D在景點B的北偏東45°，在景點C的北偏西60°方向上，在景點B處測得塔頂A的仰角為45°，現(xiàn)有游客甲從景點B沿直線去往景點C，則沿途中觀察塔頂A的最大仰角的正切值為______.(塔頂大小和游客身高忽略不計)四、解答題：本題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。17.(本小題10分)

已知關(guān)于x的方程3x2?2ax+a=0，a∈R．

(1)當a=1時，在復數(shù)范圍內(nèi)求方程的解；

(2)已知復數(shù)z=2a+i，若方程3x218.(本小題12分)

已知△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且a?b+cc=ba+b?c．

(1)求A；

(2)若b?c=19.(本小題12分)

為了促進電影市場快速回暖，各地紛紛出臺各種優(yōu)惠措施.某影院為回饋顧客，擬通過抽球兌獎的方式對觀影卡充值滿200元的顧客進行減免，規(guī)定每人在裝有4個白球、2個紅球的抽獎箱中一次抽取兩個球.已知抽出1個白球減20元，抽出1個紅球減40元．

(1)求某顧客所獲得的減免金額為40元的概率；

(2)若某顧客去影院充值并參與抽獎，求其減免金額低于80元的概率．20.(本小題12分)

樹人中學男女學生比例約為2：3，某數(shù)學興趣社團為了解該校學生課外體育鍛煉情況(鍛煉時間長短(單位：小時))，采用樣本量比例分配的分層抽樣，抽取男生m人，女生n人進行調(diào)查.記男生樣本為x1，x2，…，xm，樣本平均數(shù)、方差分別為x?,s12；女生樣本為y1，y2，…，yn，樣本平均數(shù)、方差分別為y?,s22；總樣本平均數(shù)、方差分別為w?,s221.(本小題12分)

如圖，在四棱錐P?ABCD中，底面ABCD為平行四邊形，△PCD為等邊三角形，平面PAC⊥平面PCD，PA⊥CD，CD=4，AD=6．

(1)設(shè)G，H分別為PB，AC的中點，求證：GH/?/平面PAD；

(2)求證：PA⊥平面PCD；

(3)求直線AD與平面PAC所成角的正弦值．22.(本小題12分)

如圖，已知△ABC是邊長為2的正三角形，點P1、P2、P3是BC邊的四等分點．

(1)求AB?AP1+AP1?AC的值；

答案1.D

2.C

3.C

4.B

5.A

6.B

7.B

8.A

9.ABD

10.AB

11.BC

12.BCD

13.05

14.?2

15.1

16.217.解：(1)當a=1時，關(guān)于x的方程3x2?2ax+a=0，a∈R，即3x2?2x+1=0，

它的判別式Δ=?8，

利用求根公式可得x=2±22i6，即x=13+23i

或x=13?2318.解：(1)∵a?b+cc=ba+b?c，

∴bc=b2+c2?a2，

由余弦定理得cosA=b2+c2?a22bc=bc2bc=12，

又0<A<π，∴A=π19.解：(1)設(shè)4個白球為a，b，c，d，2個紅球為e，f，事件A為顧客所獲得的減免金額為40元，

則Ω={ab,ac,ad,ae,af,bc,bd,be,bf,cd,ce,cf,de,df,ef}，共15種情況，(3分)

A={ab,ac,ad,bc,bd,cd}，共6種情況，(5分)

所以顧客所獲得的減免金額為40元的概率為P=615=25.(6分)

(2)設(shè)事件B為顧客所獲得的減免金額為80元，則B={ef}，共1種情況，(8分)

所以顧客所獲得的減免金額為80元的概率為P(B)=115，20.解：(1)根據(jù)題意，由頻率分布直方圖估計男生樣本課外體育鍛煉時間的平均數(shù)x?=1×0.05×2+3×0.1×2+5×0.175×2+7×0.1×2+9×0.075×2=0.1+0.6+1.75+1.4+1.35=5.2；

由扇形圖估計女生樣本課外體育鍛煉時間的平均數(shù)y?=1×15%+3×25%+5×30%+7×20%+9×10%=0.15+0.75+1.5+1.4+0.9=4.7．

(2)根據(jù)題意，由于是采用按比例分配的分層隨機抽樣，則m：n=2：3；

則可以估計樹人中學學生課外運動時間的平均數(shù)w?21.(1)證明：連接BD，如圖所示，底面ABCD為平行四邊形，

則有AC∩BD=H，BH=DH，又由BG=PG，故GH//PD，

因為GH?平面PAD，PD?平面PAD，所以GH/?/平面PAD．

(2)證明：取棱PC的中點N，連接DN，如圖所示，

△PCD為等邊三角形，得DN⊥PC，又因為平面PAC⊥平面PCD，

平面PAC∩平面PCD=PC，DN?平面PCD，所以DN⊥平面PAC，

又PA?平面PAC，故DN⊥PA，又已知PA⊥CD，CD∩DN=D，

CD，DN?平面PCD，所以PA⊥平面PCD．

(3)解：連接AN，如圖所示，由(2)中DN⊥平面PAC，

可知∠DAN為直線AD與平面PAC所成的角